Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên là Lời giải Chọn B.. Gọi là mặt phẳng chứa và song song với và là mặt phẳng chứa và song song với Ta có VTP
Trang 1Câu 44 [2H3-3.7-3] (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018)Trong không gian với hệ trục tọa
độ , phương trình mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng và tiếp
Lời giải Chọn A
Gọi là tâm mặt cầu Khi đó và ta có
Vậy mặt cầu có tâm và bán kính
Do đó mặt cầu có phương trình
Câu 46 [2H3-3.7-3] (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng chéo nhau , Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên là
Lời giải Chọn B
Cách 1: đi qua điểm có vectơ chỉ phương là
đi qua điểm có vectơ chỉ phương là
Gọi là mặt phẳng chứa và song song với và là mặt phẳng chứa và song song với
Ta có VTPT của và là
, mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng và là
Vì tiếp xúc với và nên bán kính mặt cầu loại C, D
Nhận thấy phương án B có tâm nên Chọn B
Cách 2: Đường thẳng có vtcp ; đường thẳng có vtcp
Trang 2Giả sử ,
là đoạn vuông góc chung của và khi
Mặt cầu cần tìm là mặt cầu đường kính nên có tâm , bán kính
Do đó Chọn B
Câu 32: [2H3-3.7-3] (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Trong không gian tọa độ
cho mặt cầu và đường thẳng là giao tuyến của hai mặt
hai điểm phân biệt thỏa mãn khi:
Lời giải Chọn B
Khi đó có tọa độ tâm bán kính
Gọi là điểm bất kỳ thuộc
Tọa độ thỏa mãn hệ:
đi qua điểm và có vectơ chỉ phương
Giả sử mặt cầu cắt tại hai điểm phân biệt sao cho Gọi là đường tròn
Vậy mặt cầu cắt tại hai điểm phân biệt sao cho
Trang 3
Câu 40 [2H3-3.7-3] [2H3-3] (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Trong không gian với hệ
cắt nhau theo một đường tròn nằm trong mặt phẳng Cho các điểm , , Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc và tiếp xúc với cả ba đường thẳng , , ?
A mặt cầu B mặt cầu C mặt cầu D mặt cầu.
Lời giải Chọn A
Mặt phẳng chứa đường tròn có phương trình là:
Mặt cầu tiếp xúc với cả ba đường thẳng , , sẽ giao với mặt phẳng theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng , , Trên mặt phẳng có
đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng , , đó là đường tròn nội tiếp tam giác
và ba đường tròn bàng tiếp các góc , , Do đó có mặt cầu có tâm nằm trên
và tiếp xúc với cả ba đường thẳng , , Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm
đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng , , lên mặt phẳng
Câu 40 [2H3-3.7-3] [2H3-3] (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Trong không gian với hệ
cắt nhau theo một đường tròn nằm trong mặt phẳng Cho các điểm , , Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc và tiếp xúc với cả ba đường thẳng , , ?
A mặt cầu B mặt cầu C mặt cầu D mặt cầu.
Lời giải Chọn A
Mặt phẳng chứa đường tròn có phương trình là:
Mặt cầu tiếp xúc với cả ba đường thẳng , , sẽ giao với mặt phẳng theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng , , Trên mặt phẳng có
đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng , , đó là đường tròn nội tiếp tam giác
và ba đường tròn bàng tiếp các góc , , Do đó có mặt cầu có tâm nằm trên
và tiếp xúc với cả ba đường thẳng , , Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm
đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng , , lên mặt phẳng
Câu 17 [2H3-3.7-3] (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Trong không gian
với hệ tọa độ , cho mặt cầu tâm và mặt phẳng
Trang 4Gọi là hình chiếu vuông góc của trên Điểm thuộc sao cho đoạn có độ dài lớn nhất Tìm tọa độ điểm
Lời giải Chọn C
Ta có tâm và bán kính Do nên mặt phẳng không cắt mặt cầu Do là hình chiếu của lên và lớn nhất nên là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu
Phương trình đường thẳng là
Vậy điểm cần tìm là
Câu 42 [2H3-3.7-3] (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian , gọi
là tâm mặt cầu đi qua điểm và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ
Lời giải
Vì mặt cầu tâm tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên
Nhận thấy chỉ có trường hợp thì phương trình có nghiệm, các trường hợp còn lại vô nghiệm
Thật vậy:
Với thì
Câu 42 [2H3-3.7-3] (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian , gọi
là tâm mặt cầu đi qua điểm và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ
Lời giải
Trang 5Vì mặt cầu tâm tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên
Nhận thấy chỉ có trường hợp thì phương trình có nghiệm, các trường hợp còn lại vô nghiệm
Thật vậy:
Với thì
Câu 30 [2H3-3.7-3] (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018)
Trong không gian , cho bốn điểm ; ; và
Hỏi có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với tất cả bốn mặt phẳng
Lời giải Chọn C
Ta có nên bốn điểm ; ; ; đồng phẳng Vậy có vô số mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 37 [2H3-3.7-3] (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Có
bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng và
Lời giải Chọn C
Phương trình tham số của đường thẳng
Gọi tâm
Vì mặt cầu đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng và nên ta có
(luôn đúng)
Do đó có vô số mặt cầu thỏa yêu cầu đề bài
Trang 6Câu 39 [2H3-3.7-3] (CHUYÊN KHTN-LẦN 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt
cầu Cho là số thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng và tiếp xúc với mặt cầu Tích tất cả các giá trị mà có thể nhận được bằng
Lời giải Chọn A
Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng
đi qua và có một véc tơ chỉ phương , ,
tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi
Câu 45: [2H3-3.7-3] (SỞ GD VÀ ĐT HA NAM-2018) Trong không gian với hệ tọa độ cho hai
mặt phẳng và Gọi là điểm thuộc mặt phẳng sao cho điểm đối xứng của qua mặt phẳng nằm trên trục hoành Tung độ của điểm bằng:
Lời giải Chọn A
Gọi là điểm đối xứng của qua mặt phẳng vì nên ta có
Phương trình đường thẳng qua và vuông góc với có dạng
Nên
Trang 7
Câu 47: [2H3-3.7-3] (Sở GD & ĐT Cần Thơ - Mã đề 323 - Năm 2017 - 2018) Trong không gian
, gọi là mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và đi qua điểm Biết điểm có hoành độ là số nguyên và cách đều hai mặt phẳng
, Phương trình của là
Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta có hệ:
Vì điểm có hoành độ là số nguyên, do đó
Vậy, phương trình mặt cầu cần lập là:
Câu 49 [2H3-3.7-3] (CHUYÊN LAM SƠN -LẦN 3-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ ,
Gọi là mặt phẳng chứa và ; là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Một đường thẳng thay đổi trên nhưng luôn đi qua đồng thời cắt
và lần lượt tại , Hai đường thẳng , cắt nhau tại điểm Biết điểm luôn thuộc một đường thẳng cố định có véctơ chỉ phương (tham khảo hình vẽ) Tính
Lời giải Chọn D
Trang 8Nhận xét rằng và
Gọi là mặt phẳng chứa và và là mặt phẳng chứa và
Ta có thuộc đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng và
Theo giả thiết, có một véctơ chỉ phương là
Mặt phẳng đi qua và có cặp véctơ chỉ phương là và
Phương trình của là
Mặt phẳng đi qua và có cặp véctơ chỉ phương là và
Câu 48: [2H3-3.7-3] Trong không gian , cho điểm và đường thẳng
Phương trình mặt cầu có tâm và cắt tại hai điểm , sao cho diện tích tam giác bằng là
Hướng dẫn giải Chọn D.
Đường thẳng đi qua điểm và có véc-tơ chỉ phương
Khoảng cách từ đến đường thẳng là
Diện tích tam giác bằng nên
Bán kính mặt cầu là
Phương trình mặt cầu cần lập là
Trang 9
Câu 15: [2H3-3.7-3] (CHUYÊN THÁI BÌNH - 2018 - LẦN 6) Trong không gian
, cho mặt cầu : và hai đường thẳng :
, : Viết phương trình tất cả các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu đồng thời song song với hai đường thẳng ,
Lời giải Chọn D.
Mặt phẳng song song với hai đường thẳng , nên có vectơ pháp
Mặt khác: tiếp xúc với mặt cầu tâm , bán kính nên:
Vậy có 2 mặt phẳng thoả yêu cầu bài toán là: : hoặc :
Câu 43 [2H3-3.7-3] (SỞ GD-ĐT BÌNH THUẬN-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho
trình mặt phẳng đi qua điểm song song với đường thẳng và tiếp xúc với mặt cầu là:
Lời giải Chọn D.
Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là ,
Thay vào (*) ta được:
Trang 10TH1: , chọn ; (thỏa).
Câu 48 [2H3-3.7-3] (SỞ GD-ĐT PHÚ THỌ-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , mặt cầu
tâm cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt , với chu vi tam giác bằng có phương trình
Lời giải Chọn A.
Gọi ( ) là bán kính của mặt cầu cần tìm
đi qua điểm và có một vectơ chỉ phương là
Gọi là hình chiếu của lên ta có
Từ đó ta có
Câu 42 [2H3-3.7-3] (SỞ GD-ĐT GIA LAI -2018) Trong không gian , cho mặt cầu
và hai điểm , Mặt phẳng chứa đường thẳng và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất Tính giá trị của biểu thức
Lời giải Chọn C
* Ta có: trong đó không đồng thời bằng Mặt cầu có tâm
và bán kính
Do mặt phẳng chứa đường thẳng nên ta có:
Trang 11* Bán kính đường tròn giao tuyến là trong đó
Để bán kính đường tròn nhỏ nhất điều kiện là
Coi hàm số là một phương trình ẩn ta được
,
mặt phẳng chứa trục và tiếp xúc với mặt cầu là
Lời giải
Mặt phẳng chứa trục nên là VTPT của
Phương trình mặt phẳng :
Mặt cầu có tâm ;
Do tiếp xúc với nên ta có:
Vậy không có mặt phẳng thỏa mãn
* Cách 2: (Bài này có thể làm theo cách sau gọn hơn)
Mặt cầu có tâm ;
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên trục thì
Do nên mặt cầu luôn cắt trục
Vậy không có mặt phẳng thỏa mãn
Câu 26: [2H3-3.7-3] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu
mặt phẳng vuông góc với , song song với giá của vectơ và tiếp xúc với Phương trình mặt phẳng là:
Trang 12Lời giải Chọn D.
có một vtpt là
Do song song với giá của vectơ và vuông góc với
Suy ra phương trình mặt phẳng có dạng :
Mặt khác mặt cầu có tâm và bán kính
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Câu 40: [2H3-3.7-3] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng
nhỏ nhất từ một điểm thuộc đến một điểm thuộc là
Lời giải Chọn D.
Do đó, khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc đến một điểm thuộc là
Câu 27 [2H3-3.7-3] (THPT NEWTON HÀ NỘI-2018) Trong không gian với hệ toạ độ , cho
hai mặt phẳng : ; : Giao tuyến của hai mặt phẳng , là một đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây?
Lời giải Chọn A
có vectơ pháp tuyến là
có vectơ pháp tuyến là
Ta có qua điểm và có vectơ chỉ phương là
Phương trình đường thẳng :
Trang 13Dễ thấy
Cách khác:
Giả sử giao tuyến của hai mặt phẳng , là một đường thẳng đi qua điểm
Khi đó:
Kiểm tra các điểm , , , Ta thấy chỉ có điểm cùng thuộc hai mặt phẳng ,
Vậy là điểm cần tìm
Câu 47 [2H3-3.7-3] (THPT NEWTON HÀ NỘI-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho
và tiếp xúc với tại Biết rằng luôn thuộc một đường tròn cố định Tìm bán kính
của đường tròn đó
Lời giải Chọn D
Xét mặt cầu bất kì đi qua , và tiếp xúc tại
PTTS của đường thẳng là:
Mặt khác , và cố định nên cố định
Suy ra thuộc đường tròn nằm trong mặt phẳng có tâm và bán kính
Trang 14Câu 43: [2H3-3.7-3] (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI-2018) Trong không
gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và hai điểm
, Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng trên mặt phẳng có độ dài bao nhiêu?
Lời giải Chọn B
Câu 36: [2H33.73] (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai Lần 1
-2018) Có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng
đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng
và
Lời giải Chọn C.
Phương trình tham số của đường thẳng
Gọi tâm
Vì mặt cầu đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng và nên ta có
(luôn đúng)
Câu 39: [2H3-3.7-3] (CHUYÊN KHTN -LẦN 1-2018) Trong không gian với hệ
Mặt cầu có một đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của và có phương trình là:
Trang 15C D
Lời giải Chọn C.
Vectơ chỉ phương của và lần lượt là ,
Gọi là đoạn vuông góc chung của và với ,
Vì là đoạn vuông góc chung của và nên:
Gọi là tâm mặt cầu có đường kính là Suy ra và
Câu 37: [2H3-3.7-3] (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH -LẦN 1-2018) Trong không gian , cho mặt
là đường thẳng nằm trong mặt phẳng , song song với đồng thời cách một khoảng bằng 3 Đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm Độ dài đoạn thẳng bằng
Lời giải Chọn A.
Ta có: và nên
đi qua và có 1 vectơ chỉ phương
Ta có:
Do đó
Trang 16Vậy
Câu 39: [2H3-3.7-3] (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG HÀ TĨNH-LẦN 1-2018) Cho là
các số thực thỏa mãn Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
Lời giải Chọn C
kính , thì thuộc mặt cầu có tâm
, bán kính Ta có và không cắt nhau và ở ngoài nhau
Vậy
Câu 43: [2H3-3.7-3] (THPT NĂNG KHIẾU TP HCM -2018) Trong không gian
Phương trình đường thẳng đi qua , song song với mặt phẳng
và vuông góc với đường thẳng là
Lời giải Chọn B.
có vectơ chỉ phương và đi qua nên có phương trình:
Trang 17
Câu 44: [2H3-3.7-3] (SGD Bắc Giang - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu
và điểm Ba mặt phẳng thay đổi đi qua và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó
Hướng dẫn giải Chọn B.
Nhận xét:
(P)
I
A
H
D E
Cho ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau tại , hạ lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng trên thì ta luôn có:
Chứng minh:
Chọn hệ trục tọa độ với , ba trục lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt
(đpcm)
Áp dụng:
Mặt cầu có tâm và có bán kính
Gọi và là tâm và bán kính của các đường tròn ( )
Ta có tổng diện tích các đường tròn là
Trang 18
Câu 14: [2H3-3.7-3] (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian
với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và mặt cầu
cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn Gọi là thể tích khối cầu , là thể tích khối nón có đỉnh là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng đi qua tâm mặt cầu và vuông góc với mặt phẳng , đáy là đường tròn Biết độ dài đường cao khối nón lớn hơn bán kính của khối cầu Tính tỉ số
Lời giải Chọn A.
Đài đường cao khối nón là
Câu 40: [2H3-3.7-3] (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian
là mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng , đi qua điểm và gốc tọa độ sao cho diện tích tam giác bằng Tính bán kính của mặt cầu
Lời giải Chọn A.
Gọi
Trang 19
Theo bài ra ta có
Câu 46 [2H3-3.7-3] (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Trong không gian , cho mặt cầu
và điểm Xét các điểm thuộc sao cho đường thẳng tiếp xúc với , luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là
Lời giải Chọn B.
Dễ thấy nằm ngoài mặt cầu Tâm mặt cầu là
Đường thẳng tiếp xúc với
Câu 35: [2H3-3.7-3] (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Trong không gian cho đường thẳng
và mặt phẳng Đường thẳng nằm trong đồng thời cắt và vuông góc với có phương trình là:
Lời giải Chọn A.
Ta có
Gọi
Trang 20Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng là
Đường thẳng nằm trong mặt phẳng đồng thời cắt và vuông góc với
Đường thẳng nhận làm véc tơ chỉ phương và
Phương trình đường thẳng
và mặt phẳng Đường thẳng nằm trong đồng thời cắt và vuông góc với có phương trình là
Lời giải Chọn D
Đường thẳng nằm trong đồng thời cắt và vuông góc với nên có véc-tơ chỉ phương
là VTCP của Tọa độ giao điểm của và là , khi đó đi qua Vậy phương trình là