bài tập tổng hợp đại số tuyến tính

BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1.. Tính tích các ma trận a.. Tính các tích AB, BA... Tính các định thức sau a... Tìm dạng bậc thang và hạng của ma trận a... Tìm ma trận nghịch đảo nếu có

BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

1 Tính A + B, AB, BA biết

A ⎡ ⎤ B ⎡ − ⎤

b.

Đáp số

b

2 Tính tích các ma trận

a

−

5 10 9

⎜⎢⎣− − ⎥⎦⎟

b.

⎜⎢− − − ⎥⎟

c.

−

−

d.

1

2

1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥−

1 7 3 9

⎛⎡ ⎤⎞

⎜⎢ ⎥⎟

⎜⎢ ⎥⎟

⎜⎢ ⎥⎟

⎜⎢ ⎥⎟

⎜⎣ ⎦⎟

e.

1 1

⎢ − ⎥

0 0

0 0

⎛⎡ ⎤⎞

⎜⎢ ⎥⎟

f. 12 3[ 2 1]

3

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

3 2 1

6 4 2

9 6 3

⎜⎢⎣ ⎥⎦⎟

3 Tính các tích AB, BA

,

−

11 10 10

BA

=

⎢ − ⎥

⎢ − ⎥

(BA=[11 −1] )

c

,

15 14 13

AB

=

4 Tính các định thức sau

a.

0 0 0

0 0 0

a b c

d

Δ = (abcd )

b.

1 4 2 4

2 3 3 6

3 2 1 2

4 1 1 2

c.

1 1 2 3

1 2 3 1

2 3 6 4

3 5 9 4

Δ = ( )− 1

d.

−

−

(−264)

e.

−

Δ =

−

(−12)

( )24

g.

3 0 5

0 0 0

a

b

c d

Δ = (abcd )

h.

1 1 1

2 2 1

3 2 1

1 2 3

a b c d

Δ = (4a− −c d)

i.

1 1 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

a

b

c

d

Δ = (2a+ − +b c d)

j.

−

Δ =

(− −5a 5b−5c−5d)

k.

−

−

Δ =

−

−

(−2858)

l.

−

Δ =

− − − (−264)

m.

1 0 0

2 2 1

3 3 2

n.

1 0 0 2

3 0 0 4

0 5 6 0

0 7 8 0

0 0 3 4

0 0 4 3

1 2 0 0

2 1 0 0

p.

1 2 0 4

2 3 0 5

3 4 0 6

−

Δ =

−

−

( )0

q.

5 Tìm dạng bậc thang và hạng của ma trận

a.

1 0 0 1

A

−

=

( )

(r A = 3)

b.

A

−

( )

(r A =2)

c.

A

( )

(r A =2)

d.

1 3 11 14 3

A

=

( )

(r A =2)

e.

A

=

( )

(r A = 3)

A

( )2

g.

A

−

( )2

h.

A

( )1

i.

A

−

( )3

j.

A

( )2

k.

A

−

=

( )3

l.

A

=

( )4

m.

A

=

( )3

6 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có)

a.

A

−

1

10

⎜ ⎢⎣ − ⎥⎦⎟

b.

A

=

A

d.

2 6 12

A

1

2

0

e.

A

−

1

41

⎜ ⎢⎣ − ⎥⎦⎟

f.

A

−

g.

A

−

13 15 12 1

25

⎜ ⎢⎣− − − ⎥⎦⎟

h.

1 3 1

A

1

6

⎜ ⎢− − ⎥⎟

⎜ ⎢⎣ ⎥⎦⎟

i.

1 3 4

A

−

1

3

⎜ ⎢⎣ − ⎥⎦⎟

j.

A

−

⎜⎢− − ⎥⎟

⎜⎢⎣ − ⎥⎦⎟

k.

0

0

A

0

0

A

1

9

⎜ ⎢⎣ − ⎥⎦⎟

m.

3 1 0

A

−

1

2

⎜ ⎢ − − ⎥⎟

⎜ ⎢⎣ − ⎥⎦⎟

n.

1 5 2

A

−

1

6

⎜ ⎢⎣ − ⎥⎦⎟

o.

1 2 2

A

1

9

⎜ ⎢⎣− ⎥⎦⎟

p.

A

13 12 1

⎜⎢⎣ − ⎥⎦⎟

7 Tìm a để ma trận au khả nghịch

a

A a

−

9 4

a

⎛ ≠ ⎞

b.

2 0

0 1

a

a

(a∉ 0;− 5; 5 )

8 Tìm ma trận X thỏa các phương trình sau

=

1

3 5 5

⎜ ⎢− ⎥⎟

=

⎛ ⎡ − ⎤ ⎞

⎜⎢ − ⎥⎟

=

⎛ ⎡ − ⎤ ⎞

⎜⎢ − ⎥⎟

d.

X

−

⎜⎢⎣ − ⎥⎦⎟

e.

X

1

15

9 Giải hệ phương trình sau

⎧

⎪

⎪

⎩

(2; 1;0; 2 − − )

b.

⎧

⎪

⎪

⎩

; ;1;

c.

1 2 3 4

⎧

⎪

⎪

⎩

d.

1 3 4

1 4

1 2 3 4

3

2

⎧

⎪

⎪

⎪ + + + =

⎩

(0;1; 1; 2 − )

e.

3 4

1 4

24

⎧

⎪

⎪

⎪ + = −

⎩

(− 19; 26;11; 5 − )

10 Giải các hệ phương trình sau

⎧

⎩

1 1

18 15 7

x

b.

⎧

⎨

⎩

c.

⎧

⎨

⎩

d.

1 2 3

1 2 3

1 2

6

3

⎧

⎨

⎪

⎩

e.

⎧

⎪ + − + + =

⎨

⎩

f.

1 2 3

⎧

⎪

⎪

⎩

1 2 3 4

1

⎧

⎪

⎨ + − + =

⎪

⎩

h.

⎧

⎪

⎪

⎩

i.

2 3 4

1 2 3 4

3 10

⎧

⎪

⎨ − + =

⎪

⎪ + + + =

⎩

j.

1 2 3 4

4

⎧

⎪

⎪

⎩

11 Giải các hệ thuần nhất sau

a.

⎧

⎨

⎩

b.

⎧

⎨

⎩

c.

0

x x x

x x x

⎧

⎨

⎩

d.

0

x x x

⎧

⎪ + − − =

⎨

⎩

e.

x x x

⎧

⎪

⎨ + − =

⎪

⎩

f.

⎧

⎨

⎩

⎧

⎪

⎪

⎩

h.

⎧

⎪

⎨ + + − =

⎪

⎩

12 Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau

a.a1 =(1; 2;1 ,) a2 =(0;1; 2 ,) a3=(0;0; 2)

b.a1 =(1;1;0 ,) a2 =(1;0;1 ,) a3 =(1; 2;0− )

c.a1 =(1;3;3 ,) a2 =(1;1;1 ,) a3 = − − − ( 2; 4; 4)

d.a1=(1; 3;0 ,− ) a2 =(3; 3;1 ,− ) a3 =(2;0;1)

e.a1=(2;3;1 ,) a2 =(1;1;1 ,) a3 =(1; 2;0)

f.a1=(1; 2;3; 4 ,) a2 =(1;3; 2; 4 ,) a3 =(2;5;5;8)

g.a1=(1;1;1;1 ,) a2 =(0;1;1;1 ,) a3 =(0;0;1;1 ,) a4 =(0;0;0;1)

h.a1=(2;0;3 ,) a2 =(5; 1;7 ,− ) a3 = −( 1; 2; 1− )

i.a1=(0; 2;3 ,− ) a2 =(3; 2; 1 ,− ) a3=(3;0; 2)

j.a1= −( 1; 2;3 ,) a2 =(2;0; 1 ,− ) a3 = −( 5;6;11)

13 Hãy biểu diễn vectơ a thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại

a a=(1; 2;0 ,) b=(1; 2; 3 ,− ) c=(2;5; 1 ,− ) d =(0;1; 2)

b.a=(0;0;0 ,) b=(2;3;3 ,) c=(4;9;1 ,) d =(1;3; 1− )

c.a=(1;1;1 ,) b=(1; 2; 2 ,) c=(2;1; 2 ,) d =(3; 4; 4)

14 Trong không gian vectơ \ , xét xem W có là không gian vectơ con của 3 \ không? 3

a.W ={x=(x x x1; 2; 3)/x1+x2+2x3=0}

b W ={x=(x x x1; 2; 3)/ x1−x2+x3 = 1}

c W ={x=(x x x1; 2; 3)/x1+x2 =3x3}

d W ={x=(x x x1; 2; 3)/ x1+x2+ =1 3x3}

15 Tìm các vectơ sinh ra không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất

⎧

⎩

⎧

⎨ + + + + =

⎩

c.

⎧

⎨

⎩

16 Trong không gian vectơ \ , các hệ vectơ sau có là cơ sở không ? Nếu có, hãy tìm tọa độ của vectơ 3

a theo cơ sở đó

a a1=(1;1;1 ,) a2 =(1; 2;3 ,) a3 =(2; 2; 4 ,) a=(0;0; 2)

b.a1=(2;1; 2 ,) a2 =(3; 2;3 ,) a3 =(1;1; 2 ,) a=(1; 2;3)

c.a1 = −( 1;1; 2 ,) a2 =(0; 2;1 ,) a3 =(1;1;1 ,) a=(2; 2; 2)

17 Tìm tất cả các trị riêng vá các vectơ riêng tương ứng của các ma trận sau

a.

A

−

b.

A

c.

A

d.

A

e.

2 1 3

A

f.

1 1 2

2 2 2

2 1 3

A

−

g.

3 2 4

4 3 4

4 2 5

A

−

h.

1 2 2

4 2 5

A

−

i.

A

=⎢ − − ⎥

j.

1 2 0

1 1 1

A

1 2 0

1 0 2

A

l.

A

m.

A

−

n.

A

−