Phương pháp giải bài tập về quá trình biến đổi trạng thái của khí lý tưởng có liên quan đến đồ thị

Bài tập về phương trình trạng thái của khí lý tưởng có liên quan đến đồ thị là dạng bài tập mà trong đó những dữ liệu được sử dụng làm dữ kiện để giải phải tìm trong các đồ thị cho trước hoặc ngược lại, từ đồ thị yêu cầu phải biểu diễn được các quá trình diễn biễn của hiện tượng trong bài tập. Đối với dạng bài tập này, nếu giáo viên bổ sung thêm kiến thức toán về đồ thị và đưa ra hướng giải chung cho các bài tập sẽ giúp học sinh định hướng cách giải cho từng bài cụ thể.

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT QUANG HÀ

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG ÔN THI HỌC SINH GIỎI

Tên chuyên đề:

Phương pháp giải bài tập về quá trình biến đổi trạng thái

của khí lý tưởng có liên quan đến đồ thị

NGƯỜI THỰC HIỆN: NGUYẾN THỊ NGUYỆT ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THPT QUANG HÀ ĐỐI TƯỢNG : HỌC SINH LỚP 10

SỐ TIẾT : 6 TIẾT

Năm 2016-2017

A MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU

I NỘI DUNG

Bài tập về phương trình trạng thái của khí lý tưởng có liên quan đến đồ thị

là dạng bài tập mà trong đó những dữ liệu được sử dụng làm dữ kiện để giải phải tìm trong các đồ thị cho trước hoặc ngược lại, từ đồ thị yêu cầu phải biểu diễn được các quá trình diễn biễn của hiện tượng trong bài tập Đối với dạng bài tập này, nếu giáo viên bổ sung thêm kiến thức toán về đồ thị và đưa ra hướng giải chung cho các bài tập sẽ giúp học sinh định hướng cách giải cho từng bài cụ thể

II KĨ NĂNG

Học sinh có kỹ năng phân tích đồ thị trong các bài tập vật lý

Thông qua việc giải tốt các bài tập vật lí học sinh sẽ hiểu sâu lí thuyết và rèn luyện đư+-ợc kĩ năng so sánh, kĩ năng phân tích ,tổng hợp…do đó có thể phát triển tư duy học sinh

III PHƯƠNG PHÁP

1 Về phía giáo viên

Để thực hiện chuyên đề đã chọn, chúng tôi đã kết hợp sử dụng kết hợp những phương pháp sau:

- Hoạt động song phương giữa giáo viên và học sinh trong quá trình tiếp cận, tìm hiểu và nhận biết những bài tập về phương trình trạng thái của khí lý tưởng có liên quan đến đồ thị

- Phương pháp phân tích - tổng hợp

- Phương pháp khảo sát thống kê - phân loại

- Phương pháp hệ thống

- Phương pháp so sánh

=> Mục đích: nhằm hệ thống hóa những đơn vị kiến thức cơ bản cần giảng dạy và hướng dẫn học sinh Kết hợp sử dụng phương pháp gợi mở, nêu vấn đề, trao đổi thảo luận nhằm phát triển khả năng tư duy hệ thống, thiết lập hệ thống ý

và phát huy khả năng làm việc nhóm, làm việc độc lập ở học sinh

2 Về phía học sinh

- Sau khi xử lí nguồn tài liệu, học sinh tích cực, chủ động đưa ra các phương án phân tích để đưa ra phương pháp giải bài toán

- Học sinh cần huy động những năng lực như: năng lực vận dụng tổng hợp, năng lực hợp tác, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực vận dụng kiến thức liên môn giải quyết vấn đề, để hiểu sâu, rộng hơn về bài tập có liên

quan đến đồ thị.

IV ĐỐI TƯỢNG, THỜI LƯỢNG GIẢNG DẠY CHUYÊN ĐỀ

- Học sinh lớp 10, 11: Bồi dưỡng học sinh giỏi

- Số tiết: 06 tiết

T2>T1 T2

C

T1

0

p

V

0 p

T B

T2 T1

T2>T1

B PHẦN NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

I- Phương pháp chung giải bài tập về phương trình trạng thái của khí lý

tưởng có liên quan đến đồ thị

Các bài toán cho trước đồ thị, ta phải phân tích đồ thị về các mặt sau:

- Từ đồ thị ta xác định được các quá trình biến đổi trạng thái của khối khí từ đó lựa chọn được định luật chất khí phù hợp

- Nếu dùng các định luật về chất khí mà chưa đủ điều kiện để giải bài toán thì ta phân tích đồ thị về mặt toán học để tìm thêm số phương trình như viết phương trình của đường đồ thị, tìm giao điểm của các đường đồ thị,…

Sau đây là các kiến thức cơ bản của phần Nhiệt học được sử dụng trong

chuyên đề:

II – cơ sở lý thuyết

1- Các định luật cơ bản về chất khí lý tưởng

1.1 Định luật Bôilơ – Mariốt

Quá trình đẳng nhiệt: p.V = hằng số = a (1)

Hay p1.V1 = p2.V2

Đường đẳng nhiệt:là đường biểu diễn sự biến thiên của áp suất theo thể tích khi nhiệt độ không đổi

Từ phương trình (1) p=

a

đường hybebol

1.2 Định luật sác lơ

Quá trình đẳng tích:

p

T= hằng số = a (2)

Hay

p1

T1=

p2

T2

Đường đẳng tích là đường đồ thị biểu diễn sự biến thiên

của áp suất theo nhiệt độ khi thể tích không đổi

Từ (2) p=a.T nên đường đẳng tích là đường thẳng kéo dài qua gốc tọa độ

V

T A

p1 p2

p2>p1

1.3 Định luật Gayluyxac

Quá trình đẳng áp:

V

T= hằng số = a (3)

Hay

V1

T1=

V2

T2 Đường đẳng áp là đường biểu diễn sự biến thiên của thể tích

theo nhiệt độ khi áp suất không đổi

Từ (3) V=a.T nên đường đẳng tích là đường thẳng kéo

dài qua gốc tọa độ

1.4 Phương trình trạng thái của khí lý tưởng

pV

T = hằng số

Hay

p1V1

T1 =

p2V2

T2

1.5 Phương trình Claperon – Mendeleep

Xét một lượng khí có khối lượng m, khối lượng mol của chất khí là M đang ở nhiệt độ T, áp suất p, thể tích V, ta có

pV =

m

Với hằng số R = 8,31J/mol.K,

Lưu ý đơn vị của các đại lượng: V(m3), p(Pa), T(K)

2 Công của chất khí lý tưởng trong các đẳng quá trình

- Đối với quá trình nhỏ: ΔAA= p ΔAV

- Đối với quá trình lớn: A=∑ΔAA=∑p ΔAV hay A=∫p ΔAV

a Quá trình đẳng tích ( ∆ V =0): A = 0

b Quá trình đẳng áp (p = hằng số) : A = p.(V2-V1)

c Quá trình đẳng nhiệt (T = hằng số):

A12=∫

V1

V2

pdV =nRT∫

V1

V2

p dV =nRT∫

V1

V2

1

V dV =nRTLn

V2

V1

Nếu trên hệ tọa độ p-V thì công của quá trình 1-2 có thể được tính bằng diện tích đường biểu diễn với các đường V=V1, V=V2 và trục OV Đặc biệt, nếu chu trình (quá trình khép kín) công tính bằng diện tích đường giới hạn của chu

trình trong hệ tọa độ p-V, nếu chiều chu trình thuận theo chiều kim đồng hồ A>0, ngược lại A<0

Để minh họa cho phương pháp giải bài tập này dưới đây là một số ví dụ minh họa:

III- Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Một mol khí lí tưởng thực hiện quá trình giãn

nở từ trạng thái 1 (p0,V0) đến trạng thái 2 (p0/2,2V0) có

đồ thị trên hệ toạ độ p-V như hình vẽ Biểudiễn quá trình

ấy trên hệ toạ độ p-T và xác định nhiệt độ cực đại của

khối khí trong quá trình đó

Hướng dẫn

Vì đồ thị trên p-V là đoạn thẳng nên ta có: P = αV + βV + β (*); trong đó αV + β và β là các

hệ số phải tìm

- Khi V = V0 thì p = p0 nên: P = αV + βV + β 0 0 (1)

- Khi V = 2V0 thì p = p0/2 nên: P /2 = 2αV + βV + β 0 0 (2)

- Từ (1) và (2) ta có: αV + β = - P / 2V 0 0 ; β = 3P / 2 0

- Thay vào (*) ta có phương trình đoạn thẳng đó :

0

3P P

P = - V

2 2V (**)

- Mặt khác, phương trình trạng thái của 1 mol khí : PV = RT (***)

- Từ (**) và (***) ta có :

2

0

- T là hàm bậc 2 của p nên đồ thị trên T-p là một phần parabol

+ khi p = p0 và p = p0/2 thì T = T1 =T2 =

0 0

P V

R ; + khi T = 0 thì p = 0 và p = 3p0/2

- Ta có :

