Chỉ số chính quy của một số tập điểm béo (tt)

26 Demo Version - Select.Pdf SDK... Vîi mong muèn ÷ñc t¼m hiºu v nghi¶n cùu th¶m v· ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp Demo Version - Select.Pdf SDK... Demo Version - Select.Pdf SDK.

Trang 1

I HÅC HU

TR×ÍNG I HÅC S× PHM

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

TRNTHÀVITTRINH

CH SÈ CHNH QUY CÕA MËT SÈ

T

P IM BO

LUNVNTHCSTONHÅC

THEOÀNHH×ÎNGNGHINCÙU

ThøaThi¶nHu¸,n«m2018

Demo Version - Select.Pdf SDK

Trang 2

TR×ÍNGIHÅCS×PHM

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

TRNTHÀVITTRINH

CH SÈ CHNH QUY CÕA MËT SÈ

T

P IM BO

Chuy¶nng nh: ISÈVLÞTHUYTSÈ

M¢sè:60460104

LUNVNTHCSTONHÅC

THEOÀNHH×ÎNGNGHINCÙU

C¡nbëh÷îngd¨nkhoahåc:

PGS.TSPhanV«nThi»n

ThøaThi¶nHu¸,n«m2018

Trang 3

LÍI CAM OAN

Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi, c¡c sè li»u v k¸t qu£ nghi¶n cùu ghi trong luªn v«n l trung thüc, ÷ñc c¡c çng t¡c gi£ cho ph²p sû döng v ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t k¼ mët cæng tr¼nh n o kh¡c

Hu¸, ng y 15 th¡ng 9 n«m 2018

Håc vi¶n thüc hi»n Tr¦n Thà Vi»t Trinh

Trang 4

LÍI CM ÌN

Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa Th¦y gi¡o, PGS.TS Phan V«n Thi»n Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc v sü k½nh trång èi vîi Th¦y Th¦y

¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp công nh÷ ho n th nh luªn v«n n y

Tæi xin gûi líi c£m ìn ¸n quþ Th¦y cæ Khoa To¡n, c¡c Th¦y ð ¤i håc Hu¸ v Vi»n To¡n håc ¢ d¤y dé v truy·n ¤t ki¸n thùc cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u tr÷íng HSP Hu¸, pháng o t¤o sau

¤i håc, khoa To¡n tr÷íng HSP Hu¸ ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi trong suèt khâa håc Cuèi còng, tæi xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, c¡c anh chà Cao håc To¡n khâa XXV tr÷íng HSP Hu¸ chuy¶n ng nh ¤i sè v Lþ thuy¸t sè v¼ sü ëng vi¶n, gióp ï trong qu¡ tr¼nh håc tªp vøa qua

Do ¥y l l¦n ¦u ti¶n thüc hi»n cæng vi»c nghi¶n cùu n¶n trong luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, tæi r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y,

cæ v c¡c b¤n º b i luªn v«n ÷ñc ho n thi»n.Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

Hu¸, ng y 15 th¡ng 9 n«m 2018

Håc vi¶n thüc hi»n Tr¦n Thà Vi»t Trinh

Trang 5

MÖC LÖC

1.1 V nh ph¥n bªc Cohen-Macaulay v chi·u Krull cõa v nh 7

1.1.1 V nh ph¥n bªc v mæun ph¥n bªc 7

1.1.2 a t¤p x¤ £nh 10

1.1.3 Chi·u Krull cõa v nh 10

1.1.4 V nh Cohen-Macaulay 12

1.2 Ch¿ sè ch½nh quy cõa mët tªp iºm b²o 14

1.2.1 H m Hilbert v a thùc Hilbert 14

1.2.2 Ch¿ sè ch½nh quy cõa mët tªp iºm b²o 15

1.2.3 Mèi li¶n h» giúa ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp iºm b²o vîi ch¿ sè ch½nh quy Castelnuovo-Mumford cõa v nh to¤ ë 17

Ch÷ìng 2 Ch¿ sè ch½nh quy cõa mët sè tªp iºm b²o trong khæng gian x¤ £nh Pn 20 2.1 Ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp iºm b²o n¬m tr¶n 2 ÷íng th¯ng ph¥n bi»t 20 2.2 Ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp s iºm b²o ph¥n bi»t trong Pn, s≤ 5 23

2.3 Ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp n+3 iºm b²o khæng suy bi¸n trong Pn 26

Trang 6

T i li»u tham kh£o 34

Trang 7

MËT SÈ KÞ HIU TH×ÍNG DÒNG

Z+ Tªp sè nguy¶n d÷ìng

Pn :=Pn

k Khæng gian x¤ £nh n-chi·u tr¶n tr÷íng âng ¤i sè k

R := k[x0, , xn] V nh a thùc theo c¡c bi¸n x0, , xn tr¶n tr÷íngk Ann(M ) Annihitor cõa R-mæun M

e(A) Sè bëi cõa v nh to¤ ë thu¦n nh§t A

HM(t) H m Hilbert cõa mæun ph¥n bªc M

reg(Z) Ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp iºm b²o Z

(S)(hay hSi) Ideal nguy¶n tè thu¦n nh§t x¡c ành bði tªp S

L

dMd Têng trüc ti¸p cõa c¡c nhâm con Md

dimB Chi·u (Krull) cõa v nh B

Z(T ) Tªp c¡c khæng iºm cõa tªp T c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t

cõa v nh R = k[x0, , xn] Ker(f) H¤t nh¥n cõa çng c§u f

[a] Sè nguy¶n lîn nh§t bsao cho b ≤ a, a ∈ Q

Trang 8

LÍI NÂI U

Ch¿ sè ch½nh quy cõa mët tªp iºm b²o câ thº ÷ñc ành ngh¾a thæng qua h m Hilbert, cö thº nh÷ sau:

Cho X = {P1, , Ps}l tªp c¡c iºm ph¥n bi»t trong khæng gian x¤ £nh Pn :=

Pnk, vîi k l mët tr÷íng âng ¤i sè Gåi ℘1, , ℘s l c¡c ideal nguy¶n tè thu¦n nh§t cõa v nh a thùc R := k [x0, , xn] t÷ìng ùng vîi c¡c iºm P1, , Ps Cho

m1, , ms l c¡c sè nguy¶n d÷ìng, °t I := ℘m1

1 ∩ ∩ ℘m s

s Ta gåi (X, I) l tªp

iºm b²o trong Pn v kþ hi»u l

Z := m1P1+ · · · + msPs.

V nh to¤ ë thu¦n nh§t cõa Z l A := R/I V nh A = L

t≥0At l mët v nh ph¥n bªc vîi bëi cõa nâ l

e(A) :=

s

X

i=1

mi + n − 1 n

.

H m Hilbert cõa Z ÷ñc x¡c ành bði HA(t) := dimkAt, t«ng ch°t cho ¸n khi

¤t ÷ñc sè bëi e(A), t¤i â nâ døng Ch¿ sè ch½nh quy cõa Z ÷ñc x¡c ành bði sè nguy¶n b² nh§t t sao cho HA(t) = e(A) v nâ ÷ñc k½ hi»u l reg(Z)

V§n · t¼m ch°n tr¶n cõa ch¿ sè ch½nh quy reg(Z) ¢ ÷ñc r§t nhi·u ng÷íi quan t¥m nghi¶n cùu N«m 1961, Segre (xem [17]) ¢ ch¿ ra ÷ñc ch°n tr¶n cõa ch¿ sè ch½nh quy cho c¡c tªp iºm b²o têng qu¡t Z = m1P1+ · · · + msPs trong P2:

reg(Z) ≤ max

m1+ m2− 1,

m1+ · · · + ms

2

vîi m1 ≥ · · · ≥ ms

¸n n«m 1991, Catalisano (xem [6]) ¢ mð rëng k¸t qu£ tr¶n cho mët tªp iºm b²o

ð và tr½ têng qu¡t trong P2 V o n«m 1993, Catalisano, Trung v Valla (xem [7]) ¢

mð rëng k¸t qu£ n y cho mët tªp iºm b²o ð và tr½ têng qu¡t trong Pn:

reg(Z) ≤ max

m1 + m2 − 1,

m1 + · · · + ms+ n − 2

n

. N«m 1996, N.V.Trung (xem [20]) ¢ dü o¡n r¬ng ch°n tr¶n cõa mët tªp iºm b²o tuý þ Z = m1P1+ · · · + msPs trong Pn l

reg(Z) ≤ max {Tj|j = 1, , n} ,

Trang 9

Tj = max

Pq l=1mil + j − 2 j

|Pi1, , Piq n¬m tr¶n mët j-ph¯ng

Hi»n nay, ch°n trong dü o¡n cõa N.V.Trung ÷ñc gåi l ch°n tr¶n cõa Segre Ch°n tr¶n Segre ¢ ÷ñc chùng minh óng trong nhi·u tr÷íng hñp °c bi»t: tr÷íng hñpn = 2, 3(xem [9], [10]), [18], [19]), cho tªp iºm k²pZ = 2P1+ · · · + 2Ps trong P4 (xem [20]), cho tªp n + 2iºm b²o khæng suy bi¸n trong Pn (xem [3]), cho

n + 3 iºm b²o khæng suy bi¸n trong Pn (xem [2]), G¦n ¥y, U Nagel v B Trok

¢ chùng minh ch°n tr¶n cõa Segre óng trong tr÷íng hñp têng qu¡t (xem [24])

B i to¡n t½nh ÷ñc ch¿ sè ch½nh quy reg(Z) l khâ hìn b i to¡n t¼m ch°n tr¶n cho reg(Z) N«m 1984, Davis v Geramita (xem [8]) ¢ t½nh ÷ñc ch¿ sè ch½nh quy cho tªp iºm b²oZ = m1P1 + · · · + msPs n¬m tr¶n mët ÷íng th¯ng cõa Pn:

reg(Z) = m1 + · · · + ms− 1.

V o n«m 1993, Catalisano, Trung v Valla (xem [7]) ¢ t½nh ÷ñc ch¿ sè ch½nh quy reg(Z) cho tªp iºm b²o n¬m tr¶n mët ÷íng cong húu t chu©n trong Pn:

reg(Z) = max

m1+ m2− 1,

Pmi+ n − 2

n

. N«m 2012, Thi»n (xem [21]) công ¢ t½nh ÷ñc ch¿ sè ch½nh quy reg(Z)cho s+2 iºm b²o sao cho chóng khæng n¬m tr¶n (s−1)-ph¯ng trong Pn:

reg(Z) = max {Tj|j = 1, , n} , trong â

Tj = max

Pq l=1mil + j − 2 j

.

N«m 2017, Thi»n v Sinh (xem [23]) ¢ t½nh ÷ñc ch¿ sè ch½nh quy reg(Z) cho tªp s

iºm b²o çng bëi sao cho chóng khæng n¬m tr¶n (r − 1)-ph¯ng,s ≤ r + 3 trong Pn:

reg(Z) = max {Tj|j = 1, , n} , trong â

Tj = max

mq + j − 2

j

. Vîi mong muèn ÷ñc t¼m hiºu v nghi¶n cùu th¶m v· ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp

Trang 10

Phan V«n Thi»n, tæi ¢ chån · t i: "Ch¿ sè ch½nh quy cõa mët sè tªp iºm b²o" º ti¸n h nh nghi¶n cùu Chóng tæi ¢ t½nh ÷ñc ch¿ sè ch½nh quy cõa mët sè tªp iºm b²o ch÷a n¬m trong c¡c tr÷íng hñp tr¶n

Nëi dung luªn v«n gçm 2 ch÷ìng: Ch÷ìng 1 tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc cì b£n v· tªp iºm b²o v ch¿ sè ch½nh quy cõa mët tªp iºm b²o trong khæng gian x¤ £nh Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· sü t½nh to¡n ch¿ sè ch½nh quy cõa mët sè tªp iºm b²o, cö thº

l : ch¿ sè ch½nh quy cõa s iºm b²o ph¥n bi»t trong Pn, s ≤ 5; ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp iºm b²o n¬m tr¶n 2 ÷íng th¯ng v mët sè tr÷íng hñp °c bi»t ch¿ sè ch½nh quy cõa n + 3 iºm b²o khæng suy bi¸n trong Pn

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	1,35 MB