Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là.. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp t
Trang 1Câu 32: [2H2-1.2-3] (TOAN HỌC TUỔI TRẺ 484-10/2017) Cho hình lăng trụ tam giác đều
có các cạnh đều bằng Tính diện tích của mặt cầu đi qua đỉnh của hình lăng trụ đó
Lời giải
Chọn C.
Gọi mặt cầu đi qua 6 đỉnh của lăng trụ là tâm , bán kính
lượt là tâm của và tâm của
Câu 44: [2H2-1.2-3] (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1-2018) Cho hình nón tròn xoay có chiều
cao , bán kính đáy Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là Tính diện tích của thiết diện đó
Lời giải Chọn A
Trang 2Theo bài ra ta có (Hình vẽ).
Lại có
Câu 44: [2H2-1.2-3] (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho hình hộp chữ
có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật và
Lời giải Chọn A
Bán kính đường tròn đáy
Đưường sinh của hình trụ
Vậy của hình trụ là
Câu 33 [2H2-1.2-3] (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho tứ diện đều có cạnh
bằng Tính diện tích xung quanh của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện
Lời giải Chọn A.
Trang 3Tam giác đều cạnh có diện tích:
Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều cạnh là
Câu 20: [2H2-1.2-3] (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đều
, biết góc giữa hai mặt phẳng và bằng , diện tích tam giác bằng Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ
Lời giải Chọn C.
Trang 4C'
B'
O
M
B A'
Gọi là trung điểm Khi đó ta có ,
Câu 29: [2H2-1.2-3] (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018)Cho nửa hình tròn tâm ,
đường kính Người ta ghép hai bán kính , lại tạo thành mặt xung quanh của hình nón Tính góc ở đỉnh của hình nón đó
Lời giải Chọn C.
B I
O
A
Gọi , lần lượt là bán kính của nửa hình tròn tâm và hình nón
Hình nón có đường sinh và chu vi đường tròn đáy bằng nửa chu vi hình tròn tâm
Gọi là tâm đường tròn đáy của hình nón
Do đó góc ở đỉnh của hình nón bằng
Trang 5Câu 43 [2H2-1.2-3] (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Diện tích toàn phần của hình
nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng và thiết diện qua trục là tam giác đều bằng:
Hướng dẫn giải Chọn D.
Giả sử thiết diện qua trục là tam giác đều và là khoảng cách từ tâm mặt đáy đến đường sinh
Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là
Câu 33: [2H2-1.2-3] (THPT Hoài Ân-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hình nón tròn xoay có chiều
cao , bán kính đáy Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cách tâm của đáy Tính diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mp
Lời giải Chọn D.
Ta có hình vẽ sau :
Trang 6O 12
25
20
H
M B
A S
Diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mp là:
Mặt khác ta có: là trung điểm của và
Câu 34: [2H2-1.2-3] (THPT Hoài Ân-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy
là tam giác vuông cân; ; mặt bên là tam giác vuông cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo thể tích của khối chóp
Lời giải Chọn A.
Trang 7B A
S
Vì mặt bên vuông cân tại và vuông góc với nên đường cao của hình chóp là với là trung điểm của
Mặt khác tam giác vuông cân tại nên
Câu 23 [2H2-1.2-3] (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho hình trụ có hai đáy là hai
hình tròn và , chiều cao và bán kính đáy Một mặt phẳng đi qua trung điểm của và tạo với một góc Hỏi cắt đường tròn đáy theo một dây cung
có độ dài bằng bao nhiêu?
Lời giải Chọn A
H
M O'
O A
D C
B K
Gọi là trung điểm của Gọi , là giao điểm của mặt phẳng và đường tròn
Trang 8Trong mặt phẳng kẻ , khi đó góc giữa và mặt phẳng
Do là trung điểm của nên
Câu 36 [2H2-1.2-3] (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Mặt tiền của một ngôi biệt thự có cây cột
hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao Trong số các cây đó có hai cây cột trước đại sảnh đường kính bằng , sau cây cột còn lại phân bổ đều hai bên đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột bằng một loại sơn giả đá, biết giá thuê là (kể cả vật liệu sơn và thi công) Hỏi người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy )
Lời giải Chọn A
Cột lớn dạng hình trụ có chiều cao , đáy là đường tròn có bán kính nên mỗi cột lớn có diện tích xung quanh là
Cột nhỏ dạng hình trụ có chiều cao , đáy là đường tròn có bán kính nên
mỗi cột lớn có diện tích xung quanh là
Diện tích cần sơn cho hai cột lớn và sáu cột nhỏ là
Câu 48 [2H2-1.2-3] (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho tam giác vuông tại ,
, , Khi quay tam giác vuông một vòng quanh cạnh , quanh cạnh , quanh cạnh , ta được các hình có diện tích toàn phần theo thứ tự bằng , , Khẳng định nào sau đây đúng?
Lời giải Chọn A
Trang 9b
B
A
Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ của tam giác, đặt
Ta có
Do nên hiển nhiên
Do nên hiển nhiên
Vậy
Câu 36 [2H2-1.2-3] (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình nón đỉnh ,
đường cao Gọi và là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ đến bằng và , Diện tích xung quanh của hình nón bằng
Lời giải Chọn D
Trang 10Câu 37 [2H2-1.2-3] (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho hình trụ có
chiều cao bằng Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song , mà , diện tích tứ giác bằng
Tính bán kính đáy của hình trụ
Lời giải Chọn C
Gọi , là tâm các đáy hình trụ (hình vẽ)
Vì nên đi qua trung điểm của đoạn và là hình chữ nhật
Gọi , lần lượt là hình chiếu của , trên mặt đáy chứa và
là hình chữ nhật có ,
Câu 24 [2H2-1.2-3] (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình trụ có
đáy là các đường tròn tâm và , bán kính bằng , chiều cao hình trụ bằng Các điểm , lần lượt nằm trên hai đường tròn và sao cho góc Tính diện tích toàn phần của tứ diện
Lời giải Chọn A
Trang 11Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng chứa đường tròn , khi đó
Gọi là là hình chiếu của trên Trong cả hai trường hợp, ta đề có , (Vẽ hình)
Gọi là diện tích toàn phần của tứ diện thì
Câu 38: [2H2-1.2-3] (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Hình nón có đỉnh ,
tâm đường tròn đáy là , góc ở đỉnh bằng Một mặt phẳng qua cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng Tính diện tích xung quanh của hình nón
Lời giải Chọn C.
Gọi là bán kính đường tròn đáy của hình nón thì đường sinh
Câu 31: [2H2-1.2-3] (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Một tấm đề can hình chữ
nhật được cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có đường kính
Người ta trải ra vòng để cắt chữ và in tranh cổ động, phần còn
Trang 12lại là một khối trụ có đường kính Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Lời giải Chọn A
Gọi là chiều dài đã trải ra và là chiều rộng của tấm đề can Khi đó ta có:
Cách 2: Chiều dài của phần trải ra là tổng chu vi của đường tròn có bán kính là một cấp số cộng có số hạng đầu bằng , công sai là
Câu 40: [2H2-1.2-3] (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hình trụ có
bán kính đáy bằng và chiều cao bằng Mặt phẳng song song với trục của hình trụ
và cách trục một khoảng bằng Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng
Lời giải Chọn B
Thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng là hình chữ nhật với
Quay hình thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành
Lời giải Chọn B.
Khi quay hình thang thì khối tròn xoay tạo thành là hình trụ khuyết gồm hai phần phần khối trụ và khối nón bên trong
Phần hình trụ có bán kính đường tròn đáy
Trang 13Phần hình nón có bán kính đáy
Câu 35: [2H2-1.2-3] (SỞ GD-ĐT BẮC GIANG -LẦN 1-2018) Cho hình nón đỉnh , đáy là hình tròn
tâm Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác có một góc bằng thiết diện qua đỉnh cắt mặt phẳng đáy theo dây cung và là một tam giác vuông Diện tích xung quanh của hình nón bằng
Hướng dẫn giải Chọn D.
O
S
B
A
Theo đề bài ta có tam giác vuông cân tại , nên
Mặt khác tam giác cân tại và có góc nên
Câu 33: [2H2-1.2-3] (SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC - 2018) Cắt khối nón có bán
kính đáy bằng và chiều cao bằng bởi một mặt phẳng song song và cách trục một khoảng bằng Diện tích thiết diện là
Lời giải Chọn C.
Khi cắt khối nón bởi một mặt phẳng song song với trục ta sẽ được thiết diện
là một Parabol
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Trang 14x y
I A
S
P
N O
M
Diện tích của thiết diện được tính theo công thức
Câu 50: [2H2-1.2-3] (CHUYÊN HẠ LONG- LẦN 3-2018) Cho khối trụ có chiều cao và hai
đáy là hai đường tròn tâm , với bán kính Gọi là trung điểm của và là một dây cung của đường tròn sao cho Tính diện tích thiết diện của khối trụ với mặt phẳng
Hướng dẫn giải Chọn A.
F
E
D
C y
B A
O'
O I
Gọi là góc tạo bởi thiết diện với mặt đáy Do đó
Đưa hệ trục tọa độ vào mặt phẳng đáy, gốc trùng với tâm , trục vuông góc với , trục song song với
Trang 15Do đó
bán kính đáy Gọi , lần lượt là tâm của hai đường tròn đáy Trên hai đường tròn đáy lần lượt lấy hai điểm , sao cho hai đường thẳng và chéo nhau và góc giữa hai đường thẳng với bằng Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng:
Lời giải Chọn C.
Giả sử , và là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng chứa
, với là trung điểm
Mặt khác
Câu 46: [2H2-1.2-3] (TH TUỔI TRẺ SỐ 6-2018) Cho tam giác vuông tại
Khi quay tam giác vuông một vòng quanh cạnh quanh cạnh quanh cạnh ta được các hình có diện tích toàn phần theo thứ tự bằng Khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 16Lời giải Chọn A.
a
b
B
A
Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ của tam giác, đặt
Ta có
Do nên hiển nhiên
Vậy
Câu 38: [2H2-1.2-3] (SỞ GD-ĐT QUẢNG NAM 2018) Hình nón có đỉnh ,
tâm đường tròn đáy là , góc ở đỉnh bằng Một mặt phẳng qua cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng Tính diện tích xung quanh của hình nón
Lời giải Chọn C.
Gọi là bán kính đường tròn đáy của hình nón thì đường sinh
Trang 17
Diện tích xung quanh của hình nón là
Câu 46: [2H2-1.2-3] (THTT số 6 - 2018) Cho tam giác vuông tại
Khi quay tam giác vuông một vòng quanh cạnh quanh cạnh quanh cạnh ta được các hình có diện tích toàn phần theo thứ tự bằng Khẳng định nào sau đây đúng?
Lời giải Chọn A.
a
b
B
A
Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ của tam giác, đặt
Ta có
Do nên hiển nhiên
Vậy