BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG

S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến  C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hoành... Đường thẳng có phương trình yax b là tiếp

Lời giải Chọn D

Ta có: y 3x22mxm Gọi M x y 0; 0   C suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của

y  x mx mx có đồ thị  C Có bao nhiêu giá trị của m để tiếp tuyến có

hệ số góc lớn nhất của  C đi qua gốc tọa độ O?

Lời giải Chọn B

Ta có y  3x22mxm

2 23

m m

Câu 3: [1D5-2-3] (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Tìm tất cả các

giá trị thực của tham số m để đường thẳng y  2x m cắt đồ thị  H của hàm số

2

x y

Lời giải Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm 2 3 2

x x

Đường thẳng d y:   2x m cắt ( )H tại hai điểm phân biệt

 có 2 nghiệm phân biệt khác    

3 22

Lời giải Chọn D

Gọi M1x f x1;  1 ; M2x2;f x 2  với là hai tiếp điểm mà tại đó tiếp tuyến có cùng

OB k

S  Pnên hai cặp x1, x2  1 giá trị k

Với

1 2

1 2

420182017

S  Pnên hai cặp x1, x2  1 giá trị k

KL: Có 2 giá trị k

Câu 5: [1D5-2-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hàm số 2

1

x y x





  C và điểm A0;m S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến  C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hoành Tập S là

3; \ 12

Ta có

 2

31

y x

x

x k x

Thay

 2

31

k x





 vào

21

x

kx m x

Để kẻ được 2 tiếp tuyến thì 1 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 1

m m



23

m

  

Vậy

231

m m

Câu 6: [1D5-2-3] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho hàm số y  x3 4x21 có đồ thị là

 C và điểm M m ;1 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để qua M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị  C Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C đi qua M m ;1 và có hệ số góc k là:

Như vậy, hệ  I có đúng hai nghiêm khi và chỉ khi phương trình  3 có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm khác 0; hoặc phương trình  3 có nghiệm duy nhất khác 0

Phương trình  3 có nghiệm x0 khi và chỉ khi m0 Khi đó, phương trình  3trở thành

y x

 

 nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M là

 2  

11

a

a a



Tiếp tuyến giao với tiệm cận ngang tại điểm B2a1;1

Giao của hai đường tiệm cận là I1;1

Khi đó tam giác IAB vuông tại I và 8

1

IA a

Câu 8: [1D5-2-3] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Gọi M , N là hai điểm di

động trên đồ thị  C của hàm số y  x3 3x2 x 4 sao cho tiếp tuyến của  C

tại M và N luôn song song với nhau Khi đó đường thẳng MN luôn đi qua điểm

cố định nào dưới đây?

A 1;5 B 1; 5  C  1; 5 D

 1;5

Lời giải Chọn D

* Gọi tọa độ điểm M , N lần lượt là M x y 1; 1, N x y 2; 2

* Hệ số góc tiếp tuyến của  C tại M và N lần lượt là:

Câu 9: [1D5-2-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho hàm số

11

x y

Ta có

 2

21

t

t t

t

a t

t t

k t

k t

Câu 10: [1D5-2-3] (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Cho hàm số 2

x y x





 có đồ thị là đường cong  C Đường thẳng có phương trình yax b là tiếp tuyến của

 C cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân tại O, với O là gốc tọa độ Khi đó tổng S a b bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn D

Lại có tiếp tuyến cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho tam giác OAB

là tam giác vuông cân tại O suy ra  1  

30

a b

Câu 11: [1D5-2-3] Điểm M trên đồ thị hàm số yx3 – 3 –1x2 mà tiếp tuyến tại đó có hệ

số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là :

A M1; –3, k –3 B M 1;3 , k –3 C M1; –3, k3 D

 1; –3

Lời giải Chọn A

Câu 12: [1D5-2-3] Điểm M trên đồ thị hàm số yx3 – 3 –1x2 mà tiếp tuyến tại đó có hệ

số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là :

A M1; –3, k –3 B M 1;3 , k –3 C M1; –3, k3 D

 1; –3

Lời giải

b

Lời giải Chọn B

a b y

Lời giải Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số   2 2

 2

 cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt  phương trình

 * có hai nghiệm phân biệt khác m 2

Vậy hệ số góc của hai tiếp tuyến với  C tại hai giao điểm với trục hoành là

1 1

1

2x 2m k

2x 2m k

Gọi M x y 0; 0 là tọa độ tiếp điểm Ta có

2 2

2

y x

22

2

y x

 

2

0 0

2 0

32

0

32

52

24

22

x

x x

Vì tiếp tuyến đi qua điểm –6;5 nên ta có 

 2 0 0

0 0

24

22

x x x x

7

11

x

x x

7

11

x x x x

x

Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: y–28x59

Câu 20: [1D5-2-3] Cho hàm số yx4x21 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C),

biết tiếp tuyến đi qua điểm M1;3

Ta có: y'4x32x Gọi M x y 0; 0 là tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến có dạng:

Phương trình tiếp tuyến: y  6x 3

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp

tuyến đi qua điểm A(4;3)

Gọi M x y( ;0 0) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

Vì tiếp tuyến đi qua A(4;3) nên ta có:   0

0 2

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp

tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân

Gọi M x y( ;0 0) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác y x, do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 hay y x'( )0  1 Mà y'0,  x 1 nên ta có

0'( )  1

x  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết

tiếp tuyến cắt Ox , Oylần lượt tạiA, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1

0 0 0

0 0 0

21

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp

tuyến đi qua A7;5

Câu 25: [1D5-2-3] Cho hàm số yx48x2 m 1 (C m) Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị

(Cm) tại điểm có hoành độ x0 1 luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt Tìm tọa

x (Cm) Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm

có hoành độ x0 0 đi qua A(4;3)

 

m

Lời giải Chọn A

Vì x0  0 y0   m 1, '(y x0)  m 3 Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ x 0 là:y  ( m 3)x m 1

Tiếp tuyến đi qua A khi và chỉ khi: 3 ( 3)4 1 16

x (Cm) Tìm m để tiếp tuyến của (Cm)

tại điểm có hoành độ x0 2 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 25

2

A.

232;

9287;

9287;

9287;

9287;

Ta có x0  2 y0  m 5, '(y x0)  m 3 Phương trình tiếp tuyến  của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 2 là: y  ( m 3)(x     2) m 5 ( m 3)x3m11

2 2

232;

Câu 28: [1D5-2-3] Giả sử tiếp tuyến của ba đồ thị ( ), ( ), ( )

( )

y f x y g x y

g x tại điểm của

hoành độ x0 bằng nhau Khẳng định nào sau đây là đúng nhất

4



f

Lời giải Chọn B

Theo giả thiết ta có: '(0) '(0) '(0) (0)2 '(0) (0)

 

y x

Lời giải Chọn D

Gọi M x y x 0;  0  , x0  1 là tọa độ tiếp điểm của d và  C

2

11

Vì d cách đều A, B nên d đi qua trung điểm I1;1 của AB hoặc cùng phương với AB

TH1: d đi qua trung điểm I1;1, thì ta luôn có:

 2 0

0 0

11



x

, phương trình này có nghiệm x0 1

Với x0 1ta có phương trình tiếp tuyến d : 1 5

Với x0  2ta có phương trình tiếp tuyến d : y x 5

Với x0 0ta có phương trình tiếp tuyến d : y x 1

Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: 1 5

Gọi N x y 0; 0   C Phương trình tiếp tuyến  d của A tại N là:

sẽ song song với đường thẳng x y 100



m

Lời giải Chọn A

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm phương trình:

4'



m y

x m

2 2

4'

Tiếp tuyến song song với

* a1 giao điểm là A 1;0 , tiếp tuyến là y8x8

* a 1giao điểm làA1; 0, tiếp tuyến là y  8x 8

Câu 34: [1D5-2-3] Tìm m để đồ thị yx33mx2 có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d :

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có vectơ pháp tuyếnn1k; 1  , d

có vec tơ pháp tuyến n2  1;1

m m

Dễ thấy, A, B là 2 điểm thuộc đồ thị với  m

Tiếp tuyến d1 tại A: 4m4x y 4m 4 0

Tiếp tuyến d2 tại B: 4m4x y 4m 4 0

x có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

thị (C) biếp tuyến có hệ số góc bằng 1

A y  x 2, y  x 7 B y  x 5, y  x 6

C y  x 1, y  x 4 D. y  x 1, y  x 7

Lời giải Chọn D

Hàm số đã cho xác định với  x 1 Ta có:

 2

4'

Gọi M x y 0; 0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C :

