SKKN BẬC A CẤP TỈNH

Khai thác và xâu chuỗi bài toán để tạo hứng thú trong học tập hình học giúp học sinh rèn luyện hoạt động toán học .

Đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài là nhiệm vụ vô cùng quan trọng

trong chiến lược con người của toàn Đảng, toàn dân ta, “làm cho dân tộc Việt Nam trở thành một dân tộc thông thái” (Trích lời của Chủ tịch

Hồ Chí Minh) Song mục tiêu đề ra chỉ có thể đạt được khi phong trào

thi đua “Dạy tốt, học tốt” tại các trường học thực sự chất lượng, hiệu

quả

Để thắp lửa cho “Dạy tốt, học tốt” thì phải tạo ra động lực sáng tạo

của người thầy giáo Một khi thầy giáo sáng tạo thì không thể có việc trò không hứng thú trong học tập

Trong hoạt động dạy học của mình người giáo viên phải tự lựa chọn, tổ hợp, thậm chí xây dựng các phương pháp phù hợp Đó là sáng tạo của người dạy

Một giáo viên tốt phải giúp cho học sinh biết cách trở thành những người học độc lập và không còn phụ thuộc vào giáo viên nữa

Vậy làm thế nào để tích cực hoá học tập của học sinh ? Câu hỏi này luôn đặt ra cho mỗi giáo viên trong từng tiết dạy và bản thân tôi cũng vậy

II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Với vai trò quan trọng của bộ môn có tính quyết định đến chất lượng học tập các bộ môn khác, chương trình toán THCS là những viên gạch đặt nền móng đầu tiên cho cả quá trình học tập Chúng tôi thực sự băn khoăn, trăn trở trước những khó khăn của học sinh khi học môn toán Với sự trao đổi, góp ý của đồng nghiệp cùng với sự cố gắng của bản thân, chúng tôi luôn mong muốn tìm được một phương pháp tối ưu nhằm giúp các em học tốt môn toán Để phát huy, khơi dậy khả năng

sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, đồng thời thu hút, lôi cuốn các em ham thích học môn toán, đáp ứng những yêu cầu về đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng dạy học hiện nay, chúng tôi

xin trình bày: Khai thác và xâu chuỗi bài toán để tạo hứng thú trong học tập hình học giúp học sinh rèn luyện hoạt động toán học

III PHẠM VI, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Chất lượng dạy – học là vấn đề khá rộng song trong phạm vi bài viết này chúng tôi chủ yếu tập trung đi sâu vào nghiên cứu và khai thác bàitoán trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2012 – 2013 của

sở GD&ĐT Nghệ An

Các bài toán được đề cập đến trong đề tài thuộc phạm vi sách giáo khoa, sách bài tập, sách nâng cao, sách ôn thi vào lớp 10 đảm bảo tínhvừa sức đối với các em

Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9 trường THCS Xuân Thành

IV ĐỔI MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Qua việc nghiên cứu và thực tế giảng dạy chúng tôi thấy việc thực hiện

đề tài thu được hiệu quả rõ nét Chất lượng môn Toán hàng năm được nâng lên rõ rệt thể hiện qua sổ điểm, qua các kì thi: khảo sát chất lượng, học sinh giỏi, tuyển sinh vào lớp 10 THPT hàng năm Học sinh quan tâm, yêu thích học toán hơn trước đây, đặc biệt là học sinh khá giỏi Bước đầu các em đã biết cách xâu chuỗi bài toán, hình thành bài toán đảo, xây dựng bài toán tổng quát

Để giáo viên luôn chủ động - học sinh học tập tích cực, người thầy cần

có kiến thức chắc chắn và phương pháp truyền thụ gợi cảm, logic và đầy sức thuyết phục Lúc này, giáo viên giữ vai trò quan sát, giúp đỡ, uốn nắn và điều chỉnh các em, phải biết khêu gợi tiềm năng sáng tạo của các em trong việc phát hiện kiến thức mới, tìm tòi nhiều cách giải ngắn gọn logic

