30 ĐAHS chứng minh bất đẳng thức hình học đường xiên hình chiếu

Các hướng dẫn ở đây chỉ mang tính gợi ý rút gọn, không phải là bài trình bày mẫu.. Trong trường hợp các em đã suy nghĩ rất nhiều mà chưa ra cách giải thì được phép xem hướng dẫn để suy n

Các hướng dẫn ở đây chỉ mang tính gợi ý rút gọn, không phải là bài trình bày mẫu Trong trường hợp các em đã suy nghĩ rất nhiều mà chưa ra cách giải thì được phép xem hướng dẫn để suy nghĩ tiếp Sau khi đã xem gợi ý mà các em vẫn còn gặp khó khăn thì lên lớp để hỏi các thầy cô

Hình học lớp 7 CB Bài 30: Chứng minh bất đẳng thức hình học: Đường xiên hình chiếu

Bài 1: Cho các hình vẽ sau So sánh các độ dài AB, AC, AD, AE.

Hướng dẫn:

a) AB < AC < AD < AE

b) AB < AC < AD < AE

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu của A trên BC Biết BAH CAH� � Hãy chứng minh HB < HC

Hướng dẫn:

Vì BAH C; BAH CAH� � � � �C CAH� �

AH HC

� (quan hệ góc – cạnh đối diện) (1)

Vì CAH B; BAH<CAH� � � � �B>BAH � �

AH HB

� (quan hệ góc – cạnh đối diện) (2)

Từ (1) và (2) suy ra HB < HC

Bài 3: Cho hình vẽ bên Chứng minh rằng:

a) ME < MK

b) DE < MK

Hướng dẫn:

a) Ta có HE < HK (vì E thuộc đoạn HK)

ME MK

�

hay không? Vì sao?

Hướng dẫn:

a) Gọi H là hình chiếu của A lên BC, khi đó AH chính là khoảng cách từ A đến BC

Trong tam giác HAB vuông tại H, ta có:

1

BH BC 3cm

2

, vì  ABC cân tại A.

AH2 AB2BH2   52 32 25 9 16  �AH 4cm

Vậy khoảng cách từ A đến BC bằng 4cm

b) Theo kết quả câu a, ta có:

AH < 6cm � cung tròn tâm A bán kính 6cm cắt đường thẳng BC.

Giả sử cung tròn đó cắt đường thẳng BC tại D, suy ra:

AD = 6cm > AB � DH > BH.

Vậy cung tròn tâm A bán kính 6cm không cắt cạnh BC

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm cạnh AC Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A, C

trên đường thẳng BM

a) Chứng minh rằng BD + BE > 2AB

b) So sánh AC với tổng AD + CE

Hướng dẫn:

a) Ta có BA  AC mà M thuộc AC �BA BM

Mà BM = BD + DM = BE – ME

Suy ra 2BA < BD + DM + BE – ME (1)

∆ADM = ∆CEM (cạnh huyền – góc nhọn)

DM ME

Từ (1) và (2) có BD + BE > 2AB

b) Trong tam giác vuông DAM, ta có AM > AD (1)

Trong tam giác vuông ECM, ta có CM > CE (2)

Cộng theo vế (1), (2) ta được: AM CM AD CE    � AC AD CE  

Hướng dẫn:

Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho AF = AC

Bài 6*: Cho tam giác ABC có AB > AC, vẽ BD  AC tại D, CE  AB tại E Chứng

minh rằng: AB – AC > BD – CE

Vì AB > AC nên F nằm giữa A và B

Vẽ FG  AC tại G, mà BD  AC (gt) � FG // BD

Vẽ FH  BD tại H

∆GFD = ∆HDF (cạnh huyền – góc nhọn) � FG = HD, GD = FH

∆GAF = ∆EAC (cạnh huyền – góc nhọn) � FG = CE; AF = AC

Do vậy FG = CE = HD

Ta có FH  BD nên BH < BF (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

Do đó AB – AC = AB – AF = BF > BH = BD – HD = BD – CE