“Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn”

Học sinh lớp 9 trường THCS đa số nhận thức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức. Khi gặp các bài toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn chưa phân loại và định hình được cách giải, còn lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi, trong khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng. Nhưng bên cạnh đó chương trình đại số 9 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho phần này là rất ít. Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này. Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THCS vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.

MỤC LỤC

Trang

A MỞ ĐẦU: 03

I ĐẶT VẤN ĐỀ: 1 Thực trạng của vấn đề: 03

2 Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới: 03

3 Phạm vi nghiên cứu của đề tài: 04

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn: 04

2 Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp: 05

B NỘI DUNG: 05

I MỤC TIÊU: 1 Tên đề tài: “RÈN KỸ NĂNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN” 05

2 Nhiệm vụ của đề tài 05

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: 1 Thuyết minh tính mới: 06

2 Khả năng áp dụng: 32

3 Lợi ích kinh tế - xã hội: 33

C KẾT LUẬN: 34

Tài liệu tham khảo 35

A MỞ ĐẦU:

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

1 Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết:

Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng,nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực củađời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng Toán học là mộtmôn khoa học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc trung học phổ thông Tuynhiên nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có sự nỗlục rất lớn để chiếm lĩnh nhưng tri thức cho mình Chính vì vậy đối với mỗi giáoviên dạy toán, việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung sách giáo khoa, nắmvững các phương pháp dạy học, các kĩ thuật dạy học Để từ đó tìm ra những biệnpháp dạy học hiệu quả trong việc truyền thụ những kiến thức Toán học cho họcsinh là một công việc phải làm thường xuyên

Dạy học sinh học toán không những cung cấp những kiến thức cơ bản, dạyhọc sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hìnhthành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các emtích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoànthiện nhân cách

Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy,bỡi vì việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phảilàm, đặc biệt đối với học sinh bậc THCS thì giải toán là hình thức chủ yếu củahọc toán

Trong chương trình toán bậc THCS, vấn đề về phương trình là một trongnhững vấn đề xuyên suốt trong 4 năm học của học sinh bắc đầu từ những bàitoán “Tìm x biết” dành cho học sinh lớp 6, 7 đến cụ thể hoá vấn đề về phươngtrình ở học kì 2 lớp 8 và hoàn thiện cơ bản về nội dung về phương trình đại sốlớp 9 Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắmbắt được và có kĩ năng giải phương trình một cách thành thạo để từ đó các emhọc tốt hơn ở toán học cấp 3

Trong những vấn đề về phương trình thì phương trình chứa căn thức bậc hai(phương trình vô tỷ) là một trở ngại không nhỏ khiến cho học sinh không ít ngỡngàng và bối rối khi giải các loại phương trình loại này, thực ra đây là một vấn

đề khó,đặc biệt đối với học sinh tham gia thi tuyển vào 10, tham gia thi học sinhgiỏi các cấp thì nó là vấn đề quan trọng bắt buộc học sinh phải vượt qua

2 Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.

Là một giáo viên giảng dạy toán bậc THCS, bản thân tôi được nhà trườngtrực tiếp giao trách nhiệm dạy học sinh lớp 9, dạy bồi dường học sinh giỏi tôicũng rất trăn trở vấn đề này Vấn đề đặc ra đối với tôi là làm thế nào để giúp họcsinh giải thành thạo các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn hay còn gọi là

phương trình vô tỷ ? Khi gặp bất cứ một dạng toán nào về phương trình vô tỷcác em cũng có thể tìm ra cách giải hợp lý nhất.

Với tất cả các lý do nêu trên Tôi quyết định chọn đề tài “Rèn kỹ năng, phương pháp giải các dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn”

3 Phạm vi nghiên cứu của đề tài.

Đề tài này tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác Trường THCS CátChánh cụ thể là đối tượng học sinh lớp 9, học sinh tham gia đội tuyển học sinhgiỏi toán của trường ở cấp huyện, cấp tỉnh

Nội dung phần phương trình chứa ẩn dưới dấu căn (còn gọi là phương trình

vô tỷ ) và một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm trong chương trình đại số 9 và

có thể mở rộng ở chương trình đại số 10

Một số bài giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn trong các sách thamkhảo

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:

1 Cơ sở lí luận và thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu tìm giải pháp của đề tài.

1.1 Cơ sở lí luận:

- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THCS là hoạt động dạy của thầy

và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào

tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức

phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đờisống của con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó vớikiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này

- Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ởmôn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào

từng bài toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học

sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, trong quá trình dạy họcgiáo viên cần định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán mộtcách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết phân dạng bài tập

và giải một bài tập với nhiều cách khác nhau

1.2 Cơ sở thực tiễn:

- Học sinh lớp 9 trường THCS Cát Chánh đa số nhận thức còn chậm, chưa

hệ thống được kiến thức Khi gặp các bài toán về phương trình chứa ẩn dưới dấucăn chưa phân loại và định hình được cách giải, còn lúng túng khi đặt điều kiện

và biến đổi, trong khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng Nhưng bêncạnh đó chương trình đại số 9 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thờilượng dành cho phần này là rất ít

- Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàngngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bàycách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này

- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đíchgiúp cho học sinh THCS vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bàitoán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.

2 Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp:

2.1 Các biện pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Phân tích tổng hợp, khái quát hoá so sánh , đúc kết rút kinh nghiệm

- Quan sát, kiểm tra

2.2 Thời gian tạo ra giải pháp

Để thực hiện đề tài này tôi thực hiện nghiên cứu trong suốt thời gian trựctiếp giảng dạy khối lớp 9 và dạy bồi dưỡng HSG tại trường THCS Cát Chánh

từ tháng 9 năm 2013 đến nay:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc kết rút kinh nghiệm quaquá trình giảng dạy

- Dựa trên cơ sở kiến thức tôi đã học trong trường cao đẳng, đại học một

số kiến thức tìm kiếm trong sách tham khảo, trong chương trình THPT…

B NỘI DUNG:

I MỤC TIÊU:

1 Tên đề tài: “RÈN KỸ NĂNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN”

2 Nhiệm vụ của đề tài.

Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáodục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến mộthướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán giải phương trình chứa ẩn dướidấu căn từ phức tạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và giải được một cách dễdàng

Thông qua đề tài SKKN này nhằm hướng dẫn học sinh nắm được phươngpháp giải hai dạng phương trình thường gặp một số bài toán vận dụng biến đổi

cơ bản và một số dạng bài toán không mẫu mực (dạng không tường minh) nâng

f(x) = g 2 (x) chỉ cần so sánh các nghiệm vừa nhận được với điều kiện gx) ≥ 0 để

kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử lại vàlấy nghiệm

Điều kiện f(x) ≥ 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (2)

Chú ý ở đây không nhất thiết phải đặt điều kiện đồng thời cả f(x) và g(x) không

âm vì f(x) = g(x)

Tuy nhiên khi gặp bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn, cónhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩnăng phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:

1 Thuyết minh tính mới:

Khi giảng dạy cho học sinh ôn thi tuyển vào lớp 10 và học sinh giỏi các cấp tôi nhận thấy:

* Khi gặp bài toán:

Giải phương trình 2x− 3 = x - 2 (1)

Một số học sinh đã giải như sau : điều kiện pt(1) là x ≥ 3

2 (*) (1) ⇒ 2x - 3 = x2 - 4x + 4 ⇒ x2 - 6x + 7 = 0

Phương trình cuối có nghiệm là x = 3 + 2 và x = 3 - 2

Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thaycác giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x = 3 - 2 bịloại

Vậy nghiệm phương trình (1) là x = 3 + 2

Mặt khác, một số học sinh còn có ý kiến sau khi giải được nghiệm ở phương trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện x ≥ 3

2 (*) để chọn nghiệm và nghiệm phương trình là x = 3 + 2 và x = 3 - 2.

Theo tôi cách giải vừa nêu trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai và dễ dẫn đến sai lầm của một số học sinh khi chọn nghiệm cuối cùng vì nhầm tưởng điều kiện x ≥ 3

2 là điều kiện cần và đủ.

* Khi gặp bài toán:

Giải phương trình 5x2 + 6x− 7 = x+ 3

Học sinh thường đặt điều kiện

Điều chú ý ở đây là học sinh cứ tìm cách để biểu thị hệ điều kiện của

phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện x + 3 ≥ 0 là điều kiện cần và

đủ mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện Cho nên học sinh mất nhiềuthời gian cho việc tìm điều kiện này

* Khi gặp bài toán:

= - x

0 4

x

x x

Nhận xét: Đây là một bài toán hết sức đơn giản nhưng nếu giải như vậy thì

đã mắc một sai lầm mà không đáng có Rõ ràng x = - 4 không phải là nghiệm của phương trình trên.

0 0

B A

B B

A

Ở đây đã bị bỏ qua mất điều kiện là: B ≥ 0 (x ≥ 2)

* Khi gặp bài toán:

Giải phương trình 5 4x2 − 12x+ 11 = 4x2 - 12x + 15

Một số học sinh thường đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đi đến mộtphương trình bậc bốn và rất khó để giải được kết quả cuối cùng vì phương trìnhbậc bốn chưa có cách giải cụ thể đối với học sinh bậc THCS

* Khi gặp bài toán:

x x

Một số HS đã có lời giải sai như sau:

≥ +

⇔

4 4 10

3

2 2

2 5

0 2

2 2

x x

x x

4 4 3

2

x

x x

x

x

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Nhận xét: Rõ ràng x = -14 là nghiệm của phương trình Lời giải trên đã làm cho bài toán có nghiệm trở thành vô nghiệm.

; 0

B A khi AB

B A khi AB B

A B

Lời giải trên đã xét thiếu trường hợp A < 0; B < 0

Còn nhiều bài toán khác cũng có nhiều tranh cãi với nhau

Cho nên, lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướngdẫn chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nàocho hợp lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng vàsuy luận có logic tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm.Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán vềphương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc kết, rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiếncủa đồng nghiệp Tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của họcsinh với những giải pháp nhằm giúp học sinh hình thành kĩ năng khi biến đổi vàgiải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Để làm được điều đó, đầu tiên giáo

viên cần hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan và bổ sung một số kiến thức mở rộng cho học sinh như sau:

1 Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hoá các tính chất của luỹ thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ.

2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức

3 Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối.

4 Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc 2 một ẩn, cách giải hệ phương trình.

5 Bổ sung các kiến thức để giải các phương trình đơn giản:

B A B A

A B

Giáo viên: chỉ cho học sinh thấy được rằng nếu khi bình phương hai vế để

đi đến phương trình tương đương thì hai vế đó phải không âm

9 29 2

x x

Ta có thể giải như sau: Điều kiện: x ≥ -1

3 (**) Khi đó phương trình (2)⇔ 3x2 - 2x - 1 = (3x + 1)2

⇔3x2 - 2x - 1 = 9x2 + 6x + 1

⇔3x2 + 4x + 1 = 0 ⇔

1 1 3

x x

phương hai vế thì sẽ đi đến một phương trình bậc bốn rất khó giải.

Ta có thể giải bài toán như sau:

Chưa vội đặt điều kiện ở bước giải này ta nên biến đổi

Phương trình (3) ⇔ 4x2 - 12x + 11 - 5 2

4x − 12x+ 11 + 4 = 0

Với t = 4 ⇔ 2

4x − 12x+ 11 = 4 ⇔4x2 - 12x - 5 = 0

⇔

3 56 4

3 56 4

x x

− , (*) là điều kiện cần và đủ của phương trình (1)

nên ta chỉ cần đối chiếu với điều kiện (*) để chọn nghiệm cuối cùng của phương trình.

+ Ví dụ 2: Giải phương trình

2

2x + 3x− 4 = 7x+ 2 , (2)

Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt

điều kiện cho vế phải không âm

⇔

2 5

2

0 2 2

5 2

x x

x x

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

* Sau khi ra bài tập giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và hướng dẫn học sinh giải Giáo viên cần ra dạng bài tập tương tự để học sinh giải Qua đó học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ năng giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.

0

; 0

B A khi B

AB

B A khi B

AB B

AB B

A

ĐS : Nghiệm phương trình là : x = -3.

Ngoài hai giải pháp đã nêu trên sau đây là một số phương pháp giải một dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.

1.2 PHƯƠNG PHÁP

1 2.1 PHƯƠNG PHÁP 1: Biến đổi tương đương:

Nội dung của phương pháp này là sử dụng các tính chất của lũy thừa và cácphép biến đổi tương đương của phương trình, bất phương trình nhằm đưa cácphương trình và bất phương ban đầu về phương trình và bất phương trình đã biếtcách giải

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x+ 1 = 3x+ 1

Hướng dẫn giải: Ta thấy VT luôn không âm, do đó nếu VP âm thì phương

trình vô nghiệm, nên ta chỉ cần giải phương trình khi 3x+ 1 ≥ 0

2

2

1 1

0 ; 3

0 ) ( )

( )

x g x f

x g x

g x

7

1 )

1 )(

2 1 ( ) 1 2 (

0 1 2 )

1 )(

2 1 ( 1

≥ +

x x

x x

x x

x

Đối chiếu đk (*) ta thấy x = 0 thỏa mãn Vậy nghiệm của pt đã cho là x = 0

Nhận xét: Ở phương trình trên ta chuyển 1 −x qua vế phải rồi mới bình phương Mục đích của việc làm này là tạo ra hai vế của phương trình luôn cùng dấu để sau khi bình phương ta thu được phương trình tương đương.

≥ +

) 1 ( 1 6

1 1

1 6

1 )

1 ( 1 6 2

0 1

x x

x x

x

x x

x x x pt

0 0

9 8 2

x

x x

* Lưu ý cho học sinh các điểm sau:

1) Bài toán trên còn có cách giải như sau:

* x = 0 là một nghiệm của phương trình.

* x≥ 1 ⇒ pt ⇔ x− 1 + x+ 2 = 2 x ⇔ 2 x2 +x− 2 = 2x− 1

8

9 1

4 4 8 4

2 2 2

2 2

1 − + − − = − ⇔ 2 + − = − + ⇔ =

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 0 và x =

8 9

2) Khi biến đổi như trên, chúng ta thường mắc sai lầm khi cho rằng

2 )(

1

(

3 2 2 1

3

3 3

−

⇔

x x

x

x x

Qua ví dụ trên, lưu ý cho học sinh các điểm sau:

a) Khi giải phương trình trên chúng ta thường biến đổi như sau:

! 0 ) 3 2 )(

2 )(

1 ( 3 2 ) 2 1

( 2 )(

1 (

3

3

2x− + 3 x− x− 3 x− + 3 x− = x− ⇔ 3 x− x− x− = .Phép biến đổi này không phải là phép biến đổi tương đương Vì ở đây chúng ta đã thừa nhận phương trình ban đầu có nghiệm Do đó để có được phép biến đổi tương đương thì ta phải đưa về hệ như trên Chẳng hạn ta xét pt sau:

3 1 −x+ 3 1 +x = − 1 ⇔ 2 + 3 3 1 −x2 ( 3 1 −x+ 3 1 +x) = − 1 ⇔ 3 1 −x2 = 1 ⇔ x= 0

Thay x = 0 vào phương trình ban đầu ta thấy x = 0 không thỏa mãn.

đẳng thức (a±b) 3 =a3 ±b3 ± 3ab(a±b), ta có phương trình tương đương với hệ:

3 3

3 3

3

c b a

b

a

c b

3 1

7

x x

x x

=

−

− +

0 2 3 1 4

0 2 3 1 4

x x

x

x x

Nhận xét: *Với phương trình (1) ta có thể giải như sau:

=

−

7

7 2

2

y x

x y

, trừ vế theo vế hai phương trình trên ta được: (y+x)(y−x− 1 ) = 0 Giải ra ta tìm được x.

* Dạng tổng quát của pt (1) là: x2 + x+a =a

*Với pt (2) ta còn có cách giải khác như sau:

2 2 3

) 2 ( 3 3 1 4

) 2 ( 4 5

2 2

2 3 3 1

x

x x

x x

x x

− +

+

− +

3 1

4

(

1 1 4 2

x x

x nên (*) vô nghiệm.

Qua ví dụ trên, cần lưu ý cho học sinh các điểm sau:

* Ở bài toán (2) ta thường không chú ý đến trường hợp 1, đây là sai lầm mà chúng ta thường gặp trong giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.

* Khi giải bất phương trình, nếu ta muốn nhân hoặc chia hai vế của bất phương trình cho một biểu thức thì ta phải xác định được dấu của biểu thức đó Nếu chưa xác định được dấu của biểu thức mà ta muốn nhân thì ta có thể chia làm hai trường hợp.

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình:

1 3

2x2 +mx− =x+ có hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải: 2

1 ( 2) 4 0(*)

x Pt

4 (

4 8

4 4

m m

m m x

Vậy m≤ 2 là những giá trị cần tìm

1 2 2 PHƯƠNG PHÁP 2: Đặt ẩn phụ:

a) Dạng 1: F(n f(x) = 0, với dạng này ta đặt: t =n f(x) (nếu n chẵn thì phải có điều kiện t≥ 0 )và chuyển về phương trình F(t) = 0, giải phương trình này ta tìm được t ⇒x. Trong dạng này ta thường gặp dạng bậc hai: af(x) +b f(x) +c= 0

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

.

2

109 3

0 25 3 5

3 5

0 10

Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm t∈ [ 0 ; 6 ], hay:

≤

5 6 5

5 6 5

6 5 0

6 5 0

m

m m

Ví dụ 3: Cho phương trình: 3 +x+ 6 −x =m+ ( 3 +x)( 6 −x)

a) Giải phương trình khi m= 3

b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

) 6

b) Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ ( 1 )có nghiệm t∈[3;3 2].

Xét hàm số: f(t) =t2 − 2t− 9 với t∈ [ 3 ; 3 2 ], ta thấy f (t)là hàm đồng biến

⇒ − 6 = f( 3 ) ≤ f(t) ≤ f( 3 2 ) = 9 − 6 2 , ∀t∈ [ 3 ; 3 2 ]

2

9 2 6 2 6 9 2 6 ] 2 3

; 3 [ ⇔ − ≤ − ≤ − ⇔ − ≤ ≤

Nếu hàm số xác định trên D và có tập giá trị là Y thì phương trình f(x) =k có nghiệm trên D ⇔k∈Y.

= +

9 126

441

7 1

2

x x

7 1

x f t

) (

) (

−

+

⇔

x x

x x

−

2

120

2 5

2 2

t

t t

3 5 4

1 1

1 2

x

t

Chú ý: Trong nhiều bài toán, ta có thể đưa vào những ẩn phụ khác để làm đơn giản hình thức bài toán và từ đó dễ dàng tìm được lời giải Chẳng hạn ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 6: Giải phương trình: x2 + 2x+ 2x− 1 = 3x2 + 4x+ 1