Tinh chat hai tiep tuyen cat nhau HDG

Từ điểm A cách tâm O một khoảng 12cm kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn B và C là các tiếp điểm.. Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt MD và ME theo thứ

Bài 1 Cho đường tròn (O;6cm) Từ điểm A cách tâm O một khoảng 12cm kẻ các tiếp tuyến AB

và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm) Khi đó  BAC bằng:

A 30o B 60o C.75o D 45o

Bài 2 Cho đường tròn ( )O , điểm M nằm bên ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến MD ME, với đường tròn ( D E, là các tiếp điểm) Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt MD và ME theo thứ tự ở P và Q Biết MD4cm, tính chu vi tam giác MPQ Lời giải:

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, PI PDvà QI QE

Chu vi tam giác MPQ bằng:

MPPQMQMPPIIQMQ

MP PD QE MQ

   

8( )

  

Bài 3 Cho đường tròn ( ; 2O cm), các tiếp tuyến ABvà AC kẻ từ A đến đường tròn vuông góc với nhau tại A ( B và C là các tiếp điểm)

a) Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau - HDG

Giáo viên: Hồng Trí Quang

b) Gọi M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC Qua điểm M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E Tính chu vi tam giác ADE

c) Tính số đo góc DOE

Lời giải:

a) Tứ giác ABOC có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, lại có

hai cạnh kể bằng nhau nên là hình vuông

b) Chu vi tam giác ADE bằng: ABAC4(cm)

c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:   

1 , 2

O O  MOB

1

2

O O  MOC

1

45 2

o

O O  BOC

Vậy  45o

DOE 

Bài 4 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB I là điểm nằm giữa O và A Vẽ dây CD vuông góc với AB tại I Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C, tại D và đường thẳng AB đồng quy

Giải

Gọi M là giao điểm của tiếp tuyến qua của đường tròn (O) và AB, M’ là giao điểm của tiếp tuyến qua D của đường tròn (O) và AB

Xét CMO vuông tại M có CI là đường cao

C

D

M M’

O I.OM OC

O I.O M R

Xét AM 'O vuông tại D có DI là đường cao

2

OI.OM ' OD

OI.OM ' R

Ta có OI.OM OI.OM' ( R )  2 OM OM' M M'

Vậy các tiếp tuyến của (O) tại C, tại D và đường thẳng AB đồng quy

Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn ( ;A AH) Kẻ các tiếp tuyến BD CE, với đường tròn (D E, là các tiếp điểm khác ) Chứng minh rằng:

a) Ba điểm D A E, , thẳng hàng;

b) DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC

Lời giải:

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:

A A A  A

2( ) 180o

DAHHAE A A 

Vậy D A E, , thẳng hàng

b) Gọi M là trung điểm của BC

MA là đường trung bình của hình thang BDEC nên

/ /

MA BD Do đó MADE

Ta lại có MAMBMC nên MA là bán kính của đường tròn có đường kính BC (tâm M ) Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính BC

Bài 6 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax By, là các tia vuông góc với AB (

,

Ax By và nửa đường tròn thuộc cùng về một nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là điểm bất kì thuộc tia Ax Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N

a) Tính số đo góc MON

b) Chứng minh rằng MNAMBN

c) Chứng minh rằng AM BN R2 (R là bán kính của nửa đường tròn)

Lời giải:

a) Gọi H là tiếp điểm của MN với nửa đường tròn Theo

tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:

OM là tia phân giác của góc AOH, ON là tia phân giác

của góc BOH, hai góc đó kề bù nên  90o

MON  b) Cũng theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:

, (1)

AM HM BNHN

Nên MNHMHNAMBN

c) Từ (1) suy ra AM BN HM HN

Ta lại có HM HN OH2R2 (hệ thức lượng trong tam giác MON vuông tại O) Do đó

2

AM BNR

Bài 7 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Trên nửa đường tròn lấy điểm C Các tia BC và AC lần lượt cắt Ax, By tại D và E Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BE Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài giải

Điểm C nằm trên đường tròn đường kính AB nên  o

ACB90

Nối CM, CN ta được CM MA 1AD; NC NB 1BE

Vì Ax, By là các tiếp tuyến nênAxAB, ByAB

COM AOM (c.c.c)

OCM OAM  Do đó   180 ,o

OCM OCN  dẫn tới ba điểm M, C,

N thẳng hàng

Đường thẳng MN đi qua điểm C của đường tròn và MNOC nên MN là tiếp tuyến của đường tròn

Bài 8 Cho đường tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt

AB ở E Chứng minh rằng :

a) Các tam giác KBC và OBE đồng dạng

b) CK vuông góc với OE

Bài giải

a) Ta có AK // CE (cùng vuông góc với AC)

       BE OB

BEC KAB BCE AKO OKB tan BCE tan OKB

BC KB

KB OB

BC BE

Ta lại có KBA OBC(cùng phụ với ABO) nên KBC OBE (2)

Từ (1) và (2) suy ra KBC ~ OBE (c.g.c)

b) Từ câu a) suy ra BCK BEO   

Gọi I là giao điểm của BC và OE H là giao điểm của CK và OE

Xét hai tam giác IBE và IHC ta chứng minh được  o

H 90  Vậy CK  OE

Giáo viên : Hồng Trí Quang

Nguồn : Hocmai