Hướng dẫn và lời giải chi tiết đề thi đại học Khối D Môn Toán 2006
Trang 1Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”
GIẢI ĐỀ THI MÔI TOÁN KHỐI D
NĂM 2006
Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Đánh giá và định hướng”
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Trang 2Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 3đề thi môn toán khối D năm 2006
Phần chung cho tất cả các thí sinh
Câu I: (2 điểm): Cho hàm số:
(C): y = x3 − 3x + 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m Tìm m để đ-ờng thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
Câu II: (2 điểm)
1 Giải phơng trình:
cos3x + cos2x − cosx − 1 = 0
2 Giải phơng trình:
2 2x 1 x− + −3x 1 0, x+ = ∈Ă
Câu III: (2 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đờng thẳng:
1
(d ) :
− = + = −
− = − = +
−
1. Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đờng thẳng (d1)
2. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A, vuông góc với (d1) và cắt (d2)
Câu IV: (2 điểm)
1 Tính tích phân
1
2x 0
I=∫(x 2)e dx.−
2 Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
x y
e e ln(1 x) ln(1 y)
y x a
− =
Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b
Câu V.a Theo chơng trình THPT không phân ban (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C) và đờng thẳng (d):
(C): x2 + y2 − 2x − 2y + 6 = 0, (d): x − y + 3 = 0
Tìm toạ độ điểm M trên (d) sao cho đờng tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đờng tròn (C) và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (C)
2 Một đội thanh niên xung kích của một trong phổ thông có 12 học sinh, gồm 5
em học sinh lớp A, 4 em học sinh lớp B và 3 em học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3
Trang 4Câu V.b Theo chơng trình THPT phân ban (2 điểm)
1 Giải phơng trình 2x 2+x−4.2x 2−x −22x + =4 0
2 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên các đờng thẳng SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCMN
Đánh giá và định hớng thực hiện
Câu I.
1 Tham khảo định hớng trong câu I.1 của đề toán khối A − 2002
2 Đây là dạng toán về sự tơng giao của hai đồ thị (bậc ba và bậc nhất), các bớc thực hiện thông thờng bao gồm:
Bớc 1: Thiết lập phơng trình cho đờng thẳng (d)
Bớc 2: Thiết lập phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
g(x, m) = 0 (là phơng trình bậc ba) (*) Tìm cách phân tích phơng trình về dạng:
(x − x0)(ax2 + bx + c) = 0
0 2
x x
f (x) ax bx c 0 (**)
=
Bớc 3: Đờng thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt khi phơng trình
(*) có ba nghiệm phân biệt, tức là khi phơng trình (**) có hai nghiệm phân biệt khác x0, suy ra:
0
a 0
f (x ) 0
≠
∆ >
Câu II.
1. Dễ nhận thấy chỉ cần vận dụng phơng pháp biến đổi về dạng tích chúng ta sẽ giải đợc phơng trình lợng giác nay Cụ thẻ:
cos3x − cosx = −2sin2x.sinx,
1 − cos2x = 2sin2x
2. Đây là phơng trình chứa căn bậc hai cơ bản dạng f (x) g(x)= , do đó chúng
ta sẽ sử dụng phép biến đổi tơng đơng:
2
g(x) 0
f (x) g (x) (*)
≥
Tuy nhiên, các em học sinh có thể dễ nhận thấy phơng trình (*) có bậc bốn, nên cần biết cách nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử
Ngoài ra, cũng có thể sử dụng ẩn phụ t= 2x 1− để giải phơng trình
Trang 5Câu III Chúng ta lần lợt:
1. Với câu 1), ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d)
Bớc 2: Suy ra toạ độ điểm A’từ điều kiện M là trung điểm của AA’
Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:
Bớc 1: Xác định vtcp ur của đờng thẳng (d)
Bớc 2: Giả sử A’(x; y; z), suy ra:
Trung điểm M của AA ' thuộc(d)
AA ' (d)
⇔
AA '.u 0
uuuur r
⇒ Toạ độ A’
2. Với câu 2), ta có thể lựa chọn một trong ba cách:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P1) thoả mãn điều kiện:
(P1):
1 1
qua A (d ) (P )
Bớc 2: Lập phơng trình mặt phẳng (P2) thoả mãn điều kiện:
(P2):
2 2
qua A (d ) (P )
Bớc 3: Kết luận:
1 Nếu (P1) ≡ (P2) thì bài toán có vô số nghiệm
2 Nếu (P1) ≠ (P2) thì gọi (d) là giao tuyến của (P1) và (P2)
- Nếu (d) song song với (d2) thì bài toán vô nghiệm
- Còn lại, kết luận (d) chính là đờng thẳng cần dựng
Cách 2: Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Lập phơng trình mặt phẳng
(P) thoả mãn điều kiện:
(P):
1
qua A (d ) (P)
Bớc 2: Xác định giao điểm B của (d2) và (P)
Nếu không tồn tại giao điểm Kết luận vô nghiệm
Nếu có vô số giao điểm ((d2) ∈ (P)) Kết luận có vô số đờng thẳng trong (P) đi qua A cắt (d2)
(d1) (d2)
(d )
Trang 6 Nếu có nghiệm duy nhất thực hiện bớc 3.
Bớc 3: Viết phơng trình đờng thẳng (d) thoả mãn:
(d): qua A vtcp AB
uuur
Cách 3: Đợc áp dụng khi (d2) cho dới dạng tham số, ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Giả sử (d) cắt (d2) tại B, khi đó toạ độ B thoả mãn phơng trình tham
số của (d2), từ đó suy ra ABuuur
Xác định toạ độ vectơ ar1 là một vtcp của (d1)
Bớc 2: Vì (d) ⊥ (d1) nên:
AB uuur ⊥ a uur 1
⇔ AB uuur
.a uur1 = 0 ⇒ toạ độ điểm B
Bớc 3: Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A có vtcp ABuuur
Từ đó:
Nếu bài toán yêu cầu lập phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d), sử dụng cách 1
Nếu bài toán yêu cầu viết phơng trình tham số hoặc chính tắc của
đờng thẳng (d), sử dụng cách 2 hoặc cách 3
Câu IV.
1. Đây là tích phân một hàm số hỗn hợp (đa thức và siêu việt) và nó thuộc dạng cơ bản
b
ax b a
I=∫f (x)e + dx nên phơng pháp đợc lựa chọn là "Phơng pháp tích phân từng phân" với cách lựa chọn:
ax b
u f (x)
dv e + dx
=
=
2. Nhận định rằng phơng trình thứ hai của hệ là phơng trình bậc nhất với hai ẩn
x, y, điều đó dẫn tới việc có thể sử dụng phép thế để chuyển đổi tơng đơng hệ
về một phơng trình một ẩn, giả sử là:
Từ đó, dẫn tới việc tìm cách đi chứng minh với a > 0 phơng trình (*) có nghiệm duy nhất
Dễ nhận thấy (*) là phơng trình không mẫu mực nên để chứng minh nó có nghiệm duy nhất thì phơng pháp thờng đợc lựa chọn là phơng pháp hàm số (đi chứng tỏ rằng nó luôn đơn điệu)
Câu V.a
Trang 71. Bài toán này thuộc dạng tìm điểm thuộc đờng thẳng thoả mãn điều kiện K cho trớc các em học sinh hãy tham khảo lại định hớng tổng quát trong câu V.a của
đề toán khối A − 2006
Các em học sinh hãy phác thảo hình ra nháp để kiểm chứng tính đúng đắn của các bớc giải sau:
Bớc 1: Giả sử (C) có tâm I v bán kính R.à
Điểm M thuộc (d) nên có toạ độ M(x; x + 3)
Bớc 2: Khi đó, điều kiện K của bài toán là:
MI = 3R
2. Với bài toán đếm kiểu này, các em học sinh cần phân tích rất kỹ yêu cầu
"Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên " để thực hiện đi đếm phần bù, cụ thể:
Phần 1: Đếm số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ từ ba lớp A, B, C Giả
sử là T1
Phần 2: Đếm số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ từ ba lớp A, B, C mà
mỗi lớp có ít nhất một em Giả sử là T1
Khi đó, số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên bằng:
T1 − T2
Câu V.b
1. Dựa vào cách đánh giá hệ số cùng số mũ, chúng ta có thể thấy ngay rằng
ph-ơng trình sẽ đợc giải bằng cách chuyển nó về dạng tích , cụ thể:
(2x 2+x−22x) (− 4.2x 2−x− =4) 0 ⇔ 22x(2x 2−x − −1) (4 2x 2−x − =1) 0
(22x 4 2) ( x 2−x 1) 0
2. Công việc tính thể tích khối chóp A.BCMN hoàn toàn đợc thực hiện khi các
em lựa chọn đợc đỉnh, để từ đó xác định ra đờng cao và đáy
Đáp án chi tiết đề thi tuyển sinh môn toán khối D năm 2006
Câu I.
