D06 phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số muc do 4

Tiếp tuyến của song song với đường thẳng nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình.. Gọi là hoành độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:... Tiếp tuyến đi qu

Câu 6 [2D1-5.6-4] (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số

có đồ thị Gọi , là hoành độ các điểm , trên mà tại đó tiếp tuyến của song song với đường thẳng Khi đó bằng

Lời giải Chọn C

Ta có Tiếp tuyến của song song với đường thẳng nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình

Phương trình trên có hai nghiệm , thỏa mãn

Câu 1 [2D1-5.6-4] (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm

2017-2018) Cho hàm số , có đồ thị với là tham số thực Gọi là điểm thuộc đồ thị có hoành độ bằng Tìm để tiếp tuyến với đồ thị tại cắt đường tròn tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất

Lời giải Chọn C

Đường tròn có tâm ,

Suy ra phương trình : Dễ thấy luôn đi qua điểm cố định

và điểm nằm trong đường tròn

Giả sử cắt tại , Thế thì ta có:

Khi đó đường có 1 vectơ chỉ phương ; nên ta có:

Câu 49: [2D1-5.6-4] (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó cắt trục tung và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt , sao cho tam giác cân là

Lời giải Chọn A.

Gọi là đồ thị hàm số

Ta có phương trình tiếp tuyến của tại là:

Ta thấy vuông tại nên theo giả thiết cân tại

Vì nên phương trình tương đương với

Câu 48: [2D1-5.6-4] (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Gọi

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ dương, đồng thời cắt hai tiệm cận của lần lượt tại và sao cho độ dài nhỏ nhất Khi đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu ?

Lời giải Chọn C.

Phương trình tiếp tuyến:

Ta có tiệm cận đứng: và tiệm cận ngang:

nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ:

nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ:

nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ:

nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ:

Câu 48: [2D1-5.6-4] (THPT Lương Văn Chánh Phú Yên năm 2017-2018)

Cho hàm số có đồ thị và điểm Biết rằng khoảng cách từ đến tiếp tuyến của tại là lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải Chọn D.

Phương trình tiếp tuyến của tại có dạng

Ta có

Do đó

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

Dấu “ ” xảy ra

Câu 49 [2D1-5.6-4] [2D1-4] (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hàm số

có đồ thị là là điểm trên có hoành độ Tiếp tuyến của tại cắt tại điểm khác , tiếp tuyến của tại cắt tại điểm khác , …, tiếp tuyến của tại cắt tại khác , gọi là tọa độ điểm Tìm để:

Lời giải Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của và tiếp tuyến là

Phương trình có một nghiệm kép và một nghiệm

Áp dụng định lí Viét cho phương trình bậc ba, ta có:

Suy ra: , , , …,

Ta có:

Câu 49 [2D1-5.6-4] [2D1-4] (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hàm số

có đồ thị là là điểm trên có hoành độ Tiếp tuyến của tại cắt tại điểm khác , tiếp tuyến của tại cắt tại điểm khác , …, tiếp tuyến của tại cắt tại khác , gọi là tọa độ điểm Tìm để:

Lời giải Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của và tiếp tuyến là

Phương trình có một nghiệm kép và một nghiệm

Áp dụng định lí Viét cho phương trình bậc ba, ta có:

Suy ra: , , , …,

Ta có:

Câu 40 [2D1-5.6-4] (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hàm số có

đồ thị và điểm Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của trong đoạn

để từ điểm kẻ được hai tiếp tuyến đến sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành?

Lời giải Chọn C

Đường thẳng đi qua điểm , hệ số góc có phương trình:

Để là tiếp tuyến của thì hệ phương trình có nghiệm

Thay (**) vào (*) ta được:

với

Do từ kẻ được hai tiếp tuyến đến nên phương trình có hai nghiệm phân biệt khác

Khi đó toạ độ hai tiếp điểm là và với , là nghiệm của

Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành khi

Kết hợp điều kiện suy ra nên trên đoạn số giá trị nguyên của

thỏa yêu cầu bài toán là

Câu 44 [2D1-5.6-4] (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hàm số

, ( , , , , , ) có đồ thị Đồ thị của hàm số như hình vẽ dưới đây Biết cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng Tiếp tuyến của tại giao điểm của với trục hoành có phương trình là

Lời giải Chọn C

Ta có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng nên

Từ đồ thị nhận đường thẳng làm tiệm cận đứng nên

Mặt khác ta lại có đồ thị đi qua điểm nên

Đồ thị cắt trục tại điểm và

Vậy phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của và trục là

Câu 49 [2D1-5.6-4] (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho đồ thị

Có bao nhiêu số nguyên để có đúng một tiếp tuyến của đi qua điểm ?

