Đề HSG toán 8 Tam Dương Vĩnh Phúc năm học 2018 2019, nội dung khoa học chính xác, bám sát chương trình và có tính phân loại học sinh cao.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2018 – 2019
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 01 trang
Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Câu 1 (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A2a37a b2 7ab2 2b3
Câu 2 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức 2 2019 22019 . 1
B
Câu 3 (2,0 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x2 x 3 y2
Câu 4 (2,0 điểm) Tìm số dư trong phép chia đa thức x1 x3 x5 x7 2034 cho đa thức x2 8x10
Câu 5 (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng 2n 1và 3n 1 đều là các
số chính phương
Câu 6 (2,0 điểm) Cho hình thang vuông ABCD ( A D 900) và CD = 2AB Gọi H là hình chiếu của D trên đường chéo AC, M là trung điểm của đoạn thẳng HC Chứng minh rằng BM vuông góc với MD
Câu 7 (2,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), có AB = 1cm, BC = 6cm, CD = 7cm,
BCD Tính diện tích hình thang ABCD.
Câu 8 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = 4cm Xét hình chữ
nhật ADEF có D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh BC, F thuộc cạnh AC Tính độ dài BD để hình chữ nhật ADEF có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó
Câu 9 (2,0 điểm) Cho hai số x và y thoả mãn: x 2 + 2xy + 6x + 6y + 2y 2 + 8 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + y + 2018.
Câu 10 (2,0 điểm) Cho các số tự nhiên: 1; 2; 3; 4; …; 99; 100 Xếp tùy ý tất cả 100 số
trên nối tiếp nhau thành dãy ta được số P Chứng minh số P không chia hết cho 2019.
-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: SBD: phòng thi
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2018 – 2019
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
I- Hướng dẫn chung:
1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như trong thang điểm quy định.
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo.
3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm Sau khi cộng điểm toàn bài giữ nguyên kết quả.
4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó.
II- Đáp án và thang điểm:
Câu 1 (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A 2a3 7a b2 7ab2 2b3
2a b a 2 ab b 2 7ab a b 0,25
2 2
a b 2a a 2bb b 2a 0,25
Câu 2 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức 2 2
B
Điều kiện:
0 1 1
x x x
0,5
Khi đó:
.
1
B
x
0,25
=
2
x
= 2
2
x
= 20182
1
2018 1
B
x
Câu 3 (2,0 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: x2 x 3 y2
Trang 3Nội dung trình bày Điểm
2x 12 4y2 11 2x2y1 2 x 2y1 11 0,25
Do x, y nguyên nên: 2x 2y 1 và 2x 2y 1 là các số nguyên 0,25
Do đó, xảy ra các trường hợp sau:
TH1: 2x 2y 1=1 và 2x 2y 1 = -11 Tìm được x =-3 và y = 3 0,25 TH2: 2x 2y 1=-1 và 2x 2y 1 = 11 Tìm được x = 2 và y = -3 0,25 TH3: 2x 2y 1=11 và 2x 2y 1 = -1 Tìm được x = 2 và y = 3 0,25 TH4: 2x 2y 1= -11 và 2x 2y 1 = 1 Tìm được x = -3 và y = - 3 0,25 Vậy: (x,y) ( 3;3), 2; 3 ,(2;3),( 3; 3) 0,25
Câu 4 (2,0 điểm) Tìm số dư trong phép chia đa thức x 1 x 3 x 5 x 7 2034
cho đa thức x2 8x 10
Ta có:
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2034 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 2034 0,25 Đặt x2 + 8x + 7 = y, ta có: y(y + 8) + 2034 = y(y + 8) + 15 + 2019 0,5 = (y + 3)(y + 5) + 2019 0,5 = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) + 2019 0,5 Vậy số dư của phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2034 cho đa
Câu 5 (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng 2n 1và 3n 1 đều là các số chính phương
21 2 n 1 199 0,25
Vì 2n 1 là số chính phương lẻ nên: 2n 1 25;49;81;121;169 0,5
Ta có: n12; 24;40;60;84 3n 1 37;73;121;181; 253 0,5
Vì 3n 1 là số chính phương nên: 3n 1 121 n 40 0,25 Vậy với n 40 thì 2n 1 81 và 3n 1 121 đều là số chính phương 0,25
Câu 6 (2,0 điểm)
Cho hình thang vuông ABCD (A D 90 0) và DC = 2AB Gọi H là hình chiếu của D trên đường chéo AC, M là trung điểm của đoạn thẳng HC Chứng minh rằng BM vuông góc với MD
Trang 4Ta có hình vẽ:
Ta có MN là đường trung bình của HDC nên: 1
2
2
AB DC( vì DC = 2AB); AB//DC (vì 0
90
MN = AB và MN//AB, suy ra tứ giác ABMN là hình bình hành 0,25
Ta có: MN//DC và DCAD(vì D 90 0) nên MN AD 0,25
ADM có DH và MN là hai đường cao cắt nhau tại N, nên N là trực tâm, do
Câu 7 (2,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB//CD), có AB = 1cm, BC = 6cm, CD = 7cm,
30 0
BCD Tính diện tích hình thang ABCD.
Ta có hình vẽ:
Vẽ BH DC (H DC) Gọi E là điểm đối xứng của B qua H 0,25
Ta có: CB = CE nên CBE cân tại C, CH là đường cao nên CH cũng là
2
Do CBE cân có 0
60
BCE nên CBE là tam giác đều BEBC 0,25
Tứ giác ABCD là hình thang nên: 1 .
2
ABCD
1 2
1 7 3 12
Trang 5Vậy diện tích hình thang ABCD là 12 cm 2 0,25
Câu 8 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = 4cm Xét hình chữ nhật ADEF có D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC Tính độ dài BD để hình chữ nhật ADEF có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó.
Ta có hình vẽ:
Đặt BD = x (cm) (với 0< x < 4) thì AD = 4 – x (cm) 0,5
Đặt S ADEF S, ta có:
= - (x2 - 4x + 4) + 4 = - (x - 2)2 + 4 4 0,25
Vậy với BD = 2cm thì hình chữ nhật ADEF có diện tích lớn nhất, diện tích
Câu 9 (2,0 điểm)
Cho x và y thoả mãn: x 2 + 2xy + 6x + 6y + 2y 2 + 8 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + y + 2018.
Ta có: x 2 + 2xy + 6x + 6y + 2y 2 + 8 = 0 x y 32 1 y2 0,25
Mà 1 y2 1 vì y 2 0 với mọi y nên: x y 32 1 0,5 x y 3 1 0,25 1 x y 3 1 0,25 2014 x y 2018 2016 0,25
Câu 10 (2,0 điểm)
Trang 6Cho các số tự nhiên: 1; 2; 3; 4; …; 99; 100 Xếp tùy ý tất cả 100 số trên nối tiếp nhau thành dãy ta được số P Chứng minh số P không chia hết cho 2018
Ta thấy trong số P mỗi số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 xuất hiện 20 lần, còn số 1 xuất
Tổng các chữ số của P là: (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9).20 + 1.21 = 901 0,5 Như vậy P không chia hết cho 3 và hiển nhiên P không chia hết cho 2018 0,5