Một số dạng cơ bản và cách giải giới hạn dạng vô định 0/0 0 Khi giải các bài toán về giới hạn thì chắc chăn chủ yếu chúng ta luôn gặp dạng vô định.Giới hạn dạng 0 là một trong những dạng
Trang 1Một số dạng cơ bản và cách giải giới hạn dạng vô định 0/0
0 Khi giải các bài toán về giới hạn thì chắc chăn chủ yếu chúng ta luôn gặp dạng vô định.Giới hạn dạng 0
là một trong những dạng vô định đó Với tư liệu tham khảo là cuốn Hàm số của tác giả Trần Phương và trong quá trình học tập mình rút ra được một số kinh nghiệm khi giải giới hạn dạng này
DDang 1:
P(x)
x xp©Œ)với P@œ),Q0¿) đều là các đa thức sao cho Pạ) = Q(g) = 0
lim P(x) _ mn (x—xp)P1() — lưm Pị@œ) Pi(%)
x3 xạụQŒ) x3 xạŒx—xg)Q‡¡Œ) x3 xg9¡Œœ) — Q19 với O;G©zˆ 0
lo = (x-x9)Pq (2)
Néu Pio) = 210) = Sthi phan tích tiếp | 21) = G79) 2909)
Quá trình khử dạng vô định 0là quá trình khử các nhân tử chung œ—xo) sẽ dừng lại khi nhận được
S— lim P(x) Pox) — Pax) x> x OG) 9 x Pe Oy) Q,.6x) giới hạn xác định tức là Q,(x)Z 0 -—>
Vi du 1:
Tìm giới hạn:
2x3#—5x3+3x2+x—]1
= lim my 3x4#—8x3+6x2—1
Bài giải:
S— lm CC CUD@xi-3x2t) 2x9 3x21
` 1£—1)(3x3—5x2+x+1) xˆ5 S113x3— 5x24+x-+1
— lim (x—1)(2x2—x—]) lim (x—1)(2x+1) | lim 2x+1 3
ot 1ᣗ1)(3x2—2x—1)_ x5 io 1)(3x+1) — Si3x+1 4
IDDạng 2
¬
2 xin xgÐ) với to) = gŒ%o) = Ova f{x),ø(x) chứa căn thức đồng bậc
Phương pháp :Sử dụng các hăng đăng thức đề nhân liên hợp ở tử và mẫu nhăm trục các nhân tử œ—xg)
ra khỏi căn thức :
Vi du 2:
Tìm giới hạn:
Trang 23
1+x2-—1 Sa= lim ————
x> 0 *
Bài giải:
«> OCP] x? Woes”
Dang ITI)
1)
x xg8©9) với f(x) — g(x) — Ova (Ð chứa căn thức không bông bậc
Phương pháp giải:
S— lim 'Wu(x)—c)—(Jv(x)—c) — lưm " u@)—c lim W v(x)—c
Biến đổi * Xo g(x) x3 xụ 8Œ) x3 xụ BOD) - đến đây đã là dạng II
TÔI
Ví dụ 3:Tìm giới hạn:
3= 11 x2—3x2+2
Bài giải:
3
Ss.— lạ X†?-2-QWx13-2_\, Vx+7-2 eH
x3 l(x— 1)G— Dr rT + x> y 1G+ĐG+2[Vxt 3+3]
xe l(x— na: in 3 '1@x— 2)[Vx+3+2]
CHÚ Ý: Việc thêm bớt hăng số chỉ có tính tương đối bởi vì không phải bài toán giới hạn nào cũng ra
dưới dạng chính tăc nên chúng ta cân linh hoạt hơn trong khi giải bài tập giới hạn
Vi du 4:Tim giới hạn:
._ VI†2x—VI1+3x
Sq = lim S48 tex
x—> 0 x2
Trang 3Trong trường hợp này nếu ta thêm bớt 1 thì không ổn bởi vì chỉ khử được một lần x ( dudi mau la x2 mà)
nên ta sẽ thêm bớt một đại lượng f(x) sao cho f(xg)=f0)= Ì(Tổng quát là khi * —” *othi ta thêm
bot f(x) sao cho 0 0 0⁄ với u(x) và (v(x) như trên dang II)
Bài giải:
._ Vi+2x-(I+x) (I+x)—-ŸI+3x
S4= lim | x—> 0 x 2 + x 2 |
—
x—› 0VI†+2x+(†+x) x-› 0(1+x)2+(1+x)ŸI+3x+ (1+3x)? ;
Sau đây là một số bài tập áp dụng:
Tìm giới hạn:
i x3—2x2—4x+8
Bai l:x-> 2 x4—8x?2+16
(1+x)°—(+5x)
Bài2x 0 x2+x®
(x—-a)—nan—l(x—a)
1m
Bài 3X? 34 (x—a)?
._ (I+mx)"-(I+nx}"
_ him 5
Bài 4:x-> 0 x
Vi-+ax—1
N I1 ` > —-
Bai 5:x— 0
¥vx—b—va—b
và im
Bài 6:x-3 a x2—a2
lim Vitax— V1I+bx
Bai 7:x— 0 *
JI+-4x Yi 6x VI+8x 71+ 10x—1
Bai 8:x > 0 *
V3x—1-Ÿx2+1
Bai 9:x— 0 g1n%
on Ÿ27x3+1— VBIx42-+1
Bai 10:x > 0 4x—l