D05 bài toán cực trị về khối nón, khối trụ muc do 3

Giá trị của để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là: Lời giải Chọn D.. Diện tích hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu để diện tích xung quanh của hình trụ là lớn nhất?. Để lớn nhất lớn nhất hìn

Câu 23: [2H2-1.5-3] (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1-2018) Một tấm kẽm hình vuông

có cạnh bằng Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh và cho đến khi và trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy

Giá trị của để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là:

Lời giải Chọn D.

Đường cao lăng trụ là không đổi Để thể tích lăng trụ lớn nhất chỉ cần diện tích đáy lớn nhất

Gọi là trung điểm cạnh trong tam giác

Khi đó

Bảng biến thiên:

Vậy thể tích lăng trụ lớn nhất khi

Cách khác (trắc nghiệm): Học sinh có thể thay giá trị của từng đáp án vào hàm số

để có kết quả

Câu 17 [2H2-1.5-3] (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Có tấm bìa hình tam

giác vuông cân có cạnh huyền bằng Người ta muốn cắt tấm bìa đó thành hình chữ nhật

rồi cuộn lại thành một hình trụ không đáy như hình vẽ

Diện tích hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu để diện tích xung quanh của hình trụ là lớn nhất?

Lời giải Chọn D

Do vuông cân tại và có cạnh huyền , suy ra

Gọi là trung điểm thì

Đặt

Ta có

Gọi là bán kính của hình trụ

Ta có chu vi của đáy hình trụ là và đường sinh của hình trụ là

Diện tích xung quanh của hình trụ là

Đẳng thức xảy ra khi Khi đó diện tích của hình chữ nhật là

Câu 38 [2H2-1.5-3] (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Một khối gỗ hình lập

phương có thể tích Một người thợ mộc muốn gọt giũa khối gỗ đó thành một khối trụ có thể tích Tính tỷ số lớn nhất ?

Lời giải Chọn C

Để lớn nhất lớn nhất hình trụ nội tiếp hình lập phương cạnh hình trụ có bán kính đáy là , chiều cao là Ta có thể tích khối lập phương là , thể tích khối trụ lớn nhất là tỷ số lớn nhất là

Câu 37 [2H2-1.5-3] (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm

2017-2018) Cho khối trụ có bán kính đáy và có chiều cao Hai đáy của khối trụ là hai

đường tròn có tâm lần lượt là và Trên đường tròn ta lấy điểm cố định Trên

đường tròn ta lấy điểm thay đổi Hỏi độ dài đoạn lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn A

Gọi là thiết diện đi qua trục của khối trụ.

Với mỗi điểm thay đổi trên đường tròn , gọi là đường sinh của trụ, thuộc đường tròn , khi đó:

(Dây cung luôn bé hơn hoặc bằng đường kính)

Vậy khi và chỉ khi hay trùng , trùng

Câu 45: [2H2-1.5-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018)

Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất ?

Lời giải Chọn D.

Bảng biến thiên

Suy ra diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi

Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất khi làm thùng phi thì ,

Câu 35: [2H2-1.5-3] (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Cho lăng

trụ đứng có chiều cao bằng không đổi, một đáy là tứ giác với , , , di động Gọi là giao của hai đường chéo và của tứ giác đó

Cho biết Tính giá trị nhỏ nhất bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho

Lời giải Chọn B.

Do lăng trụ nội tiếp mặt cầu nên gọi là đường tròn ngoại tiếp Khi đó (theo phương tích của đường tròn) Suy ra

Gọi là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ta có

đường tròn ngoại tiếp

Câu 11 [2H2-1.5-3] (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình nón

có đường cao và bán kính đáy bằng , gọi là điểm trên đoạn , đặt , là thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục tại , với hình nón Tìm để thể tích khối nón đỉnh đáy là lớn nhất

Lời giải Chọn D.

Ta có là bán kính đường tròn

Thể tích của khối nón đỉnh đáy là là:

Lập bảng biến thiên ta có

Từ bảng biến ta có thể tích khối nón đỉnh đáy là lớn nhất khi

bán kính đáy , chiều cao và một hình trụ nội tiếp hình nón (hình trụ có một đáy thuộc đáy hình nón và một đáy nằm trên mặt xung quanh của hình nón) Tính thể tích của hình trụ có diện tích xung quanh lớn nhất?

Lời giải Chọn A

Gọi độ dài bán kính hình trụ là , chiều cao của hình trụ là

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất khi

Câu 61 [2H2-1.5-3] (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018)

Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn

đó thành một hình cái phễu hình nón Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn rồi dán hai bán kính và lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể) Gọi là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Tìm để thể tích phễu lớn nhất?

Lời giải Chọn C.

Dựa vào hình vẽ, độ dài cung lớn bằng , bán kính hình nón

Đường cao của hình nón

Thể tích khối nón (phễu)

Dấu bằng xảy ra khi Vậy thể tích phễu lớn nhất khi

Câu 42 [2H2-1.5-3] (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho tam giác

vuông tại có với , lần lượt nằm trên cạnh , như hình vẽ bên dưới Đặt không đổi Khi quay hình vẽ quanh thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh có đáy là hình tròn tâm bán kính Tìm độ dài của theo để thể tích khối trụ là lớn nhất

Lời giải Chọn B

Khối trụ thu được có bán kính đáy bằng và chiều cao bằng

Thể tích khối trụ là

Câu 33 [2H2-1.5-3] (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Cho hình

trụ có tính chất: Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ

Lời giải Chọn A

Gọi , là bán kính đáy của hình trụ

Chiều cao của hình trụ là

Do đó khối trụ có thể tích lớn nhất bằng khi

loại cốc giấy hình nón có thể tích , với chiều cao và bán kính đáy Giá trị

để lượng giấy tiêu thụ ít nhất:

Lời giải Chọn B.

Lượng giấy tiêu thụ ít nhất diện tích xung quanh phải nhỏ nhất

nhỏ nhất

Vậy để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì .

Câu 10: [2H2-1.5-3] (TRẦN KỲ PHONG QUẢNG NAM-2018) Cho mặt nón

tròn xoay đỉnh đáy là đường tròn tâm có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng , là hai điểm bất kỳ trên Thể tích khối chóp

đạt giá trị lớn nhất bằng

Lời giải Chọn B

Do đó thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất khi

Câu 37: [2H2-1.5-3] (THPT YÊN ĐINH THANH HÓA-LẦN 1-2018) Cho hình chóp tứ giác đều

có các cạnh đều bằng Tính thể tích của khối nón có đỉnh và đường tròn đáy

là đường tròn nội tiếp tứ giác

Hướng dẫn giải Chọn D.

Ta có:

Gọi là bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác suy ra

.

Câu 33: [2H2-1.5-3] Cho hình nón đỉnh , đáy là hình tròn tâm , góc ở đỉnh

Trên đường tròn đáy lấy một điểm cố định và một điểm di động Gọi là diện tích của tam giác Có bao nhiêu vị trí của để đạt giá trị lớn nhất?

A. Vô số vị trí B. Hai vị trí C. Ba vị trí D. Một vị trí

Lời giải Chọn D.

Gọi là độ dài đường sinh của hình nón

Vì góc ở đỉnh bẳng nên Ta có bán kính đường tròn đáy là

Vì hình nón đã cho có góc ở đỉnh là nên

Diện tích lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất

Tam giác vuông cân tại Khi đó Mà cố định nên nằm trên đường tròn

Mặt khác nằm trên đường tròn đáy nên là giao điểm của

đường tròn và đường tròn đáy Dễ thấy hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Vậy có hai vị trí điểm

Câu 27: [2H2-1.5-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng - Lần 1 - 2018)

Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc dày , thành xung quanh cốc dày và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là thì người ta cần ít nhất bao nhiêu thủy tinh ?

Lời giải Chọn A.

Gọi bán kính và chiều cao hình trụ bên trong lần lượt là , ta có:

Vậy thể tích thủy tinh người ta cần ít nhất là

Câu 45: [2H2-1.5-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng - Lần 1 - 2018)

Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất ?

Lời giải Chọn D.

Diện tích toàn phần của thùng phi là:

.

Bảng biến thiên

Suy ra diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi

Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất khi làm thùng phi thì

Câu 37: [2H2-1.5-3] (THPT YÊN ĐỊNH THANH HÓA -LẦN 1-2018) Cho hình nón có chiều cao

Tính chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo

Hướng dẫn giải Chọn B.

-+

Theo định lí Ta-Let ta có: ,

Câu 50: [2H2-1.5-3] (THPT YÊN ĐỊNH THANH HÓA -LẦN 1-2018) Cho hình cầu tâm , bán

kính không đổi Một hình trụ có chiều cao và bán kính đáy thay đổi nội tiếp hình cầu.

Tính chiều cao theo sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất

Hướng dẫn giải Chọn A.

Ta có

Mà diện tích xung quanh hình trụ là

Xét hàm số , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

-HẾT -Câu 50: [2H2-1.5-3] (SỞ GD-ĐT HÀ NỘI -2018) Cho khối cầu tâm , bán kính không đổi

Một khối trụ thay đổi có chiều cao và bán kính đáy nội tiếp khối cầu Tính chiều cao theo sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Bảng biến thiên:

Vậy thể tích khối trụ lớn nhất khi