2. Đờng thẳng (d) có phơng trình:
(d): y = m(x − 3) + 20
Phơng trình hoành độ giao điểm của (d) với đồ thị (C) là:
Trang 8x3 − 3x + 2 = m(x − 3) + 20 ⇔ (x − 3)(x2 + 3x − m + 6) = 0
f(x) x 3x m 6 0 (*)
=
Đờng thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt khi:
Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 3
a 0
0
f (3) 0
≠
⇔ ∆ >
1 0
9 4(6 m) 0
≠
⇔ − − >
+ − + ≠
4m 15 0
24 m 0
− >
⇔ − ≠
15 m
4
m 24
>
⇔
≠
Vậy, với 15 m 24
4 < ≠ thỏa mãn điều kiện đầu bài
Bài tập tơng tự luyện tập
Bài 1 Cho hàm số y = |x + 3| + 1
x 1+ .
Chỉ rõ các giao điểm của đồ thị với trục hoành
Bài 2 Cho đờng cong (C) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(C): y = x + 2
x, (d): y = mx + 4m
Biện luận theo m vị trí tơng đối của (d) và (C)
Bài 3 Cho hàm số (Cm): y = x2(m − x) − m
a. Chứng minh rằng đờng thẳng (d): y = kx + k + 1 luôn cắt đồ thị hàm số tại một điểm cố định
b. Tìm k theo m để đồ thị (Cm) cắt đờng thẳng (d) tại ba điểm phân biệt
Bài 4 Cho hàm số:
(Cm): y = x4 + (2m − 1)x3 + (m2 − 2m)x2 − (m2 − m + 1)x − m + 1 = 0 Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
Bài 5 Cho hàm số y = 3x 4
x 1
+
Xác định a để đờng thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số
Bài 6 Cho hàm số y = x2 4x 3
x 2
Xác định tất cả các giá trị của k để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d): y = kx + 1 tại hai
điểm phân biệt.
Bài 7 Cho hàm số:
y = f1(x, m) = (m + 1)
2 2 2
x
− 3m( 2x2
x +1) + 4m.
Trang 9a. Xác định tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ít nhất một điểm
b. Xác định tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = f1(x, m) cắt đồ thị hàm số y = f2(x, k) = 2 2
k (x +1) tại ba điểm phân biệt.
Bài 8 Cho hàm số:
(Cm): y = 2x3 + 2(6m − 1)x2 − 3(2m − 1)x − 3(1 + 2m) = 0
Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có tổng các bình phơng các hoành độ bằng 28
Bài 9 Cho hàm số:
y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − (m2 − 1)
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dơng.
Bài 10 Cho hàm số:
y = x2 4x 1
x 2
Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (dm): y = mx + 2 − m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị
Câu II.
1. Biến đổi bất phơng trình về dạng:
(cos3x − cosx) − (1 − cos2x) = 0
⇔ −2sin2x.sinx − 2sin2x = 0 ⇔ 2sinx(sin2x + sinx) = 0
⇔ 2sinx(2sinx.cosx + sinx) = 0 ⇔ 2sin2x(2cosx + 1) = 0
sin x 0
2cos x 1 0
=
⇔ + =
sin x 0
1 cos x
2
=
⇔
= −
2 2
3
π
= + π
= ± + π
, k ∈ Â Vậy, phơng trình có bahọ nghiệm
Bài tập tơng tự luyện tập
Bài 11 Giải phơng trình sin24x − cos26x = sin(10x + 21
2
π
)
Bài 12 Giải phơng trình sin23x − cos24x = sin25x − cos26x
Bài 13 Giải phơng trình:
sin32x.cos6x + sin6x.cos32x = 3
8
Bài 14 Giải phơng trình:
Trang 101 + 2cos2
3x
5 = 3cos
4x
5
Bài 15 Cho phơng trình:
sin3x.cos3x + sin3x.cos3x = sin34x + m
a Giải phơng trình với m = 0
b Tìm m để phơng trình có đúng 3 nghiệm thuộc [0,
6
π
]
2. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Biến đổi phơng trình về dạng:
2 2x 1− = − +x 3x 1−
2
2x 1 ( x 3x 1)
− + − ≥
⇔ − = − + −
2
− + ≤
2
3 2
(x 1)(x 5x 6x 2) 0
− + ≤
2
2 2
(x 1) (x 4x 2) 0
− + ≤
2
2
x 1 0
− + ≤
⇔ − =
− + =
2
x 1
− + ≤
=
⇔
= ±
x 1
=
⇔ = −
Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = 1 và x 2= − 2
2
t 1 x
2
+
Khi đó, phơng trình đợc chuyển về dạng:
2
⇔ t4 − 4t2 + 4t − 1 = 0
⇔ (t − 1)2(t2 + 2t − 1) = 0 2
t 1 0
t 2t 1 0
− =
⇔ + − =
t 0 t 1
≥ =
⇔ = −
2x 1 1
− =
⇔
− = −
x 1
=
⇔ = −
Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = 1 và x 2= − 2
Bài tập tơng tự luyện tập
Bài 16 Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
2
Trang 11Bài 17 Cho phơng trình:
2
x −1 − x = m
a. Giải phơng trình với m = 1
b. Giải và biện luận phơng trình
Bài 18 Giải phơng trình x 4+ − 1 x− = 1 2x−
Bài 19 Giải phơng trình x2−3x 3+ + x2−3x 6+ = 3
Bài 20 Cho phơng trình:
(x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) x 1
x 3
+
− = m.
a. Giải phơng trình với m = − 3
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm
Câu III Hai đờng thẳng (d1), (d2) theo thứ tự có vtcp là uuur1
(2; −1; 1), uuur2
(−1; 2; 1)
1. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
1
x 2 2t (d ) : y 2 t , t
z 3 t
= +
= − − ∈
= +
Ă
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đờng thẳng (d1), ta có:
H(2 + 2t; −2 − t; 3 + t), suy ra AH uuur
(1 + 2t; −4 − t; t)
Để H là hình chiếu vuông góc của A lên (d1) điều kiện là:
AH ⊥ (d1) ⇔ AHuuur⊥ uuur1 ⇔ AH.uuuur uur1 = 0 ⇔ 2(1 + 2t) − (−4 − t) + t = 0
⇔ 6t + 6 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ H(0; −1; 2)
Vì H là trung điểm của AA’ nên A’(−1; −4; 1)
Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng thoả mãn:
(P):
1
Qua A
(P) (d )
1
Qua A(1; 2; 3) vtpt u (2; 1; 1)
−
uur ⇔ (P): 2x − y + z − 3 = 0.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đờng thẳng (d1), ta có {H} = (d) ∩ (P) nên toạ độ H là nghiệm hệ phơng trình:
2x y z 3 0
− + − =
⇔
y z 1 2x y z 3
+ = −
+ =
− + =
⇒
x 0
z 2
=
= −
=
⇒ H(0; −1; 2) Vì H là trung điểm của AA’ nên A’(−1; −4; 1)
Cách 3: Giả sử điểm A’(x; y; z), suy ra:
Trang 121 1
Trung điểm H của AA' thuộc(d )
AA' (d )
1
x 1 y 2 z 3
AA'.u 0
+ + + ∈ữ
uuuur uur
2(x 1) (y 2) (z 3) 0
− − − + − =
⇒
z 1
= −
= −
=
⇒ A’(−1; −4; 1)
2. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta lần lợt thực hiện:
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (d1), ta có:
(P):
1
Qua A(1; 2; 3) vtpt u (2; 1; 1)
−
uur ⇔ (P): 2x − y + z − 3 = 0.