(P)

0



3P

P =

4 ; cho nên khi

0

3P

P =

4 thì nhiệt độ chất khí là T = Tmax =

0 0

9V P 8R

1

2 P

V

P

P / 2

0

0

V V2

V1 O

(4)

(2)

(1)

(3)

T

- Đồ thị biểu diễn quá trình đó trên hệ toạ độ T-P là một trong hai đồ thị dưới đây :

Ví d ụ 2:

Một lượng khí biến đổi theo chu trình biểu diễn bởi đồ thị trên hình 4 Cho biết: p1=p3, V1=1m3, V2=4m3, T1=100K, T4=300K Hãy tìm V3

Hướng dẫn

a) Do trạng thái (1) và (3) nằm trên đường đẳng áp nên ta có:

V1T3=V3T1 T3=100V3 (1)

- Xét tam giác (1)(2)(4) ta có:

V2−V1

T4−T1=

V3−V1

T4−T3→

4−1 300−100=

V3−1

300−T3(2 ) Thay (1) vào (2) ta có: V3=2,2m3

T

P

P / 20 3 P / 40 P0 3 P / 20 0

1 2

9 V P / 8 R

V P / R

0 0

0 0

VB VA

(B) p

V

(A) O

I

pA

Ví dụ 3

Một mol khí lý tưởng trong xi-lanh kín biến đổi

trạng thái từ (A) đến (B) theo đồ thị có dạng một phần

tư đường tròn tâm I(VB, pA), bán kính r = VA – VB như

hình bên Tính công mà khí nhận trong quá trình biến

đổi trạng thái từ (A) đến (B) theo pA và r

Hướng dẫn

Cách 1: A AB = diện tích hình (ABV B V A ) = p A (V A – V B ) +

1

4πrr

2

=> A r P ( A 4r)



Cách 2: Đối với học sinh lớp 12 khi đã học tích phân có thể sử dụng cách

này

+ Gọi tâm đường tròn I(x0, y0); x0 = VB; y0 = PA và V = x; y = P

+ Ta có phương trình đường tròn tâm I, bán kính R là:

 yy  r  x x (1) +Theo công thức tính công của khí:

dA P dV   y0  r2 (x x 0 )2 dx

 ∫  ∫   

(2) + Đặt X  x x0  dx dX (3)

+ Từ (2) suy ra:

2

1

  ∫  

x

x

(4) + Đặt X  r sint dX  r cost dt

+ Thay vào (4), suy ra:

2

1

( ) os

  ∫  

t

t

2

1

2

( ) (1 os2 )

2

    ∫ 

t

t

r

( ) sin 2

2 4

    

+ Vì X  x x0  x V B và X  r sint

T

3 4

P(105Pa)

V(l)

3

12,48

+ Khi x x1 V A X1 V A V B t1 2



      

+ Khi x x 2 V B  X2 V BV B   0 t2  0

+ Suy ra

2

2

 A A B  r     A B A  

+ Khí thực hiện công: A r P ( A 4r)



Ví dụ 3:

Có 1 g khí Heli (coi là khí lý tưởng đơn nguyên

tử) thực hiện một chu trình 1 – 2 – 3 –4 – 1 được

biểu diễn trên giản đồ p-T như hình vẽ bên Cho p0

= 105 Pa; T0 = 300K

a Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4

b Hãy nói rõ chu trình này gồm các đẳng quá trình nào Vẽ lại chu trình này trên giản đồ p-V và trên giản đồ V-T (cần ghi rõ giá trị bằng số và chiều biến đổi của chu trình)

c Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của chu trình

Hướng dẫn:

a Quá trình 1 – 4 có P tỷ lệ thuận với T nên là quá trình đẳng tích, vậy thể tích

ở trạng thái 1 và 4 là bằng nhau: V1 = V4 Sử dụng phương trình Claperon - Mendeleep ở trạng thái 1 ta có:

P1V1=m

M RT 1

=>

V1=m M

RT 1

P1

Thay số: m = 1g;  = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T1 = 300K và P1 = 2.105 Pa ta được:

V4=

1.8 ,31.300

4 2.105 =3 ,12.10

−3m3

b Từ hình vẽ ta xác định được chu trình này gồm các đẳng quá trình sau:

1 – 2 là đẳng áp; 2 – 3 là đẳng nhiệt;

3 – 4 là đẳng áp; 4 – 1 là đẳng tích

Vì thế có thể vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V (hình a) và trên giản đồ V-T (hình b) như sau:

Trang 9

Hình a

V(l)

