skkn một số kỹ THUẬT GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Vì vậy, để học tốt phần này,ngoài việc đòi hỏi học sinh nắm vững cách giải của các PTLG cơ bản, các PTLG đơngiản và các công thức biến đổi lượng giác, thì các em cần phải biết quan sát,

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu:

Phương trình lượng giác (PTLG) là kiến thức rất quan trọng trong chươngtrình môn Toán trung học phổ thông nói chung và trong chương trình môn Toán lớp

11 nói riêng Trong các đề thi Đại học, Cao đẳng và thi Học sinh giỏi PTLG luôn cómặt Tuy nhiên trong các đề thi, PTLG không phải là những PTLG cơ bản hay PTLGđơn giản có cách giải tổng quát mà thường là những PTLG không mẫu mực Và khiđứng trước các PTLG không mẫu mực học sinh thường lúng túng không biết giảibằng cách nào hay dùng công thức nào để giải PTLG đó Vì vậy, để học tốt phần này,ngoài việc đòi hỏi học sinh nắm vững cách giải của các PTLG cơ bản, các PTLG đơngiản và các công thức biến đổi lượng giác, thì các em cần phải biết quan sát, nhận xét

để đưa ra hướng biến đổi đúng đắn nhằm đưa được PTLG đã cho về một PTLG đơngiản hơn đã biết cách giải Trong những năm dạy PTLG cho các em học sinh lớp 11,tôi luôn suy nghĩ là làm thế nào để giúp các em có được kỹ năng giải thành thạo cácPTLG, không còn e ngại trước các PTLG không mẫu mực Điều đó đã thôi thúc tôikhông ngừng nghiên cứu, thu thập tài liệu để tìm ra phương pháp tốt nhất giúp các emhọc sinh giải quết nhanh gọn các PTLG không mẫu mực Chính vì thế tôi chọn đề tài:

“ Một số kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác”.

A CƠ SỞ LÝ LUẬN

Nhiệm vụ trọng tâm ở trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của

trò Đối với người thầy, việc giúp học sinh nắm vững những kiến thức phổ thông nói chung, đặc biệt là kiến thức thuộc bộ môn toán nói riêng là việc làm rất cần thiết

Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học ở môntoán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài toán

cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic

và suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần giúp học sinh cách

học, biết sử dụng các kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán cụ thể Mục đích là làmcho học sinh khi đứng trước một bài toán, các em biết cách phân tích, nhận dạng, biếtchuyển bài toán mới về bài toán đơn giản hơn hay một bài toán quen thuộc đã biết cáchgiải Đối với bại toán giải PTLG cũng vậy, khi dạy học sinh phần này, ngoài việc trang bịcho các em những kiến thức cơ bản cần thiết và phương pháp giải các dạng PTLG thườnggặp, thì bên cạnh đó giáo viên cần phải dạy cho các em cách nhận dạng một bài toán, biếtphân tích các yếu tố cung góc, biết nhận xét về các hàm số lượng giác có mặt trong mộtphương trình…để từ đó có thể có những bước biến đổi phù hợp nhằm đưa bài toán cầngiải quyết về một bài toán đơn giản hơn

B CƠ SỞ THỰC TIỄN

Xuất phát từ thực tế giảng dạy môn toán lớp 11, cụ thể là chương 1: Hàm số lượnggiác và phương trình lượng giác Đối với phần PTLG, yêu cầu của chương là học sinhbiết cách giải các PTLG cơ bản và phương pháp giải một số dạng PTLG đơn giản Tuynhiên, trong thực tế các PTLG có mặt trong những đề thi đại học trước đây không chỉ đòihỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản mà còn phải có kĩ năng phân tích, biến đổithành thạo Do đó giáo viên phải dạy cho học sinh biết cách phân tích, biến đổi để đưađược PTLG đã cho về các dạng quen thuộc

C NỘI DUNG

I Kiến thức cơ bản

Trước khi bắt tay vào việc giải PTLG, các em học sinh cần phải thuộc lòng tất cả cáccông thức biến đổi lượng giác đã học ở lớp 10 Tiếp đến là các em phải nắm vững cáchgiải và biện luận của các PTLG cơ bản, nắm vững phương pháp giải của các PTLG đơngiản thường gặp Cụ thể như sau:

1 Phương trình lượng giác cơ bản:

a sinx = m (m là tham số thực)

+/ Nếu m > 1 hoặc m < -1 thì phương trình vô nghiệm

+/ Nếu  � �1 m 1thì �0, 2 : sin  mvà phương trình có nghiệm là:

22

*/ Lưu ý: Các trường hợp đặc biệt:

+/ Nếu m > 1 hoặc m < -1 thì phương trình vô nghiệm

+/ Nếu  � �1 m 1thì �0, 2 : os c  mvà phương trình có nghiệm là:

22

a/ Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Dạng phương trình: a t b.  0, trong đó a, b là các hằng số đã biết, còn t là một trongcác hàm số lượng giác

Cách giải: Rút t theo a và b đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

b/ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng phương trình: at2  bt c 0, trong đó a, b, c là các hằng số đã biết, còn t là một trong các hàm số lượng giác

Cách giải: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, tính t theo a, b, c (nếu

có) Rồi đưa về PTLG cơ bản

c/ Phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX

Dạng phương trình: as inXbcosX c(1), trong đó a, b, c là các hằng số đã biết và

Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là: a2 �b2 c2

d/ Phương trình bậc hai đối với sinX và cosX

Dạng phương trình: asin X2 bsinX cosX cc os X=d2 (1), trong đó a, b, c,d là các hằng số đã biết và a2  �b2 c2 0.

Cách giải: Có thể giải theo một trong hai cách sau:

Cách 2: Dùng công thức nhân đôi

e/ Phương trình đối xứng đối với sinX và cosX

Dạng phương trình: trong phương trình chỉ có mặt các biểu thức: s inX+ cos X ,

sinX.cos X hoặc sinX-cos X , sinX.cos X

Cách giải: Dùng ẩn phụ đặt tsinX cos� X , sau đó rút sinX.cos X theo t rồi đưa phương trình về phương trình của ẩn phụ

f/ Phương trình đối xứng đối với tanX và cotX

Dạng phương trình: trong phương trình chỉ có mặt các biểu thức: tanX+ cot X,

tan X+ cot X hoặc tanX-cot X, tan X+ cot X2 2

Cách giải: Dùng ẩn phụ đặt t ta nX cot� X , sau đó rút tan X+ cot X2 2 theo t rồi đưa phương trình về phương trình của ẩn phụ

II/ Một số kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác.

1 Dựa vào mối quan hệ giữa các cung

Đôi khi việc giải PTLG khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác nhằm đưa được về các PTLG cơ bản là một vấn đề rất then chốt Chúng ta xét các bài toán sau đây để thấy được việc xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào

Ví dụ 1 ( ĐH – A 2008) Giải phương trình:

4sin3

2

x x

� � trong PTLG đã cho ta liên

tưởng đến việc đưa các cung lượng giác

3 2

1sin 2

Ví dụ 2 ( ĐH – D 2006) Giải phương trình: cos x cos x3  2 cosx 1 0

Nhận xét: Từ sự xuất hiện ba cung x, 2xvà 3x trong PTLG đã cho ta liên tưởng đến việc đưa các cung lượng giác đó về cùng một cung x, bởi các cung 2 ,3x x là các góc nhân đôi, nhân ba của cung x Cụ thể:

cos3x4cos x3 3cosx và cos 2x2cos2 x1

LG: Phương trình tương đương với:

Phương trình �cos x cos x3  2 cosx 1 0�(cos x3 cos ) ( os2x-1) 0x  c 

�2sin 2 sinx 2sinx  2 x0�2sin (1 2 cos ) 02x  x 

s inx 0

1cosx=-

Ví dụ 3 ( ĐH – B 2003) Giải phương trình: 3cos x4 8cos x6 2cos2 x 3 0

Nhận xét 1: Từ sự xuất hiện hai cung x, 4x trong PTLG đã cho ta liên tưởng đến việc đưa các cung lượng giác đó về cùng một cung x, bởi các cung 4x là góc nhân đôi của cung 2x và 2x lại là góc nhân đôi của x Cụ thể:

cos 4x2cos x22 1 và cos 2x2cos2x1

LG 1: Phương trình tương đương với:

1( / ) 1

2 3 ( ) 2

Nhận xét 2: Từ sự xuất hiện của các lũy thừa bậc chẵn của cos của cung x cho ta hướng

biến đổi hai cung x và 4x về cung 2x Cụ thể:

cos 4x2cos x22 1 và

2 1 os2xcos

Ví dụ 4 ( ĐH – D 2008) Giải phương trình: 2sin (1x cos2x) sin2x=1+cosx

Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung x, 2x trong PTLG đã cho ta liên tưởng đến việc đưacác cung lượng giác đó về cùng một cung x, bởi 2x là góc nhân đôi của x Cụ thể:

1 cos 2 x2 cos2x và s 2in x 2sinx.cosx

LG: Phương trình tương đương với:

24sin os 2sin osx=1+2cosx2sinxcosx(1+2cosx)=1+2cosx 1 2cos (1 sin 2 ) 0

Vậy nghiệm của phương trình là:

Ví dụ 5 Giải phương trình: 3sin 3x 3cos9x=1+4sin 33 x

Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung 3x, 9x trong PTLG đã cho ta liên tưởng đến việc đưa các cung lượng giác đó về cùng một cung là 3x, bởi ta có 9x là góc nhân ba của 3x

Từ đó đưa phương trình đã cho về phương trình bậc nhất đối với sin và cos

LG: Phương trình tương đương với:

3sin 3x4sin 33 x 3cos9x=1�sin9x- 3cos9x=1

Ví dụ 6 (ĐH – B 2009) Giải phương trình: sinx cosx.sin 2 x 3cos3x=2(cos4x+sin )3x

Nhận xét: Ta thấy x + 2x = 3x, và sin x3 có thể chuyển về sin3x dựa vào công thức góc nhân ba

LG: Phương trình tương đương với:

26

Chú ý: Cách giải phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX còn được áp dụng cho các

phương trình có dạng bậc nhất: asin ( )f x bc fos (x)=a sing(x)+b cosg(x)' ' trong đó:

2 2=a +b'2 '2 0

Ví dụ 7 Giải phương trình:

sin 5

15sinxx 

Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung 5x, x trong PTLG đã cho ta suy nghĩ tới việc làm thế nào để chuyển cung 5x về cung x?

LG: ĐK: sinx 0�

Cách 1: Phương trình �sin 5x5s inx�sin5x-sinx 4sin x

�2cos3 sin 2x x4sinx�2(4cos3x3cos ).2sin cosx x x4sinx

2 2

(4cos 3cos ).cos 1 4cos 3cos 1 0cos 1 sinx 0( )

1cos ( )

Cách 2: Phương trình tương đương

sin 3 os2x+cos3x.sin2x=5sinx (3sinx-4sin x)(2cos x-1)+(4cos x-3cosx).2sinxcosx=5sinx

�12sin5 x20 cos sin3x 3x0

�3sin2x5cos2x0(Vô lý)

Vậy phương trình đã cho vô nghệm

Ví dụ 8( ĐHXD-1997) Giải phương trình:

4sin 2 os 2

4tan tan( )

2 Biến đổi tổng thành tích và ngược lại

Trong PTLG nếu xuất hiện tích của các HSLG sin và cos ta có thể biến đổi thành tổng (mục đích là tạo ra những đại lượng giống nhau để rút gọn) Còn khi xuất hiện tổng thì ta biến đổi về tích nhằm tạo ra nhân tử chung đưa vè phương trình tích

Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos =2cos 2 . 2

1cos = [cos(a+b)+ ( )]

2

1sin sin = [cos(a-b)- ( )]

2

1sin = [sin(a+b)+sin( )]

2

Ví dụ 1 Giải phương trình: sinxsin 2xsin 3xsin 4xsin 5xsin 6x0

Nhận xét: Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của sin (hoặc cos) ta cần

chú ý nhóm các cung để sao cho tổng hoặc hiệu của các cung là bằng nhau

7 2

2 2 3

Ví dụ 2 Giải phương trình: co xs sinxsin 3x co x s3  2cos x2

Nhận xét: Trong vế trái của phương trình xuất hiện các cặp tổng và hiệu sin 3x sinx và

co x co x, đồng thời

322

Phương trình �(sin 3xsin ) (x  cos x cosx3  ) 2cos x2 0

�2 s 2 sinco x x2 s 2 cosco x x 2cos x2 0

Ví dụ 3 Giải phương trình: co xs sinxsin 3x co x s3  2cos x2

Nhận xét: Trong vế trái của phương trình xuất hiện các cặp tổng và hiệu sin 3xsinx và

co x co x, đồng thời

322

Phương trình �(sin 3xsin ) (x  cos x cosx3  ) 2cos x2 0

�2 s 2 sinco x x2 s 2 cosco x x 2cos x2 0

Vậy nghiệm của phương trình là:

2 12 7 2 12

Ví dụ 4 Giải phương trình: 3 s5co x2sin 3 s 2x co xsinx 0

Nhận xét: Từ sự xuất hiện của các cung 2x, 3x, 5x và do 5x = 3x + 2x nên ta nghĩ ngay

đến việc dùng công thức biến đổi tích thành tổng nhằm tạo ra các yếu tố giống nhau để thu gọn

LG:

Phương trình � 3cos x5 sin 5xsinx sinx 0 

� 3cos x5 sin 5x2sinx

7 cos3xsin3 xsinx cos x

8 cos3xsin3 xsinx cos x

9 cos3xsin xsin 2xsinx+ cosx

10.cos3xsin3 xsin 2xs inx+ cosx

3 Sử dụng công thức hạ bậc

Khi giải PTLG mà bậc của sin và cos là bậc chẵn ta thường tìm cách giảm bậc bằngviệc sử dụng các công thức hạ bậc, từ đó đưa được về các PTLG cơ bản

Ví dụ 1 ( ĐH – B 2002) Giải phương trình: sin 32 x cos x 24 sin 52 xcos 62 x

Nhận xét: Từ sự xuất hiện bậc của sin và cos là bậc chẵn ta thường tìm cách giảm bậc

bằng việc sử dụng các công thức hạ bậc, và kết hợp công thức biến đổi tổng thành tích đểđưa về phương trình tích

LG: Phương trình tương đương với:

Nhận xét: Từ sự xuất hiện bậc của sin và cos là bậc chẵn ta thường tìm cách giảm bậc

bằng việc sử dụng các công thức hạ bậc, và nhóm các hạng tử thích hợp để đưa vềphương trình tích

LG: ĐK: cosx�0

Phương trình tương đương với:

2[1 ( )]tan 1

4

k k

cos4x=1

4 ( )2

1cos x4 s 7in x 1 sinx �cos x4 (s 7in xsinx)=0

Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau

1 2 s 2co 2 x cos x 2 4sin 2 cos2 x 2x

2 sin2 xsin 32 x3cos 22 x0

3 sin 42 xcos 62 xsin(10,5 10 )x

sin x-cos x(sin x-cos )(sin x+ os x)x c  cos x2

sinx cos 2 sin( ) 2 ( )

sin( )

3 2

x 

�

sin 2

x

Nhận xét: Trong phương trình trên xuất hiện 3 yếu tố sin, tang và cotang mà ta biết rằng

khi gặp một bài toán về lượng giác thì ta luôn biến đổi biểu thức lượng giác đó chỉ cònnhiều nhất là 2 yếu tố Do đóta nghĩ ngay đến việc chuyển tang và cotang về sin và costheo định nghĩa

Nhận xét: Từ sự xuất hiện bình phương của tổng sin x cos x4  4 ta nghĩ đến việc hạ bậc

theo hằng đẳng thức ở trên, và sau đó biến đổi tích cos(x 4).sin(3x 4)

theo công thức biến đổi tích thành tổng

Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau

1 4(sin4x cos x 4 ) 3.sin 4x2

2 (1 sin ) cos 2x x (1 cos x2 )sinx 1 sin 2  x

3 1 sin xcosx cos x 2 sin2x 0

9.Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Học sinh được trang bị các kiến thức cơ bản về các công thức lượng giác và về

công thức nghiệm của các PTLG cơ bản, đồng thời nắm vững cách giải của các PTLG đơn giản.

10 Đánh giá – Kết luận :

Lượng giác và ứng dụng của lượng giác là một phần không thể thiếu trong các

đề thi đại học từ trước đến nay, chính vì thế ngoài việc nắm vững các công thức lượng giác, cách giải của các PTLG cơ bản và PTLG đơn giản thì các em còn phải thuần thục các kĩ năng biến đổi, biết cách quan sát để đưa ra hướng biến đổi phù hợp và để có kết quả nhanh nhất.

Qua chuyên mục nhỏ này hi vọng các em sẽ có thêm những kinh nghiệm bổ ích,

để từ đó thêm tự tin khi gặp một PTLG trong các kì thi quan trọng.

Tài liệu sẽ không thể không mắc sai sót và còn nhiều hạn chế hi vọng được sự góp ý từ bạn đọc.

………, Ngày… tháng… năm… ………., Ngày… tháng… năm… Thủ trưởng đơn vị Tác giả sáng kiến

Chính quyền địa phương (Ký, ghi rõ họ tên)

(Ký tên, đóng dấu)