BÀI TẬP LỚN HỌC KỲ Môn: Cơ học lƣợng tử

Cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được.. Cơ học lượng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỒNG NAI

KHOA SƯ PHẠM KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

BÀI TẬP LỚN HỌC KỲ

Môn: Cơ học lượng tử

Đề bài: Cách giải bài tập chương 3,4,5,6,7

Sinh viên : Nguyễn Quang Thịnh GVHD: Th.S Hoàng Công Phương

MSSV: 111030144 Lớp: Đại học Vật lý A_K1

Lời nói đầu

Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của Vật lý học Cơ học lượng tử

là phần mở rộng và bổ sung của cơ học Newton( còn gọi là cơ học cổ điển) Nó là cơ

sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý như vật lý chất rắn, vật lý hạt Khái niệm lượng tử để chỉ một đại lượng vật lý không liên tục mà rời rạc Cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được các tiên đoán của cơ học lượng tử chưa bao giờ bị thực nghiệm chứng minh là sai sau một thế

kỷ Cơ học lượng tử là sự kết hợp chặt chẽ của ít nhất ba loại hiện tượng mà cơ học cổ điển không tính đến, đó là: (a) sự lượng tử hoá một số đại lượng vật lý, (b) lưỡng tính sóng hạt, (c) nguyên lý bất định Trong các trường hợp nhất định, các định luật của cơ học lượng tử chính là các định luật của cơ học cổ điển ở mức độ chính xác cao hơn Việc cơ học lượng tử được rút về cơ học cổ điển nhờ nguyên lý gọi là nguyên lý tương ứng Như vậy, cơ học lượng tử có tầm quan trọng rất lớn nên việc nghiên cứu môn cơ học lượng tử là rất quan trọng đối với sinh viên vật lý Ngoài việc cũng cố niềm tin vào khoa học cho sinh viên cơ học lượng tử còn giúp cho sinh viên có cơ sở để nghiên cứu các chuyên ngành khác của vật lý

Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho các sinh viên trong quá trình nghiên cứu môn cơ học lượng tử, tôi xin làm bài tập lớn về nội dung và bài tập của cơ học lượng tử Nội dung

được trình bày theo Giáo trình Cơ học lượng tử của tác giả Lê Đình - Trần Công

Phong trường Đại học sư phạm Huế tháng 8 năm 2011 Nội dung bao gồm phần:

I Phần tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập các chương 3,4,5,6,7

II Giải bài tập các chương 3,4,5,6,7

Hi vọng rằng với nội dung này sinh viên có thể dễ dàng hơn trong việc nghiên cứu cơ lượng tử

Xin cám ơn Th.s Hoàng Công Phương đã tận tâm giúp đỡ em trong quá trình làm bài

Trong quá trình làm bài tập chắc chắn sẽ có những sai sót nên rất mong sự góp ý xây dựng để bài tập trở nên hoàn thiện hơn

Mục lục

Chương 3: Các tiên đề của cơ học lượng tử 1

I Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập 1

II Bài tập 2

Chương 4: P hương trình Schrodinger 11

I Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập 11

II Bài tập 13

Chương 5: Sự thay đổi các đại lượng động lực theo thời gian 23

I Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập 23

II Bài tập 24

Chương 6: Chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm 30

I Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập 30

II Bài tập 32

Chương 7: Lý thuyết biểu diễn 41

I Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập 41

II Bài tập 41

Tài liệu tham khảo 55

CHƯƠNG 3:

CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

I Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập:

1 Nội dung các tiên đề:

a Tiên đề I:Trạng thái của một hạt hay một hệ hạt lượng tử được xác định bởi một

hàm chuẩn hoá của toạ độ không giang và thời gian Hàm này chứa toàn bôh thông tin

về hạt

b Tiên đề II: Tương úng với mỗi đại lượng động lực A là một toán tử tuyến tính và

Hermite ̂ tác dụng trong không gian Hilbert các hàm trạng thái.Các kết quả đo được

về đại lượng A chỉ có thể là các trị riêng của toán tử ̂

c Tiên đề III: Tính chất thống kê trong cơ học lượng tử

d tiên đề IV: Sự thay đổi trạng thái theo thời gian( Chương 4)

2 Kiến thức cần có để giải bài tập:

a Xác suất đo đại lượng động lực:

