GIÁO TRÌNH TOÁN II ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 5 1.1 Định nghĩa và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tích phân các hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Tích phân một số hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Tích phân các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 16 2.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM 30 3.1 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Chuỗi có dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 Dãy hàm và chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 51 4.1 Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.1 Phương trình tách biến ÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 5 1.1 Định nghĩa và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tích phân các hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Tích phân một số hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Tích phân các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 16 2.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM 30 3.1 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Chuỗi có dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 Dãy hàm và chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 51 4.1 Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.1 Phương trình tách biến ÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 5 1.1 Định nghĩa và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tích phân các hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Tích phân một số hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Tích phân các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 16 2.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM 30 3.1 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Chuỗi có dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 Dãy hàm và chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 51 4.1 Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.1 Phương trình tách biến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Lê Thái Thanh

GIÁO TRÌNH TOÁN II

(Chương Trình Chất Lượng Cao Việt-Pháp)

TP HỒ CHÍ MINH - 2015

Mục lục

Mục lục 2

1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 5 1.1 Định nghĩa và cách tính 5

1.2 Tích phân các hàm hữu tỉ 8

1.3 Tích phân một số hàm vô tỉ 9

1.4 Tích phân các hàm lượng giác 12

Bài tập chương 1 14

2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 16 2.1 Định nghĩa và các tính chất 16

2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định 18

2.3 Tích phân suy rộng 21

2.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 21

2.3.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn 24

2.4 Ứng dụng của tích phân 26

Bài tập chương 2 27

3 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM 30 3.1 Chuỗi số 30

3.2 Chuỗi số dương 33

3.3 Chuỗi có dấu bất kỳ 37

3.4 Dãy hàm và chuỗi hàm 39

3.5 Chuỗi luỹ thừa 46

Bài tập chương 3 49

4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 51 4.1 Phương trình vi phân cấp một 51

4.1.1 Phương trình tách biến 52

4.1.2 Phương trình đẳng cấp 52

MỤC LỤC 3

4.1.3 Phương trình tuyến tính 53

4.1.4 Phương trình Bernoulli 54

4.1.5 Phương trình vi phân toàn phần 54

4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng 56

4.2.1 Phương trình thuần nhất 56

4.2.2 Phương trình không thuần nhất 58

Bài tập chương 4 60

5 HÀM NHIỀU BIẾN 63 5.1 Các khái niệm cơ bản 63

5.1.1 Hàm số và giới hạn 63

5.1.2 Hàm liên tục 66

5.2 Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến 66

5.2.1 Đạo hàm riêng 66

5.2.2 Đạo hàm của hàm hợp 68

5.2.3 Đạo hàm hàm ẩn 69

5.2.4 Vi phân toàn phần 70

5.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao 71

5.3.1 Đạo hàm cấp cao 71

5.3.2 Vi phân cấp cao 71

5.3.3 Công thức Taylor 72

5.4 Cực trị hàm nhiều biến 72

5.4.1 Cực trị tự do 72

5.4.2 Cực trị có điều kiện 74

5.4.3 GTLN và GTNN của hàm trong miền đóng 76

Bài tập chương 5 76

6 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 80 6.1 Lý thuyết sơ cấp 80

6.1.1 Qua giới hạn dưới dấu tích phân 81

6.1.2 Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân 81

6.1.3 Lấy tích phân dưới dấu tích phân 82

6.2 Sự hội tụ đều của tích phân 83

6.3 Các tích phân Euler 87

6.3.1 Tích phân Euler loại 1 87

MỤC LỤC 4

6.3.2 Tích phân Euler loại 2 88

Bài tập chương 6 90

7 TÍCH PHÂN BỘI 92 7.1 Tích phân kép 92

7.1.1 Định nghĩa và tính chất 92

7.1.2 Cách tính tích phân kép 93

7.1.3 Đổi biến trong tích phân kép 95

7.1.4 Ứng dụng của tích phân kép 96

7.2 Tích phân bội ba 98

7.2.1 Định nghĩa và cách tính 98

7.2.2 Đổi biến trong tích phân bội ba 99

7.2.3 Ứng dụng của tích phân bội ba 101

7.3 Tích phân nhiều lớp 102

Bài tập chương 7 104

8 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT 108 8.1 Tích phân đường 108

8.1.1 Tích phân đường loại một 108

8.1.2 Tích phân đường loại hai 110

8.1.3 Công thức Green 113

8.2 Tích phân mặt 117

8.2.1 Mặt hai phía 117

8.2.2 Tích phân mặt loại một 119

8.2.3 Tích phân mặt loại hai 120

8.2.4 Công thức Stock 122

8.2.5 Công thức Gauss 123

8.3 Sơ lược về lý thuyết trường 124

8.3.1 Trường vô hướng và trường vectơ 124

8.3.2 Đạo hàm theo hướng 125

8.3.3 Thông lượng của vectơ qua một mặt 126

8.3.4 Lưu thông của vectơ dọc theo đường cong kín 127

Bài tập chương 8 127

Tài liệu tham khảo 134

Chương Một

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Mục lục

1.1 Định nghĩa và cách tính 5

1.2 Tích phân các hàm hữu tỉ 8

1.3 Tích phân một số hàm vô tỉ 9

1.4 Tích phân các hàm lượng giác 12

Bài tập chương 1 14

§1.1 Định nghĩa và cách tính

Định nghĩa 1.1

Hàm số F pxq trong tập X là nguyên hàm của hàm f pxq, nếu @x P X , F1pxq “ f pxq

Ví dụ 1.1:

: sin xlà một nguyên hàm của hàmcos xvìpsin xq1 “ cos x.

: x3` xlà một nguyên hàm của hàm3x2` 1vìpx3` xq1 “ 3x2` 1.

Nếu F pxq là một nguyên hàm của hàm f pxq trong X , thì F pxq ` C với C là hằng số cũng là nguyên hàm của f pxq Ngược lại, như đã biết, nếu hai hàm F pxq và Gpxq có cùng đạo hàm f pxq trong X , thì hai hàm F pxq và Gpxq sai khác nhau một hằng số: Gpxq “ F pxq ` C Vậy nếu biết một nguyên hàm

F pxq của hàm f pxq trong X thì mọi nguyên hàm của f pxq phải có dạng F pxq ` C Biểu thức này được gọi là tích phân bất định của hàm f pxq trong X và ta ký hiệu:

ż

f pxq dx “ F pxq ` C

Từ các tính chất của đạo hàm và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, ta có các tính chất của tích phân bất định và bảng các tích phân cơ bản sau:

Tính chất 1

ˆż

f pxq dx

˙1

“ f pxq 2

ż

Cf pxq dx “ C

ż

f pxq dx C là hằng số

3

ż

rf pxq ˘ gpxqs dx “

ż

f pxq dx ˘

ż gpxq dx

1.1 Định nghĩa và cách tính 6

Bảng các tích phân bất định cơ bản1

x “ ln |x| ` C2

żdx

1 ` x2 “ arctan x ` C3

żdx

1 ´ x2 “ 1

2ln

ˇˇˇˇ

1 ` x

1 ´ x

ˇˇˇ

ˇ` C4

żdx

?

1 ´ x2 “ arcsin x ` C5

żdx

żsin x dx “ ´ cos x ` C8

żdxcos2x “ tan x ` C,

żdxsin2x “ ´ cot x ` C9

żsinh x dx “ cosh x ` C,

żcosh x dx “ sinh x ` C

Ví dụ 1.2:Sử dụng bảng các tích phân cơ bản, tính các tích phân sau:

ż

tan2x dx “

ż

`ptan2x ` 1q ´ 1˘ dx “

ż ˆ1cos2x ´ 1

˙

dx “ tan x ´ x ` Cpcq

ż

1sin2x cos2x dx “

żsin2x ` cos2xsin2x cos2x dx “

ż1cos2x dx `

ż1sin2x dx “ tan x ´ cot x ` C

Bây giờ ta sẽ xét hai phương pháp cơ bản để tính tích phân bất định

1 Phương pháp đổi biếnGiả sử gptq là hàm liên tục theo biến t, ωpxq là hàm có đạo hàm liên tục theo x và ş gptq dt “Gptq ` C Khi đó ta có:

żgpωpxqqω1pxq dx “

żgptq dt “ Gptq ` C “ Gpωpxqq ` C

2, xdx “ dt

2

ˇˇ

ˇ “

12

żdt

Đặt x “ sinh t ñ?1 ` x2“ cosh t,

dx “ cosh tdt, t “ lnpx `?1 ` x2q

ˇˇˇ

ˇ“ż

dt “ t ` C “ lnpx `a1 ` x2q ` C

1.1 Định nghĩa và cách tính 7

2 Phương pháp tích phân từng phầnGiả sử upxq và vpxq là hai hàm khả vi liên tục theo biến x Khi đó theo qui tắc lấy vi phân củatích dpuvq “ vdu ` udv, ta có công thức sau:

żvpxqu1pxq dx

ˇ“ x ln x ´

ż

x ¨1

x dx “ x ln x ´ x ` Cpbq

ż

x2cos x dx “

ˇˇˇˇ

u “ x2 ñ u1 “ 2x

v1 “ cos x ñ v “ sin x

ˇˇˇ

u “ x ñ u1 “ 1

v1

“ sin x ñ v “ ´ cos x

ˇˇ

ˇ“ x2sin x ´ 2

ˆ

´x cos x `

żcos x dx

˙

“

“ x2sin x ` 2x cos x ´ 2 sin x ` C

Ví dụ 1.5:Chúng ta sẽ tìm công thức truy hồi để tính tích phân

Jn“

żdx

4a2

x

px2` a2q2 `

38a4

x

x2` a2 `

38a5 arctanx

a ` C

Từ các công thức tích phân cơ bản và hai phương pháp trên ta có một số công thức quan trọngsau:

1.2 Tích phân các hàm hữu tỉ 8

1

żdx

żdx

a2´ x2 “

12aln

ˇˇˇ

a ` x

a ´ x

ˇˇ

ˇ` C pa ­“ 0q

3

żdx

?

a2´ x2 “ arcsin

x

a pa ą 0q4

żdx

?

x2˘ a2 “ ln

ˇˇ

ˇx `

a

x2˘ a2

ˇˇ

ˇ pa ą 0q

5

ża

ża

ˇx `

a

x2˘ a2

ˇˇ

ˇ ` C

§1.2 Tích phân các hàm hữu tỉ

Hàm hữu tỉ (phân thức hữu tỉ) được hiểu là tỉ số của hai đa thức Nếu bậc của tử số nhỏ hơn bậccủa mẫu số thì ta có hàm hữu tỉ thực sự Vì mọi hàm hữu tỉ, bằng phép chia đa thức, đều có thể phântích thành tổng của một đa thức và một hàm hữu tỉ thực sự, nên trong phép tính tích phân, ta chỉcần xét các hàm hữu tỉ thực sự

Trong số đó ta sẽ xét những phân thức được gọi là tối giản; đó là những phân thức thuộc bốn loạisau đây:

x ´ a “ A ln |x ´ a| ` CpIIq A

żdx

˙, tacó:

t2` a2 `

1a

ˆ

N ´ M p2

˙ żdt

˙arctant

a` C

1.3 Tích phân một số hàm vô tỉ 9Trở về biến cũ x và thay a bằng giá trị của nó, ta có:

pt2` a2qk `

ˆ

N ´ M p2

px ´ 2qpx2` 1q2 dx “

żdx

với các số mũ r, s, là số hữu tỉ Gọi m là BSCNN của các mẫu số của các số r, s, Bằng phépđổi biến tm “ ax ` b

cx ` d, ta sẽ đưa tích phân trên về dạng hữu tỉ.

Ví dụ 1.8:Tính tích phân I “

żdx

t2` t3 dt “

ż6t3

1 ` t dt “ 6

ż

pt2´ t ` 1q dt ´ 6

żdt

: Nếu p P Z thì đặt x “ tN với N là mẫu số chung của m và n

1.3 Tích phân một số hàm vô tỉ 11

Do đó?41 ` x4“ tx “ tpt4´ 1q´1{4và

żdx

żdt

ż

dx

x `?x2´ x ` 1 “

ż2t2´ 2t ` 2tp2t ´ 1q2 dt “ż „ 2

t ´

32t ´ 1`

3p2t ´ 1q2

ˇˇ

ˇx `

a

x2´ x ` 1

ˇˇ

ˇ ´

2ln

ˇˇˇ2x ` 2

a

x2´ x ` 1 ´ 1

ˇˇ

ˇ ` C

Trong một số trường hợp cụ thể, kỹ năng biến đổi cũng có thể cho phép chúng ta tính tích phân

dễ dàng hơn Ta xét một số ví dụ điển hình sau:

1.4 Tích phân các hàm lượng giác 12

Lấy đạo hàm và đồng nhất hai vế, ta có

x2“ Apx2` 2x ` 2q ` pAx ` Bqp2x ` 2q ` λ “ 3Ax2` p4A ` 2Bqx ` p2A ` 2B ` λq

Từ đây ta thu đượcA “ 1

żR

ˆ2t

?

3tan

x2

˙

` C

Phép thế đã nêu, được gọi là vạn năng đối với tích phân dạng (1.2), đôi khi đẫn đến việc tính toánrất phức tạp Trong một số trường hợp, ta có thể sử dụng những phép thế đơn giản hơn Ta xét cáctrường hợp sau đây:

: Nếu Rp´ sin x, cos xq “ Rpsin x, cos xq thì đặt t “ cos x

: Nếu Rpsin x, ´ cos xq “ Rpsin x, cos xq thì đặt t “ sin x

: Nếu Rp´ sin x, ´ cos xq “ Rpsin x, cos xq thì đặt t “ tan x

1.4 Tích phân các hàm lượng giác 13

Ví dụ 1.14:Ta xét một số ví dụ sau:

(a) Xét tích phân

żsin2x cos3x dx Bằng phép thết “ sin x, ta được:

żsin2x cos3x dx “

żdxsin x cos 2x “

ż

dxsin xp2 cos2x ´ 1q “

ż

dtp1 ´ t2qp1 ´ 2t2q “

?

2ln

ˇˇˇ

1 ` t?2

1 ´ t?2

ˇˇ

ˇ` 1

2ln

ˇˇˇ

1 ´ t

1 ` t

ˇˇ

1 `?2 cos x

1 ´?2 cos x

ˇˇˇ

ˇ`1

2ln

ˇˇˇˇ

1 ´ cos x

1 ` cos x

ˇˇˇ

ˇ` C

(c) Xét tích phân:

żsin2xcos6x dx Đặtt “ tan x:ż

sin2xcos6x dx “

żsin2xcos2x¨

1cos2x ¨

dxcos2x “

1 sin 2x “ 2 sin x cos x

2 cos 2x “ 2 cos2x ´ 1 “ 1 ´ 2 sin2x

ż

sin 5x cos x dx “ 1

2

żrsin 4x ` sin 6xs dx “ ´1

8cos 4x ´

1

12cos 6x ` C

?

1 ` e2x

pf q

żsin x cos x dxa

a2sin2x ` b2cos2x

pgqżdlnpx `?1 ` x2q

?

dx

1 ` xCâu 2 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tính các tích phân sau:

paq ż ˆ ln x

x

˙2

dxpbq

pf q

żparcsin xq2 dx

pgq

żxparctan xq2dx

żcospln xq dxplq

żdx

paq

ż

dxxp1 ` 2?x `?3

xqpbq

ż

dxp1 `?x2` xq2pkq

żdx

żdx

Bài tập chương 1 15Câu 6 Tính tích phân các hàm lượng giác sau:

pf q

ż

cos2x

pa2sin2x ` b2cos2xq2 dxpgq

ż

sin xsin3x ` cos3x dx

phq

żsin2x cos2xsin8x ` cos8x dx

piq

żsin x ´ cos xsin x ` 2 cos x dxpjq

ż

2 sin x ` cos x

3 sin x ` 4 cos x ´ 2 dxpkq

żsin x ´ 2 cos x

1 ` 4 sin x cos x dxplq

ż

sin xcos xa1 ` sin2x dx

Câu 7 Bằng các thủ thuật khác nhau, tính các tích phân sau:

x ´ 1

x ` 1

ˇˇˇˇdxpjq

ż

x ln xp1 ` x2q2 dxpkq

ż

e´|x| dx

plq

żmaxp1, x2q dx

Câu 8 Với những điều kiện nào của các hệ số thì tích phân

ż

αx2` 2βx ` γpax2` 2bx ` cq2 dx

Chương Hai

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Mục lục

2.1 Định nghĩa và các tính chất 16

2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định 18

2.3 Tích phân suy rộng 21

2.4 Ứng dụng của tích phân 26

Bài tập chương 2 27

§2.1 Định nghĩa và các tính chất

Định nghĩa 2.1

Cho hàm f pxq xác định trên ra, bs Chia ra, bs thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia: a “ x0ă x1ă

x2 ă ¨ ¨ ¨ ă xn´1 ă xn “ b Đặt ∆xi “ xi`1´ xi, pi “ 0, 1, , n ´ 1q và gọi λ “ max

i“1,n´1

∆xi Trên mỗi đoạn con rxi, xi`1s ta lấy điểm ci tuỳ ý và lập tổng:

σn“

n´1

ÿ

i“0

f pciq∆xi

Nếu tồn tại giới hạn I “ lim

nÑ8σn sao cho λ Ñ 0 không phụ thuộc vào cách chia của đoạn ra, bs, thì I được gọi là tích phân xác định của hàm f pxq trên đoạn ra, bs và ký hiệu:

I “

b

ż

a

Khi đó hàm f pxq được gọi là hàm dưới dấu tích phân, còn a, b tương ứng được gọi là cận dưới

và cận trên của tích phân Nếu tồn tại tích phân (2.1), thì ta cũng nói hàm f pxq khả tích trên đoạn ra, bs hoặc tích phân (2.1) hội tụ

Về lớp các hàm khả tích, ta có các kết quả sau:

2.1 Định nghĩa và các tính chất 17

Định lý 2.1

1 Hàm liên tục trên một đoạn thì khả tích trên đoạn đó

2 Hàm bị chặn trên một đoạn và có một số hữu hạn các điểm gián đoạn thì khả tích trênđoạn đó

3 Hàm đơn điệu bị chặn thì khả tích

Chúng ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau của tích phân xác định:

1 Nếu hàm f pxq khả tích trên ra, bs thì nó cũng khả tích trên đoạn rb, as và:

2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định 18

7 Nếu hàm f pxq khả tích trên ra, bs và a ă b, thì hàm |f pxq| cũng khả tích trên ra, bs và:

ˇˇˇ

ˇˇ

ˇˇď

9 Định lý về giá trị trung bình Giả sử hàm f pxq khả tích trên ra, bs với a ă b và @x P ra, bs, m ď

f pxq ď M Khi đó sẽ tồn tại số µ, pm ď µ ď M q sao cho:

b

ż

a

f pxq dx “ µpb ´ aq

10 Định lý mở rộng về giá trị trung bình Giả sử hai hàm f pxq, gpxq khả tích trên ra, bs với a ă b

và @x P ra, bs, m ď f pxq ď M Khi đó sẽ tồn tại số µ, pm ď µ ď M q sao cho:

sẽ là hàm của biến x trong ra, bs Hàm này có các tính chất sau:

(a) Nếu f pxq khả tích trên đoạn ra, bs thì Φpxq sẽ là hàm liên tục theo x trên đoạn đó

(b) Nếu hàm f pxq liên tục tại điểm x “ x0P ra, bs, thì tại điểm đó hàm Φpxq có đạo hàm và

Φ1px0q “ f px0q

Do đó hàm Φpxq xác định theo (2.2) chính là một nguyên hàm của f pxq Nếu F pxq là một nguyênhàm của f pxq tìm được theo các phương pháp của tích phân bất định, thì ta có Φpxq “ F pxq`C.Hằng số C dễ dàng xác định từ điều kiện Φpaq “ F paq ` C “ 0 ñ C “ ´F paq Khi cho x “ b

ta sẽ đi đến công thức Newton-Leibnitz:

b

a

(2.3)

x ´ cos αsin α

ˇˇˇ

sin α ` arctan

1 ` cos αsin α

Bằng phép thếx “ π ´ tvớitbiến thiên từ π

2 đến0trong tích phân cuối ta sẽ dẫn đến dạng:

π{2

0

“ π24

2.3 Tích phân suy rộng 20

3 Phương pháp tích phân từng phầnNếu các hàm upxq, vpxq liên tục cùng với các đạo hàm của chúng, thì ta có công thức:

ˇˇ

„2n!!

p2n ´ 1q!!

2

12n ` 1 ă

π

2 ă

„2n!!

p2n ´ 1q!!

2

12n

Vì hiệu của biểu thức hai bên:

„2n!!

p2n ´ 1q!!

2

12n ` 1 “

12np2n ` 1q

„2n!!

p2n ´ 1q!!

2

ă 12n

π2tiến về không khi n Ñ 8, nên sử dụng định lý kẹp ta có công thức Valix:

π

2 “ limnÑ8

„2n!!

p2n ´ 1q!!

2

12n ` 1

2.3 Tích phân suy rộng 21

§2.3 Tích phân suy rộng

Trong phần trước, ta xét tích phân xác định cho trường hợp đoạn ra, bs hữu hạn và hàm f pxq bịchặn trong khoảng lấy tích phân Phần này sẽ mở rộng cho trường hợp khoảng lấy tích phân là vôhạn hoặc hàm không bị chặn

2.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn

Định nghĩa 2.2

Giả sử hàm f pxq xác định trong khoảng ra, `8q và khả tích trong một đoạn bất kỳ ra, As với

A ą a Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của tích phân

A

ż

a

f pxqdx khi A Ñ `8 thì giới hạn đóđược gọi là tích phân suy rộng của hàm f pxq trong khoảng ra, `8q và ký hiệu:

ˇˇ

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

Thông thường trong tiêu chuẩn so sánh 2, vai trò của tích phân cần so sánh là tích phân được xéttrong ví dụ cơ bản 2.7 Chú ý rằng, trong tiêu chuẩn so sánh 2 (định lý 2.3), nếu k “ 0 thì từ sự hội

x

3

?2x3` 3x ` 1 “

phân của chúng ta cũng phân kỳ.

Trong trường hợp tổng quát, nếu tích phân

2.3.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn

Định nghĩa 2.3

Xét hàm f pxq xác định trong khoảng hữu hạn ra, bq thoả lim

xÑbf pxq “ 8 Giả sử f pxq khả tíchtrong đoạn bất kỳ ra, b ´ εs với ε ą 0 bé tuỳ ý Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của tích phân

b

a

Chú ý rằng các định lý so sánh 2.2 và 2.3 và định lý 2.4 cũng đúng trong trường hợp này Chúng

ta sẽ không lặp lại các định lý đó nhưng sẽ nêu ra các tiêu chuẩn dựa trên các định lý đó và ví dụ cơbản 2.9

xa´1p1 ´ xqb´1dx Vớia ă 1điểm kỳ dị là0, vớib ă 1điểm kỳ dị là1 Chia

tích phân đó thành hai, chẳng hạn, như sau:

Nếua ă 1hàm dưới dấu tích phân

khix Ñ 0là vô cùng lớn bậc1 ´ a, nên tích phân thứ nhất tồn tại chỉ với điều kiệna ą 0; tương

tự, tích phân thứ hai tồn tại vớib ą 0 Như vậy, tích phân đang xét hội tụ trong và chỉ trong trường hợp nếu đồng thờia ą 0vàb ą 0.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y “ hpxq, y “ gpxq và các đường thẳng

x “ a, x “ b được tính theo công thức:

dx

Bài tập chương 2 28Câu 5 Sử dụng công thức Euler eix “ cos x ` i sin x, chứng minh rằng

Câu 6 Sử dụng các công thức cos x “ e

ix

` e´ix

2 , sin x “

eix´ e´ix2i , tính các tích phân sau (n P N):

p1 ´ xqp1 ` xqCâu 8 Khảo sát sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau:

Bài tập chương 2 29

(e)

#

x “ ap2 cos t ´ cos 2tq,

y “ ap2 sin t ´ sin 2tq

(f ) x “ a cos t, y “ a sin

2t

2 ` sin t(g) x3` y3´ 3xy “ 0

(h) r “ ap1 ` cos ϕq

(i) r “ 1

ϕ, r “

1sin ϕ,

(a) x “ 1

4y

2´1

2ln y, p1 ď y ď eq(b) y “ a ln a

¯

Câu 11 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi:

(a) y “ 2x ´ x2, y “ 0 xoay quanh Ox và Oy

(b) y “ e´x?

sin x, p0 ď x ă `8q xoay quanh Ox

(c) x “ apt ´ sin tq, y “ ap1 ´ cos tq, y “ 0 p0 ď t ď 2πq xoay quanh Ox và Oy

(d) x “ a sin3t, y “ a cos3t, p0 ď t ď 2πq xoay quanh Ox và Oy

Chương Ba

CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM

Mục lục

3.1 Chuỗi số 30 3.2 Chuỗi số dương 33 3.3 Chuỗi có dấu bất kỳ 37 3.4 Dãy hàm và chuỗi hàm 39 3.5 Chuỗi luỹ thừa 46 Bài tập chương 3 49

11.2`

12.3 ` ¨ ¨ ¨ `

1npn ` 1q`

3.1 Chuỗi số 31các tổng riêng tSnu khi n Ñ 8 thì ta nói chuỗi (3.1) hội tụ và có tổng là S Khi đó:

|q| ă 1thì tổng riêng thứncó giới hạn hữu hạn làS “ a

1 ´ q Cho nên chuỗi nhân hội tụ Nếu

|q| ě 1thì tổng riêng có giới hạn là`8hoặc´8tuỳ theo dấu củaavàq; do đó nó phân kỳ.

11.2`

12.3 ` ¨ ¨ ¨ `

1npn ` 1q` Từ công thức:

1npn ` 1q “

1npn ` 1q

“

ˆ

1 ´12

˙

`ˆ 1

2 ´

13

nÑ8Sn“ 1 Như vậy chuỗi hội tụ và có tổng bằng1.

Ta có các tính chất sau đây của chuỗi hội tụ:

Tính chất của chuỗi hội tụ

3 Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi không thay đổi nếu ta thêm vào hoặc bỏ bớt một

số hữu hạn các phần tử của chuỗi

n ` 1 “ 1 ­“ 0 Cho nên chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần.

Chú ý rằng chuỗi có thể phân kỳ nhưng lim

˙

vớian“ ln

ˆ

1 ` 1n

˙

Ñ 0khin Ñ 8.

Định lý sau đây thường được gọi là tiêu chuẩn Cauchy

Định lý 3.2: Tiêu chuẩn Cauchy

n ` 1 `

1

n ` 2` ¨ ¨ ¨ `

12n

ˇˇ

ˇě

ě

ˇˇˇˇ

12n `

12n` ¨ ¨ ¨ `

12n

ˇˇˇ

ˇ“ n ¨ 12n “

12

Đầu tiên ta phát biểu một số định lý liên quan đến việc so sánh hai chuỗi Xét hai chuỗi số dương

Chứng minh: Không mất tính tổng quát, ta có thể xemunď vn với mọin “ 1, 2, 3, Ký hiệu tổng riêng của các chuỗipAqvàpBqtương ứng làAn vàBn Giả sử chuỗipBqhội tụ Do đó tổng riêngBn bị chặn trên Vì vậy tổng riêngAncũng bị chặn trên; kéo theo sự hội tụ của chuỗipAq.

Chứng minh: Giả sử chuỗipBqhội tụ vàK ă 8 Lấy sốε ą 0tuỳ ý Theo định nghĩa giới hạn, với

Từ tiêu chuẩn so sánh 1 ta cũng suy ra được điều phải chứng minh.

Xét một số ví dụ áp dụng các định lý so sánh để xác định sự hội tụ hoặc phân kỳ của chuỗi

Ví dụ 3.6:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

e´n hội tụ vì là chuỗi cấp số nhân

với công bội0 ă q “ 1

e ă 1 Mặt khác, với mọin P N˚ ,e´n2

ď e´n Cho nên chuỗi đã cho hội tụ.

Ví dụ 3.7:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi điều hoà tổng quát

Xét trường hợpα ą 1 Đặtα “ 1 ` svớis ą 0 Khi đó:

1

pn ` 1qα ` ¨ ¨ ¨ `

1p2n ´ 1qα ă n ¨

1p2k´ 1qαloooooooooooooooomoooooooooooooooon

npn2` 1q

hội tụ vì 1

anpn2` 1q ă

1

n3{2

1pln nqln n “

˙

ă 1n

˙

“ Hn´ ln pn ` 1q Ñ C khin Ñ 8

vớiHn là tổng riêng thứncủa chuỗi điều hoà Cuối cùng ta có:

Hn“ ln n ` C ` γn

vớiγnlà một vô cùng bé khin Ñ 8 Công thức trên chứng tỏ rằng vớintăng vô hạn, tổng riêngHn

của chuỗi điều hoà tăng nhưln n Hằng sốCtrong công thức trên được gọi là hằng số Euler và giá trị của nó khoảng:C “ 0, 577215 .

Định lý 3.6: [Tiêu chuẩn D’Alembert 1]

˙n Ñ a

e, khi n Ñ 8

Theo tiêu chuẩn D’Alembert, nếua ă ethì chuỗi hội tụ, còn nếua ą ethì chuỗi phân kỳ Trường hợp

a “ e, ta không thể kết luận bằng tiêu chuẩn D’Alembert thứ hai Xét tỉ số:

ă e, @n P N˚ Cho nên theo tiêu chuẩn D’Alembert thứ nhất chuỗi phân kỳ.

Định lý 3.8: [Tiêu chuẩn Cauchy 1]

Tương tự ta cũng thường dùng tiêu chuẩn Cauchy dưới dạng giới hạn

Định lý 3.9: [Tiêu chuẩn Cauchy 2]

˙n

Ñ 1

e ă 1

Do đó chuỗi hội tụ.

un, m P N Giả sử tồn tại hàm f pxq xác định trong rm, `8q sao cho

f pnq “ un, @n P N˚, n ě m thoả f pxq liên tục, dương và đơn điệu giảm tiến về 0 khi x Ñ 8.Khi đó tích phân suy rộng

x ln x thoả các điều kiện của tiêu chuẩn tích

phân trênr2, `8q Đồng thời tích phân

Nếu các số hạng un của chuỗi (3.4) đơn điệu giảm tiến về 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ

Chuỗi đan dấu thoả các điều kiện của định lý Leibnitz được gọi là chuỗi Leibnitz

Ví dụ 3.13:Những chuỗi sau đây là các ví dụ đơn giản về chuỗi Leibnitz:

Ví dụ 3.14:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

n ` 1|x| “ |x|nên chuỗi hội tụ tuyệt đối với|x| ă 1,

phân kỳ với|x| ą 1 Vớix “ ´1ta thu được chuỗi điều hoà nên nó phân kỳ Còn khix “ 1ta thu được chuỗi đan dấu nên hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.

Chúng ta có thể sử dụng hai tiêu chuẩn sau đây để khảo sát sự hội tụ của chuỗi có dấu bất kỳ

Định lý 3.12: [Tiêu chuẩn Abel]

an bị chặn và dãy tbnu đơn điệu và tiến

về 0 thì chuỗi đã cho hội tụ

Ta lưu ý một số tính chất sau đây của chuỗi:

(a) Chuỗi hội tụ có tính chất kết hợp, còn chuỗi phân kỳ thì không Điều đó có nghĩa làđối với chuỗi hội tụ ta có thể nhóm các số hạng của chuỗi theo từng nhóm tuỳ ý (không làmthay đổi thứ tự của các số hạng) mà không làm thay đổi tổng của chúng, trong khi chuỗi phân

kỳ không có tính chất đó

(b) Chuỗi hội tụ tuyệt đối có tính chất giao hoán, còn chuỗi bán hội tụ thì không Điều

đó có nghĩa là đối với chuỗi hội tụ tuyệt đối ta có thể thay đổi thứ tự của các số hạng mà khônglàm thay đổi tổng của chúng, trong khi chuỗi bán hội tụ không có tính chất đó

Ví dụ 3.15:Xét chuỗi bán hội tụ:

1 ´12

loomoon

`1

3 ´

14

loomoon

` ¨ ¨ ¨ ` 1

2k ´ 1 ´

12kloooooomoooooon

` ¨ ¨ ¨ ` 1

2k ´ 1 ´

14k ´ 2 ´

14klooooooooooooomooooooooooooon

Ta chứng tỏ rằng tổng của chuỗi(3.6)sẽ giảm một nửa so với chuỗi(3.5) Thật vậy, nếu ký hiệu tổng

14k ´ 2 ´

14k

14k

12k

của cùng một biến x xác định trong một miền nào đấy X “ txu Giả sử với mỗi x thuộc X dãy (3.7)

có giới hạn hữu hạn f pxq cũng là một hàm của x trong X :

Giả sử chuỗi đó hội tụ tại mọi giá trị x trong X ; khi đó tổng của nó cũng là một hàm nào đó của x:

f pxq Tổng đó được xác định bằng đẳng thức giới hạn (3.8), nếu hiểu fnpxq là tổng riêng:

fnpxq “ u1pxq ` u2pxq ` ¨ ¨ ¨ ` unpxq (3.10)

Ngược lại, vấn đề về hàm giới hạn của dãy (3.7) có thể khảo sát dưới dạng tổng của chuỗi (3.9) nếuđặt:

u1pxq “ f1pxq, u2pxq “ f2pxq ´ f1pxq, , unpxq “ fnpxq ´ fn´1pxq, Chúng ta thường gặp các chuỗi hàm vì dạng đó trên thực hành thuận tiện cho việc khảo sát hàm giớihạn

Bây giờ giả sử với mọi x P X ta có đẳng thức (3.8) Theo định nghĩa điều đó có nghĩa là với x cốđịnh, theo mọi ε cho trước, tìm được chỉ số N sao cho @n ą N ta có bất đẳng thức:

3.4 Dãy hàm và chuỗi hàm 40Nếu ta lấy một giá trị x khác cũng thuộc X thì ta nhận được dãy số khác và với cùng giá trị ε ta cóthể thu được một giá trị N khác Bài toán đặt ra là có tồn tại một số N cố định (với ε) cho tất cả

x P X Chúng ta chứng tỏ bằng ví dụ rằng trong một số trường hợp số N như vậy là tồn tại, còn một

số trường hợp khác thì không có số N như vậy

Ví dụ 3.16:Xét dãy hàmtfnpxquvới

nên rõ ràng rằng để thực hiện bất đẳng thứcfnpxq ă εchỉ cần lấyn ą 1

2ε với bất kỳxnào Vì vậy số

nx ă ε Nhưng mặt khác dẫu lấy n

lớn bao nhiêu chăng nữa ta luôn luôn cófnp1{nq “ 1

2 Vì vậy không thể bằng cách tăngnđể làm cho

Xét chuỗi (3.9) với tổng riêng (3.10) Giả sử chuỗi hội tụ và có tổng là f pxq Phần dư sau số hạngthứ n:

Nếu tổng riêng fnpxq hội tụ đều về tổng f pxq của chuỗi trong miền X hoặc phần dư ϕnpxq hội

tụ đều về 0 thì ta nói rằng chuỗi (3.9) hội tụ đều về f pxq trong X