BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN VÀ ÔN THI VÀO CHUYÊN

Ngoài ra ta còn có thể chứng minh bằng cáchkhác như sau: Ta nhận thấy với mọi số không âm a, b ta có: > 2- Phương pháp biến đổi tương đương: Ta cần biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN VÀ ÔN THI VÀO CHUYÊN

_

§ 1 - BẤT ĐẲNG THỨC

A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I) Bất đẳng thức Cauchy

1- Những nội dung cơ bản về bất đẳng thức Cauchy:

- Nội dung: Trung bình cộng của n số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của

chúng Nghĩa là: a + a + a +…+ a > n với a > 0, a > 0,…,a > 0

Nhận xét đầu tiên cho bài toán này đó là vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên taluôn có các số dương a+b-c ; c+a-b ; b+c-a Chính vì vậy ta đã có thể áp dụng đượcbất đẳng thức Cauchy Cụ thể:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương:

(a+b-c) + (c+a-b) > 2  2a > 2

 a > (a+b-c)(c+a-b) Làm tương tự như vậy ta sẽ có:

b > (a+b-c)(b+c-a) , c > (c+a-b)(a+b-c)

Vậy (abc) >  (a+b-c)(c+a-b)(b+c-a) < abc

Dấu “=” xảy ra  a = b = c  Tam giác đó là tam giác đều

* Chú ý: Ta cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên theo cách làm sau đây:

Dấu “=” xảy ra  a = b = c  Tam giác đó là tam giác đều

 Chú ý: Các bất đẳng thức ở phần a) và b) của VÍ DỤ 1 có thể được chứng minh bằng

phương pháp đặt ẩn phụ rồi biểu diễn bất đẳng thức qua các biến phụ Từ đó ta có thể

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số dương:

+ > 2 = 2 Tương tự: + > 2a , + > 2c

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được đccm

Dấu “=” xảy ra  a = b = c

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số: a và b, b và c, c và a rồi nhân các

vế của các bất đẳng thức vừa thu được, ta suy ra đccm

1- Những nội dung cơ bản về bất đẳng thức Bunyakovsky:

- Nội dung: Cho 2 bộ n số thực (a, a,…, a) và (b, b, , b) Ta có:

(a + a +…+ a)(b + b +…+ b) > (ab + ab +…+ ab)

Dấu “=” xảy ra  a = kb, a = kb,…, a = kb hay = =…= = k

Bất đẳng thức Bunyakovsky còn có một biến dạng khác là bất đẳng thức Cauchy Schwarz hay còn gọi là bất đẳng thức Schwarz hay bất đẳng thức B.C.S (Bunyakovsky - Cauchy - Schwarz)

Dấu “=” xảy ra  a = kb, a = kb,…, a = kb hay = =…= = k

2- Một số ví dụ về vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky trong việc chứng minh bấtđẳng thức:

VÍ DỤ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực x:

VÍ DỤ 2: Cho a, b, c, d là các số thực dương Chứng minh rằng:

Cơ sở của phương pháp này chính là A > B  A - B > 0

VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số a+b có tổng là một số

dương Chứng minh rằng: a + b > ab(a+b)

Giải:

Xét hiệu - ab = a - ab - ab + b = a(a - b) - b(a - b)

= (a - b)(a - b) = (a-b)(a+b) > 0 (vì (a-b) > 0 a, b và a+b > 0)

Dấu “=” xảy ra  a - b = 0  a = b

* Chú ý: Ta có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp biến đổi tươngđương hoặc sử dụng tính chất của bất đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Cauchy

VÍ DỤ 2:

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a + b + c - 3abc

b) Cho các số không âm a, b, c Chứng minh: >

(Bất đẳng thức Cauchy áp dụng cho ba số không âm)

Giải:

a) Ta có: a + b + c - 3abc = (a+b) - 3ab - 3ab + c - 3abc

= - = (a+b+c) - 3ab(a+b+c)

= (a+b+c)(a+b+c+2ab-ac-bc) - 3ab(a+b+c) = (a+b+c)(a+b+c-ab-ac-bc)

b) Từ kết quả của phần a) ta có thể chứng minh được với x, y, z không âm thì:

x + y + z - 3xyz = (x+y+z)(x + y + z - xy - xz - yz)

Mà x, y, z > 0 nên x+y+z > 0 (1)

Và theo hệ quả bất đẳng thức Cauchy thì: x + y + z > xy + xz + yz

 x + y + z - xy - xz - yz > 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có: x + y + z - 3 xyz > 0 hay x + y + z > 3xyz

Đặt x = , y = , z = thì bất đẳng thức trên tương đương với >

Dấu “=” xảy ra  a = b = c

* Chú ý: Bài toán trên cho ta một cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho ba sốbằng phương pháp đặt ẩn phụ để bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức “hữu tỉ” rồisau đó sử dụng phương pháp xét hiệu Ngoài ra ta còn có thể chứng minh bằng cáchkhác như sau:

Ta nhận thấy với mọi số không âm a, b ta có: >

2- Phương pháp biến đổi tương đương:

Ta cần biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng một bất đẳng thức khác tươngđương với nó Nếu bất đẳng thức đó đúng thì bất đẳng thức ta cần chứng minh cũngđúng Trong suốt quá trình biến đổi ta bắt buộc phải sử dụng kí hiệu 

VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có: + y + z > xy + 2yz - xz

Dấu “=” ở bất đẳng thức (1) xảy ra  a = b = c  Tam giác đó là tam giác đều

VÍ DỤ 2: Cho các số a, b thỏa mãn a+b > 1 Chứng minh: a + b >

Vậy (a + 2ab + b) + (a - 2ab + b) >  2(a + b) >  a + b >

4- Phương pháp xét phần tử đại diện:

VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 2 ta có:

S = + + + +…+ không phải là số tự nhiên

Giả sử a + b > 2 Khi đó (a+b) > 8  a + b + 3ab(a+b) > 8  2 + 3ab(a+b) > 8

 ab(a+b) > 2  ab(a+b) > a + b  ab > a - ab + b  a - 2ab + b < 0 (vô lí)

Do đó giả sử sai Vậy m + n < 2

Dấu “=” xảy ra  a = b = 1

* Chú ý: Ta cũng có thể chứng minh trực tiếp bất đẳng thức trên như sau:

Vì a + b = 2 > 0  a > -b  a > -b  a+b > 0

Áp dụng bất đẳng thức a + b > ab(a+b) ta có:

3(a + b) > 3ab(a+b)  4(a + b) > a + b + 3ab(a+b) = (a+b)

 4.2 > (a+b)  (a+b) < 8  a+b < 2

6- Phương pháp qui nạp toán học:

Các bước chứng minh mệnh đề đúng trên tập hợp số tự nhiên N bằng phương pháp qui nạp toán học:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k > 1 (giả thiết qui nạp), rồi chứng minhmệnh đề đúng với n = k+1

- Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n

Vậy (2) đúng với mọi k > 3

c) Kết luận: Mệnh đề (1) đúng với mọi số tự nhiên n, n > 3

B) LUYỆN TẬP

Bài 1: Chứng minh rằng với a, b thỏa mãn ab > 1 ta có: + >

Bài 2: Cho các số dương a, b thỏa mãn a+b < 2 Chứng minh a+b < 2

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

A = cot B + cot C

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta có: 4x-5 + > 3

Bài 5: Cho các số dương a, b, c Chứng minh:

a) a(1-a) >

b) abc(1-a)(1-b)(1-c) >

MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ BIẾT

ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I) Kĩ thuật “cộng thêm” để chứng minh bất đẳng thức

Ta có thể cộng thêm số để áp dụng bất đẳng thức Cauchy một cách phù hợp Tuynhiên cộng như thế nào cho hợp lí và dẫn ta đến kết quả của bài toán là một vấn đềkhông hề đơn giản

+ + + (b+c+c+a+a+b) > 2a + 2b + 2c

 + + > 0, điều này không nói ai cũng biết !!!

Từ đây chúng ta phải có sự định hướng đúng đắn với phương pháp này

II) Kĩ thuật bất đẳng thức Cauchy ngược dấu

Ta có một thắc mắc khi nghe cái tên kì cục này Đó là “Kĩ thuật bất đẳng thứcCauchy ngược dấu là gì?” Thật ra ai cũng biết tới bất đẳng thức Cauchy - bất đẳngthức giữa trung bình cộng và trung bình nhân:

Với n số không âm a, a,…, a ta có: >

Theo tính chất của bất đẳng thức:

- Khi lấy nghịch đảo hai vế của bất đẳng thức mà hai vế đó cùng dương thì bất đẳngthức đổi chiều

- Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số âm thì bất đẳng thức cũng đổi chiều

Ta vận dụng những qui tắc này để giải các bài tập về bất đẳng thức bằng Kĩ thuật sửdụng bất đẳng thức Cauchy ngược dấu

VÍ DỤ 1: Cho các số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau:

VÍ DỤ 2: Cho các số dương a, b, c có tổng bằng bằng 3 Chứng minh:

Bài 3: Cho các số a, b, c khác 0 có tổng bằng 1 Chứng minh: + + >

Bài 4: Cho các số dương a, b Chứng minh:

VÍ DỤ 4: Cho a, b là các số chính phương Chứng minh rằng biểu thức sau cũng là

Cách biến đổi thứ nhất chắc chắn sẽ không đem lại kết quả gì cho ta

Do đó ta cần nghĩ đến cách biến đổi thư hai

Ta có: A = - 2b = - 2b

= a + 3b + 2 - 2b = ( + )

Vì a, b là các số chính phương nên , là các số tự nhiên

 + là số tự nhiên Vậy A là số chính phương

Bài 4: Cho (x + )(y + ) = 2007 Tính S = x + y

Bài 5: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) N =

b) P = +

c) Q = (vô hạn dấu căn)

§ 3 - KĨ NĂNG VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC

A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ

- Có rất nhiều phương pháp vẽ thêm hình (gọi giao điểm, nối hai điểm có sẵn tronghình, kẻ đường vuông góc hoặc song song, kẻ đường kính của đường tròn, tiếp tuyếnchung của hai đường tròn, vẽ một góc bằng góc cho trước, phân giác của một góc,đặt một đoạn bằng đoạn cho trước, lấy điểm đối xứng, vẽ thêm một tam giác bằngtam giác đã cho, vẽ tam giác vuông cân hoặc hình vuông, tam giác đều, đường tròn,

…)

- Trong số các phương pháp trên không có phương pháp nào là ứng dụng được trongmọi trường hợp Tùy từng bài toán mà ta có những cách vẽ hình phụ khác nhau mangtính sáng tạo của riêng mình sao cho lời giải bài toán thật ngắn gọn, dễ hiểu, có sứcthuyết phục

B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP

VÍ DỤ 1: Cho hình thang vuông ABCD ( = = 90) có BC = 2AB = 2AD Lấy điểm M

trên cạnh AD Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MB cắt CD tại N Chứng minh tam giác BMN vuông cân

Giải: M

Tam giác BMN có trung tuyến MH đồng thời là đường cao nên là tam giác cân

VÍ DỤ 2: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài nhau tại A Vẽ tiếp

Vẽ tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O’) cắt BC tại M

Khi đó MB = MA, MC = MA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó MA = MB = MC Vậy tam giác ABC vuông tại A

Mặt khác MO là phân giác , MO’ là phân giác

 MO  MO’ Tam giác MOO’ vuông tại M cho ta MA = AO.AO’  MA =

Lại có MA = BC  BC = 2

VÍ DỤ 3: Cho góc nhọn xOy và điểm M cố định thuộc miền trong của góc Một

đường thẳng thay đổi vị trí nhưng luôn đi qua M cắt Ox và Oy thứ tự ở A, B Gọi S,

S là diện tích các tam giác MOA và MOB Chứng minh rằng tổng + có giá trị không đổi.

Giải:

O A

O’

Ta biết, nếu hai tam giác có chung đường cao thì tỉ số hai đáy bằng tỉ số hai diện tích.

Áp dụng vào bài toán này ta có:

= = =  =  = = +  đccm

VÍ DỤ 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Một đường thẳng song song với BC cắt

AB, AC lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng

Ta có:

Vì DE // BC  = mà BM = CM  DN = EN  N là trung điểm của DE

DE // BC  = =  DN’ = EN’  N’ là trung điểm của DE

Do đó N  N’  (AM)  (OM) hay A, O, M thẳng hàng

VÍ DỤ 5: Độ dài các cạnh của một tam giác là các số nguyên liên tiếp không nhỏ hơn

3 đơn vị độ dài Chứng minh rằng đường cao hạ xuống cạnh có độ dài lớn thứ hai thì chia cạnh này thành hai phần có hiệu độ dài bằng 4

Xét tam giác ABC có AB = n, BC = n+1, AC = n+2 (n  N*) , đường cao AH

Bài 2: Cho AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD Trên các cạnh AB và

AD kéo dài ta hạ từ đỉnh C các đường vuông góc CE và CF Chứng minh:

- Nhớ lại các tính chất chia hết trên tập số nguyên

- Nhớ lại các kiến thức về đồng dư

B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP

VÍ DỤ 1: Cho a là số nguyên lẻ, b là số nguyên Chứng minh rằng các số a và ab+4

b) Nhận xét rằng nếu a+b+c = 0 thì a + b + c - 3abc = 0  a + b + c = 3abc

Ta thấy:

(a-b) + (b-c) + (c-a) = 0  A = (a-b) + (b-c) + (c-a) = 3(a-b)(b-c)(c-a)

Mặt khác a, b, c cùng tính chẵn lẻ nên a-b, b-c, c-a đều chia hết cho 2

Vì a+b+c  6 nên trong ba số a, b, c phải tồn tại ít nhất một số chẵn

(ta có thể chứng minh được điều này bằng phản chứng)

 abc  2  - 3abc  6

Do a+b+c  6, - 3abc  6  (a+b+c)(a+b+c-ab-ac-bc) - 3abc  6  a + b + c  6

VÍ DỤ 4: Chứng minh rằng với n là số nguyên lẻ thì P = n - 10n + 9  384

Vì tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! nên P  16.4! = 384

VÍ DỤ 5: Chứng minh rằng ta luôn tìm được 10 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số

Bài 1: Tìm số tự nhiên x sao cho 1000 < n < 2000 để a = là số tự nhiên

Bài 2: Cho 4 số nguyên dương a, b, c và d thỏa mãn đẳng thức a + b = c + d Chứngminh rằng số a+b+c+d cũng là một hợp số

Bài 3: Cho ba số nguyên x, y, z thỏa mãn x + y + z  6 Chứng minh biểu thức

M = (x+y)(y+z)(z+x) - 2xyz chia hết cho 6

Bài 4: Giải bài toán sau:

“Trăm trâu trăm cỏ

Trâu đứng ăn năm

- Phương trình chứa ẩn ở mẫu + = 6

- Phương trình có chứa tham số mx - 3 = 4x - m - 1

- Hệ phương trình đối xứng loại 1

- Hệ phương trình đối xứng loại 2

- Hệ phương trình không mẫu mực

- Hệ phương trình chứa tham số

………

III) Một số kiến thức về phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có dạng ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Ta có biệt thức Δ = b - 4ac

- Δ > 0  phương trình có hai nghiệm x = và x =

- Δ < 0  phương trình vô nghiệm

Hệ thức Viet và ứng dụng

- Hệ thứcViet: Cho phương trình ax + bx +c = 0 (a ≠ 0)

Nếu phương trình có nghiệm x, x thì x + x = ; xx =

- Ứng dụng của hệ thức Viet:

1/ Nhẩm nghiệm: Cho phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Nếu a+b+c = 0 thì x = 1, x =

Nếu a-b+c = 0 thì x = -1, x = -

2/ Tìm hai số khi biết tổng và tích: Cho hai số x, y Biết rằng x + y = S, xy = P thì x, y

là nghiệm của phương trình X - SX + P = 0

3/ Phân tích thành nhân tử: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai

nghiệm x, x thì ax + bx + c = a(x - x)(x - x)

4/ Xác định dấu các nghiệm số: Cho phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) Giả sử

phương trình có nghiệm x, x

Nếu xx = < 0 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Nếu xx = > 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó nếu x+x = < 0thì phương trình có hai nghiệm dương Nếu x+x = > 0 thì phương trình có hainghiệm âm

IV) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Dù là giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình thì ta cũng phảilàm theo các bước sau:

- Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

+) Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

+) Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

- Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)

- Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình (hệ phương trình) nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP

VÍ DỤ 1: Giải hệ phương trình

Giải:

ĐKXĐ: x ≠ 1 , y ≠ 2, z ≠ 3

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì:

= =  = = = = =

Từ đó suy ra  (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y ; z) = (4 ; 8 ; 12)

VÍ DỤ 2: Giải hệ phương trình (I)

Giải:

Ta không nên xét từng trường hợp của hệ phương trình vì điều này sẽ đem lại cho tanhiều rắc rối trong quá trình làm bài Mà thay vì đó ta nên biến đổi hệ phương trìnhmột cách thích hợp để làm mất dấu giá trị tuyệt đối

Ta có hệ (I) 

Từ đó ta có: - 5y - 9 > 0 và 2x > 0  x > 0, y < 0

Do đó hệ phương trình tương đương

Hệ phương trình trên có nghiệm x = 2, y = 3

Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất (x ; y) = (2 ; 3)

VÍ DỤ 3: Giải phương trình + = 4-2x-x

Giải:

Nếu ta không nên bình phương hai vế để làm mất dấu căn vì khi bình phương lên nhưvậy, phương trình của chúng ta sẽ trở thành phương trình bậc cao và rất khó giải Chỉ cần để ý một chút thôi thì lời giải ngắn gọn của bài toán sẽ đến với ta

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1, x = 2

VÍ DỤ 5: Nhân ngày 1 tháng 6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo Số kẹo

này được chia hết và chia đều cho mỗi đội viên trong phân đội Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy, phân đội trưởng đã đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau: Bạn thứ nhất nhận một cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại Sau khi bạn thứ nhất đã lấy phần của mình, bạn thứ hai nhận hai kẹo và được lấy thêm số kẹo còn