Hai duong tron tiep xuc nhau HDG

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: , MAMC MAMD Tam giác ACD có đường trung tuyến AM ứng với cạnh CD bằng nửa cạnh CD nên.. Đường tròn C tiếp xúc với AB tại A, đường tròn D tiếp xú

Trang 1

Bài 1 Cho hai đường tròn ( )O và ( ')O tiếp xúc ngoài tại A Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (C( ),O D( '))O

a) Tính số đo góc CAD

b) Tính độ dài CD biết OA4,5cm O A, ' 2cm

Lời giải:

a) Kẻ tiếp tuyến chung tại A, cắt CD ở M Theo

tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:

,

MAMC MAMD

Tam giác ACD có đường trung tuyến AM ứng

với cạnh CD bằng nửa cạnh CD nên

b)MO và MO' là các tia phân giác của hai góc kề

bù AMC AMD, nên ' 90o

OMO  Tam giác OMO' vuông tại M MA, là đường cao nên MA2OA O A ' 4, 5.29

Do đó MA3cm CD, 2MA6(cm)

Bài 2 Cho hai đường tròn ( )O và ( ')O tiếp xúc nhau tại A như trên hình vẽ Chứng minh rằng các bán kính OB và O C' song song với nhau

Lời giải:

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN

Hai đường tròn tiếp xúc nhau - HDG

Giáo viên: Hồng Trí Quang

Trang 2

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học HM10 Ôn luyện Toán (Thầy Hồng Trí Quang)

Hãy chứng minh rằng OBA O CA'

Hai góc ở vị trí so le trong nên ta có Đpcm

Bài 3 Cho đường tròn ( ;3O cm) và đường tròn ( ';1O cm) tiếp xúc ngoài tại A Vẽ hai bán kính

, '

OB O C song song với nhau thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ OO'

a) Tính số đo góc BAC

b) Gọi I là giao điểm của BC và OO' Tính độ dài OI

Lời giải:

a) / / '  ' 180o

OB O CAOBAO C

Mặt khác, tam giác AOB cân tại O, tam giác AO C' cân tại O' nên

1 2

180

90 2

o

Vậy  90o

BAC 

b) Xét tam giác IOB với O C' / /OB Theo định lí:

OO

Vậy OI6(cm)

Bài 4 Cho đoạn thẳng AB = 2a Đường tròn (C) tiếp xúc với AB tại A, đường tròn (D) tiếp xúc với AB tại B, hai đường tròn này thay đổi nhưng luôn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và luôn tiếp xúc ngoài với nhau tại M

Trang 3

a) Qua M vẽ tiếp tuyến chung với hai đường tròn cắt AB tại O

Ta có OM = OA = OB = a

Vậy O là trung điểm của AB Do đó điểm M nằm trên đường tròn (O ; a)

b) Ta có OC, OD là các tia phân giác của các góc kề bù MOA và MOH nên OC  OD Xét COD vuông tại O có OM là đường cao nên 2

AC.BDa

Bài 5 Cho đường tròn ( )O , đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O Vẽ đường tròn ( ')O

có đường kính CB

a) Hai đường tròn ( )O và ( ')O có vị trí tương đối như thế nào với nhau?

b) Kẻ dây DE của đường tròn ( )O vuông góc với AC tại trung điểm H của AC Tứ giác

ADCE là hình gì? Vì sao?

c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn ( ')O Chứng minh rằng ba điểm E C K, , thẳng hằng

d) Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn ( ')O

Lời giải:

Trang 4

a) Đường tròn ( ')O tiếp xúc trong với đường tròn ( )O vì OO'OB O B '

b) Tứ giác ADCE có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm

của mỗi đường nên là hình bình hành, lại có ACDE nên

là hình thoi

c) Chứng minh CK và AD cùng vuông góc với BD, từ đó

suy ra CK/ /AD

Mặt khác, ta có CE/ /AD vì là các cạnh đối của hình thoi

Qua C ta có CK/ /AD và CE/ /AD nên các đường thẳng

,

CK CE trùng nhau (theo tiên đề Ơ-clit) Do đó ba điểm

, ,

E C K thẳng hàng

d) Tam giác DKE vuông có KH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

KH HEHD, do đó tam giác KHE cân tại H, suy ra HKC HEC

Tam giác O KC' cân tại O' nên O KC' OCKECH

Từ (1) và (2) suy ra     0

HKO HKCO KC  Do đó HK là tiếp tuyến của đường tròn ( ')O

Bài 6 Cho hai đường tròn ( ; )O R và ( '; ')O R tiếp xúc ngoài tại A R( R') Vẽ các đường kính

AOB, AO C' Dây DE của đường tròn ( )O vuông góc với BC tại trung điểm K của BC a) Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi

b) Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn ( ')O Chứng minh rằng ba điểm D A I, , thẳng hàng

c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn ( ')O

Trang 5

Lời giải:

a) Tứ giác BCDE có BK KC DK, KE nên là hình bình hành, lại có BCDE nên là hình thoi

b) Chứng minh ADBD AI, IC (tức là AIEC)

Mặt khác, ta có BD/ /EC vì là các cạnh đối của hình thoi

Các đường thẳng AD AI, cùng đi qua A và vuông góc với hai đường thẳng song song

(BD EC, ) nên A D, và I thẳng hàng

c) Tam giác DIE vuông có IK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IKKDKE

do đó KIAKDA

Tam giác O IA' cân tại O' nên O IA' O AI' DAK

Từ (1) và (2) suy ra     0

Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn ( ')O

Bài 7 Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài tại A Gọi BC, DE là các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (B và D thuộc đường tròn tâm O)

a) Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân

b) Tính diện tích hình thang cân đó

Trang 6

a) Do tính đối xứng nên BD  OO’, CE  OO’ BD / /CEBDCE là hình thang

Do tính đối xứng nên CBDEDB, do đó BDEC là hình thang cân

b) Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt BC, DE ở M, N

Ta có MN2AMBC2 Rr (dễ chứng minh)

Kẻ đường cao CH của hình thang, CH cắt OB tại K

Xét BKC vuông:



Bài 8 Cho đường tròn (O) đường kính AB, đường tròn (O’) tiếp xúc trong với đường tròn (O)

tại A Các dây BC, BD của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) theo thứ tự tại E, F Gọi

I là giao điểm của EF và AB Chứng minh rằng I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác BCD

Bài giải

Trang 7

Do tính đối xứng nên CD  AB, EF  AB

Ta có CAEEAB (cùng bằng O 'EA) nên EC = EI

Suy ra ECIEIC, lại có ICDEIC nên ECIICD

Điểm I là giao điểm của các đường phân giác các góc B và C của tam giác BCD nên là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đó

Bài 9 Cho nửa đường tròn đường kính AB, C là điểm trên nửa đường tròn sao cho CA < CB,

H là hình chiếu của C trên AB Gọi I là trung điểm của CH, đường tròn CH

I;

2

  cắt nửa đường tròn tại D và cắt các cạnh CA, CB thứ tự tại M và N, đường thẳng CD cắt AB tại E Chứng minh rằng CMHN là hình chữ nhật, từ đó suy ra E, I, M, N thẳng hàng

Trang 8

Giải

CH là đường kính của đường tròn ;

2

CH I

CMH CNH

Suy ra tứ giác CMHN là hình chữ nhật

Gọi O là trung điểm của AB, ta có OCB CBO ACH MNH     

  Dễ thấy OI  CD Theo giả thiết CH  AB, suy ra I là trực tâm tam giác CEO

EI OC E, M , I, N

Giáo viên : Hồng Trí Quang

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	505,3 KB