BG toan thong ke cho KHXH mở đầu, chuong 1 mot so kq ve xac suat ngành Công tác xã hội

CHỈNH HỢP 1.1 Định nghĩa Có n vật khác nhau lấy lần lượt ra k vật, mỗi nhóm k vật như vậy theo thứ tự đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n vật.. Định nghĩa 1.1 Một nhóm k vật lấy

Trang 1

Toán thống kê cho KHXH (Bài giảng phần lý thuyết dành cho K23 CTXH) ThS Phan Văn Linh

1

Bài mở đầu: GIẢI TÍCH TỔ HỢP

A.MỤC TIÊU

Về kiến thức:

- SV hiểu được các khái niệm chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp lặp và luật tích- luật tổng

Về kỹ năng:

- SV phân biệt được chỉnh hợp và tổ hợp;

- Biết tính toán về chỉnh hợp, tổ hợp và vận dụng được luật tích, luật tổng;

- Thực hành tính được chỉnh hợp, hoán vị bằng máy tính

Về thái độ:

SV cảm nhận rõ sự liên quan mật thiết giữa toán học tổ hợp với các tình huống đời thực

B.NỘI DUNG

1 CHỈNH HỢP

1.1 Định nghĩa

Có n vật khác nhau lấy lần lượt ra k vật, mỗi nhóm k vật như vậy (theo thứ tự đó)

được gọi là một chỉnh hợp chập k của n vật Nếu vật nào cũng có khả năng được chọn

như nhau thì có n cách chọn vật thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ hai, , ( n - k +1) cách chọn vật thứ k Tất cả có n(n - 1) … (n - k + 1) chỉnh hợp chập k của n vật

Hai chỉnh hợp khác nhau nếu có ít nhất một vật khác nhau hoặc các vật như nhau nhưng thứ tự lấy ra khác nhau

Định nghĩa 1.1

Một nhóm k vật lấy lần lượt có thứ tự trong số n vật khác nhau gọi là một chỉnh hợp chập k của n vật Số chỉnh hợp chập k của n vật, kí hiệu là A , được tính theo công knthức :

k n

A n(n 1) (n  k 1), (1 k n) (1.1)

1.2 Ví dụ

Ví dụ 1.1 Cửa hàng có 3 cái mũ xanh, đỏ, tím Có 2 khách đến mua, cô bán hàng

lấy lần lượt ra 2 cái mũ giao cho 2 khách, cái thứ nhất màu xanh, cái thứ hai màu đỏ (kí hiệu (X, Đ)), (cũng có thể:(Đ, X) hoặc (X, T), (T, X), (Đ, T), (T, Đ)) Ta gọi mỗi kết quả

Ví dụ 1.2 Một tổ có 10 người, chọn từng nhóm 3 người để giao nhiệm vụ: người

thứ nhất là nhóm trưởng, người thứ hai theo dõi các chỉ tiêu kinh tế, người thứ ba theo dõi các chỉ tiêu kĩ thuật Mỗi nhóm 3 người chọn theo cách như vậy là một chỉnh hợp chập 3 của 10 người , số cách chọn bằng:

3 10

A 10.9.8 = 720 (cách)

Trang 2

Ví dụ 1.3 Có 8 đội bóng chuyền vào chung kết Có 3 đội sẽ được huy chương: một

đội được huy chương vàng, một đội được huy chương bạc, một đội được huy chương đồng Nếu 8 đội thực lực như nhau thì có thể có bao nhiêu danh sách bộ ba đạt được huy chương?

Như vậy theo (1.1) có tất cả là 3

vật thứ k để sắp vào chỗ thứ k… Mỗi cách sắp xếp được gọi là một hoán vị của n vật

Định nghĩa 1.2 Một nhóm n vật được sắp xếp vào n chỗ, mỗi cách sắp xếp được

gọi là một hoán vị

Số hoán vị được tính theo công thức

n n

Như vậy mỗi hoán vị n vật được xem là một chỉnh hợp chập n của n vật

2.2 Ví dụ

Ví dụ 1.4 Trong ví dụ 1.1 có 3 khách đến mua mũ, giả sử cô bán hàng lấy ra cả 3

cái mũ và 3 đưa lần lượt cho 3 khách, nếu khách thứ nhất nhận mũ xanh, khách thứ hai nhận mũ đỏ, khách thứ ba nhận mũ tím thí ta có kết quả (X, Đ, T), nhưng có thể cô bán hàng chọn mũ theo thứ tự khác nên kết quả là (Đ, X, T) hay (T, Đ, X), … tất cả có 3! = 6 kết quả khác nhau

Vì có 3 mũ lấy cả 3 nên hai kết quả chỉ khác nhau về thứ tự đưa 3 cái mũ cho 3 khách hàng, chẳng khác nào để 3 mũ X, Đ, T bên cạnh nhau sau đó đổi chỗ hoán vị các

mũ, sau mỗi lần đỗi chỗ được một kết quả khác, do đó mỗi kết quả gọi là một hoán vị của

3 mũ nói theo cách trình bày ở ví dụ 1.1 thì mỗi hoán vị ở đây chính là một chỉnh hợp

chập 3 của 3 mũ

Ví dụ 1.5 Có 4 người rủ nhau đi xem văn nghệ và được chọn 1 dãy 4 ghế ngồi

cạnh nhau Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn

Nếu sắp A ngồi vào ghế 1, B ngồi ghế 2, C ngồi ghế 3, D ngồi ghế 4 thì có một cách sắp xếp 4 người vào chỗ Nếu đỗi chỗ 2 người thì được cách một cách sắp xếp mới, mỗi cách sắp xếp như vậy gọi là một hoán vị Áp dụng (1.2) có số hoán vị của 4 người

là

4! =4.3.2.1= 24

Ví dụ 1.6 Có 6 cụ ông sắp hàng ngang để tập thể dục buổi sáng, sau buổi tập đầy

phấn khích các cụ quyết định từ ngày hôm sau ra tập tiếp và mỗi ngày sẽ sắp hàng theo một trật tự khác những lần tập trước Hỏi sau bao nhiêu ngày các cụ mới quay lại cách sắp xếp hàng trùng với ngày đầu tiên

Coi mỗi cách sắp hàng là một hoán vị của 6 phần tử, tức là một hoán vị của 6 cụ Theo (1.2) tất cả có 6! = 720

Trang 3

Có n vật khác nhau, lấy ra một nhóm k vật mà không kể thứ tự lấy, gọi một nhóm

như vậy là một tổ hợp chập k của n vật Hai tổ hợp khác nhau nếu có ít nhất một vật

khác nhau, như vậy khác với chỉnh hợp ở đây ta không chú ý đến thứ tự của các vật trong nhóm Khi lấy k vật ta có thể lấy một lần hoặc lấy lần lượt vì ở đây không chú ý đến thứ

tự của các vật được lấy ra

Định nghĩa 1.3 Một nhóm k vật lấy ra được từ n vật khác nhau gọi là một tổ hợp

chập k của n vật

Số tổ hợp chập k của n vật, kí hiệu là Ckn, được tính theo công thức:

k n

ACk!

 (1 k n) (1.3)

2.3 Ví dụ

Ví dụ 1.7 Khác với cách chọn ở thí dụ 1, cô bán hàng bây giờ chọn 2 trong 3 mũ

chỉ cho 1 khách hàng Ở đây sẽ có tất cả 3 cách chọn: một xanh một đỏ, hoặc một xanh một tím, hoặc một đỏ một tím Khác biệt với cách chọn ở thí dụ 1 là bây giờ không phân biệt thứ tự mũ chọn ra, chẳng hạn không phân biệt (X,Đ) với (Đ,X) Vậy mỗi cách chọn ở đây là một tổ hợp chập 2 của 3 mũ Từ đó, với 3 = 6

2! cách chọn Ta có hệ thức (1.3)

Ví dụ 1.8 Trong ví dụ 1.2 nếu chọn một nhóm 3 người trong 10 tổ viên mà không

phân công nhiệm vụ, lúc đó mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 10 người

Vậy có số cách chọn bây giờ, theo (1.3), là

3

3 1010

Ví dụ 1.9 Trong trường hợp ở ví dụ 0.3 chỉ đưa ra dự báo chung trong 3 đội đoạt

huy chương, không ghi cụ thể đội nào trong 3 đội được huy chương vàng, đội nào đạt huy chương bạc, đội nào được huy chương đồng thì mỗi dự báo như vậy là một tổ hợp chập 3 của 8 đội Bây giờ ta chỉ có dự báo chung, mỗi dự báo là một tổ hợp chập 3 của 8 đội Số dự báo là

3 8

Trang 4

Có n vật khác nhau, lấy lần lượt k lần, mỗi lần lấy một vật, lấy xong trả lại liền (nên lần sau lại có thể lấy được vật đã lấy trong các lần trước), mỗi nhóm k vật như vậy

được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n vật

So với chỉnh hợp ở (1.1) thì chỉnh hợp lặp khác ở chỗ các vật trong chỉnh hợp lặp

có thể giống nhau, tức là có thể lặp lại

Số chỉnh hợp lặp được tính theo cách lập luận: vật thứ nhất có n cách lấy, vật thứ hai có n cách lấy ,…, vật thứ k có n cách lấy, tổng cộng có n n n   nkchỉnh hợp lặp

Số chỉnh hợp lặp chập k của n vật được tính theo công thức :

n

A n , k 1, 2,3, (1.4)

4.2 Ví dụ

Ví dụ 1.10 Một khóa chữ có 6 vòng, mỗi vòng ghi năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Chọn

trên mỗi vòng một chữ số ta được một số có sáu chữ số gọi là một mã khóa Mỗi vòng ta

có 5 lựa chọn do đó có thể tạo được

Khác với luật tích, nếu công việc hoàn thành khi thực hiện một trong số n giai

đoạn thì số cách thực hiện công việc này bằng tổng m 1 +m 2 + + m n Đây là luật tổng

5.2 Ví dụ

Ví dụ 1.13 Muốn đi từ TP Kon Tum đến TP Đà Nẵng buộc phải qua hai đoạn

đường: Kon Tum- Pleiku (Gia Lai) và Pleiku- Đà Nẵng Số cách đi đoạn đường thứ nhất

là 3 (xe máy, xe ô tô, xe đạp), còn đoạn đường thứ hai có 2 cách (ô tô và máy bay) Vậy

Trang 5

5

muốn tính số cách đi từ TP Kon Tum đến TP Đà Nẵng ta dùng luật tích, có 3.2 = 6 (cách)

Ví dụ 1.14 Tua du lịch Măng Đen (Kon Tum) được tổ chức tại TP Kon Tum, du

khách có thể chọn lựa một trong hai hình thức: “du lịch cá nhân” tổ chức cho một người hoặc một cặp hai người đi bằng 3 cách (xe đạp, thuyền độc mộc, xe máy) ; “du lịch tập thể” tổ chức cho ba người trở lên đi bằng 2 cách (ô tô, xe máy) Để tính số cách thực hiện tua du lịch trên ta áp dụng luật tổng, kết quả có 3+2 = 5 (cách)

C.TÓM TẮT

Chỉnh hợp

Định nghĩa: Một nhóm k vật lấy lần lượt có thứ tự trong số n vật khác nhau gọi là

một chỉnh hợp chập k của n vật Số chỉnh hợp chập k của n vật, kí hiệu làAkn, được tính theo công thức : Akn n(n 1) (n  k 1), (1 k n)

ACk!

 (1 k n)

Chỉnh hợp lặp

Có n vật khác nhau, lấy lần lượt k lần, mỗi lần lấy một vật, lấy xong trả lại liền (nên lần sau lại có thể lấy được vật đã lấy trong các lần trước), mỗi nhóm k vật như vậy

được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n vật

Số chỉnh hợp lặp chập k của n vật được tính theo công thức :

Khác với luật tích, nếu công việc hoàn thành khi thực hiện một trong số n giai

đoạn thì số cách thực hiện công việc này bằng tổng m 1 +m 2 + + m n Đây là luật tổng

Trang 6

D.CÂU HỎI & BÀI TẬP, THỰC HÀNH, THẢO LUẬN

1.1 Ban thường vụ Tỉnh ủy tỉnh Kon Tum gồm 13 người, trong đó có 3 người là dân tộc

thiểu số Chọn ngẫu nhiên 3 người, tìm số khả năng xảy ra ứng với các tình huống sau: a- Chọn được cả 3 người là dân tộc thiểu số;

b- Chọn được 2 người là dân tộc thiểu số;

c- Chọn được 1 người là dân tộc thiểu số;

d- Không chọn được dân tộc thiểu số nào

1.2 Có bao nhiêu số gồm 3 chữ khác nhau lấy từ 5 chữ số 0, 2, 4, 6, 8?

1.3 Một lớp có 50 học viên, cần chọn ra lớp trưởng, lớp phó học tập và lớp phó vật chất

Nếu ai cũng có khả năng được chọn vào các chức vụ trên thì có bao nhiêu cách chọn?

1.4 Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5? 1.5 Có 24 đội bóng tham gia thi đấu, 2 đội phải đấu với nhau một lượt đi, một lượt về

Ban tổ chức cần tổ chức bao nhiêu trận đấu?

1.6 Có 3 ông cụ, 2 cụ bà và 5 em bé ngồi quanh 1 bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách sắp

xếp chỗ ngồi sao cho các cụ ông ngồi cạnh nhau, các cụ bà ngồi cạnh nhau và các em bé cũng ngồi cạnh nhau?

1.7 Có mấy cách phân phối 16 tặng phẩm cho 4 người sao cho:

c có hai màu bi khác nhau

Giải tích tổ hợp (hay toán học tổ hợp , đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hữu hạn phần tử Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, các phần tử của một tập hợp

Giải tích tổ hợp có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học, như đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) và hình học, cũng như đến các ngành ứng dụng như khoa học máy tính và vật lí thống kê

Giải tích tổ hợp liên quan đến cả khía cạnh giải quyết vấn đề lẫn xây dựng cơ sở lý thuyết, mặc

dù nhiều phương pháp lý thuyết vững mạnh đã được xây dựng, tập trung vào cuối thế kỉ 20 Một trong những mảng lâu đời nhất của toán học tổ hợp là lý thuyết đồ thị

Giải tích tổ hợp được dùng nhiều trong khoa học máy tính để ước lượng số phần tử của các tập hợp.

Trang 7

7

Chương 1 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ XÁC SUẤT

A.MỤC TIÊU

Về kiến thức:

- SV hiểu rõ các khái niệm phép thử- biến cố ngẫu nhiên- định nghĩa xác suất, các quy tắc cộng ( đơn giản) và nhân xác suất ( đơn giản);

- SV Nhận biết phép thử Bernoulli, biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên;

- SV viết được định nghĩa kỳ vọng- phương sai và ý nghĩa của kỳ vọng- phương sai; biết được phân phối nhị thức và phân phối chuẩn

Về kỹ năng:

- SV tính được xác suất bằng cách vận dụng định nghĩa, quy tắc nhân, quy tắc cộng xác suất (đơn giản) và công thức lập bảng phân phối xác suất (rời rạc);

- SV thực hành tính toán được các số đặc trưng kỳ vọng- phương sai

Về thái độ:

SV cảm nhận bước đầu những ứng dụng của xác suất vào thực tế cuộc sống

B.NỘI DUNG

1 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT DẠNG CỔ ĐIỂN

1.1 Phép thử, biến cố

Trong nghiên cứu tự nhiên và xã hội ta phải theo dõi các hiện tượng, phải cân,

đong, đo, đếm, làm thí nghiệm- ví dụ như gieo một đồng tiền, gieo con xúc xắc, bắn viên

đạn vào mục tiêu, kiểm tra độ bền của một lô bóng đèn, Người ta gọi chung những

công việc này là phép thử Có 2 loại: phép thử tất yếu và phép thử ngẫu nhiên Mục

đích của bộ môn xác suất và thống kê là đi nghiên cứu những phép thử ngẫu nhiên để từ

đó rút ra các quy luật của sự vật hiện tượng Lý thuyết xác suất và thống kê thuộc vào lý thuyết toán học hiện đại, có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học như Y học, Sinh học, Kinh tế học, Khoa học giáo dục, Xã hội học,…

Phép thử (ngẫu nhiên) là thực hiện một nhóm các điều kiện xác định ( có thể được lặp lại nhiều lần) và kết quả của nó ta không thể đoán trước được Kết quả của

phép thử, gọi là biến cố ( hay sự kiện)- ví dụ khi gieo 1 đồng tiền, kết quả là mặt sấp (S)

hoặc mặt ngửa (N) xuất hiện Và như thế phép thử này có hai biến cố sơ cấp: S, N

Nhưng cũng với phép thử này ta xét biến cố A= “hoặc là sấp hoặc là ngửa” thì nó không

là biến cố sơ cấp, vì A có thể được chia nhỏ thành S và N

Ta gọi 1 biến cố là biến cố sơ cấp (hay sự kiện sơ cấp, biến cố cơ bản) nếu nó

không thể phân chia thành biến cố nhỏ hơn nữa, kí hiệu là e , e1 2,….Giả sử có n sự kiện

sơ cấp: e , e , ,e thì tập hợp 1 2 n  {e ,e , ,e }1 2 n gọi là tập hợp các sự kiện sơ cấp

