sử dụng bất đẳng thức am gm trong chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

Chính vì để chinh phục và hiểu một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và đi sâu vào phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển AM -GM cũng như tìm hiều các ứng dụng của bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN-TIN HỌC - -

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM- GM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG

MỤC LỤC

I Lời nói đầu 2

II Giới thiệu sách hay về bất đẳng thức 3

III Sơ lược về bất đẳng thức và tiểu sử một số nhà toán học được đặt tên cho các bất đẳng thức 4

IV Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 6

V Bất đẳng thức AM- GM 10

1 Nguồn gốc 10

2 Chứng minh bất đẳng thức AM- GM 10

3 Những quy tắc khi chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AM-GM 12

4 Nhận xét, đánh giá 12

VI Ứng dụng 14

1 Trong Toán học 14

2 Trong các lĩnh vực khác 40

VII Tài liệu tham khảo 43

I Lời nói đầu

Nếu yêu thích toán học chắc hẳn bạn sẽ không dưới một lần muốn chinh phục các bất đẳng thức Như Richard Bellman đã từng nói: “Có ít nhất ba lý do giải thích tại sao chúng ta luôn quan tâm tới bất đẳng thức Đó chính là thực hành, lý thuyết, và quan trọng nhất là thẩm mỹ – vẻ đẹp tồn tại trong con mắt của những người quan tâm tới bất đẳng thức; Mọi người thường dễ dàng cảm nhận được vẻ đẹp trong những bản nhạc, hay những lời thơ Thế nhưng vẻ đẹp trong Toán học lại thật kì lạ và thú vị, nó đòi hỏi một tâm hồn phong phú, tri thức nhưng lãng mạn.” Chính vì để chinh phục và hiểu một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và đi sâu vào phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển AM -GM cũng như tìm hiều các ứng dụng của bất đẳng thức AM -GM trong đời sống, các môn khoa học và các kỹ thuật trong toán học để viết nên bài tiểu luận này

II Giới thiệu sách

Trong quá trình tham khảo tài liệu và viết nên bài báo cáo này, nhóm đã tìm ra một số tựa sách hay, giúp cho những người yêu thích bất đẳng thức có thể thỏa đam mê của mình

Tựa sách nhóm muốn giới thiệu là “Những viên kim cương trong

Bất đẳng thức toán học”, là một trong những quyển sách được giới

thiệu đầy đủ nhất về những phương pháp và công cụ chứng minh bất đẳng thức.Gồm 5 chương với 25 chuyên đề: 4 chương đầu tiên giới thiệu các viên kim cương theo thứ tự thời gian và địa điểm: những viên kim cương của bất đẳng thức cổ điển, những viên kim cương của bất đẳng thức cận đại, những viên kim cương trong bất đẳng thức giải tích, những viên kim cương trong bất đẳng thức hiện đại, những sáng tạo về bất đẳng thức Mổi chuyên đề đều có phần dẫn, bài tập minh họa, bài tập tự giải với tổng các bài toán lên đến 2000 bài

Trong việc học hỏi cũng như tìm tòi các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, cũng như tìm các bài viết phân tích và mở rộng có chất lượng thì không thể bỏ qua quyển

“Sáng tạo bất đẳng thức” Cuốn sách được viết ra với hy vọng bạn đọc sẽ thay đổi cách nhìn nhận về

các bất đẳng thức sơ cấp hiện nay và giới thiệu các phương pháp quan trọng trong chứng minh bất đẳng thức Bất đẳng thức cũng là một dạng toán rất đặc biệt vì nó không đòi hỏi quá nhiều kiến thức cao siêu

mà quan trọng chỉ là biết kết hợp những sự đơn giản nhất lại thật khéo léo Chính vì vậy, hầu hết các nội dung trong sách hoàn toàn phù hợp thậm chí với một bạn học sinh THCS ngay từ lớp 8

