Áp dụng thống kê bose einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái ngưng tụ bose einstein

Bùi Văn Thiện 1 Luận Văn Tốt NghiệpBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM H À NỘI 2 BÙI VĂN THIỆN ÁP DỤNG THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN BIẾN DẠNG q NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI NGƯNG TỤ BOSE –

Bùi Văn Thiện 1 Luận Văn Tốt Nghiệp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM H À NỘI 2

BÙI VĂN THIỆN

ÁP DỤNG THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN BIẾN DẠNG q NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

HÀ NỘI, 2009

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PH ẠM H À NỘI 2

BÙI VĂN THIỆN

ÁP DỤNG THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN BIẾN DẠNG q NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh Người đã đặt nền móngcho bản luận văn và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành bản luận văn này, côluôn động viên tôi trong học tập và trong công tác nghiên cứu khoa học

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với cô.Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Sư Phạm

Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học và Khoa Vật Lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợicho tôi hoàn thành chương trình học cao học và hoàn thành luận văn tốtnghiệp này

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện, đóng gópnhững ý kiến, kinh nghiệm quý báu giúp tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 09 năm 2009

Tác giả

Bùi Văn Thiện

LỜI CAM ĐOAN

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh Luận văn này không trùng lặp vớinhững đề tài nghiên cứu khác

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR

3.1 Lý thuyết q- số 323.2 Thống kê Bose – Einstein biến dạng q 363.3 Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q

nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein 383.4 Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q

vào phương trình trạng thái 44Kết luận chương 3 57

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR

biệt giữa các Boson và Fermion là ở chỗ: Các Fermion tuân theo nguyên lýloại trừ Pauli, nghĩa là trong hệ nhiều Fermion đồng nhất không thể có quámột hạt ở trong cùng một trạng thái, hay nói cách khác mỗi trạng thái của hệchỉ có thể bị bỏ trống hoặc bị chiếm bởi một Fermion mà thôi Còn đối với hệnhiều Boson đồng nhất, mỗi trạng thái của hệ có thể bị chiếm bởi bao nhiêuBoson cũng được.

Đầu thế kỉ XX, Einstein sau khi xây dựng xong thống kê Bose –Einstein trên cơ sở đặc điểm của hệ Boson là số các hạt đồng nhất ở trongcùng một trạng thái có thể tùy ý Ông đã tiên đoán có tồn tại một trạng tháivật chất đặc biệt đó là trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein Kể từ đó tiên đoáncủa Einstein đã được ứng dụng giải thích các hiện tượng vật lý như hiệntượng siêu dẫn, siêu chảy…và thu hút được rất nhiều nhà vật lý trên thế giớiquan tâm Năm 2001 ba nhà vật lý người Mỹ đã bằng thực nghiệm tạo rađược trạng thái ngưng tụ với kim loại kiềm, cả ba nhà vật lý đã được trao giảiNobel Phát minh này đã mở ra các công nghệ mới cho khoa học Với sự hấpdẫn của vấn đề này cho nên tôi chọn đề tài “Áp dụng thống kê Bose –Einstein biến dạng q nghiên cứu Trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein”

Trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein thường xảy ra ở nhiệt độ thấp khi

đó các hạt Boson đã bị biến dạng, vì vậy tôi muốn áp dụng quan điểm của daođộng tử điều hòa biến dạng để nghiên cứu trạng thái ngưng tụ

2 Mục đích nghiên cứu

- Xây dựng hàm phân bố Bose – Einstein trong trường hợp biến dạng

- Áp dụng hàm phân bố Bose – Einstein để nghiên cứu trạng thái ngưng

tụ Bose – Einstein, tìm được biểu thức nhiệt độ ngưng tụ phụ thuộcvào thông số biến dạng q

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Chương 1 Xây dựng thống kê Bose – Einstein bằng

phương pháp lý thuyết trường lượng tử

Chương 2 Các áp dụng Thống kê Bose – Einstein

Chương 3 Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q

nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các hạt có Spin nguyên – các hạt Boson

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp của vật lý lý thuyết

Phương pháp toán giải tích

Phương pháp của lý thuyết trường lượng tử

6 Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài:

Đề tài sau khi hoàn thành sẽ:

- Xây dựng được lý thuyết hàm phân bố thống kê Bose – Einstein trong trường hợp biến dạng

- Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng để nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein, tìm được biểu thức giải tích của nhiệt

độ ngưng tụ phụ thuộc vào thông số biến dạng, góp phần định

hướng cho thực nghiệm nghiên cứu thêm sự ảnh hưởng của thông

số dạng q lên các đặc tính của các hạt Boson

NỘI DUNG Chương 1

2 2



2 2

XÂY DỰNG THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN BẰNG

PHƯƠNG PHÁP LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

1.1 Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính

Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m,chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f

Trong đó: xˆ  qˆ  x là toán tử tọa độ

pˆ x  pˆ  i d là toán tử xung lượng

 i x  x(i) d  i d x  ix d

dx dx dx dx [pˆ , qˆ]   i d ( x  )  ix d



 i 

dx dx

 [pˆ , qˆ]  i (1.2)

Do đó ta có thể biểu diễn toán tử Hamiltonian theo

 (aˆ   aˆ) 2m

aˆ  m (qˆ  i pˆ)

(1.5)

2 m

aˆ   m (qˆ  i pˆ ) (1.6)

2 m

Dễ dàng chứng minh được các toán tử aˆ

giao hoán:

và aˆ  thỏa mãn hệ thức

Thật vậy:

m (qˆ  i pˆ )

2 m 2 m

 m (qˆ  i pˆ ) m (qˆ  i pˆ )

2 m 2 m

 1 2 (2i pˆ qˆ  2iqˆpˆ )  i ( pˆ qˆ  qˆpˆ )  1 .Vậy ta thu được toán tử Hamiltonian có dạng:

.1

Hay Nˆ aˆ 

 aˆ  ( Nˆ  1) (1.11)

Ta kí hiệu | n là véc tơ riêng của toán tử

n | aˆ 

aˆ | n



n | n

 | aˆ  (r 

) | 2 dr 

 0

Kết luận 1:

Các trị riêng của toán tử

Véc tơ trạng thái aˆ | n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử

trạng thái riêng của toán tử

ứng với trị riêng n thì aˆ p | n

cũng là một véc tơ riêng của toán tử

Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử

Nˆ thì chuỗi các số không

âm

n 1, n  2, n  3, cũng là trị riêng của toán tử

Nˆ

Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ thì:

min min min



aˆ | nmin   0 (1.16)

Vì nếu aˆ | nmin  

0

thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nmin  1nmin

trái với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất

là nmin có giá trị bằng 0 Véc tơ trạng

thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của

Nˆ

thỏa mãn điều kiện aˆ | 0  0

Ta có:

được kí hiệu | 0 Véc tơ trạng thái này

+ aˆ  | 0 tỉ lệ với véc tơ riêng | 1 của

g n  1 ứng với+ Tương tự aˆ  2 | 0 tỉ lệ với véc tơ riêng | 2 của toán tử

Trạng thái | 0 có năng lượng thấp nhất là E

o , trạng thái tiếp theo | 1

với năng lượng Eo   có thể được xem như là kết quả của việc thêm mộtlượng tử năng lượng  vào trạng thái | 0 Trạng thái tiếp theo | 2 ứng vớinăng lượng E1    Eo  2 có thể được xem như là kết quả của việc thêmmột lượng tử năng lượng  vào trạng thái | 1 , cũng có nghĩa là thêm hailượng tử năng lượng   vào trạng thái | 0 Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là

Eo thì có thể coi trạng thái | 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy

| 0 được gọi là trạng thái chân không, | 1 là trạng thái chứa một lượng tử, | 2

0

n

là trạng thái chứa hai lượng tử | n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử

Nˆ có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận làtoán tử số năng lượng Toán tử

aˆ khi tác dụng lên | n cho một trạng thái tỉ lệvới | n  1 do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử

aˆ  khi tác dụng lên | n cho một trạng thái tỉ lệ với | n  1 do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử

năng lượng là một hạt thì toán tử

là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa

Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa cóthể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng   [1], [3], [5]

Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử aˆtác dụng lên | n cho một trạngthái tỉ lệ với | n  1 và toán

n | Nˆ | n 

n | n

n | Nˆ | n

m,n

1.2 Các toán tử sinh, hủy Boson.

Ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt và toán tử hủy hạt [1], [2], [5]:

[aˆ, aˆ  ] =1 [aˆ, aˆ]  [aˆ  , aˆ  ]  0 (1.22)

Mở rộng các hệ thức này cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau như sau:

Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc

tơ cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử

Các toán tử sinh hạt, hủy hạt Boson phải tuân theo hệ thức giao hoán:

[aˆ , aˆ ]  [aˆ 

, aˆ ]=0

Ta đi tìm biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson aˆ  , huỷ Boson

Như vậy các trị riêng của các tích những toán tử aˆaˆ 

và

aˆ 

aˆ lần lượtbằng n  1 và n Do đó ma trận của những toán tử này trong biểu diễnriêng của chúng là những ma trận chéo

 0



Vậy biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson aˆ  , huỷ Boson aˆ vàtoán tử số hạt

1.3 Xây dựng Thống kê Bose – Einstein bằng phương

pháp lý thuyết trường lượng tử

Để xây dựng thống kê Bose – Einstein ta xuất phát từ biểu thức tính giátrị trung bình của đại lượng vật lý F [1], [2], [5]:

Tr (e  ( Hˆ   Nˆ ) Fˆ )

F 

(1.29)

Trong đó Z là tổng trạng thái, xác định tính chất nhiệt động của hệ

và có dạng:

Với  là năng lượng của một dao động tử.

Mặt khác ta lại có Nˆ | n  n | n và điều kiện trực chuẩn:

 Trong đó Tr (e   ( Hˆ   Nˆ ) Nˆ )   n |e   ( Hˆ   Nˆ ) Nˆ | n   n |e   (    ) Nˆ

e ( 

 )

[e (   )-1]

hạt Boson.

Kết luận chương 1:

Như vậy trong chương 1 chúng ta đã tính toán được các toán tử sinh hạt

và hủy hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính và của các Boson tạo cơ sởtính toán cho các chương sau

Xây dựng được hàm phân bố thống kê Bose – Einstein bằng phươngpháp lý thuyết trường lượng tử, với hàm phân bố đã xây dựng được ta ápdụng vào nghiên cứu một số hiện tượng vật lý sẽ được trình bày trong chương2

Chương 2

CÁC ÁP DỤNG THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN

2.1 Khí Boson lý tưởng.

Khí Boson lý tưởng giống như chất khí lý tưởng do đó khí

Boson – Einstein lý tưởng có các tính chất sau đây:

Khối khí Boson gồm vô số các phân tử khí, các phân tử khí có kíchthước rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng Các phân tử khí chuyển độnghỗn loạn không ngừng và chỉ tương tác với nhau khi va chạm và sự va chạmnày là hoàn toàn đàn hồi Sự va chạm của các phân tử khí lên thành bình gâylên áp suất Do đó, áp suất chất khí bằng áp suất va chạm các phân tử khí vớithành bình

Các định luật đối với khí Boson lý tưởng chỉ đúng trong điều kiện nhiệt

độ và áp suất thường (trong phòng thí nghiệm) đối với chất khí có áp suất caothì không hoàn toàn đúng

Khí Boson lý tưởng tuân theo các định luật thực nghiệm của khí lýtưởng Vì các phân tử khí có kích thước rất nhỏ so với khoảng cách giữachúng nên chúng có thể được coi như những chất điểm, khi đó thể tích bìnhchứa chính là thể tích dành cho chuyển động của các phân tử

Nhiệt độ và áp suất là các đại lượng đặc trưng cho chuyển động nhiệtcủa các phân tử và của các va chạm các phân tử khí với thành bình

Lực liên kết giữa các phân tử khí và các lực tương tác hoàn toàn bằngkhông [1], [6]

2.2 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein

Ở nhiệt độ thấp khí Boson có tính chất khác hẳn khí Fecmi, vì các hạtBoson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Paoli nên ở nhiệt độ khôngtuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lượng   0 , do đó trạng thái cơ bản củatất cả chất khí là trạng thái có năng lượng E  0 Còn đối với khí Fecmi, chẳnghạn như khí điện tử tự do trong kim loại thì ở nhiệt độ T  0K các hạt lần lượtchiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 tới mức Fecmi, do đó năng lượng của

cả hệ khác 0 [2], [6]

Khí Boson tuân theo quy luật phân bố thống kê Bose – Einstein, vì vậy

số hạt trong khoảng năng lượng d là:

f ( )d là số các mức năng lượng trong khoảng  đến

N ( ) là số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng

  p 2

p  k , do đó (2.3) được viết lại như sau: f ( p)dp  V

)

phụ thuộc vào Spin của hạt, nếu Spin của hạt bằng 0 chẳng hạn như

phân tử He 4 thì bội suy biến g (  )  1

Thay (2.2 và (2.5) vào (2.1) ta thu được số hạt trung bình có năng

lượng trong khoảng  đến  

d 

bằng:

3 1

g (2m) 2 V dn( ) 

Số hạt dn( ) trong khoảng năng lượng từ  đến  

d

vì vậy thế hóa học  phải thỏa mãn điều kiện   0

phải là số dương,

Nếu số hạt N là số cho trước thì biểu thức (2.7) sẽ xác định được  và

 là hàm nghịch biến của nhiệt độ, tức là:   0

   (   

   1

0 và   0 cho nên ta thu

, ta có (  0)  g ( 2 mk T ) V x  (2.12)

2 3  x

N dx

k T 4 

0 e  1

nhỏ hơn tổng số hạt của chất khí.

Vậy thì số hạt còn lại có năng lượng bằng bao nhiêu? Vì năng lượng của mỗi hạt không thể âm nên hiển nhiên là số hạt còn lại có nănglượng   0 Số hạt đó được tính như sau:

N (   0)  N  N (   0)

T 3

N (  0)  N[1  ( ) 2 ] (2.13)

Tc

Vậy đối với mọi chất khí Boson có tồn tại nhiệt độ Tc mà ở dưới nhiệt

độ này thì thế hóa học   0 Trong khoảng nhiệt độ 0  T  Tc có một số hạtnằm trong trạng thái có năng lượng thấp nhất được xác định bởi công thức(2.13), nghĩa là các hạt đó nằm ở một pha khác mà người ta gọi là pha ngưng

tụ Bose – Einstein đây là một trạng thái đặc biệt của vật chất mà Einstein đã

dự đoán có thể xảy ra

Khi T=0K thì tất cả các hạt đều có năng lượng   0 Việc tính toánđược nhiệt độ ngưng tụ Tc chứng tỏ rằng ở nhiệt đó tất cả các chất đều ở trạngthái rắn hoặc trạng thái lỏng, nghĩa là chúng không ở trạng thái khí

Trong He4 lỏng ở nhiệt độ 2,8K người ta đã quan sát được một sự biếnđổi trạng thái độc đáo, mà ta có thể xem như là sự ngưng tụ Boson Ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ 2,8K Hêli lỏng gồm hai thành phần:

Thành phần bình thường mà ta có thể xem như một chất khí Boson cònchưa ngưng tụ, và thành phần siêu lỏng mà ta có thể xem như một chất khíBoson ngưng tụ ở mức “ không”

Các hạt nằm ở mức “không” của thành phần siêu lỏng của Hêli không thể có đóng góp gì vào trong nhiệt dung và không thể truyền năng lượng trong

2

chuyển động tương đối Nói khác đi, trong thành phần siêu lỏng

xuất hiện lực nội ma sát (độ nhớt)

He 4 không có

Như vậy việc chuyển Hêli từ trạng thái lỏng về trạng thái siêu lỏng(chuyển pha loại hai) có thể xem như là sự xác nhận lý thuyết về sự ngưng tụcủa khí Boson Tuy nhiên với đồng vị He3 lỏng thì không có thành phần siêulỏng ở nhiệt độ thấp, bởi vì số nucleon trong hạt nhân là lẻ, nó có Spin bán nguyên và do đó nó tuân theo thống kê Fecmi – Dirac

Dựa vào biểu thức (2.11) ta thấy rằng nhiệt độ chuyển pha Tc phụ thuộc vào nồng độ hạt (N/V)

Bảng nhiệt độ chuyển pha Tc và nồng độ hạt (N/V) của một vài vật liệusiêu dẫn [7], [8], [9]

V

ật

li T(c N/ VậtTc

N/N