 2 0 0

0 0

4

11

x có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

thị (C) biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân

A y  x 1, y  x 6 B y  x 2 y  x 7

C y  x 1, y  x 5 D. y  x 1, y  x 7

Lời giải Chọn D

Hàm số đã cho xác định với  x 1 Ta có:

 2

4'

Gọi M x y 0; 0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C :

 2 0 0

0 0

4

11

Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 Mặt khác: y x' 0 0, nên có: y x' 0  1

x có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

thị (C) biết tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2

Hàm số đã cho xác định với  x 1 Ta có:

 2

4'

Gọi M x y 0; 0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C :

 2 0 0

0 0

4

11

Khoảng cách từ M x y 0; 0 đến trục Oybằng 2 suy ra x0  2, hay 2;2

Phương trình tiếp tuyến tại M 2;6 là: y4x14

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: 4 2,

x biết tạo với

x biết tạo với chiều

dương của trục hoành một góc  sao cho cos 2

2tan

x tại điểm M

thuộc đồ thị và vuông góc với IM (I là giao điểm 2 tiệm cận )

y có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (d)

của (C) biết khoảng cách từ điểm A 0;3 đến (d) bằng 9

Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y y x'( 0)(x  x0 y x( 0)

(trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C))

x , có đồ thị là  C Tìm a, b biết tiếp tuyến của đồ thị  C tại giao điểm của  C và trục Ox có phương trình là 1 2

Giao điểm của tiếp tuyến d : 1 2

2

y x với trục Ox là A 4; 0 , hệ số góc của  1

Câu 44: [1D5-2-3] Cho hàm số yax4bx2c a( 0), có đồ thị là  C Tìm a, b, cbiết

 C có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu của  C có tọa độ là  0;3 và tiếp tuyến d của  C tại giao điểm của  C với trục Ox có phương trình là y 8 3x24

A. a 1, b2, c3 B a1, b21, c3

C a 1, b21, c13 D a 12, b22, c3

Lời giải Chọn A

 C có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu của  C có tọa độ là  0;3 0, 0

Câu 45: [1D5-2-3] Cho hàm số y2x44x21 có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến

của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x48y 1 0

A. :y 48x81 B :y 48x81 C :y 48x1 D

 y  x

Lời giải Chọn A

Câu 46: [1D5-2-3] Cho hàm số y2x44x21 có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến

của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(1; 3)

Lời giải Chọn D

-3

Lời giải Chọn B

Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên nó chỉ có thể vuông cân tại O , khi đó góc giữa tiếp tuyến (D) và trục Ox là 450 ,suy ra hệ số góc của (D) là kD  1 Trường hợp kD 1 ,khi đó phương trình (D) : y = x + a (a0)

(D) tiếp xúc (C)

3 2

Thay x = 1 vaò phương trình (3) ta được a = 4

(D) tiếp xúc với (C)

3 2

(6) x22x 3 0 P/t này vô nghiệm nên hệ (5), (6) vô nghiệm ,suy ra (D) : y =

- x + a không tiếp xúc với (C)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x +4

3

Câu 48: [1D5-2-3] Cho hàm số yx32x2(m1)x2m có đồ thị là (C m) Tìm m để tiếp

tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (C m) vuông góc với đường thẳng

Ta có: y'3x24x m 1 Gọi A x y( ; ) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến  tại A:

310081

Hàm số đã cho xác định trên

Từ yêu cầu bái toán dẫn đến phương trình 1

m

S P

20

3

m

m

m m

Vì  C nhận Oy làm trục đối xứng nên nếu d là một tiếp tuyến của  C thì đường

thẳng d đối xứng với d qua ' Oy cũng là tiếp tuyến của  C Do đó, để từ M vẽ được

ba tiếp tuyến đến  C thì trong ba tiếp tuyến đó phải có một tiếp tuyến vuông góc với

Oy Mà  C có hai tiếp tuyến cùng phương với Ox là: y 2 và y 1 Đường thẳng này cắt Oy tại M1(0; 2),  M2(0; 1)

Ta kiểm tra được qua M chỉ vẽ đến 1  C được một tiếp tuyến, còn từ M vẽ đến 2  C

được ba tiếp tuyến

Vậy M(0; 1) là điểm cần tìm

Câu 52: [1D5-2-3] Cho hàm số yx33x29x1có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp

tuyến của  C , biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

A y  2x 2 B y  x 2 C y 12x7 D. y 12x2

Lời giải Chọn D

Ta có: y' 3( x22x3) Do y' 3 (  x1)2 4  12 min 'y  12, đạt được khi x1

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 12x2

Câu 53: [1D5-2-3] Cho hàm số yx33x29x1có đồ thị là  C Viết phương trình

tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 1; 6)

A y7;y  9x 3 B y6;y  9x 7 C y6;y  2x 3 D.

y y  x

Lời giải Chọn D

Ta có: y' 3( x2 2x3) Gọi M x y là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ( ;0 0) tại M : yy x'( )(0 x x 0)y0

Do tiếp tuyến đi qua A nên ta có phương trình

Câu 54: [1D5-2-3] Cho hàm số yx32x2 x 1 Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số mà

tiếp tuyến tại đó vuông góc với một tiếp tuyến khác của đồ thị

A M 1; 5 B.N1;1 C.E 0;1 D Đáp án khác

Lời giải Chọn D

Gọi A a f a là điểm thuộc đồ thị ( ; ( ))

Khi đó tiếp tuyến tại A có hệ số góc k3a24a1

d    sao cho từ M kẻ được đến ( )C hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

A M(1; 1) B M(3; 7) C M( 1; 5) D. M(0; 2)

Lời giải

 có đồ thị  C Trên đồ thị  C tồn tại bao nhiêu

điểm mà tiếp tuyến của  C tại đó song song với đường thẳng y4x3

Lời giải Chọn B

Hàm số xác định với mọi x 2

'( 2)

y x

2 0 2 0

Vậy trên  C có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán

Câu 57: [1D5-2-3] Viết phương trình tiếp tuyến của  C :

3

2 3 13

TXĐ: D

Ta có: y'x2 2x3

Phương trình tiếp tuyến d của  C có dạng : yy x'( )(0 x x 0)y x( )0

( trong đó x là hoành độ tiếp điểm của 0 d với  C )

Gọi M x y0 0; 0   C Phương trình tiếp tuyến  d của  C tại M là 0

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên

Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị  C tại điểm có hoành độ x khi đó 0

phương trình tiếp tuyến   có dạng:

- Với x0  6 thì phương trình tiếp tuyến là y133x508

- Với x0  1 thì phương trình tiếp tuyến là y8x8

- Với x0 2 thì phương trình tiếp tuyến là y5x4

Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là:y133x508; y8x8; y5x4

Câu 60: [1D5-2-3] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2 2 12

y x



 , biết tiếp tuyến đi qua điểm M(6; 4)

Lời giải Chọn D

Đường thẳng  đi qua M(6; 4) với hệ số góc k có phương trình : y k x (  6) 4

 tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x 0

2

1( 6) 4 (1)2

1

1 (2)( 2)

x

k x

0 0

24

22

x

x x

24

22

x x x x

0

2 0

2

24

42

Câu 62: [1D5-2-3] Cho hàm số yx33x29x11 có đồ thị là  C Lập phương trình

tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm  

29

;1843

Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị  C tại điểm có hoành độ x khi đó 0

phương trình tiếp tuyến   có dạng:

- Với x0 13 thì phương trình tiếp tuyến là y420x3876

- Với x0 5 thì phương trình tiếp tuyến là y36x164

- Với x0  2 thì phương trình tiếp tuyến là y15x39

Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Câu 63: [1D5-2-3] Gọi  C là đồ thị của hàm số yx33x2 2 Viết phương trình tiếp

tuyến của  C đi qua điểm A2; 7

A. y9x25 B y9x9 C y9x2 D y9x25

Lời giải Chọn A

Phương trình tiếp tuyến d đi qua A2; 7 có dạng yk x  2 7

d tiếp xúc  C tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

Thay x0  3 vào  4 ta được k9 Suy ra phương trình d y: 9x25

Câu 64: [1D5-2-3] Cho hàm số y(2x x)2 2, có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến

tại giao điểm của  C với parabol yx2

A y0;y1;y24x6 B.y9;y1;y24x6

C y0;y5;y24x63 D. y0;y1;y24x63

Lời giải Chọn D

Ta có: yx44x34x2 y' 4 x312x28x Phương trình hoành độ giao điểm của  C và parabol yx2:

4 4 3 4 2 2 2( 2 4 3) 0 0, 1, 3

x  x  x x x x  x   x x x

 x0 ta có phương trình tiếp tuyến là: y0