Trong đó là hệ số trong khai triển hàm sóng theo hàm riêng của toán tử ̂ ∑

b Mật độ xác suất để trong phép đo đại lượng động lực A ở trạng thái được giá trị

a là

Với là hệ số trong khai triển hàm trạng thái theo hàm riêng của toán tử ̂

c Trị trung bình trong phép đo một đại lượng động lưc:

d Hệ thức bất định Heisenberg:

e Các kiến thức toán cần có:

+ tích phân Poisson:

∫

√

∫

( )

√

+ cách tính tích phân từng phần

+ Điều kiện trực chuẩn của hàm sóng:

⟨ | ⟩

II Bài tập:

+ Chuẩn hoá để tìm A:

Ta có

√

+ Động năng trung bình:

̅ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ∫ ( ) ̂ ( )

∫ ( )

( )

∫ ( ) ( ) |

+ Sử dụng điều kiện chuẩn hoá xác định A:

∫

∫

∫

√

+ Tính ̅:

̅ ∫ ( ) ( )

∫

Đặt

̅

Tính ( ̅̅̅) :

( ̅̅̅) ̅̅̅ ̅ ̅̅̅ ∫

Sử dụng tích phân Poison:

∫

( )

√

Ta được:

( ̅̅̅) √( ) √

√

+ Tính ̅ :

̅ ∫ ( ) ̂ ( )

∫ ( )

( )

∫

∫

∫

∫

Tính ̅̅̅:

̅̅̅ ∫ ( ) ̂ ( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

( ( ) )

Vậy:

( ̅̅̅̅̅) ̅̅̅ ̅̅̅

Kiểm tra hệ thức bất định:

( ̅̅̅̅̅) ( ̅ )

thoả hệ thức bất định

+ Sử dụng điều kiện chuẩn hoá xác định A:

∫

√ + tính ̅;

̅ ∫ ̂

∫

∫ ( )

∫

∫

|

+ Tính ̅̅̅:

̅̅̅ ∫

( ) ∫ ∫

+ xác định A bằng điều kiện chuẩn hoá:

∫

∫ ( )

∫ ( )

√

Xác suất đo : | |

Với ⟨ | ⟩

√

√

√ ∫

Áp dụng công thức Euler:

Suy ra:

√ ∫

(

√ ∫

( )

Sử dụng điều kiện trực chuẩn của hàm riêng toán tử:

⟨ | ⟩

∫

Vậy:

√ √ √

Giá trị khả dĩ của m

{

Xác suất tương ứng với giá trị

{

| |

| | | |

( ) ( )

Trị trung bình của bình phương toán tử ̂:

̅̅̅̅ ⟨ | ̂ ⟩ ⟨ | ̂ ̂ ⟩

Do ̂ là Hermite nên

̅̅̅̅ ⟨ ̂ | ̂ ⟩

Tích vô hướng ⟨ ̂ | ̂ ⟩ luôn luôn dương nên ̅̅̅̅

Ta có:

̅ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ∫ ( ) ( )

( ( ) *

∫ ( )

( ) ∫ ( )

( )

∫ ( )

( ) vậy:

̅ khi ( ) là hàm thực

Lưu ý tính chất sau:

[ ̂ ̂ ] ̂

{

̅̅̅ ⟨ | ̂ ⟩

⟨ |[ ̂ ̂ ] ⟩ ⟨ | ̂ ̂ ⟩ ⟨ | ̂ ̂ ⟩

⟨ | ̂ ̂ ⟩ ⟨ ̂ | ̂ ⟩

⟨ | ̂ ⟩ ⟨ | ̂ ⟩

Tương tự đối với ̅̅̅

Ta cũng tính được ̅̅̅

Đặt ta được:

( ) ⟨ ( )|( ) ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩ ⟨ ( )| ( )⟩ ⟨ ( )| ( )⟩

̅̅̅ ̅

+ tìm cực tiểu của V:

( ) ̅

Hàm V đạt cực trị khi:

( ) ̅

Lúc này có giá trị:

( ̅) ̅̅̅ ( ̅) ( ̅) ̅̅̅ ( ̅)

+ Trước tiên ta xét xem trạng thái | ⟩ có chuẩn hóa hay không??

⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ Như vậy hàm | ⟩ là hàm chuẩn hóa

a) Các giá trị năng lượng khả dĩ là:

Các xác suất tương ứng với giá trị năg lượng này là:

( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩|

b) Các giá trị khả dĩ của toán tử ̂ là:

Các xác suất để đo các giá trị , , , lần lượt là:

( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩|

c) Phép đo năg lượng cho giá trị nghĩa là hệ đang ở trạng thái Vì vậy nếu

ta đo đại lượng động lực A liền sau đó thì ta sẽ nhận được giá trị

Chương IV

PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

I Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập:

1 Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian

Tiên đề IV: Sự thay đổi theo thời gian của hàm trạng thái của một hạt (hệ hạt) lượng

tử được cho bởi phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian, có dạng:

( ⃗ ) ̂ ( ⃗ ) Trong đó: ̂ ̂ ̂

( ⃗ ) là hàm Hamilton của hệ

2 Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian

Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng:

̂ ( ⃗ ) ( ⃗ ) Nghiệm của phương trình có dạng:

( ⃗ ) ( ⃗)

Do tính chất tuyến tính của phương trình nên nghiệm tổng quát có dạng khác nhau tùy theo phổ trị riêng gián đoạn hay liên tục

Khi ̂ có phổ trị riêng gián đoạn:

( ⃗ ) ∑ ( ⃗) ∑ ( ) ( ⃗) Khi ̂ có phổ trị riêng liên tục:

( ⃗ ) ∫ ( ⃗) ∫ ( ) ( ⃗) Trong đó:

〈 ( ⃗)| ( ⃗ )〉

〈 ( ⃗)| ( ⃗ )〉

3 Chuyển động của hạt trong giếng thế một chiều sâu vô hạn

Thế năng có dạng:

( ) ,

Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng:

( )

( ) Các điều kiện:

Trong miền I và III: ( )

Điều kiện biên: ( ) ( ) Năng lượng của hạt ở trạng thái thứ n:

Hàm sóng ứng với hạt có năng lượng En:

( ) √

4 Dao động điều hòa lượng tử

Thế năng có dạng:

( ) Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng:

( )

( ) ( ) Biểu thức của năng lượng:

( * Năng lượng của dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn Năng lượng thấp nhất của dao động tử là:

Hàm sóng ứng với một số mức năng lượng khác nhau:

( )

√ √

( )

( )

√ √

( ) ( *

( )

√ √

( ) ( )

II Bài tập:

Bài giải:

+ hạt ở trạng thái thứ n có hàm trạng thái là √

Như vậy xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái thư n là: ∫ ∫ ( *

(

* |

Bài giải: + Dùng điều kiện chuẩn hóa xác định A ∫ ( )

∫ ( *

∫ ( *

∫ ( * ∫ ( *

( * | (

* |

√

+ Xác suất đo năng lượng ở trạng thái cơ bản

( ) | | |⟨ | ⟩|

Với √

Ta được

∫ √ √

√ ∫

√ ∫ ( *

√ (

* |

√ (

*

√ Vậy xác suất

( ) | | |

√ |

Bài giải:

+ Dùng điều kiện chuẩn hóa xác định A:

∫ ( )

∫ ( )

√

+ Phân bố xác suất của năng lượng:

| | |⟨ | ⟩|

⟨ | ⟩ ∫

Với √

Ta được:

∫ √ ( )

√ ∫ √ ∫

√ (

( ) ) √ (

( ) (( ) )+

√ ( ( ) )

Vây phân bố xác suất sẽ là

| | ( √ ( ( ) ), ( ( ) )

( ( ) ) + Động năng trung bình:

̅ ∫ ̂ ∫ ( ) (

( ( ))+

∫ ( )

+ Động năng bình phương trung bình:

̅̅̅̅ ∫ ̂ ∫ ̂ ̂

∫ ( ( ))

( ( ))

Bài giải:

̅ ∫ ̂

Với √

Ta được:

̅ ∫ ̂ ∫ √ ( ) √ ( )

∫ ( ) ∫ ( ( **

∫ ∫ ( *

| Tính bằng phương pháp tích phân từng phần, ta được:

Đặt ,

( ) ,

( ) Suy ra

(

* |

∫ ( * Vậy

̅ Tính ̅̅̅

Ta có

̅̅̅ ∫ ̂

∫ √ √ ∫ ( )

∫ ∫ ( *

Ta tính I bằng phương pháp tích phân từng phần 2 lần Sau khi ta lấy từng phần 2 lần

ta được

( ) Suy ra

̅̅̅

( ) ( ) Vậy

̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ( ̅)

( )

( ( ) *

Xác suất phân bố của xung lượng của một hạt trong giêng thế 1 chiều sâu vô hạn (n=1)

( ) | | Với ⟨ ( )| ( )⟩

Trong đó

{

( )

√

( ) √ ( )

Suy ra:

√ ∫ ( ) Với

Suy ra