0 3,12 6,24 12,48

Hình b

T(K) 0

150

9

180

36

360

4

3

2 1

T(K) V(dm3)

0,83

1,66

18 36 9

4

3 2

1

V(dm3) p(105Pa)

c Để tính công, trước hết sử dụng phương trình trạng thái ta tính được các thể tích: V2 = 2V1 = 6,24.10 – 3 m3; V3 = 2V2 = 12,48.10 – 3 m3

Công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn:

A12=p1(V2−V1)=2 105(6 ,25 10−3−3 ,12 10−3)=6 , 24 102J

A23=p2V2Ln V3

V2=2.10

5.6 ,25 10−3Ln 2=8, 56 102J

A34=p3(V4−V3)=105(3 ,12.10−3−12 , 48 10−3)=−9,36 102J

A14=0 vì đây là quá trình đẳng áp

Ví dụ 4:

Một mol khí lí tưởng thực hiện chu trình 1 - 2

- 3 - 4 như hình vẽ Cho biết : T1 = T2 = 360K ;

T3 = T4 = 180K ; V1 =36dm3; V3 = 9dm3

Cho hằng số khí lý tưởng R = 8,31 J/mol.K

a Tìm áp suất p ở các trạng thái 1, 2, 3, và 4

b Vẽ đồ thị p-V của chu trình

Hướng dẫn:

Nhận xét : Các quá trình 4-1 và 2-3 là đẳng áp vì

V tỉ lệ với T;

Các quá trình 1-2 và 3-4 là đẳng nhiệt

a Ta có: T1 = 2T4 và T2 = 2T3

Áp dụng phương trình trạng thái của khí lý tưởng

Ta có:

3 1

4

36 18

2 2

V

V2  2V3  18dm3V4

5 1

1

8,31.360

0,036

RT

Pa V

5 2

2

8,31.360

0, 018

RT

Pa V

b Đồ thị p-V được vẽ như hình bên

T(K)

O

3

V1 V3

Hình cho câu 2 T1 T2 T3

O

P3

V

P2

1

3 2

P1

Ví dụ 5:

Một mol khí lí tưởng thực hiện chu trình

1-2-3-1 như hình vẽ Biết T1 = 300K; T3 = 675K; V3 = 5lít; R = 8,31J/mol.K; các điểm 1 và 3 cùng nằm trên một Parabol có đỉnh là tọa độ

Tính công sinh ra trong cả chu trình

Hướng dẫn

Trạng thái 3: P3=

RT 3

V3 =11,22 10

5N /m2

Vì T1= α V12 và T3= α V32 nên:

300 2

675 3

V  T  

Suy ra V1=

10

3 l ; P1=

RT 1

V1 =7 , 48 105 N/m2

Phương trình của đoạn 1-3 trong hệ tọa độ (P,V) như sau: Từ P.V=RT=R α V2

Suy ra P=R α V nên đoạn 1-3 trong hệ (P,V) là đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ Công sinh ra : A=

1

2(P3−P1)(V3−V1)≈312(J )

Ví dụ 6:

Một mol khí lí tưởng thực hiện chu trình 1-2-3-1 Trong đó, quá trình 1 - 2

được biểu diễn bởi phương trình T = T 1 (2- bV)bV (với b là một hằng số dương

p

V

1

V3

p1 p2

5

C B

E

V (lít)

diễn bởi phương trình : T= T 1 b 2 V 2 Biết nhiệt độ ở trạng thái 1 và 2 là: T1 và 0,75T1 Hãy tính công mà khối khí thực hiện trong chu trình đó theo T1

Hướng dẫn

+ Để tính công mà khối khí thực hiện , ta vẽ đồ thị biểu diễn chu trình biến đổi trạng thái của chất khí trong hệ tọa độ hệ tọa độ (p - V)

+ Quá trình biến đổi từ 1-2:

Từ T =pV/R và T = T 1 (2- bV)bV

=> P= - Rb 2 T 1 V+2RbT 1

+ Quá trình 2-3 là quá trình đẳng áp P2 = P3

+ Quá trình biến đổi từ 3-1

Từ T=PV/R và T = T 1 b 2 V

=> P= Rb 2 T 1 V

+ Thay T=T1 vào phương trình T = T 1 (2- bV)bV

=> V1=

1

b => P 1 = RbT 1

+ Thay T2= 0,75T1 vào phương trình: T = T 1 (2- bV)bV

=> V2=

3

2b =1,5V 1 và V 2 =0,5V 1(vì V2 > V1 nên loại nghiệm V 2 = 0,5V 1) + Thay V2=

1,5

b vào P= -Rb 2 T 1 V + 2RbT 1

=> P 2 = P 3 = 0,5RbT 1 =0,5P 1 => V 3 = 0,5V 1 =

1

2b

+Ta có công: A = 0,5(P 1 - P 2 ).(V 2 -V 3 ) = 0,25RT 1

Ví dụ 7

Một mol khí lí tưởng thực hiện 1 chu

trình BCDEB như hình bên Tìm công

mà khí thực hiện trong một chu trình

Hướng dẫn

Quá trình EB là đẳng áp nên: P E=P B=

RT B

V B =

8,3 60

5 10−3=0 ,996 10

5N /m2

P B PB

C A

VA 3VA O

Quá trình CD là đẳng áp nên:

P C=P D=RT D

V D =

8,3 480

10 10−3=3 , 984 10

5N /m2

Công trong các quá trình là: ABC = ADE =0

ACD = pC(VD – VC) = 3,984.105 ( 10 – 5).10-3 = 1992J

AED = pB (VB – VE) = 0,996.105 (5 – 10) 10-3 = - 498J

Công mà chất khí thực hiện trong chu trình là:

A = ACD + AED = 1494J

Ví dụ 8

Một lượng khí lý tưởng thực hiện một chu trình như hình

vẽ Nhiệt độ khí ở trạng thái A là 200K Ở trạng thái B

và C khí có cùng nhiệt độ

Xác định nhiệt độ cực đại của khí

Hướng dẫn

- Do VC = 3VA nên PC = 3PA Ta có ở quá trình AB là đẳng tích

p

T = const nên từ A đến B nhiệt độ tăng và đạt cực đại ở B Và:

p A

T A=

p B

T B ⇒p B=p A

T A T C=3 pC=9 p A

- Quá trình CA do phương trình đường CA có dạng p = uV hay nRT = uV2 nên

T cực đại tại C

- Xét quá trình BC: Phương trình đoạn BC là P = a.V + b

Tại B là 9PA = aVA + b

=> p=−

3 p A

V A V +12 p A

⇒nRT

3 p A

V A V +12 p A

⇒T =

3 p A

nPV A V

2 +12 p A

nR V

⇒Tmax=[12 p A

nR ]

4 3 p A

nRV A

2

Vậy nhiệt độ cực đại của khí đạt được tại một điểm trên BC là: Tmax = 12.200 = 2400K

Ví dụ 9:

⇒a=− 3 p A

V A ;b=12 p A

p

Trên hình vẽ biểu diễn một chu trình biến đổi trạng thái

của n mol khí lý tưởng Chu trình bao gồm hai đoạn thẳng

biểu diễn sự phụ thuộc của áp suất p vào thể tích V và một

đường đẳng áp Trên đường đẳng áp 1-2, sau khi thực hiện

một công A thì nhiệt độ của nó tăng 4 lần Nhiệt độ ở các

trạng thái 1 và 3 bằng nhau Các điểm 2 và 3 nằm trên đường

thẳng đi qua gốc tọa độ Hãy xác định nhiệt độ của khí ở

trạng thái 1 và công mà khí thực hiện trong chu trình

Áp dụng bằng số : n=1, A=9000J

Hướng dẫn :

Gọi nhiệt độ của khí ở trạng thái 1 là T1, khi đó nhiệt độ ở trạng thái 2 sẽ là 4T1 Giả sử áp suất trên đường đẳng áp 1 – 2 là p1, thì công mà khí thực hiện trong quá trình này là: A = p1(V2 -V1), trong đó V1 và V2 tương ứng là thể tích khí ở trạng thái 1 và 2

Áp dụng phương trình trạng thái cho hai trạng thái này:

p1V1 =nRT1, p2V2=4nRT1 (1)

=> T1=

A

Thay số ta có : T1=361K

- Gọi p3 là áp suất khí ở trạng thái 3 thì công mà khí thực hiện trong cả chu trình được tính bằng diện tích của tam giác 123:

A 123 =

1

2 (p 1 -p 3 )(V 2 - V 1 ) (3)

- Kết hợp với phương trình trạng thái (1) và nhiệt độ T1 theo (2) ta tìm được:

V1=

nRT 1

p1 =

A

3 p1 (4)

và V2=

4 nRT 1

p1 =

3 A

3 p1 (5) -Thay (4) vào (5) ta có biểu thức tính công trong cả chu trình:

A123 =

3

1

p A

1 -

2 p

 

 

  (6)

- Vì các trạng thái 2 và 3 nằm trên cùng một đường thẳng qua gốc tọa độ nên: