Bất đẳng thức

Một căn cứ để có thể tiến hành được việc giảm biến là bậc của hai về trong biểu thức điều kiện bằng nhau và bậc của tử và maauxa trong các phân thức của biểu thức P bằngnhau.. Khi đã giả

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CÓ TÍNH THUẦN NHẤT

Bài toán Tìm cực trị của biểu thức Q F x y z  , ,  với F tx ty tz , ,  F x y z , , , t � 0 Hàm số F

thỏa mãn điều kiện (1) gọi là hàm thuần nhất ba biến x, y, z

Nếu c 0 từ giả thiết a2 ab b 2  0 � a b  0 Bất đẳng thức luôn đúng

Nếu c� 0 Đặt a cx b cy ,  x y,  0 Bài toán đã cho trở thành: “Cho các số thực x, y thỏamãn điều kiện x2 xy y 2  1 Chứng minh rằng x3 y3  3xy� 5”

x y  xy x y�   x y � Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Bài 2 (KA 2009) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x x y z    3yz Chứng minh rằng

  , a, b dương Khi đó bài toán trở thành: “Cho các số dương a, b

thỏa mãn a2 ab b 2  1 Chứng minh rằng a3  b3 3ab� 5” Đây chính là bài toán 1

Cách 2 Đặt y ax z bx ;  a b,  0 Bài toán đã cho trở thành: “Cho các số dương a, b thỏamãn 1   a b 3ab Chứng minh rằng   3 3        3

Khi đó bài toán đã cho trở thành

“Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x y xy   3 Tìm GTNN của biểu thức

Vậy min P = 1  2 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.

Đôi lời bình luận Đây là một bài toán khó dành cho học sinh giỏi Trước tiên nhận thấy vai

trò của a và b trong biểu thức điều kiện cũng như trong biểu thức P như nhau nên ta tìm cách

“khử” bớt biến c Kỹ thuật này trong toán chứng minh bất đẳng thức được gọi là “kĩ thuật

giảm biến” Một căn cứ để có thể tiến hành được việc giảm biến là bậc của hai về trong biểu

thức điều kiện bằng nhau và bậc của tử và maauxa trong các phân thức của biểu thức P bằngnhau Do đó ta nghĩ đến việc chia cả hai vế hoặc chia cả tử và mẫu cho một lũy thừa của c màbậc của c hoặc bằng với bậc của hai vế hoặc bằng bậc của tử và mẫu Khi đã giảm được biến

c, bài toán trở thành bài toán của hai biến x, y mà biểu thức điều kiện và biểu thức P đều lànhững biểu thức đối xứng đối với x, y

Đến đây, ta thấy biểu thức P thu được khá cồng kề và có bậc cao Dự đoán dấu bằng xảy ra khi

; ;

2 2 3

x

y ta thu được một biểu thức cần đánh giá gọn hơn và quan trọng là dấu

bằng xảy ra khi x = y = 1 Kỹ thuật này trong toán chứng minh bất đẳng thức được gọi là “kĩ

thuật chọn điểm rơi”.

Sau đây là các bài tập tương tự

Bài 1 Cho a, b, c dương thỏa mãn a2   b2 c2 ab 2bc 2ca  0 Chứng minh rằng

BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC

ĐA BIẾN ĐỐI XỨNG

I Bài toán tìm cực trị của biểu thức đối xứng hai biến

Ta luôn biết rằng mọi biểu thức đối xứng hai biến x, y đều biểu diễn được thành biểu thứcchứa S = x + y và P = xy trong đó S2 � 4P

Trước hết chúng ta xét một bài toán cơ bản sau:

Bài 1 Cho các số x, y không âm thỏa mãn x y  1 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

x y

Bài 2 Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện: x2 y2 xy 3 Tìm GTLN và GTNN củabiểu thức: S  7x4 y4  4x y2 2.

x y

 

�

� 

Lời bình Ở bài toán 2, học sinh hay sai điều kiện (*) của v nên cho những đáp số sai Một

điều cần chú ý với những bài toán phải đặt biến mới đó là chúng ta phải tìm được chính xácđiều kiện của biến mới

Gợi ý bài toán 2.3 Đây là bài toán đối xứng với hai ẩn là x và 2y

Bài 3 Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x2 xy y 2  3 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Đặt u x y v xy u  ;   2 � 4v.

Bài toán quy về tìm GTLN, GTNN của f u    2u3  6u trên  2;2

Từ đó tìm được maxP 4; minP  4.

Bài 5 (2011/B) Cho a, b là các số dương thỏa mãn

Phân tích bài toán.

Đây là bài toán tìm cực trị của các biểu thức đồng bậc và đối xứng với hai biến a, b cho nênviệc đầu tiên là sử dụng tính đồng bậc của biểu thức để giảm biến (bằng cách đặt x a;y b

II Bài toán tìm cực trị của biểu thức đối xứng ba biến

Bài 7 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn 4

2

x y z xyz

1 Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: cho n số không âm x , x , , x1 2 n

x +x + +

n n

B MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi

Hướng khai thác điều kiện như sau:

 Khai thác điều kiện kết hợp với bất đẳng thức kinh điển để giới hạn miền giá trị của biến.

 Khai thác bằng cách thế vào biểu thức cần chứng minh

 Khai thác bằng dùng điều kiện vào các bước cuối cùng hoặc các bước trung gian của bài toán chứng minh.

Ở đây tôi khai thác theo hướng thế vào biểu thức cần chứng minh.

Ta có:

2013

2 2014

2 3 2014 1

2013 a a

a + a + + a1- a =

1) Cho x + y + z = 0 Tìm GTNN của biểu thức P = 3 + 4 + 3 + 4 + 3+ 4x y z .

2) Cho a, b, c dương và a 2 + b 2 + c 2 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 nên x + 3y = 1; y + 3z =1; z + 3x =1, mặt khác ta dùng bất đẳng thức Cauchy để khử căn bậc 3.

3 3 3

Tìm GTNN của biểu thức P = 3 1 + 3 1 + 3 1

a + 3b b + 3c c + 3a3) Cho ba số thực x, y,z 0� và x + y + z = 13 3 3 .

Tìm GTLN của biểu thức M = x yz + y zx + z xy2 2 2 .

3 Kỹ thuật đổi biến kết hợp Cauchy chọn điểm rơi

Ví dụ 3: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh

Do đó để giải được nhanh gọn bài toán trên ta phải thực hiện phép đổi biến để đưa về bất đẳng thức nguồn ban đầu.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc� 

Nhận xét: Biểu thức cần chứng minh vai trò a, b, c giống nhau nên điểm rơi là a = b = c Đồng thời mẫu số phức tạp do

đó ta chọn phương án đánh giá mẫu số cụ thể như sau:

a b c abc�� �   �  � a b c

Suy ra: 3. 8

3 3 3 3

ab c � b b  Vậy (*) được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

II BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG CỘNG MẪU SỐ

1. Bất đẳng thức: Cho a i    0, i 1, ,n, ta có:

2 1

Từ các bđt trên và từ giả thiết ta suy ra đpcm

Ví dụ 2 Cho a b,  0 và a b � 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của 21 2 1

2 1

Dấu “=” xảy ra

2 2

1 2 1

Ví dụ 4: Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x y z   3 Chứng minh rằng:

Dấu ‘=’ xảy ra khi x  y z 1

III BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG PHÂN THỨC (Dồn biến theo trung bình nhân)

4, 1, 2 33

12 1

cyc

b c a

Phương pháp : Tìm GTLN (GTNN ) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại

coi là tham số, rồi tìm GTLN (GTNN ) của hàm số mới với biến thứ hai và các biếncòn lại coi là tham số… cho đến biến cuối cùng

x u

min

y

x P

0 '( ) 3 2z ; '( ) 0 2z

1(

)(21

31

2

2 2

2 2

c a c

a

+ Xét hàm

)1)(

1(

)(1

1)

