GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và được tiếp cận với một vài cách giải khá đơn giản. Tuy nhiên trong đề thi THPT Quốc gia – học sinh giỏi… các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng hơn rất nhiều. Và để giải phương trình vô tỉ cũng có rất nhiều phương pháp. Trong chuyên đề này tôi xin giới thiệu phương pháp “ Đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ”

01.MÔN TOÁNCHUYÊN ĐỀ:

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

chuyên đề này tôi xin giới thiệu phương pháp “ Đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ”

Chuyên đề giới thiệu một số dạng:

Đối tượng học sinh bồi dưỡng : Lớp 10; 12

Số tiết dự kiến bồi dưỡng: 06 tiết trên lớp và 06 tiết học ở nhà

NỘI DUNG Phần I: Phương pháp chung:

Có bốn bước cơ bản trong phương pháp này:

Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn phụ

Bước 2: Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ

Bước 3: Giải phương trình mới, tìm ẩn phụ thích hợp

Bước 4: Thay giá trị tìm được vào ẩn phụ và tìm nghiệm của phương trình ban đầu

Nhận xét: mấu chốt của phương pháp này là ở bước 1, lí do quyết định đến

toàn bộ lời giải của bài toán

3

t = thỏa mãn điều kiện

Với t= ⇒ 3 x2 + = ⇔ = ± 2 3 x 7

Ví dụ 2 Giải phương trình sau : 2 1

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Giải phương trình: (x+ 1) (x+ 4) = 5 x2 + 5x+ 28

Bài 2: Giải phương trình: 5x2 + 10x+ = - 1 7 2x- x2

Bài 3: Giải phương trình: x2 - 6x+ = 9 4 x2 - 6x+ 6

Bài 4: Giải phương trình: (x- 3 8) ( - x) + 26 = - x2 + 11x

Bài 5: Giải phương trình: x2 - 2x- 3 4 4 - ( - x x) ( + 2) = 0

Điều kiện: x ³ 4

Đặt t = x+ +4 x- 4 đk: t ³ 0

Khi đó t2 =2x+2 x2- 16 (2)

Phương trình trở thành: t2- -t 12= => t=4(t/m) hoặc t=-3(loại)0

Với t=4 thay vào (2) ta tìm được x=5

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Giải phương trình: 2x+ + 3 x+ = 1 3x+ 2 2( x+ 3) (x+ 1) - 16

Bài 2: Giải phương trình: x- 1 + 3 - x- (x- 1 3) ( - x) = 1

Bài 3: Giải phương trình: 7 - x + x+ - 2 (7 - x x) ( + 2) = 3

Bài 4: Giải phương trình: 3x- 2 + x- 1 = 4x- 9 2 3 + x2 - 5x+ 2

Bài 5: Giải phương trình: 1 2 2 1

3 x x x x+ - = + -

Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để.

Phương trình trở thành: t2- 2(1- x t) - 4x = 0 é =êt t 22x

Û ê = -ê Với t=2 => x2+2x- 1= Û2 x = - ±1 6

ïïî (vô nghiệm)Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = - ±1 6

*Nhận xét: phương trình này ta chưa nhìn thấy cách đặt ẩn phụ ngay mà phải qua

một bước biến đổi rồi mới đưa về dạng như ví dụ trên

Bài 1: Giải phương trình: x2 - 1 = 2x x2 - 2x

Bài 2: Giải phương trình: x2 + 4x =(x+ 2) x2 - 2x+ 4

Bài 3: Giải phương trình: (4x- 1) x3 + = 1 2x3 + 2x+ 1

Bài 4: Giải phương trình: 4 x+ - 1 1 = 3x+ 2 1 - x+ 1 - x2

Bài 5: Giải phương trình: x2 + -x 1 =(x+ 2) x2 - 2x+ 2

Dạng 4: Phương trình có dạng: af x( )+bg x( )+c f x g x( ) ( ) = với , ,0 a b c ¹ 0

Phương pháp: Xét trường hợp ( ) g x = (nếu có)0

Xét trường hợp ( )g x ¹ 0, chia cả 2 vế của phương trình cho ( )g x và đặt ( )

( )

f x t

Đk: x ³ 1

Phương trình tương đương 3(x- 1) +2(x2+ + =x 1) 7 (x- 1) (x2+ +x 1)Làm tương tự như ví dụ 1 ta được :x = ±4 6

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Giải phương trình: 2x2 - x+ - 3 3 x3 + = 1 0

Bài 2: Giải phương trình: 7x2 - 2x+ 14 5 + x3 + 2x = 0

Bài 3: Giải phương trình: 3x2 + - 1 3 x4 - 1 = 0

Bài 4: Giải phương trình: 4x2 + 3x+ + 5 3 x3 - 1 = 0

Bài 5: Giải phương trình: x3 - 1 + + = -x 8 5 2x2

ïïîGiải hệ này ta tìm được

0, 6

4, 103

u v

é = =ê

ê = - =ê

ê = =ê

Thay vào ta tìm được x = - 24,x= - 88,x = 3

ïïî , giải hệ này tatìm được ( ; )x y =(2;3), ;( )x y =(3;2) Tức là nghiệm của phương trình là x Î {2;3}

Bài 1: Giải phương trình: 3x+ - 7 x = 1

Bài 2: Giải phương trình: x+ 17 - x2 +x 17 - x2 = 9

Bài 3: Giải phương trình: 3 2 - x = - 1 x- 1

Bài 4: Giải phương trình: (x+ 1)3+ = 1 2 2 3 x+ 1

Bài 5: Giải phương trình: 3x+ - 4 3 5 - x = 1

Dạng 6: Phương pháp lượng giác hóa.

Nếu bài toán có chứa a2- x2 thì đặt x = asint với - p2£ £t p2 hoặc

2 2 2

3 cos 2sin 1 0

Kết hợp điều kiện của t suy ra

cos 1 4cos cos 1 0 cos ,

2 4 2

t t

x= ± π = ±

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Giải phương trình: 4x3 − 3x= 1 −x2

Bài 2: Giải phương trình: 1+ 1−x2 = x(1+2 1−x2)

Bài 3: Giải phương trình: 2

Bài 5: Giải phương trình:

1

2 1

2

2

+ +

=

+

x x x

*Nhận xét: từ cách giải ví dụ trên cho chúng ta giải bài toán tổng quát sau:

Giải phương trình: x2 + x a a+ = 2 với a là hằng số cho trước

Ví dụ 2 Giải phương trình : 3 2 ( )3

3 2 2 6 (1)

x − x + x+ = x Giải

ĐK: x≥ − 2

Phương trình (1) ⇔ 3 ( )3

3 ( 2) 2 2 0 (2)

x − x x+ + x+ =Đặt t= x+ 2,t≥ 0 khi đó phương trình (2) trở thành:

Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình là S = −{ 1;0;1;9}

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Giải phương trình: x+ 2 7 - x = 2 x+ + - 1 x2 + 6x+ - 7 1

Bài 2: Giải phương trình: 3 4 4

Bài 3: Giải phương trình: 3x2 + 3x+ 2( 3x+ - 1 3x- 2) = 1

Bài 4: Giải phương trình: (x+ 2) ( 2x+ - 3 2 x+ 1) + 2x2 + 5x+ - 3 1 = 0

Bài 5: Giải phương trình: x= 2- x 3- x+ 3- x 5- x+ 5- x 2- x

KẾT LUẬN

Phương trình vô tỉ là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp

10 nói riêng và bậc THPT nói chung Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tươngđối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm

Trên đây là một số phương pháp mà tôi rút ra được trong suốt quá trình giảngdạy về chuyên đề phương trình vô tỉ tại trường THPT Hồ Xuân Hương

Đề tài của tôi được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10, lớp 12 và

đã được học sinh tiếp thu một cách hứng thú, có hiệu quả, nâng cao kĩ năng giảiphương trình vô tỉ

Mặc dù rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viết khótránh khỏi những thiếu sót Tối rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô, bạn bèđồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành tàiliệu có ích trong giảng dạy và học tập.