PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

2 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm giúp các em học sinh trang bị kiến thức để giải bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong đề thi THPT Quốc gia được tốt hơn, tôi xin giới thiệu

Số tiết dự kiến: 12 tiết

Bình Xuyên, năm 2015

2

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm giúp các em học sinh trang bị kiến thức để giải bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong đề thi THPT Quốc gia được tốt hơn, tôi xin giới thiệu chuyên đề “Phương pháp hàm số trong bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình ” Chuyên đề giới thiệu với các em cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình; sử dụng khái niệm về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để vận dụng trong bài toán: Tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong khi biên soạn, nhưng thiếu sót là điều không thể tránh khỏi Do đó tôi chân thành đón nhận sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, các em học sinh để chuyên đề được tốt hơn, hoàn thiện hơn

Trân trọng!

Nguyễn Thị Thúy Bính

3

PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K

- Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 ∈ K mà x1

2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lý Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

- Nếu f’(x) > 0 ∀x ∈ K thì hàm số y = f(x) đồng biến trên K

- Nếu f’(x) < 0 ∀x ∈ K thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K

Chú ý: Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K Nếu f’(x) ≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0) ∀ x ∈ K

và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K

II GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:

4

: ( ): ( )

PHẦN II VÍ DỤ MINH HỌA

I Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

Ví dụ 1 Giải phương trình 3x 1 x 7x2 4

Giải Điều kiện: x 7257

Mặt khác: f(1) = 4 nên x = 4 là một nghiệm của phương trình

Nếu x > 1 thì f(x) > f(1) = 4 nên phương trình không có nghiệm x > 1

Nếu x < 1 thì f(x) < f(1) = 4 nên phương trình không có nghiệm x < 1

Tương tự phương trình không có nghiệm -1/3 < x < 1

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

7

Mặt khác phương trình có dạng: f(2x + 3) = f(- 3x)

Nếu 2x + 3 > - 3x thì f(2x + 3) > f(- 3x), nếu 2x + 3 < - 3x thì f(2x + 3) < f(- 3x) nên ta được 2x + 3 = - 3x

35

x 

Ví dụ 6 Giải phương trình x 1 x 1 2x  x2  2

Giải Điều kiện: - 1 ≤ x ≤ 2

PT  y  y  x  x

+ Xét hàm số f(t) = t3 + t với t ∈ R

8

Ta có f’(x) = 3t2 + 1 > 0 ∀t ∈ R Suy ra hàm số đồng biến trên R

+ Phương trình (1) có dạng f(y) = f(x + 1)

Nếu y > x + 1 thì f(y) > f(x + 1) và nếu y < x + 1 thì f(y) < f(x + 1)

Vậy ta có y = x + 1, thế vào (2), ta được 1x2  1x  1  x 1

Kết luận: hệ phương trình có một nghiệm là (0;1)

Bài 2 Giải hệ phương trình

Từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho là: (2  2;3 2 2) 

Bài 3 Giải hệ phương trình

Bài 4 Giải hệ phương trình

Ta có: f’(t) = 3t2 + 3 > 0, ∀t Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R

Mặt khác phương trình (1) có dạng f(x) = f(y) nên ta được x = y

Thế vào (2), ta được: x x( 21) x x2   x 2 5 0

Vậy nghiệm của hệ là (1; 1)

Bài 5 Giải hệ phương trình

Phương trình (1) tương đương: x3 + x = (y + 1)3 + y + 1

Vậy nghiệm của hệ là: (5; 4)

Bài 6 Giải hệ phương trình

Ta có: f’(t) = 6t2 + 1 > 0, ∀t Suy ra f(t) đồng biến trên R

Mặt khác phương trình có dạng: f y( 2) f( x4 ) nên ta được:

Kết luận: hệ phương trình có một nghiệm là (5;1)

Bài 7 Giải hệ phương trình

Bài 9 Giải hệ phương trình

x y

y x

Mà f(0) = g(0) nên t = 0 là một nghiệm của phương trình

Nếu t > 0 thì f(t) < f(0) = 10 còn g(t) > g(0) = 10 nên phương trình (3) không có nghiệm t > 0 Tương tự phương trình (3) không có nghiệm t < 0

Vậy ta có t = 0, suy ra x = y

Thế vào phương trình (2), ta được:

11

14

1 52

x x

x x

Vì x = 0 không là nghiệm của (1), ta có (1) 3y 3y 9y2 1 x 1 x

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (0; 0)

Bài 14 Tìm số nghiệm của hệ phương trình

Đặt: x = t3, từ (1) ta được: y = t2

Suy ra phương trình f(t) = 0 có hai nghiệm trái dấu

Kết luận hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (đpcm)

12 -

f'(t)

0 -

+

+ -

2

f(t) f'(t)

-

t

Bài toán: Tìm m để phương trình f(x) = g(m) có nghiệm trên D

1 Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên D

2 Dựa vào BBT xác định tất cả giá trị của m để đường thẳng y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x)

+

21

x x

x x

13

Đặt   4,x  0.

x x

t

Ta có : 2

41'

x

t x  Bảng biến thiên :

3

Để phương trình (1) có nghiệm x > 0 thì phương trình (2) có nghiệm t  4

62

11

3)

t

; 4,

0)62(

2)

1(

3)

t

0

+

2 0

t'xx

+ với x  0 , phương trình tương đương : 12 3 ( 1) 11 0

x

Đặt   1  x2 tx 1 0

x x

t t

t t mt

t2  9  3   9 3 (2)

Xét hàm số

t t t

f ( )   9 với t(;2][2;)

91)

(

'

t t

+

4

f'(t) t

23

YCBT tương đương (2) có 2 nghiệm phân biệt thuộc (;2][2;)

Vậy điều kiện của m là:

26

13

2

133

6

63

213

m

m

m m

Bài 3 Cho phương trình (x2  x 1)(x2 5x 1)  mx2 (1) Tìm m để phương trình có nghiệm

Giải

x

x x

-13 2

-6

-

+ -

f(t) f'(t)

3 2

-2

-

t

2 3

)1

x x

)1

(1

+ -

1 -1

t

25

Bài 5 Tìm m để phương trình

4

14

,23

4,

98

2 2

x x

x x

,2

4,

82)

(

'

x x

x x

2

03

2 3

2

m x

x x

x x

x x x

x f

x

202

2)

(

30

2 3

0

f(x) f'(x) x

32

,42

)

(

2 3

2 3

x x

x x

x x

x x

x

f

BBT

Để hệ có nghiệm thì m2  20m  21  21  m 1

Bài 7 Cho phương trình sin4 x  (1sin x)4  m Xác định m để phương trình

có đúng hai nghiệm thuộc .

8

13

3(



2

1sin 

2)(t  t4  t2 

2

1

;2

3(



t Ta có: f '(x)  4t3  6t

BBT

40 27

+ +

21 8

x

27

Để phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc )

2

;2(  

thì (*) có hai nghiệm

)2

2 sin cosx x sin 3x sin x (a 1) sin x

f(t) f'(t) t

sin cos 2 sin cos 0(*)

-1 4

1 5

1 -1

f(t) t

0 cos

m

m x

1)

1

(

2

x mx

x

x

1- 2

-5 4

x  x  m x

Giải Điều kiện: x ≥ 2

9

+ +

+

0 -1

2

f(x) f'(x) x

Vậy m > 0 thì phương trình (*) luôn có một nghiệm thuộc (2; + ∞)

Suy ra m > 0 thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt (đpcm) Bài 12 Biện luận theo m số nghiệm phương trình:

x4 4x m 4 x4 4x m 6

Giải Đặt t 4 x44x m với t ≥ 0

Phương trình trở thành: t2 + t – 6 = 0

23( )

+ m > 19 thì phương trình vô nghiệm

Bài 13 Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên tập số thực

2 x2 2x 3 (m1)( x 3 1x)m  1 0

Giải Điều kiện: -3 ≤ x ≤ 1

Đặt t  x 3 1x 2 x2 2

Phương trình trở thành t2 – (m – 1)t + m – 3 = 0

2

31

t t m

2

f(t) f'(t) t

t t

m t

0

f(t) f'(t) t

f(t) f'(t) t

36

Từ bảng biến thiên ta có giá trị cần tìm của m thỏa mãn: -16 < m < -11 Bài 17 Cho bất phương trình 4 x22x15 x22x13m Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc 3;5

Giải Điều kiện:   3 x  5

-+ 1

f(t) f'(t)

t

+

4

0 0

t x

-3 x

37

Từ đó suy ra, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi m < - 6

Bài 18 Cho bất phương trình m( x2  2x 2 1)  x(2 x) 10 

Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc 0;1  3





  BBT

t m t





 Xét hàm số

2

2( ) , [1; 2]

-2

4 2

0 f(t) t

2

t x

t' x

x

2 2

1'( ) x 0,

2 3

+

2 1

f(t) f'(t) t

Vì a < 0 nên từ hệ suy ra x > 0 và y > 0

Vậy ta có x = y Thế vào (1) ta được: x3 – x2 = - a (3)

+ Xét hàm số: f(x) = x3 – x2 với x ∈ R Ta có f’(x) = 3x2 – 2x

BBT

Từ đó suy ra, nếu a < 0 thì phương trình (3) luôn có nghiệm duy nhất  đpcm

Bài 21 Tìm m để hệ sau có nghiệm 1 2(1)

2 f'(x)

+

+ +

1 0

-

f(x) x

-4 27

+

0

0

+ -

f(x) f'(x)

2

-

0 -

x

Pt  x  x  y  y

+ Xét hàm số: f(t) = t3 – 3t2 với t ∈ [0; 2]

Ta có f’(t) = 3t2 – 6t < 0 ∀t ∈ [0; 2] Suy ra f(t) nghịch biến trên [0; 2]

+ Mặt khác phương trình (1) có dạng: f(x + 1) = f(y) nên ta có y = x + 1

2 -5

f(u) f'(u)

u

42

Thế vào (2), ta được: x2  2 1  x2  m  0

Đặt v  1x2,v[0;1] Phương trình trở thành: v2 + 2v – 1 = m Xét g(v) = v2 + 2v – 1 với v ∈ [0; 1]

1 0

g(v) v

44

Bài 6 Giải hệ phương trình

3 2

Bài 8 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân

biệt thuộc đoạn [0;4]: x4 8x3 22x2 24x 8 m0

Bài 9 Tìm a để phương trình x2 4x2 x a    có hai nghiệm phân biệt 2 a 0Bài 10 Giả sử phương trình x3x2ax b  có ba nghiệm phân biệt Hãy xét 0dấu của biểu thức a2 3 b

Bài 11 Cho phương trìnhx5 ax4 bx3 cx2 dx 1 0 (a, b, c, d là các số thực) Biết phương trình có năm nghiệm phân biệt, chứng minh:

2(a2d2)5(b c )

Bài 12 Tìm m để phương trình 4 x4 13x m   x 1 0 có đúng một nghiệm

Bài 13 Cho phương trình: x25x4 x2 5x m Tìm m để phương trình có

x xy

y x y x

)1)(

1(

8

2 2

Xác định m để hệ có nghiệm

Bài 15 Xác định m để hệ phương trình:

2 3

45

6 3( x 5 2x)m2 x23x10 7

Bài 18 Tìm m để bất phương trình x2 4x 8 x22x2 4m m 3 đúng với mọi x ∈ R

46

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giải tích 12 - Nhà xuất bản Giáo dục

2 Phương pháp khảo sát hàm số - Võ Đại Mau

3 Khảo sát hàm số - Trần Sĩ Tùng

4 Đề thi đại học – cao đẳng - Bộ giáo dục