Ngoài ra nếu yên thích bất đẳng thức, thì giáo viên không thể bỏ qua quyển sách “Vẻ đẹp bất đẳng

thức trong các kỳ thi Olympic Toán học” Đây là một cuốn sách minh họa đa dạng và đặc sắc cho

những phương pháp chứng minh bất đẳng thức và phân loại các bất đẳng thức có trong các kỳ thi IMO và hướng dẫn người đọc cách phát triển một bất đẳng thức

III Sơ lược về bất đẳng thức và tiểu sử một số nhà toán học được đặt tên cho các

bất đẳng thức

Sơ lược về bất đẳng thức:

Bất đẳng thức thực chất là một dạng toán mà ta phải làm với các giá trị hay đại lượng không bằng nhau

– Ta thường gặp phải 2 dạng của bất đẳng thức đó là chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức hay hàm số

– Ngoài ra chúng ta cũng hay gặp phải một số dạng bài tập liên quan đến Bất đẳng thức như giải Bất phương trình, hệ Bất phương trình, đó đều là những dạng bài tập đòi hỏi ta phải vận dụng khéo léo kiến thức của mình về lĩnh vực Bất đẳng thức

Đôi khi gặp một số bài tập về Phương trình, hệ phương trình chúng ta cũng có thể dùng Bất đẳng thức để tìm ra lời giải

Dạng toán này thực chất các em đã được tiếp xúc từ lớp 8, và lên cấp 3 dạng toán bắt đầu phức tạp hơn với nhiều dạng bài đa dạng và rất hay

Một số nhà toán học được đặt tên cho bất đẳng thức

Cô-si (Augustin-Louis AM -GM) (1789-1857) là nhà toán học vĩ

đại người Pháp Những định nghĩa hiện nay của chúng ta về giới

hạn, tính liên tục, đạo hàm và định nghĩa tích phân chủ yếu do AM

-GM đưa ra AM -GM viết nhiều và sâu sắc về cả hai lĩnh vực

toán học tuần túy và toán học trừu tượng

Về khối lượng công trình công bố, ông đứng thứ hai sau

Euler.Những đóng góp của AM -GM bao gồm những nghiên cứu

về sự hội tụ và phân kì của chuỗi vô hạn, lý thuyết hàm thực và

hàm phức, phương trình vi phân, xác suất và vật lý toán

Học sinh phổ thông rất quen biết tên tuổi của ông qua bất đẳng

thức AM -GM quen thuộc Suốt cuộc đời ông là người làm việc

Cauchy A.L(Cô-si) (1789-1857)

không biết mệt mỏi, nhưng rất tiếc ông lại có tính tự phụ, hẹp hòi và thường không để ý đến những

nổ lực rất xứng đáng của lớp trẻ

Bu-nhi-a-cốp-xki (Victor Yakolevich Bunyakovsky) (1804- 1889),nhà

toán học người Nga, Viện sĩ Viện Hàn lâm Pê-téc-bua.Ông có đến 168

công trình nghiên cứu trong đó các công trình nghiên cứu của ông thuộc

các lĩnh vực: phép tính vi phân, lý thuyết bất đẳng thức, lý thuyết số, lý

thuyết xác suất

Ngoài ra ông còn nghiên cứu nhiều về giải tích, hình học và đại số, quan

tâm đến cả tính toán trong thực tiễn góp phần vào các cải tiến các tính

toán của nước Nga

Học sinh phổ thông biết tên tuổi ông qua bất đẳng thức

Bu-nhi-a-cốp-xki quen thuộc mà họ được học trong nhà trường

Chebyshev (Pafnuty Lvovich Chebyshev) (1821-1894) là nhà toán

học nổi tiếng người Nga và là người sáng tạo ra bất đẳng thức Cộng

Từ nhỏ ông đã học ở nhà, 16 tuổi ông trở thành sinh viên ban Toán

khoa Triết của ĐHTH Maxcova Năm 1841, Chebyshev đã được trao

tặng huy chương bạc về tác phẩm “ Tính nghiệm phương trình”

Chebyshev tốt nghiệp đại học năm 20 tuổi.Năm 25 tuổi ông bảo vệ

thành công luận án kỳ diệu “ Kinh nghiệm phân tích cơ sở lý thuyết

xác suất” Chebyshev bảo vệ luận án tiến sĩ “ Lý thuyết so sánh” bao

gồm một trong những chương quan trọng nhất của lý thuyết số hiện

đại

Bunyakovsky V.Ya (1804- 1889)

Chebyshev

( 1821-1894)

IV Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1 Phương pháp sử dụng đường thẳng tiếp tuyến

Đây là một phương pháp đơn giản để chứng minh bất đẳng thức liên quan tới các hàm số có đạo hàm

Ví dụ Cho a, b, c, d là các số thực dương sao cho a+ b +c +d =1 Chứng minh

2 Phương pháp biến đổi về dạng thuần nhất

Có rất nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức với các ràng buộc, ví dụ như ab=1, xyz=1, …Việc chứng minh các bất đẳng thức không thuần nhất nhưng đối xứng có các ràng buộc như thế trở thành dễ dàng sau

khi biến đổi chúng thành các dạng thuần nhất Sau đó áp dụng các bất đẳng thức mạnh như bất đẳng thức Schur và bất đẳng thức Muirhead Sau đây là một ví dụ đơn giản

(HUNGARY 1996) Cho a và b là các số thực dương sao cho a+ b = 1 Chứng minh

3 Phương pháp chuẩn hóa

Chúng ta biến đổi một bất đẳng thức thành thuần nhất Tuy nhiên các bất đẳng thức sau kho đã thuần nhất lại có thể được chuẩn hóa bằng nhiều cách

(IMO 2001/2) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác Chứng minh

Trong hình học đôi khi chúng ta sử dụng vecto để chứng minh các bất đẳng thức

Ví dụ: Cho tam giác ABC và một điểm O bất kì trên cạnh AB của tam giác không trùng với đỉnh của nó Chứng minh bất đẳng thức sau đây: OC AB OA BC OB AC  +

6 Phương pháp sử dụng tính chất của đoạn thẳng

Định lý: Cho hàm số bậc nhất f x( )=ax b+ Nếu tồn tại hai số thức   sao cho f( ) 0, f ( )  0thì f x  với mọi ( ) 0 x( ; )

Ví dụ: Cho a, b và c là các số thực dương sao cho a b c+ + = Chứng minh 1

V Bất đẳng thức AM -GM

1 Nguồn gốc

Trong toán học, bất đẳng thức AM GMSchwarz, còn gọi là bất đẳng thức Schwarz, bất đẳng thức AM

-GM, hoặc bằng cái tên khá dài là bất đẳng thức AM -GM–Bunyakovski–Schwarz, đặt theo tên

của Augustin Louis AM -GM, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Amandus Schwarz, là một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại

số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai

− + +

n

+ +

+

Cách 2: Quy nạp lùi

, là điều cần phải chứng minh

Bây giờ giả sử kết luận của định lí đúng cho n: 1 2

3 Những quy tắc khi chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AM -GM

+ Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một

cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn

+ Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của

chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể không trình bày phần này Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si

+ Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới

nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm này Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT

là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến

+ Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các

bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng

Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên

+ Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như

nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại

4 Nhận xét, đánh giá

Các dạng biểu diễn bất đẳng thức

4.1 Dạng tổng quát Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3

4.2 Hệ quả

Nếu a1+a2+ + a n =S const thì ( 1 2 )

n n

Bình luận: Khi chứng minh bất đẳng thức, nói chung ta rất ít gặp các bất đẳng thức có dạng cân đối, đầy

đủ như các dạng được phát biểu trong lý thuyết mà thường gặp các bất đẳng thức có một vế phức tạp, một

vế rút gọn Cũng giống như khi chứng minh đẳng thức ta phải đánh giá từ vế phức tạp sang vế rút gọn Các dạng 1, 2, 3 đặt cạnh nhau có vẻ tầm thường nhưng việc phân loại chi tiết các dạng 1, 2, 3 giúp chúng ta nhận dạng và phản ứng linh hoạt hơn khí sử dụng AM -GM Đặt biệt là dạng 3 không chứa căn thức nhắc chúng ta có thể sử dụng AM -GM ngay cả khi không có dấu hiệu căn thức Ví dụ sau đây sẽ minh họa cho vấn đề này:

Khi đó việc phân tích hiệu giữa hai vế thành tổng các bình phương sẽ gặp nhiều khó khăn Gặp bài toán

này chúng ta sẽ ít nghĩ ngay đến dùng AM -GM vì thói quen tâm lý hình thức “chỉ sử dụng AM -GM khi

một vế chứa căn thức” Tuy nhiên nhờ có dạng 3 mà gợi ý cho chúng ta “có thể sử dụng AM -GM ngay

cả khi cả hai vế đều không chứa căn thức”

VI Ứng dụng

1 Trong toán học

1.1 Kỹ thuật đánh giá trung bình cộng qua trung bình nhân

Giả thiết bài toán thường cho tích các số

Nhân theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh

Bài 2 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz =1 Chứng minh rằng

Sử dụng bất đẳng thức AM -GM cho 3 số dương ta được

Từ đó suy ra điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= = =y z 1

Bài 3 Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 3 Chứng minh rằng

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1

Bài 4 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều ab a, + + =b c 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Nhận xét: vế phải không chứa hằng số do vậy sử dụng AM -GM để triệt tiêu các số −1 trong 2 căn thức

do đó nhân thêm vào mỗi căn với 1

Sử dụng bất đẳng thức AM -GM ta có:

Cộng vế theo vế 2 bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = b 2

Bài 2 Cho 0 3

x y

Nhận xét: ta cần triệt tiêu đi x và y vì vậy nhân thêm vào (3−x) (, 4−y) lần lượt thành 2 3( −x) (,3 4−y)

khi đó sử dụng AM -GM cho 3 số không âm ta được

Đẳng thức xảy ra khi và chi x=0,y=2 Vậy MaxP =36

Bài 3 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a b c+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1thức P=(a+2b+3c)(6a+3b+2c)

Trước hết chuyển bất đẳng thức về dạng một biến bằng cách chia hai vế bất đẳng thức cho b và đưa về

2x x+1 + 2 x + 1 3 x + 1Chú ý dấu bằng đạt tại x = và bậc vế phải là bậc hai do vậy ta cần tách 1 ( )3 ( ) ( )2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b=

Bài 5 Cho a, b, c là các số thực không âm chứng minh rằng

Bài 2: Cho 0 5 , 0 3

21

    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= −(5 2x)(3−y)(2x+3y− 5)

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện (a b b c c a+ )( + )( + )= Tìm giá trị lớn 2

1.3 Kỹ thuật đánh giá mẫu số

Các bất đẳng thức hay được sử dụng để đánh giá mẫu số

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = b c

Bài 2.Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh 3 31 3 31 3 13 1

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = b c

Bài 3 Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng

12

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= = =y z 1

Lưu ý: đẳng thức quan trọng với x, y, z có tích bằng 1 ta có 1 1 1 1

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 3

Bài 6 Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 =a2 = = a n

Cộng theo vế bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

1.5 Kỹ thuật lựa chọn điểm rơi

Bài 1 Cho a  Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 2 S a 1

Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1

a để sao cho khi áp dụng BĐT AM -GM dấu “ = ”

xảy ra khi a = Có các hình thức tách sau: 2

;

1

;1

a a

a a a

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = 2

Bài 2 Cho a  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 S a 12

MinS = là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc

=  = = = = = =  + + =  trái với gải thiết

Phân tích và tìm lời giải

Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi 1

3

1 1.1.1

3

1 1.1.1