Gọi B = (d2)∩(P), nên toạ độ B là nghiệm hệ phơng trình:
2x y z 3 0
−
− + − =
2x y 3
y 2z 3 2x y z 3
+ =
⇔ − =
− + =
⇒ x 2y 1
z 2
=
= −
= −
⇒ B(2; −1; −2)
Đờng thẳng (d) thoả mãn điều kiện đầu bài đợc xác định bởi:
(d): qua A(1;2;3)
vtcp AB(1; 3; 5)
− −
x 1 t
y 2 3t
z 3 5t
= +
= −
= −
, t ∈ Ă
1
x 1 u (d ) : y 1 2u , u
= −
= − +
Ă
Giả sử (d) là đờng thẳng cần dựng và cắt (d2) tại B, khi đó:
B(1 − u; 1 + 2u; u − 1) ⇒ AB uuur
(−u; 2u − 1 ; u − 4)
Vì (d) vuông góc với (d1) nên:
AB uuur
⊥uuur1
⇔ AB uuur
.uuur1 = 0 ⇔ 2(−u) − (2u − 1) + (u − 4) = 0 ⇔ u = −1
⇒ AB uuur
(1; −3; −5)
Phơng trình đờng thẳng (d) đợc cho bởi:
(d): qua A(1;2;3)
vtcp AB(1; 3; 5)
− −
x 1 t
y 2 3t
z 3 5t
= +
= −
= −
, t ∈ Ă
Trang 13Bài tập tơng tự luyện tập
Bài 21 Cho đờng thẳng (d): x 2
1
2
1
+
− Tìm trên đờng thẳng (d) điểm
M(xM, yM, zM) sao cho 2
M
M
M
z nhỏ nhất
Bài 22 Cho điểm A(2, 3, − 1) và đờng thẳng (d): x
2 = y
4 = z 3
1
−
Lập phơng trình đờng thẳng qua A vuông góc với (d) và cắt (d)
Bài 23 Cho hai điểm A(1, 1, 0), B(3, − 1, 4) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(d): x 1 y 1 z 2
Tìm điểm M trên đờng thẳng (d) sao cho tổng các độ dài MA + MB nhỏ nhất.
Bài 24 Cho 2điểm A(9, 0, 9), B(12, −6, −3) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(d): x y 0
y z 9 0
− =
+ − =
Tìm điểm M trên đờng thẳng (d) sao cho:
a. MA + MB nhỏ nhất
b. | MA − MB | lớn nhất
Bài 25 Cho điểm A(6; 2; 2) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
x 1 y 1 z 3 (d) :
− .
a Tìm trên đờng thẳng (d) điểm M(xM; yM; zM) sao cho tổng 2 2 2
x +y +z
đạt giá trị nhỏ nhất
b Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đờng thẳng (d)
c Tìm tọa độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đờng thẳng (d)
d Viết phơng trình chính tắc đờng thẳng đi qua điểm A vuông góc với (d) và cắt (d)
e Viết phơng trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (d)
f Viết phơng trình mặt cầu tâm A và cắt đờng thẳng (d) tại hai điểm E, F sao cho EF = 6
Câu IV.
1. Đặt:
2x
u x 2
dv e dx
= −
=
du dx
1
2
=
=
Khi đó:
