Gọi mặt phẳng chứa và vuông góc với trục , cắt tại , cắt trụ theo giao tuyến là một đường tròn tâm song song với đáy.. Mặt khác thẳng hàng cùng nằm trên giao tuyến của mặt phẳng chứa ,
Trang 1Câu 50 [2H2-2.6-4] (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho mặt trụ
và một điểm cố định nằm bên ngoài Một đường thẳng thay đổi luôn đi qua
và luôn cắt tại hai điểm , ( , có thể trùng nhau) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng Tập hợp các điểm là
A Một phần mặt phẳng đi qua B Một phần mặt cầu đi qua
C Một phần mặt nón có đỉnh là D Một phần mặt trụ.
Lời giải Chọn D
Gọi mặt phẳng chứa và vuông góc với trục , cắt tại , cắt trụ theo giao tuyến là một đường tròn tâm song song với đáy Đường thẳng thay đổi đi qua và luôn cắt tại hai điểm , ( , có thể trùng nhau), là trung điểm của đoạn thẳng Gọi , , lần lượt là hình chiếu của , , xuống mặt phẳng Ta có , đều thuộc đường tròn ; , Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên cũng là trung điểm của khi đó Mặt khác
thẳng hàng (cùng nằm trên giao tuyến của mặt phẳng chứa , vuông góc với mặt phẳng ) nên tam giác luôn vuông tại hay thuộc đường tròn đường kính
Suy ra nằm trên một phần mặt trụ đường kính đáy bằng không đổi, có trục song song
và đi qua trung điểm của
Câu 47 [2H2-2.6-4] (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình nón có góc ở
đỉnh bằng độ dài đường sinh bằng Dãy hình cầu
thỏa mãn: tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón tiếp xúc ngoài với và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón tiếp xúc ngoài với và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón Tính tổng thể tích các khối cầu theo
Trang 2A B C D
Lời giải Chọn A
M2
M1 E
I1
H
S
I2
Gọi lần lượt là tâm của mặt cầu và
Gọi là trung điểm của Khi đó ta có đều và
Chứng minh tương tự ta có ,….,
Do đó dãy bán kính , ,…, , lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với và công bội
Suy ra dãy thể tích của các khối cầu , , …, ,… lập thành một cấp số nhân lùi vô
Trang 3Vậy tổng thể tích của các khối cầu là:
Câu 47 [2H2-2.6-4] (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình nón có góc ở
đỉnh bằng độ dài đường sinh bằng Dãy hình cầu
thỏa mãn: tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón tiếp xúc ngoài với và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón tiếp xúc ngoài với và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón Tính tổng thể tích các khối cầu theo
Lời giải Chọn A
M2
M1 E
I1
H
S
I2
Gọi lần lượt là tâm của mặt cầu và
Gọi là trung điểm của Khi đó ta có đều và
Trang 4
Chứng minh tương tự ta có ,….,
Do đó dãy bán kính , ,…, , lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với và công bội
Suy ra dãy thể tích của các khối cầu , , …, ,… lập thành một cấp số nhân lùi vô
Vậy tổng thể tích của các khối cầu là:
Câu 48: [2H2-2.6-4] (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Cho mặt cầu có
bán kính không đổi, hình nón bất kì nội tiếp mặt cầu Thể tích khối nón là
; và thể tích phần còn lại của khối cầu là Giá trị lớn nhất của bằng:
Lời giải Chọn D
I A
S
B H
Gọi , là tâm mặt cầu và đỉnh hình nón
Gọi là tâm đường tròn đáy của hình nón và là một đường kính của đáy.
Ta có Do đó để đạt GTLN thì đạt GTLN.
TH 1: Xét trường hợp
Khi đó thể tích của hình nón đạt GTLN khi Lúc đó
Trang 5Đặt Ta có
.
Dấu bằng xảy ra khi
Câu 46 [2H2-2.6-4] (CHUYÊN KHTN-LẦN 3-2018) Trong không gian cho hai đường thẳng chéo
nhau và , vuông góc với nhau và nhận làm đoạn vuông góc chung , Trên lấy điểm , trên lấy điểm sao cho , Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là
Lời giải Chọn A
suy ra
Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là trung điểm của
Gọi là trung điểm của suy ra do đó
Gọi là hình chiếu của lên , đối xứng với qua suy ra là hình chữ nhật
Xét tam giác vuông tại có là đường cao nên
Trang 6
Câu 37 [2H2-2.6-4] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN-LẦN 4-2018)Trong không gian tọa độ
cho , , Gọi , , là mặt cầu tâm lần lượt là
, , và có cùng bán kính là Xác định số tiếp diện chung của ba mặt cầu trên
Lời giải Chọn A.
Ta có nhận xét: Trong không gian, cho điểm và đường thẳng , khi đó có đúng hai mặt
phẳng chứa và cách một khoảng là nếu và không có mặt phẳng nào chứa và cách một khoảng là nếu
Xét mặt phẳng đi qua các điểm , , Ta có ; ; Gọi , , lần lượt là trung điểm của , ,
Mặt phẳng xác định như sau:
Đi qua , : Ta có nên có 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả 3 mặt cầu như nhận xét trên
Đi qua , : Ta có có 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả 3 mặt cầu như nhận xét trên
Đi qua , : Ta có nên không có mặt phẳng nào tiếp xúc với cả 3 mặt cầu như nhận xét trên
Hơn nữa , , có cùng bán kính nên có mặt phẳng tiếp xúc với chúng và song song với mặt phẳng
Vậy có tất cả tiếp diện chung của ba mặt cầu
Câu 48: [2H2-2.6-4] (CHUYÊN HẠ LONG-LẦN 2-2018) Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán
kính lần lượt là , , , (đơn vị độ dài) tiếp xúc ngoài với nhau Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc
Trang 7A B C D
Hướng dẫn giải Chọn D
Cách 1:
Gọi là tâm bốn mặt cầu, không mất tính tổng quát ta giả sử ,
Gọi lần lượt là trung điểm của Dễ dàng tính được Gọi là tâm mặt cầu nhỏ nhất với bán kính tiếp xúc với bốn mặt cầu trên Vì nên nằm trên đoạn
Cách 2
Gọi là tâm quả cầu bán kính bằng là tâm quả cầu bán kính bằng là tâm quả cầu bán kính
Mặt cầu tiếp xúc ngoài với mặt cầu tâm nên Gọi , lần lượt là các mặt phẳng trung trực đoạn và
Tứ diện có suy ra là đường vuông góc chung của và , suy ra (2)
Từ và suy ra
Trang 8Tam giác có
Câu 31: [2H2-2.6-4] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU-2018) Cho khối cầu tâm bán kính cm Mặt phẳng
cách một khoảng cắt khối cầu theo một hình tròn Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy
là hình tròn Biết khối nón có thể tích lớn nhất, giá trị của bằng
Lời giải
Chọn A.
Ta có bán kính đường tròn đáy của hình nón , chiều cao khối nón
Thể tích khối nón
Vậy khối nón có thể tích lớn nhất khi
đường tròn tâm và , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng Trên đường tròn đáy có tâm lấy điểm , trên đường tròn tâm lấy điểm Đặt là góc giữa và đáy Biết rằng thể tích khối tứ diện đạt giá trị lớn nhất Khẳng định nào sau đây đúng?
Lời giải Chọn B.
Trang 9A'
B'
O'
O
B
A
Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm
Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm
Gọi là bán kính của đường tròn tâm , suy ra: Ta có:
Suy ra: Gọi là trung điểm của
Ta có: đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi đạt giá trị lớn nhất
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có khi hay