Nghiên cứu đề thi TNTH theo chương trình CCSGK Toán mới

Giải 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho... Câu 3: 1 điểm Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a.. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy... Vi

Theo chương trình thay sách – giáo khoa năm đầu tiên 2009

1) Đề thi và lời giải Tốt nghiệp trung học phổ thông ngày 4 /6 /2009

2) Đề thi và lời giải Tốt nghiệp hệ giáo dục thường xuyên ngày 4 /6 /2009

Biên soạn : Phạm Quốc Khánh

I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7 điểm)

Câu 1 : (3 điểm) Cho hàm số −

2x + 1

y =

x 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –

5

Giải

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

MXĐ : D = R\{2}

y’

( )2

5

−

−

=

x 2 < 0 ∀x ≠ 2 nên hàm số luôn nghịch biến trên D

lim ; lim

→ = −∞ → = +∞ ⇒ x = 2 là tiệm cận đứng

lim 2 ; lim 2

→−∞ = →+∞ = ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang

Bảng biến thiên :

x

y’

y

2

∞

+∞

2 +

Giao điểm với trục tọa độ : 0; 1 ; 1;0

 −  − 

Đồ thị:

y

2

1 2

−

1 2

−

2) Viết phương trình tiếp tuyến

Hệ số góc của tiếp tuyến tại xo là : -5 = ( )2

0

5 2

x

−

−

2

0 4 3 0

0

3 1

x x

=



⇔  = 0

0

7 3

y y

=



⇒  = −

Vậy phương trình tiếp tuyến với © : y – y0 = y’ (x – x0)

3 5 1

− = − −



⇒ 

+ = − −



5 22

5 2

= − +



 = − +



⇔

Câu 2 : (3 điểm) 1 ) Giải phương trình : 25x − 6.5x + = 5 0

2 ) Tính tích phân : ( )

0

1 cos

π

3 ) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x 2 – ln(1 - 2x) trên đoạn [-2 ; 0]

Giải

1) Giải phương trình : 25x − 6.5x + = 5 0

( )2

2

25 x − 6.5x + = ⇔ 5 0 5x − 6.5x + = 5 0 5 1

x

x

 =

⇔ 

=



0 1

x x

=



 =



⇔

0

1 cos

π

0 0

.cos 2

x

π π

0

.cos

π

π

= + ∫

Đặt :



π

Vậy : 2

0

cos 2

π

π

2 π

3) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) = x 2 – ln(1 - 2x) trên [-2 ; 0]

f(x) = x2 – ln(1- 2x) ' ( ) 2 2

1 2

x

−

2

1 2

x

=

−

f’(x) = 0 ( )

( )

1 2 1

 = −



⇔ 

=



2

1 1

ln 2 ln ln 2 0

2 4

f   e−

⇒ − ÷= − = − <

 

Tính f ( )− = −2 4 ln 5 ln= e4 −ln 5 0> f ( )0 = 0 So sánh với 1 0

2

f −  <

 ÷

  Vậy giá trị phải tìm là : ( )

[ ] ( )

2;0

max f x f 2 4 ln5

−

= − = −

( )

[ 2;0 ]

1 min

2

1

ln 2 4

f x f

−

  =

 ÷ −

= −



Câu 3: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết góc BAC = 120 9 , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

Giải

S

A

B

C

\\

\\

a

a

a

1209

Thể tích VS.ABC 1

.

3 S∆ABC SA

=

∆ABC cân vì

/ABC /ABC

BAC = ⇒ BC = AB + AC − AB AC BAC

2 2 2 2 2 cos120 0

a = AC + AC − AC

3

3

a

AC = a ⇔ AC =

0

1

.sin120 2

ABC

S∆ = AB AC

2

2 2

SABC vuông ⇒ SA2 = SC2 − AC2

2

2

SA a  

⇔ = − ÷÷ =

Vậy V = 1

.

3 S∆ABC SA

2

= = a336 2 ( dvtt )

II - PHẦN RIÊNG ( 3 điểm)

Câu 4a : (2 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mp (P) có pt :

1 Chương trình chuẩn :

S x − + − y + − z = P x + y + z + =

1) Xác định tọa độ tâm T và bán kính của mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ tâm T tới mp (P)

2) Viết phương trình tham số đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P) Tìm tọa

độ giao điểm của d và (P)

Câu 5a : (1 điểm) Giải phương trình (S) : 8z 2 – 4 z + 1 = 0 trên tập số phức

Giải Câu 4a : (2 điểm)

1) Xác định tọa độ tâm T và bán kính của mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ tâm T tới mp (P)

Tâm T(1 ; 2 ; 2) và bán kính R = 6

( ;( ) ) 22 22 182 27

3

+ +

Khoảng cách từ tâm T đến mp(P) là :

2) Viết pt tham số đt d qua T và vuông góc (P) Tìm tọa độ giao của d với (P)

Vì d vuông góc mp(P) nên VTCP của d là pháp vectơ của (P) ⇒ a uur uuurd = n( )P = ( 1;2;2 )

Vì d đi qua T nên có pht :

1

2 2

2 2

:

= +



 = +



 = +



∈

Tọa độ giao d với (P) :

( )

1

2 2 :

2 2

= +



 = +



 + + + =



3

t

⇔ = − ⇒ K ( − − − 2; 4; 4 )