Lời giải Chọn C

Gọi là hoành độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:

Tiếp tuyến đi qua điểm khi và chỉ khi:

Ta có bảng biến thiên:

Để có đúng một tiếp tuyến của đi qua điểm điều kiện là phương trình có đúng một nghiệm Từ bảng biến thiên, ta có điều kiện của là

Do đó, các số nguyên để có đúng một tiếp tuyến của đi qua điểm là

Hay có giá trị nguyên của

Chú ý: Ta có thể sử dụng điều kiện tiếp xúc để giải bài này như sau:

Gọi tiếp tuyến có hệ số góc Phương trình tiếp tuyến là

Điều kiện tiếp xúc: Từ đây lập luận như trên ta cũng được kết quả

Câu 36 [2D1-5.6-4] (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Gọi

là tập hợp các điểm thuộc đường thẳng mà qua mỗi điểm thuộc đều kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau Tính tổng hoành độ của tất cả các điểm thuộc

Lời giải Chọn D

Gọi điểm Đường thẳng đi qua có dạng

Điều kiện tiếp xúc:

Để tiếp tuyến vuông góc nhau

Vậy tổng hai hoành độ là

Câu 48 [2D1-5.6-4] (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017

– 2018) Cho hàm số có đồ thị Hỏi trên trục có bao nhiêu điểm mà qua có thể kẻ đến đúng ba tiếp tuyến?

Lời giải Chọn C

Nhận xét: hàm số đã cho là hàm số chẵn và có đạo hàm trên Việc chứng minh hàm số có đạo hàm trên , ta chỉ cần chứng minh hàm số có đạo hàm tại

Thật vậy, ta có

Nên hàm số có đạo hàm tại và

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua Do

đó từ điểm trên trục nếu kẻ được một tiếp tuyến đến thì ảnh của qua phép đối xứng trục cũng là một tiếp tuyến của

Vậy để qua điểm trên trục có thể kẻ đến đúng ba tiếp tuyến thì điều kiện cần và đủ là có một tiếp tuyến vuông góc với trục tung và một tiếp tuyến với nhánh phải của đồ thị , tức là phần đồ thị của hàm số

, với

Gọi thuộc và là tiếp tuyến qua có hệ số góc Ta

Điều kiện tiếp xúc là:

Suy ra:

Yêu cầu đề bài tương đương phương trình có đúng một nghiệm và một nghiệm

Phương trình có nghiệm nên

Thử lại, với thì trở thành: (đúng)

Vậy

Câu 46: [2D1-5.6-4] (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 –

2018) Cho các hàm số , , Hệ số góc của các tiếp tuyến của các

đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng nhau và khác Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải Chọn A

Vậy , dấu xảy ra khi

Câu 43: [2D1-5.6-4] (SỞ GD VÀ ĐT HA NAM-2018) Cho hàm số có đồ thị là

và điểm Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của để qua kẻ được đúng tiếp tuyến đến đồ thị Tổng giá trị tất cả các phần tử của bằng

Lời giải Chọn B.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đi qua và có hệ số góc là:

Để qua kẻ được đúng tiếp tuyến đến đồ thị điều kiện là hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

Thay vào ta được

Như vậy, hệ có đúng hai nghiêm khi và chỉ khi phương trình có một nghiệm bằng

và một nghiệm khác ; hoặc phương trình có nghiệm duy nhất khác

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Khi đó, phương trình trở thành

;

Do đó thỏa mãn

Phương trình có nghiệm duy nhất khác điều kiện là

Như vậy

Tổng giá trị tất cả các phần tử của là

Câu 46: [2D1-5.6-4] (CHUYÊN THÁI NGUYÊN -2018) Cho đồ thị

Gọi là điểm nằm trên trục tung mà từ đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị Biết tập hợp các giá trị của là nửa khoảng Giá trị của bằng

Lời giải Chọn C.

- Ta có:

- Gọi là đường thẳng đi qua và có hệ số góc là

- Đường thẳng là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

Hệ phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi có nghiệm

- Xét hàm số: trên ,

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy: phương trình có nghiệm hay

Vậy

trên , thỏa mãn Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm có hoành độ bằng là:

Lời giải Chọn D.

Từ (*), cho và ta được

Lấy đạo hàm hai vế của (*) ta được , cho và ta được

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là

Câu 43: [2D15.64] (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai Lần 1

-2018) Cho hàm số có đồ thị Hỏi trên trục có bao nhiêu điểm mà qua có thể kẻ đến đúng ba tiếp tuyến?

Lời giải Chọn C.

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua Do

đó từ điểm trên trục nếu kẻ được một tiếp tuyến đến thì ảnh của qua phép đối xứng trục cũng là một tiếp tuyến của

Vậy để qua điểm trên trục có thể kẻ đến đúng ba tiếp tuyến thì điều kiện cần là có một tiếp tuyến của qua mà tiếp tuyến này vuông góc với , tức là tiếp tuyến này có hệ số góc bằng

Ta có

Từ đó ta thấy có hai tiếp tuyến có hệ số góc bằng là và

cắt tại , cắt tại

* Ta viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ đến nhánh bên phải của

Vậy từ kẻ được hai tiếp tuyến đến nhánh bên phải của , trong đó có một tiếp tuyến vuông góc với và một tiếp tuyến không vuông góc với Suy ra từ kẻ được tiếp tuyến đến

* Ta viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ đến nhánh bên phải của

Vậy từ kẻ được một tiếp tuyến duy nhất đến nhánh bên phải của mà tiếp tuyến này vuông góc với Suy ra từ kẻ được một tiếp tuyến duy nhất đến

* Vậy là điểm duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán Do đó đáp án

điểm Điểm , sao cho tiếp tuyến tại của vuông góc với đường thẳng Giá trị của bằng

Lời giải Chọn D.

Phương trình tiếp tuyến tại có dạng:

Vậy vec tơ chỉ phương của đường thẳng tiếp tuyến là:

Mặt khác ta có:

Để tiếp tuyến tại của vuông góc với đường thẳng thì:

Với và

Câu 48: [2D1-5.6-4] (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH -LẦN 1-2018) Cho đồ thị Có bao

nhiêu số nguyên để có đúng một tiếp tuyến của đi qua điểm ?

Lời giải Chọn C.

Gọi là hoành độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:

Tiếp tuyến đi qua điểm khi và chỉ khi:

Ta có bảng biến thiên:

Để có đúng một tiếp tuyến của đi qua điểm điều kiện là phương trình có đúng một nghiệm Từ bảng biến thiên, ta có điều kiện của là

Do đó, các số nguyên để có đúng một tiếp tuyến của đi qua điểm là

Hay có giá trị nguyên của

Câu 39: [2D1-5.6-4] (SỞ GD-ĐT HÀ NỘI -2018) Cho hàm số có đồ thị Hỏi có

bao nhiêu điểm trên đường thẳng sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với

A điểm B điểm C điểm D điểm

Hướng dẫn giải Chọn A.

Gọi là hoành độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến có dạng

Gọi là điểm nằm trên đường thẳng

Tiếp tuyến đi qua điểm khi và chỉ khi

Thanh Tâm

Yêu cầu đề bài có hai nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng hoặc có nghiệm

Vậy có điểm thỏa đề bài

có tung độ là số nguyên nhỏ nhất mà qua đó có thể kẻ tới đồ thị của hàm số

đúng ba tiếp tuyến phân biệt

Lời giải Chọn A.

Tập xác định: Ta có:

Gọi là điểm cần tìm Do hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc đồ thị hàm số nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số sẽ luôn tồn tại hệ số góc

Phương trình tiếp tuyến của đi qua với hệ số góc là Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với tại điểm có hoành độ là Khi đó là nghiệm của hệ

Ta tìm để cho hệ phương trình trên có đúng nghiệm Điều này tương đương với phương

phân biệt

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt khi và chỉ khi

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của thỏa mãn yêu cầu bài toán là Vậy

Câu 48: [2D1-5.6-4] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018) Gọi là tiếp

tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ dương, đồng thời cắt hai tiệm cận của lần lượt tại và sao cho độ dài nhỏ nhất Khi đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu ?

Lời giải Chọn C.

; gọi điểm Phương trình tiếp tuyến:

Ta có tiệm cận đứng: và tiệm cận ngang:

nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ:

nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ:

nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ:

nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ:

Câu 37: [2D1-5.6-4] (THPT Phan Chu Trinh - Đaklak - L2 - 2018) Cho hàm

số có đồ thị và điểm sao cho từ vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị , trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau Khi đó khẳng định nào sau đây đúng

Lời giải Chọn C.

Gọi thuộc đồ thị hàm số

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là:

Khi ta có phương trình tiếp tuyến

Đối với đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nào vuông góc với nên yêu cầu bài toán tương đương phương trình có hai nghiệm và khác thỏa

Thay vào thử lại có 2 nghiệm phân biệt khác