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông là:

+ Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh

+ Bồi dưỡng phương pháp tự học

+ Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn

+ Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh

Để nâng cao chất lượng dạy học chúng ta cần đổi mới cả về cách dạy lẫn cách học “ Việc giảng dạy tốt phải kích thích được hứng thú của người học, muốn vậy phải để cho trò độc lập tìm tòi, thầy giáo chỉ là người tổ chức, thiết kế, cố vấn”

2 Cơ sở thực tiễn

Tình yêu nghề, tâm huyết và giành nhiều thời gian, tâm lực của mình

với mục đích “ tất cả vì học sinh thân yêu”.

Giải bài tập toán là quá trình suy luận nhằm khám phá quan hệ logic giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận) Để có kĩ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập, bởi vì không phải cứ giải nhiều bàitập là có nhiều kĩ năng Việc luyện tập sẽ có hiệu quả nếu như giáo viên biết cách định hướng cho trò, biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tương tự

Để giúp các em có phương pháp học tập tốt hơn môn hình học trong quá trình giảng dạy, chúng tôi thường tìm tòi các cách khác nhau để tiếp cận một vấn đề, giải các phương pháp khác nhau những bài toán

cơ bản trọng tâm và phát triển các bài toán đó dưới các hình thức khác

nhau thông qua các nhận xét, liên hệ giữa cái cũ và cái vừa tìm được

để sáng tạo ra bài toán mới

Một điều chắc chắn rằng việc tìm tòi mở rộng một bài toán thành chuỗicác bài toán sẽ kích thích được hứng thú học tập và sự sáng tạo của học sinh Từ đó giúp học sinh có cơ sở khoa học khi phân tích, định hướng, tìm tòi lời giải cho các bài toán Hơn nữa là để củng cố cho học sinh say mê vào học toán của mình Chỉ như vậy mới nhen nhóm cho các em một niềm tin, một tình yêu toán học và cao hơn nữa là một niềm tin, tình yêu cuộc sống

II VẬN DỤNG LÍ LUẬN VÀO THỰC TIỄN

1 Nội dung môn toán ở trường phổ thông liên hệ mật thiết trước hết với những hoạt động toán học sau đây

1.1 Hoạt động “nhận dạng” và “thể hiện”

Nhận dạng và thể hiện là hai hoạt động trái ngược nhau liên hệ với một

định nghĩa, một định lí hay một phương pháp

Tuy hai hoạt động trái ngược nhau nhưng lại liên quan mật thiết với nhau và đan kết với nhau

1.2 Những hoạt động toán học phức hợp

Như chứng minh, định nghĩa, giải toán dựng hình, quỹ tích;

Những hoạt động này xuất hiện lặp đi lặp lại trong sách giáo khoa toánphổ thông Học sinh luyện tập những hoạt động này sẽ nắm vững

những nội dung toán học và phát triển những kỹ năng và năng lực toánhọc tương ứng

1.3 Những hoạt động trí tuệ phổ biến

Lật ngược vấn đề, xét tính giải được, phân chia trường hợp,

1.4 Những hoạt động trí tuệ chung

Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá, khái quát hoá,

1.5 Những hoạt động ngôn ngữ

Toán học theo nghĩa nào đó là một thứ ngôn ngữ để mô tả một tình huống cụ thể nảy sinh trong nghiên cứu khoa học, hoặc trong hoạt

Học sinh thực hiện những hoạt động ngôn ngữ trong học toán khi phát biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề, khi biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác (chẳng hạn từ dạng kí hiệu toán học sang ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngược lại), trình bày lời giải của bài tập

nằm giữa Mvà D) với đường tròn (O) Đoạn thẳng OM cắt AB và (O)theo thứ tự tại H và I

Chứng minh rằng:

a, Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn

b,

2 MC.MD = MA

c,

2 OH.OM + MC.MD = MO

d, CI là tia phân giác của ·MCH

2.1 Để giải bài tập này cần sử dụng

2.1.1 Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

2.1.2 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Để chứng minh tứ giác nội tiếp học sinh thường sử dụng 4 dấu hiệu sau:

Dấu hiệu 1: Tứ giác có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn.

