ẬP HỢPÁNH XẠQUAN HỆ 5 1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 14 2.1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 CÁC TẬP HỢP SỐ 25 3.1 Số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Số hữu tỉ . . . . . . . . . ẬP HỢPÁNH XẠQUAN HỆ 5 1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 14 2.1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 CÁC TẬP HỢP SỐ 25 3.1 Số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Số hữu tỉ . . . . . . . . . ẬP HỢPÁNH XẠQUAN HỆ 5 1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 14 2.1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 CÁC TẬP HỢP SỐ 25 3.1 Số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Số hữu tỉ . . . . . . . . . ẬP HỢPÁNH XẠQUAN HỆ 5 1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 14 2.1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 CÁC TẬP HỢP SỐ 25 3.1 Số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Số hữu tỉ . . . . . . . . .
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Trần Lưu Cường - Lê Thái Thanh
GIÁO TRÌNH TOÁN I (Chương Trình Chất Lượng Cao Việt-Pháp)
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TP HỒ CHÍ MINH - 2012
Trang 2Mục lục
Mục lục 2
1 TẬP HỢP-ÁNH XẠ-QUAN HỆ 5 1.1 Mệnh đề 5
1.2 Tập hợp 7
1.3 Ánh xạ 8
1.4 Quan hệ hai ngôi 10
Bài tập chương 1 13
2 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 14 2.1 Phép toán hai ngôi 14
2.2 Nhóm 17
2.3 Vành 19
2.4 Thể 21
Bài tập chương 2 21
3 CÁC TẬP HỢP SỐ 25 3.1 Số tự nhiên 25
3.2 Số nguyên 26
3.3 Số hữu tỉ 26
3.4 Số thực 26
3.5 Số phức 29
Bài tập chương 3 32
4 DÃY SỐ 34 4.1 Các định nghĩa 34
4.2 Dãy con 39
4.3 Một số loại dãy thông thường 41
4.3.1 Dãy truy hồi tuyến tính cấp một 41
4.3.2 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 41
Trang 3MỤC LỤC 3
4.3.3 Dãy trung bình Césaro 43
Bài tập chương 4 44
5 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 46 5.1 Khái niệm hàm số 46
5.2 Giới hạn của hàm số 49
5.3 Vô cùng bé và vô cùng lớn 52
5.4 Tính liên tục 53
Bài tập chương 5 57
6 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 61 6.1 Đạo hàm và vi phân 61
6.2 Các định lý về hàm khả vi 67
6.3 Công thức Taylor 69
6.4 Sự biến thiên của hàm 71
6.5 Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong 73
6.5.1 Đường cong cho bởi phương trình y fpxq 73
6.5.2 Đường cong cho bởi phương trình tham số 74
6.5.3 Đường cong trong toạ độ cực 75
Bài tập chương 6 75
7 ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN 81 7.1 Ma trận 81
7.1.1 Các định nghĩa 81
7.1.2 Các phép toán trên ma trận 82
7.2 Định thức 84
7.2.1 Định nghĩa và tính chất 84
7.2.2 Các ví dụ tính định thức 87
7.3 Ma trận nghịch đảo 88
7.4 Hạng của ma trận 90
Bài tập chương 7 91
8 KHÔNG GIAN VECTƠ 96 8.1 Khái niệm về không gian vectơ 96
8.2 Không gian vectơ con 104
8.3 Không gian Euclide thực 106
Trang 4MỤC LỤC 4
Bài tập chương 8 110
9 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 113 9.1 Các khái niệm cơ bản 113
9.2 Hệ thuần nhất 116
Bài tập chương 9 118
10 TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN 121 10.1 Bổ sung về đại số ma trận 121
10.1.1Ma trận đồng dạng 121
10.1.2Ma trận trực giao 122
10.1.3Ma trận đối xứng 124
10.2 Đa thức đặc trưng của ma trận 124
10.2.1Thu gọn đa thức 127
10.2.2Tính ma trận nghịch đảo 127
10.3 Trị riêng và vectơ riêng của ma trận 128
10.4 Chéo hoá ma trận 130
Bài tập chương 10 134
11 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 136 11.1 Định nghĩa và tính chất 136
11.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 137
Bài tập chương 11 137
12 CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG 139 12.1 Một số định nghĩa 139
12.2 Dạng chính tắc của một dạng toàn phương 139
12.3 Các dạng toàn phương tương đương 139
12.4 Dạng toàn phương xác định dương 139
12.5 Nhận dạng đường cong bậc hai và mặt bậc hai 139
Bài tập chương 12 139
Tài liệu tham khảo 140
Trang 5TẬP HỢP-ÁNH XẠ-QUAN HỆ
Mục lục
1.1 Mệnh đề 5
1.2 Tập hợp 7
1.3 Ánh xạ 8
1.4 Quan hệ hai ngôi 10
Bài tập chương 1 13
§1.1 M ỆNH ĐỀ
Mệnh đề hay mệnh đề toán học là những khẳng định có giá trị xác định (đúng
hoặc sai nhưng không thể vừa đúng vừa sai) Các giá trị đúng hoặc sai được gọi là
chân trị của mệnh đề.
Ví dụ 1.1. : "1 1 2" là mệnh đề có giá trị chân trị đúng
: "4là số nguyên tố" là mệnh đề có giá trị chân trị sai
: Khẳng định "nlà số nguyên tố" không phải là mệnh đề toán học Tuy nhiên, nếu thaynbởi một số tự nhiên nào đó thì nó trở thành mệnh đề và tùy theo n, giá trị chân trị của mệnh
đề có thể đúng hoặc sai
Ta thường ký hiệu mệnh đề bởi các chữ các in hoa: P, Q, R, ; chân trị đúng
là 1 (hoặc T ), chân trị sai là 0 (hoặc F ) Để kiểm tra một mệnh đề là đúng hay sai
ta thường lập bảng chân trị cho mệnh đề đó Cho P và Q là hai mệnh đề Xét các phép toán: phép phủ định ( P ), phép tuyển (P ^ Q), phép hợp (P _ Q), phép kéo theo (P ñ Q), phép tương đương (P ô Q) Giá trị của các phép toán đó được cho bởi bảng chân trị sau:
P Q P P ^ Q P _ Q P ñ Q P ô Q
Chú ý: Mệnh đề P ñ Q có thể đọc theo nhiều cách như sau: P là điều kiện đủ của
Q hoặc Q là điều kiện cần của P Còn mệnh đề P ô Q có thể đọc như sau: P là điều kiện cần và đủ để có Q hoặc P nếu và chỉ nếu Q hoặc P khi và chỉ khi Q
Trang 61.2 Tập hợp 6Các tính chất sau đây của các phép toán trên mệnh đề có thể dễ dàng chứngminh bằng các lập bảng chân trị và xem như bài tập.
Ví dụ 1.2. : P pnq= "n là một số nguyên tố" là một vị từ theo một biếnn P N
: Qpx, yq= "y 2, x y, x 2y là các số chẵn" là một vị từ với hai biến tự dox, y P Z Chẳnghạn,Qp4, 2qlà mệnh đề đúng Trong khiQp5, 2q, Qp4, 7qlà những mệnh đề sai
Cho hai vị từ Ppxq, Qpxq theo một biến x P X Khi đó:
: Phủ định của P pxq, ký hiệu là P pxq, là vị từ mà khi thay x bởi một phần tử a
cố định của X thì ta được mệnh đề P paq
: Các phép toán (^, _, ñ, ô) trên các vị từ P pxq, Qpxq là những vị từ theo biến x
mà khi thay x bởi phần tử cố định a P X ta được các mệnh đề tương ứng.Giả sử Ppxq là một vị từ theo biến x P X Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Khi thay x bởi một phần tử tùy ý trong aP X, ta luôn được một mệnh
đề đúng Ppaq Như vậy mệnh đề "với mọi x P X, P pxq" là mệnh đề luôn luônđúng và ký hiệu bởi "@x P X, P pxq"
Trường hợp 2: Với một số giá trị a P X thì P paq là mệnh đề đúng, và với một số giátrị b P X thì P pbq là mệnh đề sai Như vậy, mệnh đề "tồn tại x P X, P pxq" làmệnh đề đúng và ký hiệu bởi "Dx P X, P pxq"
Các ký hiệu @ và D được gọi là các lượng từ với mọi và lượng từ tồn tại Ngoài ra tacòn dùng ký hiệuD! với ý nghĩa là tồn tại duy nhất Chú ý rằng ký tự tác động bởilượng từ là câm (nghĩa là có thể thay thế bởi các ký tự khác) Ví dụ:
p@x P X, ppxqq ô p@y P X, ppyqq hoặc pDx P X, ppxqq ô pDy P X, ppyqq
Ta cũng có thể dùng phép toán phủ định đối với một câu lượng hóa
p@x P X, ppxqq ô pDx P X, ppxqq hoặc pDx P X, ppxqq ô p@x P X, ppxqq
Chú ý rằng nói chung ta không thể thay đổi thứ tự các lượng từ trong một câulượng hóa Ví dụ, @x P N, Dy P N, x ¤ y là mệnh đề đúng, nhưng Dy P N, @x P N, x ¤ y
là mệnh đề sai
Trang 71.2 Tập hợp 7
§1.2 T ẬP HỢP
Tập hợp được hiểu như một tụ tập các đối tượng do một tính chất chung nào
đó hợp thành Ta ký hiệu tập hợp bởi các chữ cái in hoa như A, B, C, X, Y, Nếu x
là một thành phần tạo nên tập hợp X thì ta nói x là phần tử của X và viết xP X.Nếu y không phải là phần tử của X thì ta viết yR X
Ta nói tập hợp A là tập con của tập hợp B, ký hiệu là A B, nếu @x P A ñ x P B.Phủ định của A B được viết là A B Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau,
A B, khi và chỉ khi A B và B A Nghĩa là mọi phần tử của A cũng là phần tửcủa B và ngược lại
Để xác định một tập hợp, ta có thể liệt kê các phần tử của tập hợp đó X
tx, y, z, u hoặc chỉ ra tính chất mà các phần tử của nó có X tx | ppxqu Tập hợp
không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng và ký hiệu H Ta có với mọi tập X:
H X
Một tập hợp có hữu hạn các phần tử được gọi là tập hợp hữu hạn Ngược lạiđược gọi là tập hợp vô hạn Số lượng các phần tử của một tập hợp A được ký hiệu
là CardpAq hay #A
Tập tất cả các tập con của tập X cho trước được ký hiệu là BpXq Nếu X là mộttập hữu hạn có n phần tử thì tập BpXq có 2n phần tử
Giả sử X là một tập hợp, A, B P BpXq Ta định nghĩa các phép toán trên các tậphợp con của X như sau:
Phần bù của tập A trong X: CXpAq tx P X | x R Au
Hợp của hai tập hợp A và B: AY B tx P X | x P A _ x P Bu
Giao của hai tập hợp A và B: AX B tx P X | x P A ^ x P Bu
Hiệu của hai tập hợp A và B: AzB A B tx P X | x P A ^ x R Bu
Hai tập hợp A và B được gọi là rời nhau nếu AX B H Đối với phép toán phần
bù, nếu không có gì nhầm lẫn ta ký hiệu CXpAq CpAq A
Các phép toán trên tập hợp có các tính chất sau (xem như bài tập, sinh viên tựchứng minh)
1 CXpHq X, CXpXq H, CXpCXpAqq A
2 AY B B Y A, pA Y Bq Y C A Y pB Y Cq, A Y B B ô A B
3 AX B B X A, pA X Bq X C A X pB X Cq, A X B B ô B A
4 CXpA Y Bq CXpAq X CXpBq, CXpA X Bq CXpAq Y CXpBq
Trang 81.3 Ánh xạ 8
5 AY pB X Cq pA Y Bq X pA Y Cq, A X pB Y Cq pA X Bq Y pA X Cq
6 AzB A X CXpBq AzpA X Bq, AzB H ô A B
Giả sử x, y là hai phần tử tương ứng của hai tập hợp X, Y Ta thành lập một phần
tử mớipx, yq gọi là cặp px, yq Hai cặp px, yq và pu, vq được gọi là bằng nhau nếu x u
và y v Nói chung px, yq py, xq Do đó thứ tự các phần tử trong cặp là quan trọng.Bây giờ cho hai tập X và Y Tập tất cả các cặp px, yq với x P X và y P Y được gọi là
tích Decartes của X và Y và ký hiệu là X Y Ta có thể mở rộng khái niêm tíchDecartes ra cho nhiều tập hợp Nếu X Y thì tích Decartes X Y X X được
ký hiệu là X2
Cho X là một tập hợp, P là một tập con của BpXq ta nói rằng P là một phân
hoạch của X khi và chỉ khi:
1 @A P P, A H
2 @A, B P P, A B ñ A X B H
3 @x P X, DA P P, x P A
Ví dụ 1.3. : Với mọi tập khác rỗngX,tXuvàttxu, x P Xulà những phân hoạch củaX
: Đối với mọi tậpX và mọi tập conAcủaXkhácHvà khácX,P tA, CpAqulà một phânhoạch củaX
§1.3 Á NH XẠ
Cho X và Y là hai tập hợp Một ánh xạ f từ X đến Y là một qui tắc cho tương
ứng với mỗi phần tử x của X một phần tử xác định duy nhất, ký hiệu là y fpxqcủa Y Ta viết
f : X ÝÑ Y
x ÞÝÑ y fpxq
Tập hợp X được gọi là tập nguồn hay miền xác định và tập hợp Y được gọi là tập
đích hay miền giá trị của ánh xạ f Phần tử y fpxq được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f , khi đó x được gọi là tạo ảnh của y Tập hợp tất cả các ánh xạ đi từ X đến
Xét ánh xạ f : X ÝÑ Y Một tập con Γ của tích Descartes X Y gồm các cặp
px, fpxqq với x P X được gọi là đồ thị của ánh xạ f.
Cho f : X ÝÑ Y, x P X, A X, B Y Ta có:
Trang 91.3 Ánh xạ 9
: fpAq ty P Y | Dx P A : fpxq yu là ảnh của A bởi f.
: f1pBq tx P X | fpxq P Bu được gọi là tạo ảnh toàn phần của B bởi f.
: f là đơn ánh nếu @x, x1 P X, fpxq fpx1q ñ x x1
: f là toàn ánh nếu fpXq Y , nghĩa là @y P Y, Dx P X : fpxq y.
: f là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Định lý sau cho ta các tính chất quan trọng của ảnh và tạo ảnh của các tập hợp.Việc chứng minh được xem như bài tập
g f Nói chung tích các ánh xạ không có tính giao hoán Ta có các định lý sau
f là toàn ánh nên cóxP X : fpxq y Vậy có@z P Z, Dx P X : z gpyq gpfpxqq pg fqpxq Vậyg f là toàn ánh Còn nếuf vàg là các song ánh thì từ hai kết quả trên ta đượcg f cũng là song
Định lí 1.4 Cho f : X ÝÑ Y và g : Y ÝÑ Z là hai ánh xạ Nếu g f là đơn ánh thì f
là đơn ánh, còn nếu g f là toàn ánh thì g là toàn ánh.
Chứng minh.Giả sửgf là đơn ánh Khi đó@x, x1 P Xta cófpxq fpx1q ñ gpfpxqq gpfpx1qq ô
pg fqpxq pg fqpx1q ñ x x1 Do vậyf là đơn ánh Chog flà toàn ánh Lấyz P Z, khi đó có
xP X : pg fqpxq gpfpxqq z Nghĩa là có phần tửy fpxq P Y : fpyq z Vậyglà toàn ánh.
Trang 10
1.4 Quan hệ hai ngôi 10Cho f : X ÝÑ Y Ta nói ánh xạ g : Y ÝÑ X là ánh xạ ngược của f nếu g f IdX
và f g IdY
Định lí 1.5 Ánh xạ ngược nếu có là duy nhất.
Chứng minh.Giả sử có hai ánh xạ ngược củaf làgvàh Khi đóg f IdX vàf h IdY Từ đó:
g g IdY g pf hq pg fq h IdX h h.
Ta ký hiệu ánh xạ ngược của f là f1 Ta có mệnh đề quan trọng sau đây
Định lí 1.6 Ánh xạ f : X ÝÑ Y có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.
Chứng minh.Giả sửf có ánh xạ ngược làf1 Khi đóf1 f IdX vàf f1 IdY Lấyxvàx1
tùy ý thuộcX và giả sửfpxq fpx1q Ta có x f1pfpxqq f1pfpx1qq x1 Vậy f là đơn ánh.
Bây giờ xétylà phần tử tùy ý củaY Ta cófpf1pyqq y Do đó có phần tửx f1pyq P X để cho
fpxq y, nênf là toàn ánh Vậyflà song ánh.
Đảo lại, nếuf là song ánh thì qui tắc cho ứng với mỗi phần tửyP Y một phần tử duy nhấtx f1pyq P
Xlà ánh xạg : Y ÝÑ X Dễ thấy rằngg f IdX vàf g IdY , vàglà ánh xạ ngược củaf.
Định lí 1.7 Giả sử f : X ÝÑ Y và g : Y ÝÑ Z là các song ánh Khi đó pg fq1
f1 g1.
Chứng minh. Ta có g g IdY g pf f1q pg fq f1 Do đó Id
Z g g1 ppg fq f1q g1 pg fq pf1 g1 Điều này chứng tỏpg fq1 f1 g1. Cho I tα, β, γ, u là tập khác rỗng và X là một tập tùy ý Xét ánh xạ f : I ÝÑ X.Với mỗi phần tử αP I ta ký hiệu là fpαq xαP X Khi ấy ta nói tập hợp X được đánh
số bởi tập hợp I và tập I được gọi là tập các chỉ số Ta cũng có thể viết X pxαqαPI.Nếu các phần tử của X là các tập hợp thì ta nói X là một họ các tập hợp Khi ấy ta
có thể định nghĩa các phép toán hợp và giao của một họ các tập hợp như sau:
§1.4 Q UAN HỆ HAI NGÔI
Cho X và Y là hai tập hợp Ta gọi một quan hệ R của X và Y là một bộ ba
R pX, Γ, Y q với Γ là một tập con của tích Descartes X Y Hai phần tử x P X và
y P Y là có quan hệ với nhau theo quan hệ R nếu px, yq P Γ và ta viết xRy Trườnghợp X Y thì ta gọi R là một quan hệ hai ngôi trong X Trong giáo trình này chúng
ta chỉ xét quan hệ hai ngôi trong tập hợp X Quan hệ hai ngôi R trong tập hợp X
có thể có các tính chất sau:
Trang 111.4 Quan hệ hai ngôi 11
: Tính phản xạ: @x P X, xRx.
: Tính đối xứng: @x, y P X, pxRy ñ yRx.
: Tính phản đối xứng: @x, y P X, pxRy ^ yRx ñ x yq.
: Tính bắt cầu: @x, y, z P X, pxRy ^ yRz ñ xRzq.
Ví dụ 1.5. : Xét tập X t1, 2, 3u và quan hệ R được xác định bởi tập Γ tp1, 2q, p2, 1q, p1, 3q, p3, 1q, p2, 3q, p3, 2qu Quan hệRcó tính đối xứng nhưng không có tínhphản xạ, phản đối xứng và bắt cầu
tp1, 1q, p2, 2q, p3, 3q, p1, 2q, p1, 3q, p2, 3qu Quan hệR có tính phản xạ và bắt cầu, không cótính đối xứng và phản đối xứng
: Xét X là tập tất cả các học sinh trong một trường phổ thông trung học vàR là quan hệ
"học chung lớp" Quan hệ R có tính phản xạ, đối xứng và bắt cầu nhưng không có tínhphản đối xứng
Cho R là một quan hệ hai ngôi trên X Ta nói R là một quan hệ tương đương trên
X nếu nó có tính phản xạ, đối xứng và bắt cầu
Với mọi xP X, ta gọi lớp tương đương của x theo quan hệ R là tập con của X,
ký hiệu là Clpxq, được xác định như sau:
Clpxq ty P X | xRyu
Đương nhiên xP Clpxq Dễ thấy rằng nếu R là một quan hệ tương đương trên Xthì @x, y P X ta có xRy ô Clpxq Clpyq ô x P Clpyq ô y P Clpxq
Ta gọi tập thương của X theo quan hệ tương đương R, ký hiệu X{R, là tập tất
cả các lớp tương đương theo quan hệ tương đương R Như vậy:
Trang 121.4 Quan hệ hai ngôi 12: Xét tập hợpDcác đường thẳng trong mặt phẳng Quan hệ song song của các đường thẳng
là quan hệ tương đương Với mọi đường thẳngdcủaD, lớp tương đương củadtheo modulosong song xác định phương củad
Cho R là một quan hệ hai ngôi trong X Ta nói R là một quan hệ thứ tự trong
X nếu nó có tính phản xạ, phản đối xứng và bắt cầu Quan hệ thứ tự thường được
ký hiệu là Nếu trong X có một quan hệ thứ tự thì ta nói X là tập được sắp thứtự
Ví dụ 1.7. : Quan hệ¤trong tập các số tự nhiênNlà một quan hệ thứ tự.
: Quan hệ chia chẵn trong N (m chia chẵn chon được ký hiệu làn | m) cũng là một quan
hệ thứ tự
: Quan hệ bao hàmtrong tậpBpXqcũng là một quan hệ thứ tự
Cho X là tập được sắp thứ tự với quan hệ thứ tự Hai phần tử x và y của Xđược gọi là so sánh được với nhau nếu hoặc x y hoặc y x Nếu mọi cặp phần tửcủa X đều có thể so sánh được với nhau, thì ta nói là một quan hệ thứ tự toànphần và tập X là tập được sắp thứ tự toàn phần Trong ba ví dụ vừa nêu, quan hệ
¤ trong N là quan hệ thứ tự toàn phần Còn quan hệ chia chẵn trong N và quan hệbao hàm trong BpXq không phải là các quan hệ thứ tự toàn phần
Cho là một quan hệ thứ tự trong X, A P BpXq và x P X Phần tử x được gọi là
cận trên (cận dưới) của A trong X nếu@a P A, a x p@a P A, x aq Nếu A X cómột cận trên (cận dưới) thì ta nói nó bị chặn trên (bị chặn dưới) trong X Tập hợpvừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là tập bị chặn Phần tử xP A được gọi
là phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của A nếu @a P A, a x p@a P A, x aq Phần tử
xP A được gọi là phần tử cực đại (cực tiểu) của A nếu @a P A, x a ñ x a p@a P
: Một tập hợp có thể không có, có một hoặc có nhiều phần tử cực đại
: Nếu là một quan hệ thứ tự toàn phần trên X và A X có phần tử cực đạithì nó là duy nhất Phần tử này cũng chính là phần tử lớn nhất của A
Nếu tập M ajXpAq có phần tử nhỏ nhất thì nó được gọi là cận trên bé nhất của
A và ký hiệu là suppAq Còn nếu tập MinXpAq có phần tử lớn nhất thì nó được gọi
Trang 13Câu 3 Cho X, Y là hai tập hợp, f : X ÝÑ Y, g : Y ÝÑ X là hai ánh xạ Giả sử
g f g f là toàn ánh và f g f g là đơn ánh Chứng minh f và g là các song ánh
Câu 4 Cho X là tập hợp và f : X ÝÑ X là ánh xạ sao cho f f f f Chứng minhrằng f là đơn ánh khi và chỉ khi f là toàn ánh
Câu 5 Cho X là tập hợp, A X Ta định nghĩa
A tB X | B Au, A tC X | A Cu, A A AÁnh xạ f : BpXq ÝÑ A xác định bởi @Y P BpXq, fpY q pY X A, Y Y Aq Chứng tỏrằng f là song ánh
Câu 6 Cho X là tập hợp khác rỗng, A, B P BpXq Xét ánh xạ f : BpXq ÝÑ BpXq
BpXq xác định bởi @Y P BpXq, fpY q pY Y A, Y Y Bq
(a) Chứng tỏ rằng f không là toàn ánh
(b) Chứng tỏ rằng f là đơn ánh khi và chỉ khi AX B H
Câu 7 Cho X là một tập hợp và R là một quan hệ phản xạ trong X sao cho:
@px, y, zq P X3,ppxRyq ^ pyRzqq ñ pzRxqChứng tỏ rằng R là một quan hệ tương đương
Câu 8 Trên R, xét quan hệ R xác định như sau: xRy ô px2 y2 x yq Chứng tỏrằng R là quan hệ tương đương Với mọi xP R, tìm Clpxq
Trang 14CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
Mục lục
2.1 Phép toán hai ngôi 14
2.2 Nhóm 17
2.3 Vành 19
2.4 Thể 21
Bài tập chương 2 21
§2.1 P HÉP TOÁN HAI NGÔI
Ta gọi phép toán hai ngôi trong một tập hợp E là ánh xạ f đi từ E2 vào E Phần
tử fpx, yq được gọi là cái hợp thành của hai phần tử x và y của E Thông thường một phép toán hai ngôi trong E được ký hiệu bởi các dấu, , K, J, , , , Trong trường hợp tổng quát ta sẽ dùng dấu Khi đó fpx, yq x y Một tập hợp E mà trên
đó có xác định một phép toán được ký hiệu là pE, q và gọi là một phỏng nhóm.
Ví dụ 2.1. : Phép cộng và phép nhân thông thường là các phép toán hai ngôi trong tập các
số tự nhiênN
: Với tập hợpXbất kỳ, phép hợp và phép giao là các phép toán hai ngôi trongBpXq
Cho E là một phỏng nhóm với phép toán Ta đưa ra một số tính chất của phép toán:
Định nghĩa 2.1 Phép toán có tính chất kết hợp nếu:
@px, y, zq P E3, px yq z x py zq Khi đó ta có thể bỏ các dấu ngoặc đơn và viết x y z Trường hợp cụ thể đối với các phép toán , có tính kết hợp, ta ký hiệu:
n
°
k 1
xk x1 x2 xn n
±
k 1
xk x1 x2 xn
n
°
k 1
x x x x nx
n
±
k 1
x x x x xn
Ví dụ 2.2. : Phép cộng và phép nhân thông thường trongNcó tính kết hợp
: Xét phép toán hai ngôitrongQnhư sau:x y x y
2 ,@x, y P Q Phép toánkhông có tính kết hợp vìp4 0q 4 1 4 p0 4q 1
Trang 152.1 Phép toán hai ngôi 15
Định nghĩa 2.2 Phép toán có tính chất giao hoán nếu:
@px, yq P E2, x y y x
Ví dụ 2.3. : Phép cộng và phép nhân thông thường trongNcó tính giao hoán
: Xét phép toán hai ngôi trongQ như sau:x y xy2,@x, y P Q Phép toán không cótính giao hoán vì1 2 5 2 1 2
Định lí 2.1 Cho E là một tập hợp với phép toán có tính giao hoán và kết hợp Thế thì:
Định nghĩa 2.3 Phần tử a P E là chính qui trái (giản ước được bên trái) đối với
nếu @px, yq P E2,pa x a y ñ x yq Phần tử a P E là chính qui phải (giản ước
được bên phải) đối với nếu @px, yq P E2,px a y a ñ x yq Phần tử a P E là chính
qui (giản ước được) đối với nếu nó vừa là chính qui trái vừa là chính qui phải.
Ví dụ 2.4. TrongZmọi phần tử đều chính qui đối với phép cộng thông thường và mọi phần tửkhác không đều chính qui đối với phép nhân thông thường
Định nghĩa 2.4 Phần tử e P E là trung hòa trái đối với nếu @x P E, e x x Phần
tử e P E là trung hòa phải đối với nếu @x P E, x e x Phần tử e P E là phần
tử trung hòa đối với nếu nó vừa là trung hòa trái vừa là trung hòa phải Nghĩa là
@x P E, e x x e x.
Ví dụ 2.5. : 0là phần tử trung hòa đối với phép cộng trongZ
: XétpN, qvới phép toán : N2 ÝÑ Nsao cho@px, yq P N2, x y y Ta thấy mọi phần tửcủaNđều là trung hòa trái và không có phần tử nào là trung hòa phải
Định lí 2.2 Cho pE, q là một phỏng nhóm với e là trung hòa trái và e1 là trung hòa
phải của phép toán Thế thì e e1.
Hệ quả 2.1 Cho pE, q Nếu phép toán có phần tử trung hòa thì nó là duy nhất.
Một phỏng nhóm pE, q với phép toán có tính kết hợp và E có phần tử trung
hòa e được gọi là một vị nhóm.
Ví dụ 2.6. : pN, qvàpN, qlà những vị nhóm
Trang 162.1 Phép toán hai ngôi 16: Với mọi tậpX,pBpXq, Xq, pBpXq, Yqlà những vị nhóm.
: Với mọi tậpX,pXX,qlà một vị nhóm
Định nghĩa 2.5 Cho pE, q là một vị nhóm với phần tử trung hòa là e Phần tử x P E là
khả nghịch (hay khả đối xứng) nếu tồn tại một phần tử y P E sao cho xy yx e.
Phần tử y như thế nếu tồn tại được gọi là phần tử nghịch đảo của x đối với và
ký hiệu là x1 (đối với phép cộng, ta gọi là phần tử đối xứng và ký hiệu là x)
Định lí 2.3 Trong một vị nhóm, phần tử nghịch đảo, nếu tồn tại, là duy nhất.
Chứng minh.ChopE, qlà một vị nhóm,xP E là khả nghịch và tồn tại hai phần tử nghịch đảo củaxlày
vàz Ta cóxy yx evàxz zx e Khi đóy ye ypxzq pyxqz ez z.
Định nghĩa 2.6 Cho E là một tập hợp, và K là hai phép toán trong E Phép toán
là phân phối trái đối với phép toán K nếu @px, y, zq P E, xpyKzq pxyqKpxzq Phép toán là phân phối phải đối với phép toán K nếu @px, y, zq P E, pyKzqx pyxqKpzxq.
Phép toán là phân phối đối với phép toán K nếu vừa phân phối trái vừa phân
phối phải đối với phép toán K.
Ví dụ 2.7. : TrongR, phép nhân phân phối đối với phép cộng
: ChoXlà một tập bất kỳ Khi đó,trongBpXq, các phép toánYvàXlà phân phối lẫn nhau
Cho hai phỏng nhóm pE, q và pF, Kq Một đồng cấu phỏng nhóm từ pE, q vào
pF, Kq là một ánh xạ f : E ÝÑ F sao cho: @px, yq P E2, fpx yq fpxqKfpyq Một tự
đồng cấu phỏng nhóm của pE, q là một đồng cấu phỏng nhóm từ pE, q vào pE, q
Một đẳng cấu phỏng nhóm từ pE, q vào pF, Kq là một đồng cấu song ánh từ pE, qvào pF, Kq Một tự đẳng cấu phỏng nhóm của pE, q là một tự đồng cấu song ánh
Trang 17Tập hợp G với một phép toán hai ngôi trong G được gọi là một nhóm nếu phép
toán có tính kết hợp, G có phần tử trung hòa đối với và mọi phần tử của G đều
có phần tử nghịch đảo đối với Nếu có tính giáo hoán thì ta nói G là nhóm giao
hoán hay nhóm Abel Nếu tập hợp G là hữu hạn thì ta nói G là nhóm hữu hạn và
số phần tử của G (CardpGq hoặc #G) được gọi là cấp của nhóm Phần tử trung hòa
của nhóm G thường được ký hiệu là e
Ví dụ 2.9. : pZ, q,pQ, qvàpR, qlà những nhóm giao hoán
: pQzt0u, qlà nhóm giao hoán
Định lí 2.6 Trong một nhóm mọi phần tử đều chính qui.
Chứng minh.Lấy x, y, z tùy ý thuộcG Ta cóx y x z ñ x1 px yq x1 px zq ô
px1 xq y px1 xq z ñ y z Lập luận tương tự với phép nhân bên phải. ChopG, q là một nhóm với phần tử trung hòa e và H G Ta nói H là một nhóm
con của G nếu
(a) @px, yq P H2, x y P H (b) eP H
(c) Nếu x P H thì x1 P H
Ví dụ 2.10. Với mọinP N, tậpnZ tna | @a P Zulà nhóm con của nhóm cộngZ
Định lí 2.7 Cho pG, q là một nhóm và H G, H H H là một nhóm con của G khi
Hα Rõ ràngH Hvìe P Hα với mọiα P I, do đóe P H Lấyx, y
tùy ý thuộcH,ñ x P Hα, y P Hα, @α P I VìHαlà một nhóm, nênx y1 P Hα với mọiα Ta được
Trang 182.2 Nhóm 18ChopG, q là một nhóm và A G Giao của tất cả các nhóm con của G có chứa A làmột nhóm con của G và được gọi là nhóm con sinh bởi A, ký hiệu là A ¡ Với mọi
a P G, ta ký hiệu a ¡ thay cho tau ¡ Chú ý rằng A ¡ là nhóm con bé nhất
của G có chứa A (theo nghĩa bao hàm) Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu tồn tại
một aP G sao cho G a ¡ Khi đó a được gọi là phần tử sinh của G Nếu nhóm đơn G là hữu hạn thì G được gọi là nhóm cyclic (nhóm vòng).
Ví dụ 2.11. : pZ, qlà một nhóm đơn mà phần tử sinh là1
: pZ{nZ, qlà một nhóm đơn hữu hạn (nhóm cyclic) mà phần tử sinh làp1
: pR, qkhông là một nhóm đơn
Một đồng cấu f đi từ nhóm pG, q vào nhóm pG1,Kq được gọi là một đồng cấu
nhóm Định nghĩa tương tự cho tự đồng cấu nhóm và đẳng cấu nhóm.
Định lí 2.9 Cho f là một đồng cấu nhóm từ pG, q vào pG1,Kq Khi ấy
1 fpeq e1 với e và e1 là các phần tử trung hòa của G và G1.
Cho f là một đồng cấu nhóm từ pG, q vào pG1,Kq Ta định nghĩa:
Hạt nhân của f , ký hiệu là ker f tx P G | fpxq e1u f1pte1uq Trong đó e1 làphần tử trung hòa của G1
Ảnh của f , ký hiệu là Imf ty P G1 | Dx P G : y fpxqu fpGq
Định lí 2.10 Nếu f :pG, q ÝÑ pG1,Kq là một đồng cấu thì ker f là một nhóm con của
Gvà Imf là nhóm con của G1.
Chứng minh.
1 Ta có fpeq e1 nêne P ker f ñ ker f H Lấyx, y tùy ý thuộc ker f, ta cóe1 fpxq
fpx y1 yq fpx y1qKfpyq fpx y1qKe1 fpx y1q Nênx y1 P ker f Do đó
ker f là nhóm con củaG.
2 Ta cóe1 fpeq P G1 ñ e P Imf vàImf H Lấyu, v tùy ý củaG1 Khi đó tồn tạix, y trongG
sao chou fpxqvàv fpyq Ta cóuKv1 fpxqKpfpyqq1 fpxqKfpy1q fpx y1q.
Vìx y1 P GnênuKv1 P Imf Do đóImf là nhóm con củaG1.
Trang 192.3 Vành 19
NhómpG, q là đẳng cấu với nhóm pG1,Kq nếu tồn tại một đẳng cấu từ G vào G1
Ví dụ 2.12. Nhóm pR,q là đẳng cấu với nhómpR, q vì ánh xạln : R Ñ Rxác định bởi
: puKvqKw pfpxqKfpyqqKfpzq fpx yqKfpzq fppx yq zq fpx py zqq
fpxqKfpy zq fpxqKpfpyqKfpzqq uKpyKwq VậyKcó tính kết hợp.
: Gọielà phần tử trung hòa củaG : uKfpeq fpxqKfpeq fpx eq fpxq uvàfpeqKu
fpeqKfpxq fpe xq fpxq u Vậyfpeqlà phần tử trung hòa củaE.
: uKfpx1q fpxqKfpx1q fpxx1q fpeqvàfpx1qKu fpx1qKfpxq fpx1xq
fpeq Vậyukhả nghịch và phần tử nghịch đảo củaulàfpx1q.
§2.3 V ÀNH
Cho A là một tập hợp có trang bị hai phép toán và Ta nói pA, , q là một
vành nếu:
(a) pA, q là một nhóm giao hoán
(b) Phép toán có tính kết hợp và phân phối đối với phép toán
(c) A có phần tử trung hòa đối với phép toán
Nếu phép toán có tính giao hoán thì A được gọi là vành giao hoán
Ví dụ 2.13. : Các tập hợppZ, , q, pQ, , q, pR, , qlà những vành với vàlà cácphép toán thông thường với các số
: Tập thươngZ{nZ tp0, p1, , zn 1uvới các phép toán cộng và nhân:
@pa,pb P Z{nZ, pa pb za b và pa pb ya b
là một vành giao hoán
Cho pA, , q là một vành Ta ký hiệu:
Trang 202.3 Vành 20
0A (hoặc 0) là phần tử trung hòa đối với phép toán cộng
x là phần tử đối xứng của x P A đối với phép cộng
1A (hoặc 1) là phần tử trung hòa đối với phép nhân
Phép toán còn được ký hiệu là và x y x y xy
Ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau đây của các phép toán trong một vành
(f ) @n P N, @px, yq P A2 sao cho xy yx Ta có
Cho pA, , q là một vành và B A Ta nói B là một vành con của A nếu: B là một
nhóm con củapA, q, @px, yq P B2, xy P B và 1AP B
Cho A, A1 là hai vành, f : AÑ A1 là một ánh xạ Ta nói f là một đồng cấu vành
nếu:@px, yq P A2, fpx yq fpxq fpyq, fpxyq fpxqfpyq và fp1Aq 1A 1 Tương tự ta có
các khái niệm tự đồng cấu vành, đẳng cấu vành và tự đẳng cấu vành.
Cho A là một vành, a P A, a 0 Phần tử a là một ước trái của không trong A
nếu: Db P A, pb 0 ^ ab 0q Phần tử a là một ước phải của không trong A nếu:
Db P A, pb 0 ^ ba 0q Phần tử a là một ước của không trong A nếu a là một ước tráicủa không trong A hoặc a là một ước phải của không trong A
Ví dụ 2.14. : TrongZkhông có ước của không
: TrongZ{6Z,p2,p3,p4là những ước của không, cònp0,p1,p5không là ước của không
Trang 213 Mọi phần tử khác 0 đều có một nghịch đảo đối với phép nhân.
Nếu phép nhân có tính giao hoán trong K thi ta nóipK, , q là một thể giao hoán
và thường được gọi là một trường Trong giáo trình này, trừ những trường hợp đặc
biệt, hầu hết chúng ta chỉ xét thể giao hoán Mặt khác, các khái niệm như thể con,đồng cấu thể, đẳng cấu thể, tự đồng cấu thể và tự đẳng cấu thể được xét tương tựnhư trong vành
B ÀI TẬP CHƯƠNG 2
Câu 1 Cho là phép toán xác định trong R bởi: x y xy px2 1qpy2 1q
(a) Kiểm chứng giao hoán, không kết hợp và có phần tử trung hòa
(b) Giải các phương trình sau (với ẩn xP R)
Trang 22Bài tập chương 2 22
Câu 5 Cho pE, q là một phỏng nhóm kết hợp sao cho Dn P N, n ¥ 2 thỏa @px, yq P
E2,pxyqn yx Chứng minh phép toán có tính giao hoán
Câu 6 ChopE, q là một vị nhóm Chứng minh rằng mọi phần tử của E khả nghịchđối với đều chính qui đối với Cho một ví dụ trong đó khẳng định đảo là sai
Câu 7 Cho một phỏng nhómpE, q Một phần tử x của E được gọi là lũy đẳng nếu
Câu 8 Cho E p0, 8q và phép toán xác định bởi: x y ax2 y2
(a) Khảo sát tính kết hợp, giao hoán và sự tồn tại phần tử trung hòa của phéptoán
(b) Với nP N, a P E, tính a a a (n nhân tử)
Câu 9 Cho phép toán trong R xác định bởi: x y x y xy
(a) Khảo sát tính kết hợp, giao hoán, sự tồn tại phần tử trung hòa và phần tử đốixứng của phép toán
(b) Với nP N, a P R, tính a a a (n nhân tử)
Câu 10 ChopE, q là một phỏng nhóm kết hợp Chứng minh rằng nếu a và b là haiphần tử chính qui trái (phải) đối với thì a b cũng chính qui trái (phải) đối với
Câu 11 Trong tập E xác định hai phép toán và K thỏa @px, y, u, vq P E4,px yqKpu
vq pxKuq pyKvq Biết rằng phép toán có phần tử trung hòa là e và phép toán K
có phần tử trung hòa là Chứng minh rằng e , K và phép toán có tính kếthợp và giao hoán
Câu 12 Tìm điều kiện cần và đủ của ba sốpa, b, cq P R3 để cho tập R với phép toán
xác định bởi: @px, yq P R2, x y apx yq bxy c tạo thành một nhóm
Câu 13 Chứng tỏ rằng tập G R R là một nhóm với phép toán xác định bởi:
@px, yq, px1, y1q P G, px, yq px1, y1q pxx1, xy1 yq
Câu 14 Cho pG, q là một nhóm sao cho @x P G, x2 e Chứng minh rằng G giaohoán
Trang 23Câu 18 ChopE, q là một phỏng nhóm kết hợp khác rỗng sao cho: @px, yq P E2, x2y
y yx2 Chứng tỏpE, q là một nhóm giao hoán
Câu 19 ChopG, q là một nhóm với e là phần tử trung hòa, n P N,pa, bq P G2 Chứngminh rằng:
(a) pb6 e ^ ab b4aq ñ pb3 e ^ ab baq
(b) pa5 e ^ aba1 b2q ñ pb31 eq
(c) pa1ba b1^ b1ab a1q ñ a4 b4 e
(d) paba b3^ b5 eq ñ pab ba ^ a2 b2q
(e) pabqn e ñ pbaqn e
Câu 20 Cho G là một nhóm, H, K là các nhóm con của G Chứng minh rằng
HY K G ô pH G _ K Gq
Câu 21 ChopG, q là một nhóm Tập con C G được gọi là tâm của G nếu
C tx P G | @y P G, x y y xuChứng minh rằng C là một nhóm con của G
Câu 22 Cho G R R và là một phép toán trong G xác định bởi:
@px, yq, px1, y1q P G, px, yq px1, y1q xx1, xy1 y
x1
(a) Chứng minh rằngpG, q là một nhóm
(b) Chỉ ra tâm của G (Xem bài tập 21)
(c) Chứng minh rằng R t0u, t1u R, Q Q là các nhóm con của G
Trang 24Bài tập chương 2 24(d) Chứng minh rằng, với bất kỳ λP R, tập Hλ
Câu 23 Cho G là một nhóm hữu hạn Chứng minh rằng với bất kỳ nhóm con H
nào của G mà CardpHq ¡ 1
2CardpGq thì H G
Câu 24 Cho pG, q là một nhóm, u là phần tử của tâm của nhóm G (xem bài tập21), e là phần tử trung hòa Giả sử u xyz và x2 y2 z2 e Chứng minh rằng
u4 e
Câu 25 ChopG, Kq, pG1,Jq là hai nhóm, f : G Ñ G1 là một đồng cấu nhóm
(a) Chứng minh rằng, với mọi nhóm con H của G, fpHq là nhóm con của G1.(b) Chứng minh rằng, với mọi nhóm con H1 của G1, f1pH1q là nhóm con của G
Câu 26 Cho G, G1 là hai nhóm, e là phần tử trung hòa của G, f : G Ñ G1 là mộtđồng cấu nhóm Chứng minh f là đơn ánh khi và chỉ khi ker f teu
Câu 27 ChopG, q là một nhóm sao cho f : G
x Ñ
ÞÑ Gx 3 là một tự đồng cấu toàn ánh của
G Chứng minh rằng G là nhóm giao hoán
Câu 28 Cho n là một số tự nhiên lẻ ¥ 3, và là một phép toán trong R xác địnhnhư sau: @px, yq P R2, x y ?n
xn yn Chứng minh rằng pR, q là một nhóm đẳngcấu với nhóm pR, q
Trang 25CHƯƠNG BA
CÁC TẬP HỢP SỐ
Mục lục
3.1 Số tự nhiên 25 3.2 Số nguyên 26 3.3 Số hữu tỉ 26 3.4 Số thực 26 3.5 Số phức 29 Bài tập chương 3 32
Trang 263.2 Số nguyên 26
§3.2 S Ố NGUYÊN
Tập các số nguyên ký hiệu là Z t , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, u Trên Z có trang bịcác phép toán cộng và nhân sao chopZ, , q là một vành nguyên Trong Z cũng cómột quan hệ thứ tự toàn phần ¤ là mở rộng của quan hệ thứ tự toàn phần trongN
§3.3 S Ố HỮU TỈ
Tập các số hữu tỷ Q tx | x p
q, pP Z, q P Nu Vì a a
1 nên Z Q Mở rộng cácphép toán cộng và nhân trên Z ta được pQ, , q là một thể giao hoán Tập số hữu tỷ
Trang 27: @a, b P R ta luôn có hoặc a ¤ b hoặc b ¤ a.
Từ quan hệ ¤ trong R, ta cũng xét quan hệ ¥ như sau: @a, b P R, a ¥ b nếu b ¤ a.Trong R ta cũng xét hai quan hệ nghiêm ngặt và ¡: a b ô a ¤ b ^ a b và
a ¡ b ô a ¥ b ^ a b
Ta nhắc lại một vài định nghĩa:
: Ta nói x P R là cận trên (cận dưới) của tập A R nếu @a P A, a ¤ xpa ¥ xq Nếu
A có một cận trên (cận dưới) thì ta nói nó bị chặn trên (bị chặn dưới) Một tậphợp vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là tập bị chặn
: Ta nói x P R là phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của tập A R nếu x là một cậntrên (cận dưới) của A và x P A Khi ấy ta viết x MaxpAq px MinpAqq
: Ta nói x là cận trên đúng (cận dưới đúng) của tập A R nếu x là giá trị nhỏnhất (giá trị lớn nhất) của tập các cận trên (tập các cận dưới) của A và ký hiệu
là suppAqpinf pAqq
Định lí 3.2 (Nguyên lý Supremum) Mọi tập con khác rỗng và bị chặn trên của R đều
Chứng minh.Lấy tùy ýP R, A P R Giả sử rằng@n P N, n ¤ A GọiE tn, n P Nu, khi ấy
E bị chặn trên và theo nguyên lý supremum, tồn tạiM suppEq Khi đóDn P N : M n ¤
M ñ M pn 1q P E Vô lý và khẳng định được chứng minh.
Từ mệnh đề trên ta cũng suy ra rằng, với mọi x P R, sẽ tồn tại n P Z để cho
n ¤ x n 1 Số n như vậy được gọi là phần nguyên của x và ký hiệu là rxs hoặc
Epxq Khi đó txu x rxs được gọi là phần thập phân của x
Ta đưa thêm vào tập R hai phần tử đặc biệt ký hiệu là 8 và 8 thỏa @x P
R, 8 x 8 Trong R ta xét một số tập con đặc biệt sau:
Trang 283.4 Số thực 28: ra, bs tx P R | a ¤ x ¤ bu - khoảng đóng hoặc đoạn.
: pa, bq tx P R | a x bu - khoảng mở hoặc khoảng
: ra, bq tx P R | a ¤ x bu - nửa đoạn trái
: pa, bs tx P R | a x ¤ bu - nửa đoạn phải
k°1n xk
¤k°n1|xk|: @x, y P R,
maxpx, yq 1
2px y |x y|q , min px, yq 1
2px y |x y|q: @x, y P R, ||x| |y|| ¤ |x y|
Ta có hai bất đẳng thức quan trọng sau đây:
n
¸
k 1
y2k
¥ 0
Trang 29k 1
pxk ykq2 ¤
gff
e¸n
k 1
x2 k
gff
e¸n
k 1
y2 k
Chứng minh.Bình phương hai vế của bất đẳng thức này, ta qui về bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
x2 y2, y
x2 y2 Tập hợp R2 với các phép toán địnhnghĩa như trên được gọi là tập các số phức và thường ký hiệu là C
Ánh xạ f : R Ñ R2 sao cho xÞÑ px, 0q là đơn ánh và là một đồng cấu thể Do đó ta
có thể đồng nhất R với R2 t0u Nghĩa là ta có thể viết x thay cho px, 0q
Ký hiệu i p0, 1q Dễ kiểm tra rằng i2 1 và số i được gọi là đơn vị ảo Ta có
@z px, yq P C, z px, 0q py, 0qp0, 1q x yi Dạng viết z x yi được gọi là dạng
đại số của số phức z Khi đó x được gọi là phần thực của z và ký hiệu là Re z, còn
y được gọi là phần ảo của z và ký hiệu là Im z Một số phức có phần thực bằngkhông được gọi là số thuần ảo Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần
ảo tương ứng của chúng bằng nhau
Xét mặt phẳng P với hệ trục tọa độ vuông góc xOy và một ánh xạ từ P vào Csao cho ứng với một điểm Mpx, yq của mặt phẳng P cho tương ứng với một số phức
z x yi (Hình 3.1) Ánh xạ như thế là một song ánh, do đó ta có thể đồng nhất
Trang 303.5 Số phức 30một điểm trong mặt phẳng P với một số phức của C Mặt phẳng như thế được gọi
là mặt phẳng phức Khi đó trục hoành được gọi là trục thực với đơn vị là 1 và trụctung được gọi là trục ảo với đơn vị là i
4 1
3 1
M ϕ r
Hình 3.1: Mặt phẳng phức.
Xét z x yi P C, x, y P R Ta đưa ra một số định nghĩa sau:
(a) Số z x yi được gọi là số phức liên hợp của số phức z Về mặt hình học,hai số phức liên hợp với nhau thì đối xứng nhau qua trục thực Ta có các tínhchất sau:
x2 y2 được gọi là modul của số phức z và ký hiệu là|z| Modul của
số phức là một số thực Đây là trường hợp mở rộng của khái niệm giá trị tuyệtđối từ R lên C Về mặt hình học, modul của số phức z chính là độ dài r củađoạn OM Ta có các tính chất sau:
: @z P C, |z| 0 ô z 0
: @z P C, |z|2 z z
: @z, z1 P C, |zz1| |z| |z1|: @z, z1 P C, |z z1| ¤ |z| |z1|(c) Xét điểm Mpx, yq trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z x yi Góc ϕhợp bởi trục thực và tia OM được gọi là argument của số phức z và ký hiệu làarg z Nếu z 0 (M O) thì ϕ tùy ý Chiều dương của ϕ là chiều ngược chiềukim đồng hồ Để ý rằng nếu ϕ là argument của số phức z thì ϕ 2kπ cũng
là argument của z Do đó trong các tính chất phát biểu dưới đây, các đẳngthức được hiểu theo nghĩa sai khác một lượng 2kπ Trong nhiều trường hợp,
để phân biệt, chúng ta nói argument chính của số phức z, ký hiệu là Arg z, lànhững giá trị ϕ thỏa: 0¤ ϕ 2π (hoặc π ϕ ¤ π) Ta có các tính chất sau:
Trang 31Ta có các công thức sau đây:
Công thức Euler @ϕ P R, eiϕ cos ϕ i sin ϕ
Công thức Moivre @n P Z, @ϕ P R, pcos ϕ i sin ϕqn cos nϕ i sin nϕ
Xét một số phức z rpcos ϕ i sin ϕq 0 và n P N Ta tìm một số phức w sao cho
w ?n
z ρpcos θ i sin θq Ta được:
z rpcos ϕ i sin ϕq wn ρnpcos θ i sin θqn ρnpcos nθ i sin nθq
Từ công thức tổng quát của căn bậc n của một số phức, ta xét trường hợp đặcbiệt là các căn bậc n của 1 cos 0 i sin 0 Căn bậc n của 1 cũng có n giá trị, đó là:
ek cos2kπ
n i sin
2kπnChúng có các tính chất sau:
: @k P t0, 1, 2, , n 1u, ek en k, nghĩa là các căn bậc n của 1 liên hợp với nhautừng đôi một
Trang 32Bài tập chương 3 32: Cho z P C và gọi zk, k P t0, 1, 2, , n 1u là các căn bậc n của z Khi đó zk
zjek, k P t0, 1, 2, , n 1u, j tùy ý P t0, 1, 2, , n 1u
: Những điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn ek là đỉnh của đa giác đều ncạnh nội tiếp trong đường tròn bán kính đơn vị, trong đó có một đỉnh là 1.: Tập hợp Un t1, e1, e2, , en 1u là một nhóm con giao hoán của C đối với phépnhân
xz y 7z
yz x 8z
x y z 12(d)
Trang 33Bài tập chương 3 33
Câu 6 Chứng minh rằng:@n P Z,
E
n3
E
n 36
Câu 7 Chứng minh rằng:@n P N, E
32
n
¡
32
Câu 9 Với mọi nP N tính Sn n
Câu 11 Giải phương trình 2z 6z 3 2i với ẩn là z P C
Câu 12 Với a, b, c P C sao cho aa bb cc 1 và a b c 0 Chứng minh rằng
(b) z3 p1 2iqz2 p1 iqz 2i 0, biết rằng có một nghiệm thuần ảo
(c) z4 4iz2 12p1 iqz 45 0, biết rằng có một nghiệm thực và một nghiệm thuầnảo
Trang 34CHƯƠNG BỐN
DÃY SỐ
Mục lục
4.1 Các định nghĩa 34 4.2 Dãy con 39 4.3 Một số loại dãy thông thường 41 Bài tập chương 4 44
§4.1 C ÁC ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa 4.1 Một dãy số là một ánh xạ từ N vào K (K R hoặc C) Thay cho ký
hiệu u : N ÝÑ K
n ÞÑupnq , ta thường ký hiệupunqn PN hoặc ngắn gọnpunq.
Nếu K R thì punq được gọi là dãy số thực; nếu K C thì punq được gọi là dãy sốphức Phần tử un được gọi là số hạng thứ n của dãy
Mỗi ánh xạ từ tn P N; n ¥ n0u vào K với n0 P N cố định cũng gọi là một dãy số;phần lớn các khái niệm được khảo sát chỉ đề cập đến các un "từ một thứ tự nào đótrở đi"
Định nghĩa 4.2 Ta nói dãy số punq có giới hạn là a khi n tiến ra vô cùng khi và chỉ khi:
Định lí 4.1 Giới hạn, nếu có, của dãy số là duy nhất.
Chứng minh.Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử dãypunqcó hai giới hạn làavàb (a b) Chọn
Trang 35Định nghĩa 4.3 Chopunq là dãy thực.
(a) Ta nói punq tiến tới 8 nếu và chỉ nếu @A ¡ 0, DN P N, @n P N,
pn ¥ N ùñ un ¡ Aq
(b) Ta nói punq tiến tới 8 nếu và chỉ nếu @B 0, DN P N, @n P N,
pn ¥ N ùñ un Bq
Chú ý rằng dãy thực có giới hạn là 8 hoặc 8 đều phân kỳ
Định nghĩa 4.4 Dãy punq được gọi là bị chặn nếu và chỉ nếu tồn tại số M P R sao cho@n P N, |un| ¤ M.
Trường hợp punq là dãy thực ta còn có khái niệm bị chặn trên và bị chặn dưới
Ta nói dãy thực punq bị chặn trên nếu và chỉ nếu tồn tại một số A P R sao cho
@n P N, un ¤ A Ta nói dãy thực punq bị chặn dưới nếu và chỉ nếu tồn tại một số
B P R sao cho @n P N, un ¥ B Chú ý rằng dãy thực bi chặn khi và chỉ khi nó vừa bịchặn trên, vừa bị chặn dưới
Định lí 4.2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
Trang 36un
vn ab
Trang 37Định lý 4.5 cũng được biết đến với tên gọi là định lý kẹp.
Định lí 4.6 Cho punq, pvnq là hai dãy số thực có giới hạn tương ứng là a, b P R;
zn un ivn với mọi n P N, z a bi Khi đó:
Định nghĩa 4.5 Chopunq là dãy số thực Ta nói:
: punq là dãy tăng nếu và chỉ nếu @n P N, un ¤ un 1.
: punq là dãy giảm nếu và chỉ nếu @n P N, un¥ un 1.
: punq là dãy đơn điệu nếu và chỉ nếu nó là dãy tăng hoặc là dãy giảm.
Định lí 4.7. (a) Mọi dãy thực tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
(b) Mọi dãy thực giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Chứng minh.
(a) Giả sửpunqlà dãy tăng và bị chặn trên TậpA tun : n P Nulà một tập con củaRkhông rỗng
và bị chăn trên Vậy tồn tại cận trên đúnga suppAq Choε ¡ 0 Theo định nghĩa của cận trên đúng, tồn tạiN P Nsao cho:a ε uN a Vìpunqtăng nên suy ra:
Ví dụ 4.2. Xét dãytqnuvới0¤ q 1 Đây là một dãy giảm và bị chặn dưới Do đó có một sốa
sao choa lim
Trang 38Ví dụ 4.6. Xét giới hạn của dãy tỉ số hai đa thức theon Bằng cách chia tử và mẫu chonk với
k maxpp, qq, ta có công thức sau:
b
2 ?2loooooooooooomoooooooooooon
b
2 ?2loooooooooooomoooooooooooon
ndấu căn
2
Ví dụ 4.8. Bây giờ ta xét một ví dụ cơ bản về một dãy số thực mà giới hạn của nó là một sốđóng vai trò cực kỳ quan trọng trong giải tích cũng như trong ứng dụng Xét dãy sốpunq với
Trang 39npn 1qpn 2q1.2.3 1
13!
1 1
n 1 2
n 1
¤ 2 12!
13! 1
nó hội tụ về một giới hạn hữu hạn và được ký hiệu làe Vậy:
lim
n Ñ8
1 1n
Chứng minh.Theo các điều kiện của định lý, dãypanqlà dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn làc1; dãy
pbnqlà dãy giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn làc2 Dodn bn an ÝÑ
đó dãy pun kq được gọi là dãy con của dãy punq
Định lí 4.9 Nếu dãypunq hội tụ đến a, thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ đến a.
Trang 404.3 Một số loại dãy thông thường 40
Chứng minh.Cho ε ¡ 0, DN P N sao cho: @k P N, pk ¥ N ñ |uk a| εq Khi đó ta có:
@k P N, pk ¥ N ñ nk¡ nN ¡ N ñ |un k a| εq Vậyunk ÝÑ
Định lí 4.10 Chopunq là một dãy trong K và a P K Để punq hội tụ đến a, cần và đủ là các dãy conpu2nq và pu2n 1q cũng hội tụ đến a.
Chứng minh. Cho ε ¡ 0, ñ DN1, N2 P N sao cho: @p P N, pp ¡ N1 ñ |u2p a| εq và
@p P N, pp ¡ N2 ñ |u2p 1 a| εq ĐặtN maxp2N1, 2N2 1qvà xétn P Nsao chon¡ N Tồn tạipP Nsao chon 2phoặcn 2p 1 Nếun 2p, ta cóp¡ N1 và|un a| |u2p a| ε Còn nếun 2p 1, ta cóp¡ N2 và|un a| |u2p 1 a| ε Điều này chứng tỏ:unÝÑ
n 8 a.
Định lí 4.11 (Định lý Bolzano-Weierstrass) Từ mọi dãy thực bị chặn ta đều có thể
trích ra một dãy con hội tụ.
Chứng minh.Ta chứng minh định lý bằng phương pháp chia đôi Vì dãypunqbị chặn nên tồn tại hai số
a0, b0 P Rsao cho@n P N, a0 ¤ un ¤ b0 Đặth b0 a0 là độ dài của đoạnra0, b0svà lấy một phần
tử tuỳ ýun 0 P ra0, b0scủa dãypunq Chia đôi đoạnra0, b0sbởi điểm giữax0 a0 b0
Như vậy ta xây dựng được một dãy các đoạn thắt lồng nhauprak, bksqk PN và một dãy conpunkqcủa dãy
punq Theo định lý 4.8, tồn tại sốcduy nhất là giới hạn chung của hai dãypakqvàpbkq Cuối cùng, áp dụng định lý kẹp ta thu được lim
2 Nênpunqlà dãy Cauchy Ngược lại nếupunq
là dãy Cauchy Khi đó: @ ¡ 0, DN P N, @n, m P N, n, m ¡ N : |un um| Cố định m