Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC.. Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất.. Gọi I là giao điểm ba đường p
Trang 1LẠNG SƠN
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu
Câu 1 (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và parabol (P): y = - x2
a Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2);
b Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2)
Tìm m để (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 25
Câu 2 (2 điểm)
2
10
;
b Tìm x, y thỏa mãn x – y + 1 = 2 x y x2
Câu 3 (2 điểm)
a Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E lần lượt là
hình chiếu của M trên AB, AC Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất
b Với x là số thực Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 3x2 4
Câu 4 (3 điểm)
Cho đường tròn đường kính AB; C là một điểm trên đường tròn (C khác A, B) Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC, các tia AI, CI lần lượt
cắt đường tròn tại D, E
a Chứng minh tam giác EAI cân;
b Chứng minh: IC.IE = IA.ID;
c Giả sử biết BI = a, AC = b Tính AB theo a, b
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh trong các số có dạng 20142014 2014 có số chia hết cho 2013
-Hết -
Trang 2
ĐÁP ÁN
Câu 1
2 điem
a Đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) <=> 2 = 2.1 – m + 1 Vậy: m = 1 0,5 0,5
b Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt <=> x
2 + 2x –
m + 1 = 0
có hai nghiệm phân biệt <=> ' m0
0,25
Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 1 0,25 Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + 1 => y1 – y2 = 2(x1 – x2)
Nên: 25 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 5(x1 – x2)2 => (x1 – x2)2 = 5 0,25 Hay: (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m) 0,25
Câu 2
2
điểm
a Đặt
Khi đó có hệ: 3u 2v 2 9u 6v 6 u 2
2u 3v 10 4u 6v 20 v 2
b
Ta có: x – y + 1 = 2 x y x 2 x y 1 2 x y x 2 0 0,25
Suy ra: x y 1 2 x 2 0 x y 1 x 2 0 0,25
Câu 3
2
điểm
a
ADMAEMDAE90 nên ADME là
DE nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất <=> AMBC 0,25
Vì vậy : M là chân đường cao hạ từ A 0,25
b A =
2
3x 4
A(x 1) 3x 4 Ax 3x A 4 0
x 1
E D
B
A
C M
Trang 3Vậy : min A 1khi x b 3; max A 9khi x 1
Câu 4
3
điểm
a
Vẽ hình để chứng minh a
0,25
Do AD, CE là các đường phân giác nên :
DC DB, EB EA
0,25
Do đó: DC EA DB EB 0,25 Suy ra: AIEIAE
Vậy: tam giác EAI cân tại E 0,25
b Ta có:
EAIDCI (cùng chắn cung DE) 0,25
Suy ra: IC ID IC.IE IA.ID
c
AC cắt BD tại F Do AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB và BCF có:
BC2 = AB2 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 <=> x2 - bx - a2 =
0
0,25
Có: x =
b b 4a 2
(loại), x =
b b 4a 2
Vậy AB =
b b 4a 2
0,25
Câu 5
1
điểm
Ta xét 2014 số khác nhau có dạng 20142014…2014 = an, có n bộ
2014 n N*
Trong 2014 số này có ít nhất hai số khi chia cho 2013 có cùng số dư
0,25
Giả sử 2 số đó là ai , aj (j > i) Khi đó aj – ai 2013 hay:
j sô 2014 i sô 2014 j í sô 2014 4i sô 0
Số có dạng 20142014…2014 104i 2013
Vì UCLN(10, 2013) = 1 nên UCLN(10n, 2013) = 1 với mọi n N* 0,25 Vậy: có số dạng 20142014…2014 chia hết cho 2013 0,25
-Hết -
I F
E
D
O
C
Trang 4
CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào lớp 10 các trường chuyên
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những năm qua
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh giỏi
- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết quả tốt nhất
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247
https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/