Đề tài MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CÁC ĐIỂM, CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC

Bài toán về viết phương trình đường thẳng, tìm tọa độ các đỉnh của đa giác trong hình học phẳng là một trong những bài toán rất quan trọng, trong đó bài toán viết phương trình các cạnh, xác định tọa độ đỉnh của tam giác khi biết các yếu tố liên quan là bài toán cơ bản rất hay ra trong các sách nâng cao, đề thi chuyên đề, đề thi đại học, cao đẳng. Đây là câu phân loại lấy điểm cao trong đề thi THPT quốc gia. Trong các sách tham khảo hiện nay có một số bài toán đơn lẻ về các đường, các điểm đặc biệt trong tam giác mà chưa hệ thống thành phương pháp chung để giải các dạng bài tập này. Chính vì vậy bài viết này của tôi nhằm mục đích tổng hợp một số dạng toán liên quan về các đường đặc biệt, các điểm đặc biệt trong tam giác, đưa ra phương pháp giải cho mỗi dạng toán cụ thể qua đó giúp thầy và trò hệ thống, củng cố kiến thức, có cái nhìn thấu đáo về tính chất của các đường, tính chất của các điểm đặc biệt trong tam giác. Từ đó trang bị kiến thức để làm được các bài tập về phương trình đường thẳng có liên quan đến các đường, điểm đặc biệt trong tam giác trong kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới.

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CÁC ĐIỂM, CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT

TRONG TAM GIÁC

A PHẦN MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Bài toán về viết phương trình đường thẳng, tìm tọa độ các đỉnh của đagiác trong hình học phẳng là một trong những bài toán rất quan trọng, trong đóbài toán viết phương trình các cạnh, xác định tọa độ đỉnh của tam giác khi biếtcác yếu tố liên quan là bài toán cơ bản rất hay ra trong các sách nâng cao, đề thichuyên đề, đề thi đại học, cao đẳng Đây là câu phân loại lấy điểm cao trong đềthi THPT quốc gia Trong các sách tham khảo hiện nay có một số bài toán đơn

lẻ về các đường, các điểm đặc biệt trong tam giác mà chưa hệ thống thànhphương pháp chung để giải các dạng bài tập này Chính vì vậy bài viết này củatôi nhằm mục đích tổng hợp một số dạng toán liên quan về các đường đặc biệt,các điểm đặc biệt trong tam giác, đưa ra phương pháp giải cho mỗi dạng toán cụthể qua đó giúp thầy và trò hệ thống, củng cố kiến thức, có cái nhìn thấu đáo vềtính chất của các đường, tính chất của các điểm đặc biệt trong tam giác Từ đótrang bị kiến thức để làm được các bài tập về phương trình đường thẳng có liênquan đến các đường, điểm đặc biệt trong tam giác trong kỳ thi THPT Quốc giasắp tới

II Cơ sở lý luận

Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinhđược tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó.Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :

 Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

 Bước 2: Xây dựng thuật giải

 Bước 3: Thực hiện thuật giải

 Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặcbiệt là dạy hình học phẳng là hướng dẫn cho học sinh biết vận dụng các tính chấtcủa các đường trong tam giác, tính chất đường cao, đường trung tuyến, đườngphân giác, tính chất đối xứng học sinh đã được học từ cấp II, kiến thức về hìnhhọc mà học sinh học ở lớp 10 để giải các bài tập có liên quan Một số tính chấthình học đặc biệt.

III Cơ sở thực tiễn

Bài toán hình học phẳng là bài toán khó đối với học sinh, kể cả học sinhđang học lớp 10 hay học sinh ôn thi THPT quốc gia Vì vậy việc hệ thống thànhcác dạng bài tập với phương pháp giải cho từng dạng là việc rất quan trọng giảmbớt khó khăn, lúng túng cho học sinh khi giải các bài tập dạng này

B PHẦN NỘI DUNG

I MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ

1 Biểu thức tọa độ về các phép toán trong vectơ.

*) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ax y b; ;x y'; ' Khi đó:

2 Phương trình đường thẳng

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng

- Vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng là vectơ khác 0, có giá vuông góc với đường thẳng

- Đường thẳng d qua M x y 0 ; 0, có VTPT na b;  a2 b2  0 có phương trình tổng quát: a x x  0b y y  0  0 1 

b) Phương trình tham số của đường thẳng

- Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng là vectơ khác 0, có giá songsong hoặc trùng với đường thẳng

- Đường thẳng d đi qua M x y 0 ; 0, có VTCP ua b;  đk a2 b2  0có

3 Mối quan hệ giữa VTPT và VTCP của cùng một đường thẳng:

Nếu đường thẳng d có phương trình tổng quát: ax by c   0 a2 b2  0 thìđường thẳng d có VTPT là na b;  , suy ra VTCP của đường thẳng d là

 ; 

u b a hoặc ub a;   Điều ngược lại cũng đúng Tức là đường thẳng d

có VTCP là ua b;  thì VTPT của đường thẳng d là n  b a;  hoặc

5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối:

- d//d’

- dd'

- d cắt d’ ( đặc biệt d d')

Lưu ý:

- Hai đường thẳng song song thì cùng VTPT, cùng VTCP.

- Hai đường thẳng vuông góc thì VTPT của đường thẳng này là VTCP

của đường thẳng kia.

6 Góc và khoảng cách

- Khoảng cách giữa hai điểm M x y 1 ; 1;N x y 2 ; 2là: MN  x2  x12y2  y12

- Khoảng cách từ điểm M x M;y Mđến đường thẳng  :ax by c   0 là:

 ,  ax M 2by M2 c

d M    

- Góc giữa hai đường thẳng d, d’ là : cosd d, '  cos   cos , 'u u               cos , '                           n n 

Lưu ý: Khi hai đường thẳng cắt nhau, chúng tạo ra 4 góc Khi đó phương

trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường là:

II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CÁC ĐIỂM, CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT

TRONG TAM GIÁC.

2.1 Các đường đặc biệt trong tam giác

Một số lưu ý:

i) Bài toán có yếu tố đường cao  Sử dụng tính chất vuông góc.

ii) Bài toán có yếu tố đường trung tuyến  Sử dụng tính chất trung điểm.

iii) Bài toán có yếu tố đường phân giác hoặc đường trung trực  Sử dụng tính chất đối xứng.

Bài 1.[Trích đề thi đại học khối D năm 2011]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâmG(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác của góc A có phương trình x y  1 0.

- Khai thác tính chất đối xứng

của phân giác ta xác định

điểm B' là điểm đối xứng của

B qua phân giác góc A Từ đó

viết được phương trình AC

Gọi B a b'( ; ) là điểm đối xứng của B qua phân giác trong d: x y  1 0 của góc

A Ta có BB’ vuông góc với d và trung điểm I của BB’ thuộc d nên tọa độ B’ là

Bài 2 [Trích đề thi Đại học khối B-2010]

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh đỉnh C(-4;1), phângiác trong góc A có phương trình: x y  5 0 Viết phương trình BC, biết diệntích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương

Phân tích hướng giải:

-Khai thác tính chất đối xứng của đường phân giác ta xác định điểm D đối xứngvới C qua đường phân giác trong góc A

-Khai thác tính chất tam giác vuông tại A nên A thuộc đường tròn đường kínhCD

-Khai thác giả thiết diện tích ta có AB 2S ABC

Điểm A thuộc đường tròn đường kính CD nên tọa độ A thỏa mãn

Do d là phân giác trong nên  AB A, D

cùng hướng suy ra B(4;7)

Do đó phương trình BC: 3x 4y16 0.

Bài 3 [Trích đề thi đại học khối B năm 2008]

Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằnghình chiếu vuông góc của C trên AB là H  ( 1; 1), đường phân giác trong góc

A có phương trình x y  2 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình

4x3y 1 0.

Phân tích hướng giải:

-Khai thác tính chất đối xứng qua đường phân giác ta tìm được điểm H’ đốixứng với H qua phân giác góc A

-AC đi qua H’ và vuông góc với d: 4x3y 1 0 Từ đó xác định tọa độ A

Khi đó ta có tọa độ A là nghiệm của hệ 3 4 13 0 5;7

Đường thẳng CH đi qua H với vectơ pháp tuyến 1 (3;4)

Bài 4 [Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương 2013]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) Đường thẳng  làđường phân giác trong của góc A có phương trình 2x y 1 0    Khoảng cách từ

C đến  gấp 3 lần khoảng cách từ B đến  Tìm tọa độ của A và C biết C nằmtrên trục tung

Phân tích hướng giải

-Khai thác yếu tố C thuộc Oy và d(C, )=3d(B, ) suy ra tọa độ C

-Tìm điểm B’ đối xứng với B qua phân giác 

Vẽ hệ trục tọa độ, điểm B, chú ý C khác phía B đối với  suy ra C(0;-8)

Gọi B’(a;b) là điểm đối xứng với B qua  thì B’nằm trên AC

Do BB'   u (1; 2)

nên ta có: a 2b 3 0   ;Trung điểm I của BB’ phải thuộc  nên có: 2a b 2 0  

2.2 ĐIỂM ĐẶC BIỆT

Bài toán: Xác định tọa độ đỉnh của tam giác khi biết tâm đường tròn nội tiếp,

ngoại tiếp, bàng tiếp, trọng tâm, trực tâm và các điểm đặc biệt trong tam giác

Nhận xét: Bài toán kết hợp giữa tâm các đường, các điểm đặc biệt trong tam

giác là bài toán khó và phần lớn xử lý được các toán này ta phải xuất phát từ tínhchất hình học của tam giác Dưới đây tôi trình bày một số tính chất của hình họcphẳng cần áp dụng với loại toán này dưới dạng bổ đề

Kí hiệu: Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm, G

là trọng tâm, J là tâm đường tròn nội tiếp

Bổ đề 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, gọi M là trung điểm BC

và trực tâm H, J là tâm đường tròn nội tiếp và G là trọng tâm tam giác ABC, A1

là giao điểm của AJ với đường tròn ngoại tiếp ABC, A2 là điểm đối xứng của Aqua I, H1 là điểm đối xứng của H qua BC

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BHCA 2 là hình bình hành và M là trung điểm HA 2

b) AH  2IM

c) Ba điểm I, H, G thẳng hàng và IH 3IG

d) Hai tam giác A 1 JB, A 1 JC cân tại A 1

e) H 1 thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC.

f) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đối xứng với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua BC.

Chứng minh

 và I, M lần lượt là trung điểm của HA2, AA2 nên

IM là đường trung bình của tam giác AHA2  AH 2IM  AH  2IM

c)Ta có AH  2IM  IH IA  2 IMIB IC   IH IA IB IC  3IGvậy H, G, I thẳng hàng

2

A C ACJ A JC   nên tam giác A1JC cân tại A1, tương tự tam giác

CHH BCH BAH CBA   CHH CBA

Từ (1), (2) suy ra CH H CBA1  suy ra H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giácABC

f) Từ e) suy ra tam giác HBC và tam giác H1BC đối xứng nhau qua đường thẳng

BC suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác H1BC đối xứng với đường tròn ngoạitiếp tam giác HBC (cũng chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) qua BC

Vận dụng tính chất trên ta xét một số bài tập được khai thác trong các dề thi đại học, đề thi HSG, đề thi thử THPT quốc gia của một số trường sau đây:

Bài 1 [Trích đề thi đại học khối D-2010]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm làH(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0) Xác định tọa độ C biết C có hoành

độ dương

Phân tích hướng giải:

-Khai thác bổ đề 1b) AH  2IM

suy ratọa độ M (M là trung điểm BC)

-BC vuông góc với AH, BC đi qua M

nên viết được phương trình BC, C

thuộc đường tròn tâm I

A

H

M I

C B

2

M

M M M

y y

Bài 2 [Trích đề thi học sinh giỏi khối 10 Vĩnh Phúc-2013-2014]

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy,cho tam giác ABC có

tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm lần lượt có tọa độ là 4;0 , 11 1;

3 3

I G 

 

Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường

thẳng  d : 2x y   1 0 và điểm M4;2 nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh B của

tam giác ABC

Phân tích hướng giải:

C1: -Khai thác giả thiết B d

- Viết pt BH qua H, M suy ra

toạ độ điểm B suy ra N

A

- Viết pt AC (qua N, vuông góc với BH)

- Viết pt đường tròn (I, IA) từ đó suy ra A, C

Bài 3 [Trích đề thi học sinh lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015]

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó trung điểm củacạnhBC là điểmM3; 1  , đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh B đi quađiểm E   1; 3 và đường thẳng chứa cạnh ACđi qua điểm F1;3 Tìm tọa độcác đỉnh của tam giác ABC, biết rằng điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm D4; 2  

Phân tích hướng giải:

-Chìa khoá của bài toán là khai thác bổ

đề 1a) chứng minh được BDCH là

hình bình hành suy ra tọa độ H

-Viết pt BH,

-Viết pt AC, DC suy ra tọa độ C

-M là trung điểm BC nên suy ra B

-A AH AC

M H

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là A2;2 , 1; 1 , 5; 1 B     

Bài 4 [Trích đề thi chuyên đề Trần Phú 2014-2015]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H 1; 1  , tâmđường tròn ngoai tiếp I Gọi K, N lần lượt là hình chiếu của C và B trên AI Tính

tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết K 22; 6 , N 2; 2 

Phân tích hướng giải:

-Gọi D là giao của AI và đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC, khai thác bổ

K

N

M

H I

D

C B

+) Vì M là trung điểm BC nên C 5; 3  

+)Vì I là trung điểm của AD nên A(-1;-3)

Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

đường tròn tâm I(6;6), ngoại tiếp đường tròn tâm J(4;5) Xác định tọa độ B, Cbiết A(2;3)

Phân tích hướng giải:

-Từ giả thiết viết được phương trình

đường tròn ngoại tiếp ABC

-Khai thác bổ đề 1d) suy ra B, C thuộc

C B

Tương tự ta có tam giác DJB cân tại D

Suy ra B, C là giao của (C) và (C1) Vậy tọa độ B, C là nghiệm của hệ

Bài 6 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm

I(3;5), ngoại tiếp đường tròn tâm K(1;4) và F(11;14) là tâm đường tròn bàngtiếp cạnh BC Viết phương trình đường thẳng BC và tìm tọa độ A

Phân tích hướng giải:

-Gọi D là giao của AK và đường tròn

ngoại tiếp ABC Khai thác bổ đề 1d)

suy ra DB=DC=DK

-Gọi P là trung điểm KF ta chứng minh

được PB=PC=PK=KF/2 suy ra P trùng

D

Khi đó B, C là giao của đường tròn

ngoại tiếp ABC và đường tròn đường

kính KF

-A là giao điểm của đường tròn ngoại

tiếp ABC và đường thẳng KF

A

K

F

M I

C B

-Gọi P là trung điểm KF ta có tam giác KCF vuông tại C nên PC=PK=PF, tam

giác BKF vuông tại B nên PB=PK=PF do đó

2

KF

PB PC PK   Suy ra P làgiao điểm của KF và trung trực của BC.(2)

Từ (1), (2) suy ra P D

Ta suy ra D là trung điểm KF nên D(6;9)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: ( ) : (C x 3)2 (y 5)2 25

Phương trình đường tròn đường kính KF là: 2 2

1

( ) : (C x 6) (y 9) 50Tọa độ B, C là nghiệm của hệ

Bài 7 [Trích đề thi THPT quốc gia 2015-Chuyên Vĩnh Phúc]

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là

3x 5y 8 0,  x y  4 0  Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm D4; 2   Lập phương trình các

đường thẳng AB, AC biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.

Phân tích hướng giải:

-Xác định được trung điểm M của BC

-ADBCnên viết được pt AD đi qua D

-Xác định được tọa độ điểm K là giao của

AD và BC

-Khai thác bổ đề 1e) chỉ ra được K là trung

điểm DH suy ra tọa độ H

-Xác định được tọa độ điểm A là giao của

H

D

C B

A

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của

BC và AD Ta kí hiệu n u d, d

lần lượt là vtpt, vtcp của đường thẳng d Do M là

giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

AD vuông góc với BC nên n              AD              u BC 1;1

, kết hợp AD đi qua điểm D suy raphương trình của AD:1x 4 1y 2   0 x y  2 0  Tọa độ điểm K là

nghiệm của hệ phương trình: 4 0 3 3; 1

Ta chứng minh được K là trung điểm của HD nên H2; 4

Do A là giao điểm của AD và AM nên tọa đô điểm A là nghiệm của hệ phương

Do B thuộc BC  B t t ;  4, kết hợp với M là trung điểm BC suy ra C7  t;3  t

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên

Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2;1) và

tâm đường tròn ngoại tiếp I(1;0) Trung điểm BC nằm trên đường thẳng cóphương trình x-2y-1=0 Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết rằng đường tròn ngoạitiếp tam giác HBC đi qua điểm E(6;-1) và hoành độ điểm B nhỏ hơn 4

Phân tích hướng giải:

-Khai thác bổ đề 1f) ta chứng minh

đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC

đối xứng với đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC qua BC, suy ra tâm J của

đường tròn ngoại tiếp HBC đối xứng

với tâm I qua BC

-Mà IM BC tại trung điểm M của

BC suy ra M là trung điểm IJ

-Ta có JH=JE

B

J M

H K I A

-Gọi M là trung điểm của BC, Md M 2t 1;t suy ra J(1+4t; 2t)

PT cạnh BC: 2x+y-7=0 ;