Một nhóm các sự kiện sơ cấp ( tập hợp con của ) được gọi là một biến cố ngẫu

nhiên ( hay sự kiện , biến cố) Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ A, B, C ,…

Chẳng hạn, gieo một con xúc sắc Sự kiện sơ cấp bao gồm 6 sự kiện là xuất hiện

mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm Sự kiện xuất hiện mặt chẵn A bao gồm ba sự kiện sơ cấp (2, 4, 6), sự kiện xuất hiện mặt lẻ B bao gồm ba sự kiện sơ cấp (1, 3, 5)

Nếu gieo hai con xúc xắc thì có tất cả các sự kiện sơ cấp là 36 cặp số (1, 2), (1, 3) ,…., (6, 6)

- Sự kiện “có mặt 6” bao gồm 11 sự kiện sơ cấp: (1, 6), (2, 6),…., (6, 1),… , (6, 6)

Trang 8

- Sự kiện “tổng số điểm trên hai con xúc xắc là 10” gồm ba sự kiện sơ cấp (4, 6), (5, 5), (6, 4)

- Sự kiện “điểm trên hai con xúc xắc bằng nhau” bao gồm 6 sự kiện sơ cấp (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)

Biến cố không thể (rỗng) là biến cố không thể xảy ra, kí hiệu 

Biến cố mà nó chắc chắn xảy ra khi phép thử được thực hiện gọi là biến cố chắc

chắn, ký hiệu 

Các biến cố sơ cấp hoặc các khả năng có thể mà từ đó ta suy ra biến cố A xảy ra

gọi là khả năng thuận lợi cho biến cố A

1.2 Xác suất của một biến cố

Khi tiến hành phép thử, mỗi biến cố (sự kiện) A có một mức độ hay khả năng xảy

ra, số đo khả năng xuất hiện đó được gọi là xác suất của biến cố, kí hiệu p(A)

(Probability) được chọn sao cho:

Chẳng hạn, gieo xúc xắc, nếu con xúc xắc là một hình lập phương cân đối và làm

bằng chất lượng đồng đều thì xác suất ra mặt chẵn bằng xác xuất ra mặt lẻ và bằng 1

2=0,5, còn xác suất “ra một số chia hết cho 3” là

1

3=0,3333, xác suất “ra mặt 6” là 1

Trang 9

9

p(A) m

n

Trong đó m: số khả năng thuận lợi cho biến cố A ;

n: số khả năng có thể xảy ra của phép thử

Ví dụ 2.1 Gieo đồng tiền cân đối và đồng chất, có thể coi hai kết quả sấp (S),

ngửa (N), là 2 sự kiện sơ cấp Tính xác suất P(S), P(N)?

Ví dụ 2.2 Nếu gieo một lúc hai đồng tiền cân đối đồng chất Tính xác suất để có 2

đồng đều xuất hiện mặt sấp

Ví dụ 2.3 Lấy ngẫu nhiên ra 8 con bài từ cỗ bài 52 con Tìm xác suất để:

a- Được 5 con màu đỏ;

b- Được 1 con Cơ, 2 con Rô, 3 con Pic;

c- Được 1 con At, 2 con Q, 3 con 10 và 2 con 2

C Cp(A)

C C C Cp(B)

C C C Cp(C)

C

Ví dụ 2.4 Vé xổ số có 4 chữ số, khi quay số trúng thưởng có một vé trúng giải

nhất là vé có 4 chữ số khác nhau Tính xác suất để mua 1 vé thì vé đó sẽ trúng giải nhất

Giải:

Có tất cả 104 10000vé bốn chữ số Ta có số khả năng có thể là n = 10000

Trang 10

Số vé có 4 chữ số khác nhau (vé xổ số có thể bắt đầu bằng số 0):A104 10.9.8.75040

Như vậy số khả năng thuận lợi cho biến cố mua vé trúng giải nhất là: m =

a Số khả năng thuận lợi cho biến cố A= “tổng số chấm ở hai con xúc xắc bằng 8”

là m=5 ( các biến cố thuận lợi là (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) ) Số khả năng có thể là n=6.6=36

Vậy p(A)= 5

36

b Số khả năng thuận lợi cho biến cố B= “số chấm ở hai con xúc xắc bằng nhau”

là m=6 Vậy xác suất phải tìm p(B)= 6 1

36 6

2 DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI

2.1 Biến cố độc lập, phép thử độc lập, phép thử lặp, phép toán – quan hệ biến cố

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra

của biến cố này sẽ không ảnh hưởng gì kết quả xảy ra của biến cố kia

Hai phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu việc thực hiện và kết quả của phép

thử này không ảnh hưởng và không phụ thuộc vào phép thử kia

Các phép thử lặp là các phép thử được thực hiện trong điều kiện hoàn toàn như

nhau Rõ ràng các phép thử lặp là độc lập với nhau

Ví dụ 2.6 Ba người cùng bắn vào một bia Gọi Ak=”người thứ k bắn trúng tâm bia”, k=1,2,3

Giải: Đây là 3 phép thử độc lập nhưng không phải phép thử lặp

- Phép nhân hai biến cố thành biến cố AB ( hay AB) xảy ra khi cả hai biến cố

A và B đều xảy ra

(Các phép toán này hiểu như phép hợp và giao của hai tập hợp A và B)

Trang 11

11

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu cả hai không thể cùng

đồng thời xảy ra (AB=)

Hai biến cố A và B được gọi là đối lập với nhau nếu chúng xung khắc nhau và

phép cộng A và B thành biến cố chắc chắn Nếu ký hiệu A là biến cố đối lập của A thì

AA= và A  A Như vậy hai biến cố đối lập thì xung khắc, còn xung khắc thì chưa chắc đối lập

Ví dụ 2.7 Gieo một xúc xắc, sự kiện A ”ra số chẵn” và sự kiện B “ra một số chia

hết cho 3” Mô tả sự kiệnAB?

Giải: Kết quả vừa là số chẵn (có sự kiện A) vừa là số chia được cho 3 (có sự kiện

B) chỉ có số 6 Vậy AB là sự kiện “ra mặt 6”

Ví dụ 2.8 Gieo 1 xúc xắc gọi A là sự kiện “ra mặt chẵn” Xác định sự kiện đối lập

của A?

Giải: Sự kiện đối lập cần tính là: A = “ra mặt lẻ”

Ví dụ 2.9 Khi thi thì sự kiện A “thi đỗ” có sự kiện đối lập A là “thi trượt”

Ví dụ 2.10 Nếu trong hộp có 3 loại bi màu trắng, màu xanh, màu đỏ thì sự kiện

“rút được bi xanh” xung khắc nhưng không đối lập với sự kiện “rút bi đỏ”, vì có thể rút

bi khác đó là “bi trắng”

Khi rút bi trong hộp nếu gọi A là sự kiện “rút được bi trắng” thì sự kiện đối lập A

là “rút được bi xanh hoặc bi đỏ”, A B C 

Người ta có các công thức tính xác suất sau:

P(AB)P(A)P(B)P(AB) (công thức cộng tổng quát) (2.4) Nếu A, B xung khắc thì:

P(AB)P(A)P(B) (công thức cộng đơn giản) (2.5) Đặt biệt P(A A) P( ) 1    do đó P(A)P(A) 1 , do đó:

P(A) 1 P(A) (2.6) Nếu A và B độc lập thì:

P(AB)=P(A).P(B) (công thức nhân đơn giản) (2.7)

Ví dụ 2.11 Trong hộp có 3 bi trắng, 4 bi xanh, 5 bi đỏ, gọi A là sự kiện rút được

bi trắng, B là sự kiện rút được bi xanh, C là sự kiện rút bi đỏ Hãy mô tả các biến cố A

Trang 12

Ví dụ 2.12 Trong kì thi quy định “điểm giỏi” là điểm 9 hoặc 10 (không cho điểm

lẻ) Một học sinh vào thi, A là sự kiện em này “đạt điểm 10”, B là sự kiện “đạt điểm 9” Giả sử xác suất p(A) = 0,3, p(B) = 0,4 Tính xác suất sự kiện em học sinh đó đạt điểm

giỏi

Giải: Gọi C là sự kiện “đạt điểm giỏi”, C là hợp của A và B

Vì A và B xung khắc nên theo CT (2.5) có:

p(C)p(AB)p(A)p(B)0,3 0, 4 0, 7

Ví dụ 2.13 Trong lô hàng của xí nghiệp bao gồm 70% sản phẩm thuộc loại I, 20%

thuộc loại II, số còn lại thuộc loại III Tính xác suất để kiểm tra 1 sản phẩm thì nhận được kết quả cho phép sản phẩm được xuất khẩu Biết rằng điều kiện xuất khẩu chỉ chấp nhận sản phẩm loại I hoặc loại II

Giải: Gọi A là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm thuộc loại I;

B là là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm thuộc loại II;

C là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm được chấp nhận cho xuất khẩu

Vì A, B xung khắc nên:

p(C)p(AB)p(A)p(B)0, 70, 20,9

Ví dụ 2.14 Hai người đi cùng bắn một mục tiêu một cách độc lập, xác suất để

người thứ nhất bắn trúng đích là 0,7, xác suất để người thứ 2 bắn trúng đích là 0,8

a Tính xác suất để cả 2 người đều bắn trúng đích

Trang 13

13

b) Một xạ thủ bắn vào mục tiêu 5 viên đạn với xác suất bắn trúng đích mỗi viên là p=0,8

Ta có 5 phép thử Bernoulli, với A= ”trúng đích” và p=p(A)=0,8 (không đổi)

Khi thực hiện n phép thử Bernoulli thì biến cố A có thể xảy ra 0 lần , 1 lần , ,n lần Biến cố “trong n lần đấy có đúng k lần biến cố A xảy ra” là một biến cố ngẫu nhiên

Ta ký hiệu Pn(k;p) là xác suất của biến cố này, được tính bởi công thức:

( Đây là công thức Bernoulli; Chứng minh: xem tại mục II trang 24 -[1])

Xác suất tính theo (2.8) gọi là xác suất nhị thức

Ví dụ 2.16: Gieo 8 lần một đồng tiền cân đối đồng chất Tìm xác suất để trong 8

lần gieo đó có 5 lần xuất hiện mặt ngửa

Giải: Ở đây n=8, k=5 Áp dụng công thức (2.8), với p=1/2 ta có xác suất để trong

8 lần gieo đó có 5 lần xuất hiện mặt ngửa là:

Ví dụ 2.17 Tỉ lệ nảy mầm của một loại hạt giống đạt 95% Tìm xác suất để khi

gieo ngẫu nhiên 10 hạt giống loại đó có 7 hạt nảy mầm

Giải: Ta kí hiệu M= “Gieo ngẫu nhiên một hạt giống thì hạt đó nảy mầm”

Vậy p=P(M)=0,95

Áp dụng công thức Bernoulli ta có:P (7;0,95)10 C 0,95 0,05107 7 3=0,01

Ví dụ 2.18 Trong một điều tra xã hội gần đây thì tỷ lệ sinh viên học tập không

đúng nghề mà họ yêu thích là 30% Trong một nhóm ngẫu nhiên 5 người sẽ có mấy người không yêu thích ngành đang học là có khả năng hơn cả

Giải: Ta có 5 phép thử Bernoulli ( khi cho tỷ lệ của A mà không cho số phần tử

của tập đang xét được hiểu là khả năng xảy ra A là như nhau trong các lần chọn, bỏ qua

sự khác nhau giữa lấy có hoàn lại và không hoàn lại)

p=P(“sinh viên không yêu thích ngành đang học “)=30%=0,3, do đó:

P5(k;0,3) = C 0,3 0, 7k5 k 5 k , k=0,1,2,3,4,5

Ta có bảng :

So sánh 6 xác suất trên ta có P5(1;0,3)=0,362 lớn nhất, tức là trong nhóm 5 sinh

viên sẽ có 1 sinh viên không yêu thích ngành đang học

Kết quả 1 (người) trên gọi là số có khả năng nhất, ký hiệu k0, đó là số mà xác suất

nhị thức Pn(k0;p) (để biến cố A xuất hiện k0 lần) đạt cực đại

Quy tắc tính k 0:

- Nếu np+p-1 nguyên thì k 0 = np+p-1 hoặc k 0 = np+p;

- Nếu np+p-1 thập phân thì k 0 là số nguyên bé nhất nhưng lớn hơn np+p-1

(Sinh viên tự kiểm chứng quy tắc tính k0 bằng ví dụ trên)

Trang 14

3 BIẾN NGẪU NHIÊN

3.1 Biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc, bảng phân phối xác suất

Một đại lượng hay một biến nhận các giá trị của nó với xác suất tương ứng được

gọi là biến ngẫu nhiên, ký hiệu X, Y, Z,

Nếu các giá trị của biến là các giá trị rời nhau trên tập số thực gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên liên tục: (khác với biến ngẫu nhiên rời rạc ở chỗ các giá trị của

nó lấp đầy một khoảng của tập số thực, SV tự đọc trang 33-[1])

Giả sử biến ngẫu nhiên (BNN) X có các giá trị rời rạc x1, x2, x3, , xn Xác suất tương ứng với các giá trị của BNN X là pi=P(X=xi) , i=1,2,3, ,n gọi là phân phối xác suất của X Bảng chứa thông tin về các giá trị xi của X và các xác suất tương ứng pi sau

đây gọi là Bảng phân phối xác suất của X ( Hình 2.2)

16

b) Gieo hai đồng tiền cân đối đồng chất X là số mặt ngửa xuất hiện Khi đó ta có

Bảng phân phối xác suất của BNN X :

Ví dụ 2.20: Bắn ba viên đạn vào một mục tiêu Xác suất trúng đích của mỗi viên

là 0,5 Gọi X là BNN chỉ số viên trúng đích Hãy tìm phân phối xác suất của BNN X

Giải: Ta có BNN X nhận các giá trị k= 0; 1; 2; 3

Trang 15

15

Gọi bc A: ‘trúng đích’, A : ‘không trúng đích’, ta có số khả năng có thể xảy ra của phép thử là n = 2.2.2 = 8 ( A A A ; A A A , A A A , A A A; AA A , A A A, A AA; AAA) Kết quả về phân phối xác suất :

(SV có thể áp dụng CT Bernoulli để tính phân phối xác suất này, P(X=k) = P3(k;0,5) )

Ví dụ 2.21: Gặp ngẫu nhiên 4 sinh viên của nhóm Cho biết nhóm gồm có 5 nam

và 3 nữ, gọi X là số sinh viên nữ gặp được

a) Xác định các giá trị của X và lập bảng phân phối xác suất

b) Trước khi gặp, bạn đoán xem có mấy người nữ trong 4 người chọn ra

c) Tìm xác suất để gặp được ít nhất 2 nữ trong 4 người đó

Giải: a) Vì tối đa nữ 3 người nên X có thể là 0,1,2,3 Các xác suất tương ứng lần

lượt theo cách tính xác suất cổ điển (cũng có thể tính theo xác suất siêu bội), ta có bảng phân phối xác suất:



4 8



4 8



4 8



b) Nhìn vào phân phối xác suất ta thấy xác suất có 1 và 2 nữ cao nhất Vậy đoán rằng có 1 đến 2 nữ thì khả năng đúng sẽ cao hơn

c) Ta có xác suất “trong 4 người có lớn hơn hoặc bằng 2 người nữ” là:

P[(X=2)(X=3)] = P(X=2) + P(X=3) (do xung khắc) Vậy P= 30 5

7070=0,5

3.2 Hàm phân phối và tính chất

Định nghĩa 2.1

Hàm phân phối của BNN X ( X rời rạc hoặc liên tục ) được xác định như sau:

F(x)=P[X<x], với biến x thuộc tập hợp số thực (2.9) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì (1) trở thành :

Trang 16

iv) P(ax<b)=F(b) –F(a)

Để minh họa các tính chất trên ta vẽ đồ thị của hàm F(x) ví dụ 2.22 (Hình 2.3)

3.3 Biến ngẫu nhiên liên tục

Ngoài biến ngẫu nhiên rời rạc còn có biến ngẫu nhiên liên tục

Biến ngẫu nhiên liên tục là biến nhận bất kỳ giá trị nào trong khoảng

(đoạn) (a, b) hoặc toàn tập số thực R= ( , )

Để nghiên cứu biến ngẫu nhiên liên tục phải dùng 1 trong 2 hàm sau:

Hàm mật độ: Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X nếu f(x)

thỏa 2 điều kiện:

i) f (x)0 và f(x) liên tục với mọi x a, b

1/8 1/2

x

y

Đồ thị y=F(x) có dạng bậc thang

-Hình 2.3-

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	1,34 MB