Tìm c.s tận cùng của các số sau: a... Bài 34: Trong mỗi trường hợp, hãy tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho các số sau cũng là các số nguyên tố: a... Bài 39: Trong mặt phẳng cho 6
Trang 1Bài tập phần số tự nhiên, số nguyên
Bài 1: CMR 11… 1⏟
n c s 1
211 …1⏟
n c s 1 là hợp số
Bài 2:
Bài 3: Tính B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100
Bài 4:
Bài 5:
a Cho 5 số tự nhiên bất kì CMR ta luôn chọn được 3 số có tổng chia hết cho 3
b Cho 7 số tự nhiên bất kì CMR ta luôn chọn được 4 số có tổng chia hết cho 4
Bài 6: CMR trong 30 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 5, có ít nhất 22 hợp số.
Bài 7:
Bài 8:
1 Tìm c.s tận cùng của các số sau:
a 571999
b 931999
2 Cho A = 9999931999 – 5555571997 CMR A chia hết cho 5
Bài 9: Cho số 155∗710∗4∗16 có 12 c.s CMR nếu thay các dấu * bởi các c.s khác nhau ´ trong 3 c.s 1,2,3 một cách tùy ý thì số đó luôn chia hết cho 396
Trang 2Bài 10: Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA = a (cm), OB = b (cm).
a Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b < a
b Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = (a+b)/2
Bài 11: Viết số 127 thành một tổng của n số hạng, các số hạng đều là hợp số Tìm giá trị
lớn nhất của n
Bài 12: CMR:
a Nếu p và p2 + 8 là các số nguyên tố thì p2 + 2 là số nguyên tố
b Nếu p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố thì 2p + 1 là số nguyên tố
c Nếu p và p2 + 2 là các số nguyên tố thì p3 + 2 là số nguyên tố
Bài 13: Tìm số nguyên tố p sao cho p2 + 23 có đúng sáu ước nguyên dương
Bài 14:
Bài 15: Tìm các số tự nhiên x,y thỏa mãn: x2 +3y2 = 84
Bài 16: Cho M = 1 + 3 + 32 + 33 + … +3119 CMR: M chia hết cho 13
Bài 17: Tìm 2 số tự nhiên a,b thỏa mãn: a + 2b = 48 và (a;b) + 3[a;b] = 114.
Bài 18:
a CMR trong 10 số lẻ liên tiếp lớn hơn 5, tồn tại 4 hợp số
b Hãy chỉ ra 10 số lẻ liên tiếp lớn hơn 5, trong đó có đúng 4 hợp số
Bài 19: Cho (a,b) = 1 Tìm:
a (3a + 5b, 5a + 8b)
b (5a + 7b, 7a + 5b)
Bài 20: CMR: (a, bc) = (a, (a,b).c)
Bài 21:
Trang 3Bài 22: Tìm số tự nhiên n biết rằng khi chia 147 và 193 cho n thì có số dư lần lượt là 17
và 11
Bài 23: CMR (a2,b2) = (a,b)2
Bài 24: Tìm các số tự nhiên a,b biết:
a ab = 720 và (a,b) = 6
b (a,b) = 5 và [a,b] = 390
Bài 25: Cho (a,b) = 1 Tìm
a (3a + 5b , 8a + 13b)
b (a + b , a - b)
c (18a + 5b , 11a + 3b)
Bài 26: Tìm các số nguyên dương a,b biết
a a + b = 128 và (a , b) = 16
b (a , b) = 12 và [a , b] = 432
Bài 27: Cho số nguyên dương n Tìm [n , n+1 , n+2].
Bài 28:
Bài 29: Tìm ba số tự nhiên biết
trung bình cộng của chúng bằng
21 và số thứ ba gấp ba lần số thứ hai, số thứ hai gấp hai lần số thứ nhất
Bài 30: Nêu quy luật rồi viết hai số tiếp theo trong dãy số: 1; 3; 11; 43;…
Bài 31: Giả sử p và p2 + 3 đều là các số nguyên tố CMR: p3 + 2 cũng là một số nguyên tố
Bài 32: Cho số tự nhiên n Biết rằng n – 10, n + 10 và n + 60 đều là các số nguyên tố, hãy
c/m n + 90 cũng là số nguyên tố
Bài 33: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2 + 1994 là một số nguyên tố
Bài 34: Trong mỗi trường hợp, hãy tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho các số sau
cũng là các số nguyên tố:
a n, n + 10, n + 14
b n, n + 4, n + 14
c n, 2n + 1, 4n + 1
d n, 8n2 + 1
Bài 35:
Trang 4Bài 36:
a Tính giá trị biểu thức: 20102010.(710 : 78 – 3.24 – 22010 : 22010)
b So sánh hai số: 3210 và 2350
Bài 37:
a Tìm các số nguyên x sao cho: (x + 7) chia hết cho (x + 2)
b Tìm x biết trong phép chia 235 cho x được số dư là 14
Bài 38:
a Tìm số tự nhiên x có ba chữ số sao cho x chia cho 7,8,9 đều dư 2
b Cho n là số tự nhiên bất kì C/m n + 3 và 2n + 5 nguyên tố cùng nhau
Bài 39: Trong mặt phẳng cho 6 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Hỏi:
a Vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng đi qua các điểm đã cho?
b Vẽ được bao nhiêu tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho?
Bài 40: Tìm các số nguyên tố p để: p + 2; p + 6; p + 8; p + 14 cũng là các số nguyên tố Bài 41: Tìm các số tự nhiên n sao cho n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13, n + 15 đều là các
số nguyên tố
Bài 42:
Bài 43: Cho 2 số tự nhiên a, b sao cho: a.b = 20182020
Hỏi tổng a + b có thể chia hết cho 2019 hay không ? Tại sao?
Bài 45:
a Cho C = 3 + 32 + 33 + …+ 3100 CMR: C chia hết cho 40
b Cho các số 0, 1 , 3, 5, 7, 9 Hỏi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho ?
Bài 46: CMR có vô số số nguyên tố dạng 3k – 1.
Trang 5Bài 47: Tìm tất cả các số tự nhiên n, sao cho trong dãy n + 1, n +2, …, n + 10 có nhiều số
nguyên tố nhất
Bài 48: Cho 17 số tự nhiên bất kì CMR trong 17 số này ta có thể chọn ra 9 số sao cho
tổng của chúng chia hết cho 9
Bài 49:
a A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không?
b Tìm tất cả các ước của A
Bài 52 :
a CMR hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau
b Tìm x biết 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + … + x = 501501
Bài 53 : Tìm số tự nhiên abcd´ chia hết cho tích của ab´ và cd´
Bài 54: Tìm các chữ số a ,b, c sao cho aaaa− ´´ bb= ´ cc2
Bài 55: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng bình phương của nó cũng tận cùng bởi ba
chữ số ấy viết theo thứ tự đó
Bài 56:
Bài 58: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25, 28, 35 thì
được các số dư lần lượt là 5, 8, 15
Bài 59: Tìm số tự nhiên abc´ biết rằng abc= ´´ ab2
−c2
Bài 60: Tìm số tự nhiên ab´ biết ab´ 2= ´acdb
Bài 62: Cho 5 số tự nhiên a, b, c, d, e, mỗi số có 4 chữ số và đều gồm cả 4 chữ số 1, 2, 3,
4 CMR không thể xảy ra a3 + b3 + c3 = d3 + e3
Trang 6Bài 63:
sao?
Bài 66: Một người bán 5 giỏ xoài và cam Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là:
65kg, 71kg, 58kg, 72kg, 93kg Sau khi bán một giỏ cam thì số kg xoài còn lại gấp 3 lần
số kg cam còn lại Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài
Bài 67: CMR có vô hạn số nguyên tố dạng 4k + 3.
Bài 68: Cho n là số nguyên dương CMR luôn tồn tại n số tự nhiên liên tiếp sao cho
chúng là hợp số
Bài 69: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho:
1 p + 10 và p + 14 là các số nguyên tố
2 p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 là các số nguyên tố
Bài 70:
Bài 71: Cho N = 1 – 8 + 15 – 22 + 29 – 36 + …
a Biết N = 141 Hỏi N có bao nhiêu số hạng?
b Biết N có n số hạng Tính giá trị của N theo n
Bài 73: Cho đoạn thẳng CD, điểm O thuộc tia đối của tia DC Gọi I,K lần lượt là trung
điểm của OD, OC
a CMR OD < OC
b Trong 3 điểm I,O,K điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
c CMR độ dài đoạn IK không phụ thuộc vào vị trí của điểm O trên tia đối của tia DC
Trang 7Bài 74: Cho số nguyên tố p sao cho 8p2 + 1 là số nguyên tố CMR 8p2 -1 cũng là số nguyên tố
Bài 75: CMR có vô hạn số nguyên tố dạn 3k – 1.
Bài 76: Tìm số tự nhiên abcd´ biết 4 ´abcd = ´ dcba
Bài 77:
Bài 78: Cho x là tổng của tất cả các số nguyên có hai chữ số, y là số nguyên âm lớn nhất
Tính A = 2009.x2006 – 2008.y2007
Bài 79: Tìm một số có bốn chữ số vừa là số chính phương vừa là một số lập phương
Bài 80: Tìm các chữ số a,b,c sao cho:
a 7 ab 9 chia hết cho 63.´
b 1 ab 2 c chia hết cho 1125.´
Bài 83: Một học sinh viết lên bảng một phép tính nhân các số có 2 c.s Sau đó thay mỗi
c.s bằng một chữ cái Hai c.s khác nhau được thay bằng 2 chữ cái khác nhau Hỏi có thể nhận được các kết quả
´
ab ´ cd = ´ eeff , ´ ab ´ cd = ´ efef , ´ ab ´ cd = ´ effe , ´ ab ´ cd ´ ef = ghklmn´
hay không?
Bài 84:
Trang 8Bài 86:
a Tìm số tự nhiên n để (n + 3)(n +1) là số nguyên tố
b Cho n= ´ 7 a 5+ ´ 8 b 4 Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9 Tìm a và b.
Bài 87:
1 Trên tia Ox lấy hai điểm M và N, sao cho OM = 3cm và ON = 7cm
a Tính độ dài MN
b Lấy điểm P trên tia Ox, sao cho MP = 2cm Tính độ dài đoạn OP
c Trong trường hợp M nằm giữa O và P CMR: P là trung điểm MN
2 Cho 2014 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 2014 đỉnh đó
Bài 88: Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết rằng n + S(n) = 2014, trong đó S(n) là tổng các
chữ số của n
ta được một số gồm toàn các chữ số 9
2000 c s 0 00 …0⏟a 5
1999c s 0 Tìm chữ số a để A chia hết cho 37
Bài 91:
Bài 92: Tìm x biết:
a 12(2x + 5) = 72
b |2x-3| + 4.52 = 103
Bài 93:
a Cho S = 5 + 52 + 53 + … +52012 CMR: S chia hết cho 65
b Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho
19 dư 11
c CMR A=10 n+18 n−1 ⋮ 27 ∀ n ∈ N¿
Bài 94: Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n Tìm n nếu:
a n + S(n) = 2000
b n + 2S(n) = 2000
Bài 95: Cho n là số tự nhiên thỏa mãn: tổng các chữ số của n và tổng các chữ số của
2003n bằng nhau CMR n chia hết cho 9
Trang 9Bài 97: Tìm số có ba chữ số abc´ , biết abc=a !+b !+ c !´
Bài 98: