Tuyển chọn 50 đề thi HSG THPT QG có lời giải chi tiết đề 1 đề 10

Chứng minh rằng: đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định... * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan.. * Học

ĐỀ 01

ĐỀ 02

ĐỀ 03

ĐỀ 04

ĐỀ 05

ĐỀ 06

ĐỀ 07

ĐỀ 08

Trang 1/8 - 209

C 2017 – 2018 MÔN: TOÁN - THPT

Ngày thi: 06/12/2017 câu TNKQ, 05 câu t 8 trang

- Câu 1:

A 3sinxcos ln3x B 3sinxln 3

C 3sinx 1 D 3sinx 1cosx

a

C 3 3

.4

a

D 2 3

.3a

1

z i

iz

21

34

a

3312

a

Câu 18:

4 0

sin 3cos

ln 2sin cos

1, 2

V V1

1

3.4

C 2 39

.13

a

D 2 21

.7a

Trang 4/8 - 209

3log

x m 1;

xy

3

;12m

;

2 2m

Câu 41: Cho a sinx sin ,y b cosx cosy a2 b2 0

77

Trang 6/8 - 209

Câu 43:

Câu 44: Cho hì ABC.A’B’C’ có c nh bên b áy ABC là tam giác vuông t i A,

AB a, AC a 3 Hình chi u vuông góc c a A’ trên m t ph ng (ABC) là m c a BC

a

C a3 3 D

3 3.3a

3 22

xdx

f x dx là

2

Trang 8/8 - 209

bình hành

1

1 V

V Câu 4(1,0

a, b, c ab + bc + ca

Q

b c a

1 2 2 3 10 z i z i - -

ĐỀ 10

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC

DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019

b) Chứng minh rằng:

2018 2 1

4036

k k

Cho tam giác ABC nhọn AB ACcó H là trực tâm, nội tiếp đường tròn (O) BE CF ,

là các đường cao của tam giác ABC (EAC F, AB) Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt đường tròn (O) tại M

a) Gọi T là trung điểm của BC Chứng minh: GH  AT

b) Lấy điểm P nào đó trên tia BC (P nằm ngoài đoạn BC) Đường tròn (O) cắt

AP tại I và cắt đường tròn đường kính AP tại Q (I, Q đều khác A) AQ cắt BC tại J Chứng minh rằng: đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định

Câu 3 (5 điểm) Cho P x( )x n a n1x n1a n2x n2  a x1 a0 là đa thức với hệ số thực, n là số nguyên dương chẵn và có n nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt) Giả

sử y là số thực dương thỏa mãn với mọi số thực t y thì ( )P t  0

Chứng minh rằng: n P(0)n P y( ) y

Câu 4 (5 điểm) Cho 2018 số nguyên dương a a1, 2, ,a2018 và số nguyên a  sao cho 1

a chia hết cho a a1 .2 a2018 Chứng minh rằng: a2019a không chia hết cho 1

aa11aa21  aa2018 1

HẾT

ĐỀ BONUS

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC

DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019

Môn: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi thứ nhất: 21/08/2018

HƯỚNG DẪN CHẤM

(Đáp án, hướng dẫn này có 6 trang)

Yªu cÇu chung

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu

cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng

* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với

những bước giải sau có liên quan Ở câu hình, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,5 điểm Đối với điểm

thành phần lớn hơn 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,5 điểm

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức

điểm của từng bài

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài

Câu 1

Cho dãy số  u n thỏa mãn

1

* 1

4036

k k

điểm

Từ cách cho dãy số ta có:

*0,

suy ra dãy(u2n1) tăng và dãy(u2n) giảm

Theo tiêu chuẩn Weierstrass suy ra (u2n1),(u2n) là các dãy hội tụ

21

11

u u

k k

u



0,5

Câu 2 Cho tam giác ABC nhọn AB AC có H là trực tâm, nội tiếp

đường tròn (O) BE CF là các đường cao của tam giác ABC ,

(EAC F, AB) Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG

cắt (O) tại M

a) Gọi T là trung điểm của BC Chứng minh GH  AT

b) Lấy điểm P nào đó trên tia BC( P nằm ngoài đoạn BC)

Đường tròn (O) cắt AP tại I và cắt đường tròn đường kính AP tại Q ( I, Q đều khác A) AQ cắt BC tại J Chứng minh rằng:

đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định

5,0 điểm

2a

R T

O A

B

C

P

2,5 điểm

Ta có tứ giác BCEF nội tiếp nên GE GF GB GC GM GA. 0,5

Mặt khác GB GC GM GA.

Từ đó suy ra GE GF GM GA.

Do đó tứ giác AMFE nội tiếp

0,5

Hơn nữa ta có tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên M

nằm trên đường tròn đường kính AH hay MH MA

Do đó HR cắt BC tại trung điểm của BC hay M, H ,T thẳng hàng

Vậy H là trực tâm của tam giác AGT nên GH AT

0,5

điểm

Gọi K là giao điểm của IJ với (O) Ta chứng minh K cố định Thật vậy:

Gọi D là giao điểm của AH với BC, Gọi L là giao điểm của KD với (O)

( L khác K)

0,5

vì  0

90

Ta có QDJ QAP QAIQKIQK J

suy ra tứ giác DKQJ nội tiếp

Cho P x( )x na n1x n1a n2x n2 a x a1  0 là đa thức với hệ số thực,

n là số nguyên dương chẵn và có n nghiệm thực (không nhất thiết

phân biệt) Giả sử y là số thực dương thỏa mãn với mọi số thực

t y thì ( ) P t  Chứng minh rằng: 0 n P(0)n P y( )  y

5,0 điểm

Gọi x x1, 2, ,x n là n nghiệm của P x  Nếu tồn tại i1, 2, ,n sao cho

Dấu bằng xảy ra khi x1 x2  x n 0,5

Câu 4 Cho 2018 số nguyên dương a a1, 2, ,a2018 và số nguyên a > 1 sao cho a

chia hết cho a a1 .2 a2018 Chứng minh rằng 2019

1

hết cho aa11aa21  aa20181

5,0 điểm

Ta chứng minh bài toán trong trường hợp thay số 2018 bởi số n nguyên

a   a a a (vô lý) Bài toán được chứng minh

Xét trường hợp n = 2018, ta có điều phải chứng minh cho bài toán

1,0

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC

DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019

Môn: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi thứ hai: 22/08/2018

Câu 5: (6 điểm)

Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn hệ thức f x y(  ) f xy( ) f x( ) f y( ) f x f y( ) ( )với mọi số thực x,y

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC

DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019

Môn: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi thứ hai: 22/08/2018

HƯỚNG DẪN CHẤM

(Đáp án, hướng dẫn này có 5 trang)

yªu cÇu chung

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải

lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng

* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước

giải sau có liên quan Ở câu 2 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,5 điểm Đối với điểm thành

phần lớn hơn 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,5 điểm

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của

từng bài

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài

Thay x=0 vào (1) ta được f(y)22f(y)2 f(y)

hay f(y) f y( )

0,5

Trong (1) thay y bởi –y và kết hợp với f(y) f y( ) ta có

( ) f(xy) f(x) f(y) f(x) f(y) (2)

Cộng (1) và (3) theo vế, ta có f x(  y)f(x y) 2 f(x) với mọi x y  ,

(5)

0,5

Trong (5) thay x=y và kết hợp f(0)  0 ta được f(2 x)  2 f(x)

Đặt u   x y v ,   x yta có f(u)f(v)f(u v) với mọi u, v  

Hay f x(  y)f(x)f(y) với mọi x y  , (6)

Vậy f là hàm cộng tính trên 

0,5

Từ (4) và (6) suy ra f xy ( ) f(x) f(y) với mọi x y  , (7)

Vậy f là hàm nhân tính trên 

Thử lại ta thấy cả ba hàm số f x ( ) 0, f x ( ) 2 f x( ) x đều thỏa mãn 0,5

2 Cho tam ABC có M là trung điểm BC Gọi D E F, , lần lượt là tiếp điểm

của đường tròn ( )I nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC CA, và AB

Đường thẳng EF cắt các đường thẳng BI CI, và AM lần lượt tại X Y, và

Từ (1) và (2) suy ra  XEC XIC

Suy ra tứ giác IEXC nội tiếp mà IE BC suy ra  0

2b 4,5 điểm

Dựng đường thẳng d đi qua A song song với BC cắt EF tại K

Giả sử ID cắt d tại H và cắt EF tại N' ta chứng minh N' trùng N

0,5

Thật vậy:

Vì các điểm F, H,E cùng nhìn AI dưới một góc vuông nên tứ giác HFIE nội

tiếp

suy ra IHF FEI EFI IHE

Do đó HI là phân giác góc FHE

1,0

Hơn nửa HI HK nên (KN FE' )  1 (AK AN AF AE, ', , ) 1

Ta có d / /BC , M là trung điểm BC nên (AK AM AB AC  , , , ) 1 hay

(AK AN AF AE  , , , ) 1

Từ đó suy ra N trùng với N'

0,5

Gọi J là giao điểm của AI với BC

Từ tứ giác BCXY nội tiếp, suy ra NXY YXBYCB ICJ 0,5

90

NIX BID    IACICA JIC

Suy ra NIX JIC NX JB (*)

3 Cho số nguyên dương n  2 Điền các số 1, 2,3,  , n2 vào tất cả các ô

vuông của một bảng vuông kích thước n n  , mỗi số một ô vuông Chứng

minh rằng: tồn tại hai ô vuông kề nhau (có chung một cạnh) mà hiệu hai

số trong đó không nhỏ hơn n

7 điểm

Gọi k là số nguyên nhỏ nhất sao cho tồn tại một hàng hoặc một cột chỉ chứa

158137

514216

4 1011

1

Chẳng hạn trong hình vẽ trên, nếu xét theo hàng thì phần tử lớn nhất mỗi hàng

là 11,16,15,12, số bé nhất trong đó là 11 Nếu xét theo cột, các số lớn nhất là

11,16,14,15, số bé nhất trong đó là 11 So sánh hàng và cột đó, thấy hàng 1 là

hàng chứa các số 1,11,4,10, đều là các số thuộc tập {1, 2,  ,11}

Giả sử số k thuộc hàng r và cột c, các ô còn lại của hàng r đều thuộc tập

{1, 2,,k1}

Nhận xét: Mỗi cột trừ cột c đều chứa ít nhất một số  k 1 và không phải tất cả

các ô cùng cột đều  k 1 Suy ra cột thứ i tùy ý phải chứa một cặp ( , )a b i i kề



 nên tồn tại j b: ja jn Điều phải chứng minh

1,0

UBND TỈNH KONTUM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2018-2019

Vận dụng thấp

Vận dụng cao

Tổng cộng

Câu 2: Chứng minh hệ thức

lượng giác trong tam giác

Câu 3: Dãy số truy hồi với các

yêu cầu chứng minh hoặc tìm

UBND TỈNH KONTUM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2018-2019

Câu 4 (3,0 điểm) Có 20 cây giống trong đó có 2 cây xoài, 2 cây mít, 2 cây ổi, 2 cây bơ, 2 cây

bưởi và 10 loại cây khác 5 loại trên đồng thời đôi một khác loại nhau Hỏi có bao nhiêu cách

chọn ra 5 cây để trồng trong một khu vườn sao cho không có hai cây nào thuộc cùng một loại

Câu 5 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB AC) là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn  O ,

H là trực tâm tam giác Gọi J là trung điểm của BC Gọi D là diểm đối xứng với A qua O

1) (3,0 điểm) Gọi M N P, , lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên BC CH BH, ,

Chứng minh rằng tứ giác PJMN nội tiếp

2) (2,0 điểm) Cho biết  BAC 600, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh rằng

2AHI 3ABC

Câu 6 (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố a thỏa mãn 8a  cũng là số nguyên tố 2 1

Câu 7 (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện 3a22b2c2 6 Tìm giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2(a b c)abc

-HẾT -

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

UBND TỈNH KONTUM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2018-2019

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh

làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa ở phần điểm tương ứng

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Câu 5 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm

II ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM





 

 0,25

Cho tam giác ABC vuông tại A và a, 2

2

B B

2

B

  (vì  1 cosB1 ) 0,25

060

u n

Đặt v n u n1u n

Ta có  2 u n2 u n1 u n1 u n 2 v n1 v n 2 suy ra  v n lập thành một cấp số cộng có v1d  2 Vậy v n   2 (n 1).2  2n

Có 20 cây giống trong đó có 2 cây xoài, 2 cây mít, 2 cây ổi, 2 cây bơ, 2 cây bưởi và 10 loại cây khác 5 loại trên đồng thời đôi một khác loại nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 cây để trồng trong một khu vườn sao cho không có hai cây nào thuộc cùng một loại

2,0

Số cách chọn 5 cây bất kỳ trong 20 cây giống là C 205 0,5

Ta tính số cách chọn 5 cây sao cho có ít nhất hai cây cùng loại

+ Trường hợp 1 : Số cách chọn 4 cây thuộc 2 loại và 1 cây khác là

Cho tam giác ABC ( ABAC) là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn

 O , H là trực tâm tam giác Gọi J là trung điểm của BC Gọi D là

diểm đối xứng với A qua O

1) Gọi M N P lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên , , , ,

BC CH BH Chứng minh rằng tứ giác PJMN nội tiếp

3,0

N M

J D

N K

H I

C

O

B

A

Gọi L là giao điểm của AH với BC , K là giao điểm thứ hai của AH

với đường tròn ngoại tiếp  O của tam giác ABC

Kẻ đường thẳng đi qua I vuông góc với BC cắt BC và cắt cung nhỏ

BC lần lượt tại E và N

Ta có JL DK (vì cùng vuông góc với // AK ) mà J là trung điểm của

HD nên JL là đường trung bình của tam giác HDK , suy ra L là trung

điểm của HK Do đó K đối xứng với H qua đường thẳng BC suy ra

qua BC Suy ra HINK là hình thang cân

AHI  IHK AKN ABN ABI IBCCBN  ABC

suy ra 2AHI 3ABC Điều phải chứng minh

0,5

Tìm tất cả các số nguyên tố a thỏa mãn 8a  cũng là số nguyên tố 2 1 2,0

Vì a là số nguyên tố nên a  Ta xét các trường hợp2 0,25 Trường hợp 1: với a  khi đó 2 8a  2 1 33 chia hết cho 11

3a  2b c  và 6 P 6 ;

a b  c  thì 2 2 2

3a  2b c  và 6 P   6 Vậy Pmax  , 6 Pmin   6

0,5

-HẾT -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2018 - 2019

Môn: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 14/9/2018

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

7

n n n

n

a a a

a) Chứng minh rằng a là số nguyên, với mọi số nguyên dương n n

AC được điền cùng một số 0 hoặc 1 Chứng minh rằng với một cách điền số đối xứng

bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là a a1, 2,,a2018 ở hàng thứ nhất, b b1, 2,,b2018 ở hàng thứ hai sao cho

1 1 2 2 2018 2018

S a b a b  a b là một số chẵn

-HẾT - Họ và tên thí sinh: SBD:

 Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐỀ CHÍNH THỨC

 Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

II Đáp án-thang điểm

Bài 1 (5,0 điểm) Cho dãy số thực  a n n1 xác định bởi: a1 a2 1,a3  và 2

1 2 3

7

n n n

n

a a a

c) Chứng minh rằng a là số nguyên, với mọi n n nguyên dương

1,0

ĐỀ CHÍNH THỨC

hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là

Trong một nhóm 2018 người bất kì X X1; 2; ;X2018, luôn tồn tại hai người có số người

quen chung trong nhóm là số chẵn

Ta sẽ chứng minh bổ đề bằng phản chứng Giả sử hai người bất kì trong nhóm đều có

số người quen chung là lẻ

TH1 Tồn tại một người có số người quen là lẻ; giả sử là X Không mất tỉnh tổng quát, 1

giả sử X quen 1 X2;X3; ;X1k với k lẻ Áp dụng bổ đề bắt tay, trong một nhóm lẻ

người X2;X3; ;X1k luôn tồn tại một người có số người quen trong nhóm là chẵn, giả

sử là X Khi đó 2 X và 1 X có số người quen chung chẵn, mâu thuẫn Ta có đpcm 2

TH2 Tất cả mọi người đều có số người quen là chẵn Gọi A là tập người quen của

1;

X B là tập người X không quen Khi đó 1 A  B 2017 và A chẵn, B lẻ Sử dụng

giả thiết phản chứng, do mỗi bạn trong A có số người quen chung với X là lẻ, do đó 1

với X iA bất kì đều có lẻ người quen trong A và lẻ người quen trong B Lập luận

tương tự, X jB bất kì đều có lẻ người quen trong A và lẻ người quen trong B

3,0