Dấu hiệu 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 0

Dấu hiệu 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α

Dấu hiệu 5: Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

*) Nếu trên hai cạnh của góc xMy có các điểm A, B thuộc Mx, C,D

thuộc My thoả mãn điều kiện MA.MB = MC.MD, thì bốn điểm A,B,C,D thuộc cùng một đường tròn.

*) Nếu trên hai cạnh của góc xMy có các điểm A thuộc Mx, C thuộc

My và trên tia

đối của tia Mx có điểm B, trên tia đối của tia My có điểm D sao cho MA.MB = MC.MD thì bốn điểm A,B,C,D thuộc cùng một đường tròn Dấu hiệu 6: Sử dụng định lí Ptôlêmê:

Định lí Ptolemy (Định lí mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hylap cổ đại Ptolemy (Claudiusptolemaeus))

Nếu A,B,C và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì

AC BD = AB CD + BC AD

( dấu gạch ngang kí hiệu độ dài các cạnh) Định lí này cũng có thể phát biểu thành định lí thuận và đảo:

Thuận: Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai

đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện.

Đảo: Nếu một tứ giác thoả mãn điều kiện tổng các tích của các cặp

cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.

Chứng minh định lí đảo trên đối với một tứ giác cụ thể:

Cho tứ giác ABCD lồi Chứng minh rằng, nếu AB.CD + AD.BC = AC.BD thì tứ giác ABCD nội tiếp

= ·ACD

<=> Tứ giác ABCD nội tiếp (cùng nhìn cạnh AD dưới một góc không đổi)

2.2 Chứng minh bài toán

a)Vì MA, MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên: · ·

0MAO = MBO 90=

Tứ giác MAOB có · ·

0MAO + MBO = 180MAOB

⇒

là tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối nhau bằng 1800)

Chứng minh các hệ thức hình học, các tỉ số bằng nhau:

-Vận dụng định nghĩa, tính chất của hai tam giác đồng dạng.

- Vận dụng định lí Ta – lét.

- Tính chất đường phân giác của một tam giác.

- Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông,

Để chứng minh

2 MC.MD = MA

nên hướng dẫn cho học sinh hình thành bài toán ngược trước khi chứng minh:

2 MC.MD = MA

Mà

2 MC.MD = MA

(chứng minh trên ) Nên:

OH.OM + MC.MD = OA + MA

2 OH.OM + MC.MD = MO

-Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó;

Để chứng minh CI là tia phân giác của góc MCH ta cần chứng minh

(câu b)2

MCH = MOD

⇒

Kéo dài MO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K.

Ta có MOD OKD + ODK· =· · (·MOD

là góc ngoài tại đỉnh O của tam giác cânODK

Mặt khác tứ giác ICDK nội tiếp (O) ⇒MCI = OKD· · (4)

Từ (3) và (4) suy ra MCH = 2MCI· · ⇒MCI = ICH· ·

Suy ra CI là tia phân giác của ·MCH

(đpcm)

Nếu sử dụng ngay dấu hiệu 5 thì ta có cách lập luận ngắn gọn hơn:

Dễ thấy MC.MD = MH.MO (=MA2)

=> Tứ giác CHOD nội tiếp (dấu hiệu 5)

=> MCH = IOD· · (tính chất góc ngoài của tứ giác nội tiếp) (1)

Kéo dài MO cắt đường tròn (O) tại K Ta có: 2IKD = IOD· · (tính chất góc ở tâm) (2)

Mặt khác tứ giác ICDK nội tiếp (dấu hiệu 1) =>

· ·MCI = IKD

Hay

(*)

Ta có MAI = IAH· · ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

=>AI là tia phân giác của góc MAH

=> CI là tia phân giác của góc MCH

Nếu sử dụng tính chất tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau ta sẽ có cách lập luận ngắn gọn hơn.

( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (**)

Mặt khác: ·MCH

kề bù ·HCD

(***)

Từ (*) , (**), và (***) suy ra CI là tia phân giác của góc MCH

Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác kết hợp góc ngoài của tứ giác bạn đọc sẽ liên tưởng đến mối liên hệ giữa các góc, từ đó tìm ra hướng giải mới

( Tính chất góc ngoài của tam giác) (3)

Mặt khác: Tứ giác OHCD nội tiếp, suy ra MCH = DOH· · ( cùng bù góc HCD)(4)

Từ (3), (4) =>

· 1· MCI = MCH

2Suy ra: CI là tia phân giác của góc MCH (đpcm)

Khi học sinh giải bài tập này phần nào đã giúp các em rèn luyện hoạt động “nhận dạng” và “thể hiện” tính chất và tiếp tuyến đã học, những hoạt động toán học phức hợp như chứng minh ( suy luận -> suy đoán -> phán đoán -> chứng minh), những hoạt động trí tuệ chung (phân tích, xét tương tự).

Vấn đề đặt ra là chúng ta không dừng ở việc cho học sinh giải bài toán

đã nêu mà giúp học sinh tiếp tục xem xét bài toán ở những góc độ khác nhau nhằm giúp học sinh mở rộng bài toán hoặc tạo ra bài toán mới trên cơ sở bài toán đã nêu.

2.3 Khai thác bài toán

=> 4 điểm M,A,O,E cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2), suy ra: 4 điểm M,A,E,B thuộc một đường tròn

=> Tứ giác MAEB nội tiếp => MAB MEB· =·

(hai góc nội tiếp chắn cung MB) (3)

Từ (*) và (**), suy ra: MC.MD = ME.MF

Để chứng minh MC.MD = MF.ME nếu nghĩ đến một biểu thức trung gian

=> HOF HEF· =· (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HF)

Xét hai tam giác MHE và MFO có: góc M chung

MOF MEH=

(C/m trên)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MC.MD = MF.ME

Cũng sử dụng hai tam giác đồng dạng ta có cách giải tương tự:

) => ME.MF = MH.MO

mà MH.MO = MA2; MC.MD = MA2

=> ME.MF = MC.MD => đpcm

Theo hướng nhìn nhận chứng minh các hệ thức hình học từ những điều

đã biết ta sẽ có câu hỏi mới mở rộng chứng minh hệ thức:

Xét hai tam giác AHD và CBD có:

sđ CAD = ·DBCHay AHD CBD· =· (2)

Từ (1) và (2), suy ra: ∆AHD ∆CBD

2.3.3 Chứng minh HB là phân giác của góc CHD.

Để chứng minh HB là tia phân giác của góc CHD ta cần chứng minh

· ·

CHB BHD=

Cách 1:

=> CHI ODC· =· (Tính chất góc ngoài của tứ giác nội tiếp) (1)

Ta có tam giác OCD cân tại O => OCD ODC· =· (2)

Mà OCD OHD· =· (hai góc nội tiếp chắn cung OD) (3)

Từ (1), (2) và (3) , suy ra

· ·CHI OHD=

(*)

Mà · ·

0CHI CHB 90+ =

(**) · ·

0OHD DHB 90+ =

(***)

Từ (*), (**) và (***), suy ra: BHD CHB· =·

Suy ra: HB là tia phân giác của góc CHD

Nếu theo hướng vận dụng tính chất về số đo cung, ta sẽ chứng minh HB là phân giác của góc CHD theo một hướng khác.

Cách 2:

Kéo dài DH cắt đường tròn (O) tại điểm C’

Do tứ giác CHOD nội tiếp (dấu hiệu 5), suy ra: HOC HDC· =· = 2

1sñCC’

=> sđCI =

1 2sđCC’ => CI = IC’

=>

· · ' ·

CHI IHC = = OHD

=> CHB DHB· =·

Suy ra: HB là tia phân giác của góc CHD

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đó.

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác.

2.3.4 Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMB

Ta đã biết MO là tia phân giác của góc AMB Chỉ cần chứng minh AI là tia phân giác của góc MAB

( do MO vuông góc AB) (3)

Từ (1), (2) và (3), suy ra: MAI IAB· =·

=> AI là tia phân giác của góc MAB (**)

Từ (*) và (**), suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB

Chứng minh AI là tia phân giác của góc MAB theo cách chứng

Cách 2:

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: MO ⊥

AB => IA = IB

=> MAI IAB· =·

=> AI là tia phân giác của góc MAB => đpcm

Cũng theo hướng chứng minh AI là phân giác của góc MAB nếu nghĩ đến tiếp tuyến tại I của đường tròn (O), bạn đọc sẽ có một hướng

chứng minh khác.

Cách 3:

Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại I cắt AM tại N

Ta có NA = NI => tam giác NAI cân tại N =>NAI NIA· =· (1)

Mặt khác NI vuông góc với MO, AH vuông góc với MO

Suy ra NI // AB => IAB NIA· =· (2)

Từ (1) và (2) suy ra IAB NAI· =· => AI là tia phân giác của góc MAB => đpcm

Nếu sử dụng tính chất: ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm, bạn đọc sẽ nghĩ ngay đến việc kẻ đường cao IP của tam giác AIO chúng ta sẽ có cách chứng minh khá thú vị.

Cách 4:

Vẽ IP vuông góc với AO Gọi Q là giao điểm của IP và AH

=> Q là trực tâm của tam giác AIQ

=> OQ vuông góc với AI

Mà tam giác AOI cân tại O

=> OQ là đường trung trực của AI =>QI = QA => ∆

QIA cân tại Q

=>

· ·

QIA QAI=

(1)Mặt khác: IP//MA (cùng vuông góc AO) =>

· ·MAI QIA=

(2)

Từ (1) và (2), suy ra: MAI IAB· =·

=> đpcm

Một hướng khác để chứng minh AI là tia phân giác, bằng cách sử dụng tính chất điểm cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó

(1)

Mà IAO OIA· =· (do tam giác OAI cân tại O) (2)

Từ (1) và (2), suy ra: GIA OIA· = ·

=> ∆

AIG = ∆

AIH (cạnh huyền- góc nhọn) => IG = IH => AI là tia phân giác của góc MAB =>đpcm

Việc khai thác bài toán không dừng lại ở đây mà nếu nhìn bài toán dưới một góc độ khác bạn đọc sẽ thấy được điều thú vị của bài toán:

2.3.5 Nếu dây CD cố định không đi qua O (B thuộc cung nhỏ CD) Đường thẳng BE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là L

Chứng minh AL // CD

Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song:

- Hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba và tạo thành một cặp góc ở vị trí so le trong (so le ngoài) hay đồng vị bằng nhau.

- Hai đường thẳng phân biệt cùng song song (cùng vuông góc) với một đường thẳng thứ ba.

- Hai đường thẳng đó là đường trung bình và cạnh tương ứng trong tam giác, trong hình thang.

- Sử dụng định lí đảo của định lí Talet,

Nếu sử dụng hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau, ta dễ dàng chứng minh AL//CD.

Cách 1:

Tứ giác MOEB nội tiếp đường tròn đường kính MO

=> MOB MEB· =· (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB) (1)Mặt khác: MA, MB là tiếp tuyến của đường tròn (O), suy ra IA = IB

mà ·MOB=

sđ IB ( tính chất góc ở tâm) (2)

·ALB= 12

sđAB =

1 2.2.sđIB = sđIB (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra: ALB MEB· =·

=> AL // CD ( vì có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

Nếu sử dụng tính chất hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau, bạn đọc sẽ có cách chứng minh khác.

Cách 2: