Bài tập hình học ôn thi 10 chuyên toán

Gọi F là trung điểm AD3 CE ADC Qua B vẽ đường thẳng vuông góc vơi BC tại B cắt CD tại F Gọi G là trung điểm BH Ta Cm được FG⊥BM và A là trung điểm EC⇒D là trọng tâm BECV... Chứng minh IP

Bài tập1/ hình bình hành ABCD ·BAD<900 Phân giác ·BCD cắt đường tròn ngoại tiếpVBCDtại

O khác C Qua A kẻ d vuông góc với CO cắt CB,CD tại E,F

V có CO là phân giác đồng thời là đường cao⇒VCEF cân tại C

Mặc khác BA FC/ / ⇒·BAE CFE BEA=· =· ⇒VBAEcân tại B⇒BE BA DC= =

Vì CO là đường trung trực của EF ( CEFV cân tại C có OC là phân giác)

Do đó OF OE OC= = nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp VCEF

Gọi F là trung điểm DE⇒OF⊥EA⇒ ∈F (ABOC)⇒·FBC FAC=·

Tứ giác BDCE nội tiếp⇒DBC· =·AEC

Do đó ·DBF CAE CEA=· +· =1800−BCA BCE· −· =1800−BCE BEC EBK· −· =·

Do đó ·EBF =KBD· ⇒·BFA EBF BEA KBD ABD= · +· =· +· =·ABK

Gọi F là trung điểm AD

3

CE ADC

Qua B vẽ đường thẳng vuông góc vơi BC tại B cắt CD tại F

Gọi G là trung điểm BH

Ta Cm được FG⊥BM và A là trung điểm EC⇒D là trọng tâm BECV

⇒ là đường trung bình

/ /12

BID CID= = BAC

Tứ giác IKDC có ·IKC IDC=· =900 ⇒IKDCnội tiếp

Dựng đường tròn ngoại tiếp VABCgọi AN là đường kính Cm H,M,N thẳng hàng

Đường thẳng HMN cắt (ABC) tại I ( ) ( ) ( ) ( )1

MI AI ABC AEHF I

⊥





Tứ giác BFEC nội tiếp ⇒KC KB KE KF =

Gọi giao điểm KA và (ABC) là I’⇒KA KI '=KC KB KE KF = ⇒ ∈I' (AEHF)

a/ Chứng minh ·HKM không đổi

b/ vẽ IP⊥AM Chứng minh IP tiếp xúc (O)

c/ gọi Q là trung điểm dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S∈( )O

d/ chứng minh khi M thay đổi thì HI luôn tiếp xúc 1 đường tròn cố định

Tứ giác PIQM là hình chữ nhật (tự Cm)⇒QPM· =·IMP

ASQP là hình bình hành⇒·ASI QPM=· =·IMP⇒ APQSnội tiếp nên S∈( )O)

d/ vẽ OC⊥HI

902

HOI =sd HI = sd AB= ⇒VHOIvuông cân tại O có OC là đường cao đồng thời là

Cm DA là tiếp tuyến của (w)



=  V : V

Tứ giác AEGB nội tiếp ⇒·AGE= ·ABE( )2

Tứ giác ADCB nội tiếp ⇒·ABE= ·ACD( )3

Từ (1),(2) và (3)⇒·AGM =DGM· ⇒GM là phân giác ·AGD

MA NB AG GB AB

MD NC = DG GC = DC

10/

IC BC IAC BDC

tứ giác ADBN nội tiếp⇒DBA DNA· = ·

vì HC/ /BD(⊥AD)⇒·FCA ABD DNA=· =· ⇒AFCNnội tiếp

Gọi M là giao điểm AB và EF; K,L là giao điểm của AB là (O);I là giao điểm của AB và (CDA)

Tứ giác ACID nội tiếp · ·

2 2

IB BA BC BD R OB MIC FDC

Vì A,B,(O) cố định nên IB không đổi nên I cố định

Tứ giác ECFD nội tiếp ⇒CEM· =CDF· =MIC· ⇒ECMI nội tiếp

2 2 2 2

+c/ gọi F là giao điểm (ADE) và AO

Tứ giác ADFE nội tiếp

Gọi D,E,F là trung điểm BC,CA,AB OD x OE= , = y OF, =z

FD,DE,EF là đường trung bình của

222

a EF ABC b FD

Tứ giác OFBD nội tiếp ⇒OF BD OD BF OB FD + = (định lý ptolemy)

Lấy D trên AB sao cho ·ACD=600 ⇒DCB· =150 =DBC· ⇒VDCBcân tại DĐặt AC=x

AH C

AH HC HA AC

C AC

từ (1) và (2) ⇒sin 2α =2cos sinα α

18/ VABCnhọn phân giác AQ, đường cao CP, trung tuyến BR đồng qui tại O Cm:cos

cos

AB B

BC = A

B CA BP CA AB AB AC

.sin 40sin 20sin

HK x HKC K HB

CH HE

20/ ABCV nhọn nội tiếp (O) Đường cao AP,BQ,CP cắt nhau tại H Chứng minh

(1 cos2 cos2 cos2 )

S = − A− B− C S

cos cos

(1 cos2 cos2 cos2 )

tứ giác AHDK nội tiếp (I) đường kính AD có N là trung điểm KH⇒IN ⊥KH

mặc khác tứ giác BKHC nội tiếp (M) có N là trung điểm HK⇒MN ⊥KH

Tứ giác OEMD có E và D cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông nên OEMD nội tiếp

Do đó 5 điểm O,F,E,M,D nội tiếp ⇒MF ⊥OAmà BC⊥OA⇒M C B, , thẳng hàng

23/VABC AB AC, < nội tiếp (O) đường kính BC Trên tia đối của tia BA lấy E sao cho

BA BE= Kẻ dây AD⊥BCtại H Gọi K là trung điểm CH và F là hình chiếu của H trên

AK Chứng minh E,H,F thẳng hàng

Gọi G là giao điểm của AO và MN⇒AG AO AN = 2 =AE AC.

Cm H là trực tâm VABC, AH cắt BC tại F

Cm:AH AF, = AE AC = AG AO ⇒HGOFnội tiếp ⇒HG⊥ AOtại G

b/ chứng minh MIJN nội tiếp và MJ,NI,CH đồng quy

c/ tìm MNmaxvà S CMN maxtheo R

a/

Gọi r r r lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp , ,1 2 VABC ACH BCH,V ,V

Gọi D,E là tiếp điểm của (I) và (J) với CH

Tính được

1

2

22

CHD= −MHD= −MEO= EOD= EHD⇒CH là phân giác trong của ·EHD

Mà MH ⊥CH ⇒MH là phân giác ngoài của ·EHD

27/ Từ M nằm ngoài (O) kẻ tiếp tuyến MA,MB S là trung điểm MB, SA cắt (O) tại C

MC cắt (O) tại D và AB tại E Chứng minh SE đi qua trung điểm AD

Gọi F là giao điểm SE và AD

Nên F là trung điểm AD

28/ từ A ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB,AC Cát tuyến AEF Qua E vẽ đường thẳng vuông góc OB cắt BC tại M và BF tại N Chứng minh FM đi qua trung điểm AB

Gọi I là giao điểm FM và AB

Gọi D là trung điểm EF Cm được 5 điểm D,O,C,A,B cùng nằm trên 1 đường tròn

b/ CH ⊥MO Chứng minh AHOB nội tiếp

c/ trên nửa bờ mật phẳng OM chửa A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF cắt tiếp tuyến

tại E của (O) tại K Gọi S là giao điểm của CO và KF Chứng minh MS ⊥CK

d/ gọi P,Q lần lượt là tâm (EFS) (, ABS , T là trung điểm KS Chứng minh P,Q,T thẳng )

hàng

a/ tự cm

b/ VMOC⊥ ⇒C MH MO MC = 2 =MA MB ⇒ AHOBnội tiếp

c/

· · · ·

QFP QEP QAN QAM AQ

Ta có ·FEB FAQ FNQ EBC=· =· =· ⇒FE/ /BC

Mà PQ đi qua trung điểm EF nên PQ đi qua trung điểm BC

Do đó AC là tiếp tuyến của (MCD) ⇒AM AD =AC2 =2R2

Ta có 5 điểm M,A,I,O,B cùng nằm trên 1 đường tròn nên ta có KI KM =KA KB

Tứ giác EASB nội tiếp ⇒KE KS =KA KB KI KM = ⇒EISM nội tiếp