Câu 5a (1 điểm) Giải phương trình (S) : 8z 2 – 4 z + 1 = 0 trên tập số phức

Tính : ∆ = − − ' 4 4 8.1 = − = 4 4i2 ⇒ ∆ = ± ' 2i

Vậy phương trình có nghiệm là : 1

4 1 4

i z

i z

−

 =





+

 =



2 Chương trình nâng cao :

Câu 4b : (2 điểm) Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;-2;3) và đường thẳng d có

ptr :

−

1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đt d

2) Tính khoảng cách từ điểm A tới đt d Viết pt mặt cầu tâm A và tiếp xúc với đt d Câu 5b : (1 điểm) Giải phương trình (S) : 2z 2 – i z + 1 = 0 trên tập số phức

1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đt d

d có vtcp a uur uuurd = n( )P = ( 2;1; 1 − ) Vì d ⊥ (P)

Mp (P) qua A(1;-2;3) có dạng : (P) : 2(x – 1) +(y + 2) – (z – 3) = 0 ⇔ 2x + y –z + 3 = 0

2) Tính khoảng cách từ A đến đt d Viết pt mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d

Gọi điểm B(-1;2;-3) thuộc d , thiết lập : uuur AB = − ( 2;4; 6 − )

và tích có hướng : , 4 6 ; 6 2 ; 2 4 ( 2; 14; 10 )

d

uuur uur

Khoảng cách từ A đến d được tính bởi :

( )

( , ) , d

d

AB a

d A d

a

=

uuur uur

4 1 1

Viết phương trình mặt cầu tâm A bán kính R = d(A ; (d)) :

(S) : (x – 1) 2 + (y + 2) 2 + (z – 3) 2 = 50

Câu 5b (1 điểm) Giải phương trình (S) : 2z 2 – i z + 1 = 0 trên tập số phức

Tính : ( )2

Vậy phương trình có nghiệm là :

( ) ( )

3 2.2

3

z

z i

i z

z

− − +



=

 =

− − −





Câu 1 : (3 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3 x2 + 4

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = 4

Giải 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

MXĐ : D = R

y’ =3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 và x = 2

lim ; lim

→−∞ = −∞ →+∞ = +∞

Bảng biến thiên :

x

y’

y

- ∞

4

0

+∞

Giao điểm với trục tọa độ : ( ) (0; 4 ; 1;0 ; 0; 2 − ) ( )

Đồ thị:

y

4

1

−

2) Tìm tọa độ giao điểm của ( C) vớí đt y = 4

Giải phương trình : 4 = x3 – 3 x2 + 4 ⇔ x3 −3x2 =0 1

2

0 3

x x

=



⇔  = Có 2 điểm là : M ( )0;4 & N( )3;4

2

Câu 2 : (2 điểm)

1 ) Tính tích phân : 1 ( )

0

I = ∫ x xe dx +

2 ) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = (2x+1)/(1-x) trên đoạn [2 ; 4]

Giải

0

0 0

. x

x x e dx

0

1 x e dx x

= + ∫

Đặt :





1

Vậy : I = + 1 1 = 2

1

x

e e

2) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) = (2x+1)/(1 - x) trên [2 ; 4]

( )

( )2

3

1

f x

x

− ⇒ f x ( ) ↑ / 2; 4 [ ]

Vậy ta có : ( )

[ ] ( )

2;4

min f x = f − = − ( )

[ ] ( )

2;4

3

max f x = f 4 = −

Câu 3: (2 điểm) Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;0;0) B(0;3;0) C(0;0;2) 1) Viết phgương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC)

2 ) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M( 8;5;-1) và vuông góc với mp(ABC) Từ đó suy ra tọa dộ hình chiếu của M trên (ABC)

Giải

Vì A ∈Ox B ∈ Oy C ∈ Oz nên có pt đoạn chắn của mp(ABC) là : 1

+ + =

1) Viết pt mp (ABC)

Vậy mp(ABC) : 6x + 2y + 3z – 6 = 0

2) Viết pt đường thẳng và tọa độ hình chiếu

Đt d vuông góc mp(ABC) nên có vtcp đt trùng phápvéc tơ mp a uur uuuuurd = n( ABC) = ( 6;2;3 )

Do đó pt tham số của (d) :

8 6

5 2

1 3

= +



 = +



 = − +



Vì d ⊥(ABC) nên tọa độ hình chiếu của M trên mp(ABC) trùng với H = d∩(ABC)

8 6

5 2

1 3

6 2 3 6 0

x t

y t H

x y z

= +



 = +



⇒ =  = − +



 + + − =



6 8 6t x 2 3 2t 3 1 3t 6 0

1

t

⇔ = − Vậy H (2 ; 3 ; - 4)

Câu 4 (2 điểm) 1) Giải phương trình log 2 (x + 1) = 1 + log 2 x

Đk : x > 0 .log (2 x + = 1) log (2 )2 x

Có : z2 + z = (3 – 2i)2 + (3 – 2i) = 9 – 12i + 4i2 + 3 – 2i = 8 – 14i

2) Cho số phức z = 3 – 2i Xác định phần thực và phần ảo của số phức : z 2 + z Giải 1) Giải pt :

2) Tìm phần ảo và thực của : z 2 + z

Vậy phần thực của số phức phỉa tìm là 8 và phần ảo là – 14

Câu 5 (1 điểm) : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông tại B , AB = a và

AC = 3a , cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = 2 a

Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Giải

S

A

B

C

a

2

a

3

a

Xét tam giác vuông ABC có :

BC = AC − AB = a −a = a

2

ABC

a

S∆ = AB BC = a a = Vậy thể tích phải tìm là :

.

1

3

S ABC ABC

V = S SA 1 2 2 2

3 2

a

a

3