2

c a a

a f

(

)12(

2

2 2

2

2

c a

ca a

21

32)(2

)

1

;0(1

1)()(

2 2

2

2 0

c g c c

c c

a f P

c

a c

c a

f a f

2)

c c

g

)13

()1(

)81(2)

('

2 2

2

2

c c

c

c c

)

;0(22

10

)('

c

c c

g

Trên 0; �, '( )g c đổi dấu từ dương sang âm khi qua

22

10)()

11

221

b a

c c a

ac

c a b

310

c b

x y

Có  

2

4 28 8 35 '( )

8 14 7

y x



  và qua x0 thì f x'( ) đổi dấu từ âm sang dương nên

2 0

7

; 2

2

x y

 0; 

5 15 min ( )

x x

Bài 5 Cho x y z; ; � 0và x y z   3 Tìm GTNN của P x  3 64y3 z3

4 Khảo sát hàm f t( ) trên đoạn  a b; Từ đó suy ra GTLN, GTNN của biểu thức T.

Chú ý: Để chọn được biến số t thích hợp, trong nhiều bài toán ta phải sử dụng tốt các bất đảng thức đã biết (AM – GM, Cauchy – Schwarz,…)

Ví dụ 1 Cho x y, là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện:

min ( ) 2

I f t   Khi x y 2 x y 0

y   x �   thì T   2.Vậy minT   2.

Ví dụ 3 Cho x y, là các số thực dương thay đổi thoả mãn x y  1 Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức: T x y2 2 1 1

2

14

Giải: Đặt a 1,b 1,c 1 abc 1;T a2 b2 c2 3abc

�  Khi x  y z 1 thì T 4. Vậy minT 4.

Ví dụ 6 Cho x y z, , là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x y z   3.

Bài 1 Cho x y z, , là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x y z   1. Tìm

GTLN của biểu thức T xy yz zx   2xyz.

Bài 2: Cho x y z, , là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x y z   4 và

2.

xyz Tìm GTNN của biểu thức: T xy yz zx 

Bài 3: Cho x y, là các số thực thay đổi thuộc đoạn  1; 2 Tìm GTNN của biểu thức

T xy

   � (với k�� * ), dấu bằng xảy ra khi: a1a2   a n.

Trên đây là một vài đánh giá ta hay sử dụng trong các bất đẳng thức của chuyên đề này, việc xây dựng và chứng minh chúng không khó khăn mà vấn đề chính đó là ta sử dụng nó như thế nào và khi nào? Trong phần tiếp theo ta sẽ minh hoạ bằng một số bài toán đã xuất hiện gần đây trong một số đề thi tuyển sinh vào Đại học và đề thi học sinh giỏi Phần lớn lời giải đều đã có sẵn, một vài bài toán có lời giải khác so với hướng dẫn, tuy nhiên đó không phải là mục tiêu của chuyên đề này mà nội dung chủ yếu đó là ta phân tích để làm xuất hiện các lời giải đó.

II.2 Dấu đẳng thức trong một số bất đẳng thức

II.2.1 Một số bất đẳng thức đối xứng và không có ràng buộc đối với các biến

Trong phần này ta sẽ đưa ra một số bất đẳng thức có tính chất sau đây:

+) Đối xứng đối với các biến.

+) Các biến không có ràng buộc nhau

Bài 1 Cho a b c, , là các số dương CMR:

b c trong bất đẳng thức trên, có phải là ta may mắn tìm được hay là có cơ sở nào đó? Câu trả lời

đó là việc chọn số hạng trên hoàn toàn có cơ sở, nó dựa vào nhận xét sau: Vì vai trò của a, b, c là như nhau nên dấu bằng trong bất đẳng thức thường xảy ra khi a b c  ; kiểm nghiệm lại (1) thấy đúng Do đó có thể suy luận như sau để làm xuất hiện số hạng

a   khi

a b c 

Với suy luận như vậy, ta có thể dễ dàng chứng minh bất đẳng thức.

Bài 2 Cho a b c, , là các số dương chứng minh rằng:

a

b c với một vài số hạng để làm xuất hiện số hạng

ở vế phải của (2)

+) Số hạng cộng vào phải chứa b 2c và có bậc bằng 3 và bằng

3 3

II.2.2 Một số bất đẳng thức đối xứng có ràng buộc đối với các biến

Trong phần này ta sẽ đưa ra một số bất đẳng thức có tính chất sau đây:

+) Đối xứng đối với các biến.

+) Các biến có ràng buộc nhau bằng một đẳng thức hoặc 1 bất đẳng thức

Bài 5 (Đề thi Đại học khối A năm 2003)

Cho x y z, , là các số dương thoả mãn điều kiện x y z  �1 CMR:

+) Vì vài trò của các biến là như nhau nên dấu bằng thường xảy ra khi x y z Kiểm tra lại x y z =

Bài 6 (Đề thi HSG lớp 12 Thành phố năm 2009)

Cho 2 số dương x y, thoả mãn điều kiện x y �1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

+) Vai trò của x và y là như nhau nên có thể dự đoán Amin khi x y; x y 1 nên Amin khi dấu bằng xảy

ra Kết hợp với tính giá trị của A tại vài điểm khác ta dự đoán A min khi 1

2

x y +) Ta cần làm biến mất tích x y. ở trên tử số để có thể sử dụng giả thiết x y �1.

+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4xy và số có dạng m

xy, m được tìm dựa vào điều kiện khi

1 2

Từ đó suy ra điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a b c   1

Bài 8 Cho 2 số dương thỏa điều kiện 3x y  � 4xy và Tìm giá trị nhỏ nhất: 3 3 12 12

+) Vai trò của x y, như nhau nên có thể giá trị nhỏ nhất xảy ra khi x y và 3x y   4xy, từ đó suy ra

II.2.3 Một số bất đẳng thức không đối xứng

Bất đẳng thức không đối xứng nói chung việc đánh giá dấu bằng là tương đối khó khăn, trong phần này ta chỉ xét một vài bất đẳng thức mà việc chỉ ra dấu bằng không quá phức tạp.

Bài 9 (Bài 4.22-Bài tập Đại số 10 nâng cao)

Cho 1 tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80 x 50 Hãy cắt đi ở bốn góc vuông những hình vuông bằng nhau để khi gập lại theo mép cắt thì được một cái hộp (không nắp) có thể tích lớn nhất.

130 4  x 80 2  x  50 2  x � 3 4f x

thì khi xem xét dấu bằng sẽ không thể tìm được x.

+) Trong lời giải ta tìm thấy cách đánh giá

180 6  x 80 2  x  100 4  x � 3 12.f x

dấu bằng xảy ra khi x 10 Tại sao ta có thể có đánh giá trên may mắn hay có cơ sở?

+) Để trả lời câu hỏi này ta xuất phát từ ý tưởng sau: Tìm 2 số m và n trong đánh giá:

Như vậy việc chọn các hệ số trong lời giải là có cơ sở chứ không phải do may mắn hoặc đoán mò.

Bài 10 (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Thành phố HP năm 2010).

Cho 3 số không âm a, b, c thoả mãn a2   b2 c2 1 CMR 3 3 3 6

3 3

2 3

Cho a b c, , là các số dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3 3

 �   � Để có được điều này ta phải tìm các số m và n

trong các đánh giá sau:

Việc giải quyết trọn vẹn hệ phương trình (*) là điều tương đối khó khăn, tuy nhiên tìm ra một nghiệm của (*)

là việc có thể làm được chẳng hạn dùng máy tính cầm tay Casio –fx 570-ES ta chọn được m 1, n 3 Từ

đó ta có lời giải của bài toán như sau.

Chuyên đề này được viết theo những hiểu biết còn ít về bất đẳng thức của tác giả vì vậy không tránh khỏi những sai sót và hạn chế, rất mong được sự góp ý và chỉ bảo của của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.

Để có thể áp dụng suy luận trên xin đưa ra một số bài tập để làm rõ hơn vấn đề này.

1 Cho 2 số dương a, b thoả mãn điều kiện x y  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b) Tính diện tích toàn phần của tứ diện ADMN theo x y, .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của diện tích toàn phần trên.

SỬ DỤNG ĐA THỨC ĐỂ ĐÁNH GIÁ CÁC HÀM SỐ MŨ, LÔGARÍT VÀ LƯỢNG GIÁC

1 Hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Một số bất đẳng thức cơ bản

+ Bất đẳng thức (1) (BĐT Becnulli):

(1a)x �1x a   a 1,x�1 Đẳng thức xảy ra khi hoặc x1 hoặc a0.

+ Bất đẳng thức (2): 1

11

Cho các số thực x y z, , thỏa mãn x y z  0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P       x  y  z (Đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 khối A, A1).

Phân tích:

Ta sẽ đánh giá 3 (t t�0), nhưng vì chỉ có điều kiện t �0 nên ta sẽ không sử dụng bất đẳng thức Becnulli.

Áp dụng BĐT (2) ta được: 3t �ln 3.t1 Bất đẳng thức này rất chặt với t xấp xỉ 0, tuy nhiên giá trị ln 3không đẹp nên ta sẽ làm thêm một bước nữa 3t �ln 3 1t �t1, khi đó ta đưa về một bài toán quen thuộc với học sinh cấp 2.

(Điều này là hiển nhiên vì b c a � , c a b � , a b c � ).

Vậy P�3 Đẳng thức xảy ra: P3� x y z  0.

Vì vậy ta chuyển sang sử dụng BĐT Becnulli để đánh giá hai biểu thức 3x2  2x 2 và 3y2  2y 2 Khi đó

để chứng minh BĐT (1) chỉ còn phải chứng minh:

2 2 2

3x  x +3y2  2y 2�2x2 2x2 4x4y10

=x2  y2 2xy (x y)2 4(x y ) 10 =x2  y2 2xy  (x y 2)2 6

Suy ra 3x2  2x 2 +3y2  2y 2�x2  y2 2xy6

Dẫn đến VT(1) � VP(1) Đẳng thức xảy ra khi x y 1, thử lại đây cũng là cặp nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.

Bài 3:

Cho các số thực x y, thỏa mãn x2y4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

216

Giải: Điều kiện x0.

Bất phương trình tương đương với: ln(2x    1) 2x 1 lnx x

x x

TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp 1:

- Đối với những bài toán có giả thiết abc = 1 Đặt , ( x, y, z �0 )

- Đối với dạng toán mà xyz = k3 với k là hằng số dương cho trước, tùy theo bài dạng

mà đổi biến cho phù hợp, thường có ba cách đổi biến cơ bản sau:

Sau đây là một số ví dụ làm sáng tỏ điều này

Ví dụ 1 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

Đây chính là BĐT Nesbit cho ba số dương xy, yz, zx, suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 2 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

Chú ý: Ta có thể chứng minh (*) theo cách sau đây:

Do vai trò x, y, z có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát nên giả sử : x � y � z

> 0 Như vậy x – y +z > 0 và y – z + x > 0.

+ Nếu z – x + y � 0 thì (*) hiển nhiên đúng

+ Nếu z – x + y > 0, áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương ta có:

(x y z y z x  )(   ) �x; (y z x z x y  )(   ) �y; (z x y x y z  )(   ) �z

Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên, suy ra (*)

Vậy (*) đúng cho mọi x, y, z là các số thực dương, suy ra bài toán được chứng minh.

Phát hiện: Việc đổi biến và vận dụng (**) một cách khéo léo giúp ta giải được bài

toán ở Ví dụ 3 sau đây:

Ví dụ 3 Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng: