CD4 he phuong trinh

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế a Phương pháp giải: Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế ta làm các bước sau đây: Biểu diễn một ẩn từ mô

Trang 1

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Trang 2

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Nội dung

CHUYÊN ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3

KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 3

I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN 3

A PHẦN LÝ THUYẾT 3

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế 3

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số 4

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ 5

B PHẦN BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 6

C PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 8

PHẦN HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ MỤC I 12

B CÁC BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 12

C CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN 16

II: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ VÀ BÀI TOÁN PHỤ 20

A MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 20

Dạng 1: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m 20

Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x y; thỏa điều kiện cho trước 20

Dạng 3: Tìm mối liên hệ giữa x y, không phụ thuộc vào tham số m 20

B BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 23

C HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ MỤC II 26

III PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 34

1 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: 34

2 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2 38

3 HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP 40

4 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 48

5 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 64

6 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC: 72

7 KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 THEO ẨN x, HOẶC y 75

8 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 79

MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH 85

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN 90

IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN 110

Trang 3

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

CHUYÊN ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a/x + b/y = c/ Khi đó ta có hệ hai phương

c y b x a

c by ax

* Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (xo;y0) thì (xo;y0) được gọi là một nghiệm của hệ (I)

* Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó

I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

A PHẦN LÝ THUYẾT

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

a) Phương pháp giải:

Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế ta làm các bước sau đây:

Biểu diễn một ẩn từ một phương trình nào đó của hệ qua ẩn kia

Thay ẩn này bới biểu thức biểu diễn nó vào phương trình còn lại

Giải phương trình một ẩn nhận được

Tìm giá trị tương ứng của ẩn còn lại

b) Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : {2𝑥 + 𝑦 = 12 (1)

7𝑥 − 2𝑦 = 31 (2)

Hướng dẫn giải

Từ phương trình (1), biểu diễn y theo x ta có y  12  2x

Thay y trong phương trình (2) bởi 12 y   x, ta được

Trang 4

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

a) Phương pháp giải:

Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số ta làm các bước

sau đây:

Nhân cả hai vế của các phương trình trong hệ với số thích hợp (nếu cần) để đưa hệ đã cho về

hệ mới, trong đó các hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau (hoặc đối nhau) Trừ (hoặc cộng) từng vế của các phương trình trong hệ mới để khử bớt một ẩn

Giải phương trình một ẩn thu được

Thay giá trị tìm được của ẩn này vào một trong hai phương trình của hệ để tìm ẩn kia

b) Ví dụ minh hoạ : Giải hệ phương trình sau

Khi trong hệ có chứa các biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa

hệ về một hệ mới đơn giản hơn Sau đó sử dụng phương pháp cộng hoặc thế để tìm ra nghiệm của hệ phương trình

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

a) Phương pháp giải

Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần)

Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có)

Trang 6

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Hệ phương trình đã cho tương đương với 1

y y

x x

Trang 7

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Bài I.10 Giải hệ phương trình sau: 2 3 1

2 4

y x y x

11

823

y x

y x

42

y x

y x

52

y x

y x

22

y x

y x

735

y x

y x

0223

y x

y x

2

63

32

y x

y x

22

y x

y x

42

y x

y x

342

y x

y x

3

52

y x

y x

7

)1(2

y x y x

x y

122

0

y x

y x

6

)(52

y y x

y x y x

5

102

02

y x

y x

23

y x

y x

2

75

1025

y x

y x

3

y x

y x

4

82

2

y x

y x

103

y x

y x

2032

y x y

x

x y

23

y x

y x

232

y x

y x

)(5

23

y x y

x

x y x

632

y x

y x

32

623

y x

y x

72

y x

y x

4

15

22

y x

y x

52

y x

y x

3

52

y x

y x

823

y x y x

122

)1(42

y x y x

x y

12

11

311

y x y x

y x y x

13

22

21

y x

y x

2

131

2

y x

y x

1,162

y x y x

y x y x

5 3

y x y x x

y x y x x

32

2

21

12

1

y x

y x

31

311

2

y

y x

x y

y x

2 2

2 3

y x y x

y x y x

32

2

21

22

2

y x

y x

161

4

311

y x

y x

112212

y x y x

8

12

11

32

4

32

12

2

x y y x

x y y x

5 1 2

4 4

2 1 3

y x x

y x x

3

132 2

2

2

y x

2

162

3

y x

y x

184

y x

y x

(

3

0 1 )

x

y x

Thay y1 vào (1) ta được x 4 3y 4 3.1 1

Vậy hệ phương trình có một nghiệm    x y;  1;1

y x

y x

x y

x y

Trang 14

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Bài I.14 Hệ phương trình tương đương với:

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất   x y;  1; 1

Bài I.15 Điều kiện x  0

13

12

x

x x

y y

Trang 15

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Bài I.18 Hệ phương trình tương đương với:

v y



   

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất    x y;  1;0

Bài I.20 + Điều kiện: x 1;y2

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y





  



x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y





 



Trang 20

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

II: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ VÀ BÀI TOÁN PHỤ

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm  x y theo tham số , m;

Bước 2: Thế nghiệm ,x y vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm m;

Bước 3: Kết luận

Dạng 3: Tìm mối liên hệ giữa ,x y không phụ thuộc vào tham số m

Phương pháp:

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm  x y theo tham số m ; ,

Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế làm mất tham số m;

Bước 3: Kết luận

a) Giải hệ phương trình khi a2

b) Giải và biện luận hệ phương trình

c) Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

d) Tìm a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn xy đạt GTNN

2 21

a x a

a  hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Với a 0thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  22 1 21

Trang 22

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

c) Hệ phương trình có nghiệm nguyên:  

2 2

Vậy a 1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên

Với a 0thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  22 1 21

b a

Trang 23

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Bài 3: Cho hệ phương trình 2 3

a) Giải hệ phương trình  I khi m1

b) Tìm m để hệ  I có nghiệm duy nhất  x y thỏa mãn ; x  y 3

a) Giải hệ phương trình khi m2;

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất

a) Giải hệ phương trình với a1

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Trang 24

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Bài II.04 Cho hệ phương trình: 2 5 1

x y

a) Giải hệ phương trình  I với m1

b) Chứng minh hệ phương trình  I có nghiệm duy nhất với mọi m Tìm nghiệm duy nhất

a) Giải hệ phương trình khi m2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x y thỏa mãn ; 2

1

x y

Bài II.09 Xác định các hệ số ,a b của hàm số yax b để:

1) Đồ thị của nó đi qua hai điểm A   1;3 ,B 2; 4

2) Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng  4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

Bài II.10 Giải các hệ phương trình sau:

Trang 25

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Bài II.11 Cho hệ phương trình: 2 5

Giải hệ phương trình với m2

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x y trong đó , x y, trái dấu

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x y thỏa mãn x;  y

Bài II.12 Cho hệ phương trình: 1

b) Giải và biện luận hệ phương trình trên theo m

c) Tìm số nguyên m sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x y mà , x y, đều là số nguyên

d) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất  x y thì điểm , M x y luôn chạy trên một  , 

đường thẳng cố định

e) Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho x y. đạt giá trị nhỏ nhất

Bài II.13 Cho hệ phương trình: 2 4

(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015)

Bài II.14 Cho hệ phương trình: 3

Hệ có nghiệm duy nhất  x y , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau đây: ,

 Chứng minh hệ luôn có nghiệm

duy nhất  x y và tìm GTLN của biểu thức ; 2 2  

4 2 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  1;1

b) Ta có y2 –m1x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

25

3

42

y

x y

x

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu a 0, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: 2 2 6

3



a a

a (luôn đúng, vì 0

2 

a

với mọi a)

Do đó, với a0, hệ luôn có nghiệm duy nhất

Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a

x y

m  m  m   m nên PT  1 có nghiệm duy nhất m

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m

Từ  1 ta có: 23 1

m y

Trang 28

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  3 có nghiệm duy nhất m2    1 0 m 1

Trừ vế theo vế của  1 cho  2 ta có: 2x2y2015 k 2xy2015k  3

Vì hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt nên ta có: 2 x y   a b c d

 

11

Trường hợp 2: m1 Khi đó phương trình (3) thành: 0.x0

Vậy hệ có vô số nghiệm dạng x; 2x,x

Trường hợp 3: m 1 khi đó phương trình (3) thành: 0.x4

(3) vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm

c) Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 1

Vậy điểm M x y luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình  ;  y x 2

e) Khi hệ có nghiệm duy nhất  x y theo (d) ta có: ; y x 2 Do đó:

xyx x x  x   x   

Trang 31

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 1 3 2 1 2 2 1 1 0

Vậy với m0 thì x y. đạt giá trị nhỏ nhất

Chú ý: Ta cũng có thể tìm quan hệ x y 2 theo cách khác: Khi hệ phương trình

m  x m  m Do m2 1 0 với mọi m nên phương trình này luôn có

nghiệm duy nhất x0 Suy ra hệ luôn có nghiệm với mọi m

Ngoài ra ta cũng có thể giải theo cách khác như sau:

 d :x my 4m 2 0, d' :mx y 3m 1 0 Ta dễ dàng chứng minh được đường thẳng

 d luôn đi qua điểm cố định: A 2; 4 và đường thẳng  d luôn đi qua điểm cố định : '

 3;1

B Mặt khác ta cũng dễ chứng minh đường thẳng ( )d và đường thẳng ( ') d vuông góc

với nhau nên hai đường thẳng này luôn cắt nhau Gọi M x y 0; 0 là giao điểm của hai đường

thẳng thì tam giác M AB vuông tại M Gọi I là trung điểm của AB thì 5 5;

10 2 3 2 13

Trang 34

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

III PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

S  P quy hệ phương trình về 2 ẩn ,S P

Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương

trình Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ ,S P từ đó suy ra qua hệ x y,

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

S P

Trang 35

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm   x y;  2;3 , 3; 2   

S  P thì hệ đã cho trở thành

86

6

P S

S  P hệ phương trình đã cho trở thành:

Vậy hệ đã cho có nghiệm    x y;  3;3

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:

1; 23

5

( )2

Trang 38

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

2 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2

Một hệ phương trình 2 ẩn x y, được gọi là đối xứng loại 2 nếu trong hệ phương trình

ta đổi vai trò x y, cho nhau thì phương trình trở thành phương trình kia

+ Tính chất.: Nếu x y là 1 nghiệm của hệ thì 0; 0 y x cũng là nghiệm 0; 0

22

a b ab

Phương pháp chung để giải hệ dạng này là: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc

chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc n :

1 n k n k k n n 0

a x a x  y a y 

Từ đó ta xét hai trường hợp:

y0 thay vào để tìm x

+ y0 ta đặt xty thì thu được phương trình: a t1 n a t k n k a n 0

+ Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x y,

13

x

y xy

x y

 



  

Từ đó ta có lời giải như sau:

Ta thấy y0 không là nghiệm của hệ

Trang 43

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Thay vào phương trình (1) ta được: 2 14 5

Ta thấy các phương trình của hệ đều là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với x, y1

Dễ thấy y 1 không phải là nghiệm của hệ phương trình

Vế trái của các phương trình trong hệ là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với x, y Dễ

thấy y0 Ta đặt x t y thì thu được hệ:

Trang 46

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Ví dụ 5: Giải các hệ phương trình sau

a)

2 2

816

xy

x y x

x y

y  ta thu được phương trình

Ta xét 0 x 1 Chia bất phương trình cho x30 ta thu được phương trình:

Tóm lại hệ phương trình có nghiệm    x y;  1;1

Chú ý: Ta cũng có thể tìm quan hệ x y, dựa vào phương trình thứ hai của hệ theo cách:

Trang 48

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

4 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Biến đổi tương đương là phương pháp giải hệ dựa trên những kỹ thuật cơ bản như: Thế, biến đổi các phương trình về dạng tích,cộng trừ các phương trình trong hệ để tạo ra phương trình hệ quả có dạng đặc biệt…

(1(2)

5 2 ( 1)

x y

t t

- Với xt thay vào (2*) ta có phương trình 3x24x 1 0

Từ đây suy ra 2 nghiệm của hệ là     1 7

*Cách 2: Phương trình thứ hai phân tích được: (2y2x x)(    y 3) 1 0

Phương trình thứ nhất phân tích được: 2 2

Xét với y0 thay vào ta thấy không là nghiệm của hệ

Với y0ta biến đổi hệ thành :

11

2 2

2 2

1515

x x

x x





         (loại) (do điều kiện y0)

KL: Nghiệm của hệ đã cho là:   5 27 12 6

Dấu '''' xảy ra khi chỉ khi x4

Từ (3) suy ra x4là nghiệm duy nhất Vậy hệ có nghiệm ( ; )x y (4;6)

- Với y 2 3x2 2 hệ vô nghiệm do điều kiện y3

Vậy hệ đã cho chỉ có 1 nghiệm ( ; )x y (4;6)

d) Thế phương trình 2 vào phương trình 1 của hệ ta được phương trình :

2 2

2 2

Phương trình (3) tương đương với:    2 

xy xyx   + Nếu: xy2 thay vào (*) ta có:

+ Nếu 2xy 3 x2 thay vào (*) ta có:

Trang 58

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Ví dụ 5: Giải các hệ phương trình sau

3 2

2 2

Với y 1 x thay vào (1) ta được: x2  x 2 0 (vô nghiệm)

Với y2x2 thay vào (1) ta được: 2

Với y  x 2 thay vào (1) ta được: x25x 8 0 (vô nghiệm)

Với y2x2 thay vào (1) ta được: 2

17 74

17 74

a b

Công việc còn lại là khá đơn giản

*Cách 2:Ta cộng phương trình (1) với k lần phương trình (2)

Từ đó ta có cách giải như sau:

Lấy 2 lần phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) của hệ ta có:

Phần việc còn lại là khá đơn giản

b) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) ta thu được:

Trang 62

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

+ Nhân các phương trình với một biểu thức đại số sau đó cộng các phương trình để tạo

Từ đó ta có lời giải như sau:

Lấy phương trình (1) cộng với 3 lần phương trình (2) của hệ ta có:

Từ đó ta dễ dàng tìm được các nghiệm của hệ:   x y;  1;4 ,  1; 4

b) Làm tương tự như câu a

Lấy phương trình (1) cộng với 3 lần phương trình (2) thì thu được:

x  x  y  Từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm của hệ

c) Lấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta thu được:

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là:   x y;  2; 3 , 3; 2    

d)Lấy 2 lần phương trình (2) trừ đi phương trình (1) ta thu được: