Dáng điệu của các đạo hàm và nguyên hàm của hàm khả vi vô hạn

Abanin đã thu được một số kết quả tổng quát cho tính liên tục của toán tử đạo hàm và toán tử tích phân trên không gian Banach có trọng các hàm chỉnh hình trên c xem [16].. số, các tính c

MẢU 14/KHCN

(Ban hành kèm theo Quyết định sổ 3839 /Q Đ-ĐHQGIĨN ngày 24 thángìO năm 2014

cù a Giám đốc Đợi học Quốc g ia H à Nội)

C h ủ nhiệm đề tài: TS Vũ Nhật I luy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HA NỘI ÍRUNG ĨẦM THÔNG TIN THƯ VIỆN

OOOGcOOG^CT

H à N ội, 2018

PHẢN I TH Ô N G TIN CHUNG

1.1 Tên đề tài: Dáne điệu của các đạo hàm và nguyên hàm của hàm khả vi vô hạn

1.2 m số: QG 16.08

1.3 D anh sách ch ủ trì, (hành viên th am gia thự c hiện đề tài

TT Chức danh, học vị, họ và ten Đơn vị công tác Vai trò thực hiện đề tài

Tự nhicn

Chủ nhiệm dê lài

Tự nhiên

lliư ký đè tài

1.4 Đơn vj chủ trì: Trường ĐII Khoa học Tự nhicn, ĐHQG HN.

1.5 Thời gian thực hiện:

1.5.1 Theo hợp đồng: lừ tháng 01 năm 2016 dén tháng 12 năm 2017

1.5.2 Gia hạn (nếu cỏ): đến tháng năm

1.5.3 T h ự c h iộ n th ự c tế : tử th á n g 01 n ă m 2 0 1 6 d ể n i h ả n g I I năm 2 0 1 7

1.6 Những thay đỗi so vói thuyết minh ban đầu (nếu cỏ):

(Vẻ m ục tiêu, nội dung, phương pháp, kết quà nghiên cứu và tổ chức thực hiện; Nguyên nhân; Ý kiến của C ơ quan quản lý)

1.7 Tồng kinh phí được phê duyệt của đề tàỉ: Ba trăm Iriệu đồng chẵn.

PHÀN n TỎNG QUAN KẾT Q UẢ N GHIÊN c ứ u

1 Đặt vấn để:

Ngày nay, những chuyên gia về xử lý tín hiệu sổ (trcn cá hai lĩnh vực âm thanh và hinh ảnh) là nhOìig người hiểu hơn ai hết vai trò quan trọng của lý thuyết Pourỉer Có thể nói rằng hầu hét các thiết bị điện tử liên quan dển hinh ánh và âm thanh mà chúng ta dùng hôm nay đều cỏ chứa con ‘chíp" làm nhiệm vụ chuyển đoi các hệ số Fourier thành hàm số (tín hiệu số), và dôí khi cùng kiêm luôn cà chức năng “khử nhiễu' hay “hiệu chinh lín hiệu” dựa trên các phép biến đổi Pourier.

Một phương pháp nghicn cứu dáng điệu của các đạo hàm và nguyên hàm của hàm khả vi v ô hạn là thông qua biến dồi Fourier Phép biến đồi Fourier mang lên nhà toán học và vật lý người Pháp Joseph ĩouricr (1768-1830) Năm 1807, Pouricr dưa ra phưưng pháp bicu diẽn hàm số liên tục bàng tổng của chuỗi lượng giác và sử dụng vào viộc giải phương trinh truyền nhiẹt trong vật thế răn Năm 1822, ỏng cho công bổ công trinh “Lý thuyết giải tích của nhiệt’* và mở ra một thời kỳ mới vẻ ứng dụng loán học trong các khoa hục khác.

I

Nghiên cứu các tính chất của hàm sổ thông qua biển đổi Fourier mà trường họp riêng

là qua phổ của hàm số là vấn đề luôn được các nhà toán học quan tâm vì vấn đề này có ý nghĩa rất lớn đối với ứng dụng vào giải quyết những bài toán khó khác nhau trong giải tích hàm, phương trình vi phân đạo hàm riêng, lý thuyết hàm suy rộng, lý thuyết nhúng, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết sóng nhỏ Có thể kể đến rất nhiều công trình nghiên cứu trong lĩnh vực này của các nhà toán học lớn như S.N Bemstein, L Hormander, s v Vladimirov, S.M Nikol'skii, L Schwartz, E Stein,

Một câu hỏi được đặt ra là hàm số có các tính chất gì khi chúng ta biết về phổ của hàm số? Để trả lời câu hỏi này thì vào năm 1990, Hà Huy Bảng [2] đã đưa ra được nhiều kết quả đặc trưng được dáng điệu của dãy chuẩn Lp(R) của các đạo hàm của một hàm sổ qua giá của biến đổi Fourier của chính hàm số đó, đồng thời Hà Huy Bảng cũng xây dựng kết quả trên cho hàm tuần hoàn với chu kỳ 271 Đây là các kết quả hoàn toàn mới và đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và phát triển lên các không gian khác hay cho các toán tử tổng quát hơn biến đổi Fourier như Vũ Kim Tuấn, A Zayed, J.J Betancor, J.D Betancor, N.B A ndersen, Sau đó đến năm 2001, trong [18] Vũ Kim Tuấn đã xem xét vấn đề trên khi thay toán tử đạo hàm bằng toán tử tích phân Cụ thể, Vũ Kim Tuấn đặc trưng được dáng điệu của dãy chuẩn L2(R) của các nguyên hàm cũa một hàm

số qua giá của biến đổi Fourier của chính hàm số đó Trong thời gian gần đây bằng cách tiếp cận mới, H.H.Bang và V.N.Huy đã thu được một số kết quả tổng quát về dáng điệu của dãy các đạo hàm và nguyên hàm thông qua phổ của hàm số ([4,5])

Ngoài ra, lóp không gian có trọng các hàm khả vi vô hạn và hàm chỉnh hình đóng vai trò quan trọng trong giải tích phức, giải tích Fourier, trong phương trình tích chập và phương trình đạo hàm riêng Vì vậy chúng được nghiên cứu bởi nhiều nhà Toán học và theo nhiều hướng nghiên cứu khác nhau M ột số nhà Toán học tiêu biểu cho hướng nghiên cứu này là K D Bierstedt, w Lusky, J Bonet, J Taskinen, p Domanski, M Lindstrom, A v Abanin Một trong những vấn đề quan trọng đối với lóp không gian này là đặc trưng những tính chất của không gian và của các toán tử xác định trên không gian đó theo những điều kiện của hàm trọng Ví dụ có rất nhiều công bố đã trình bày những nghiên cứu về toán tử kết hợp trên các lớp không gian có trọng các hàm chỉnh hình (xem [6,7,8,17])

Chú ý rằng, những nghiên cứu đầu tiên về toán tử đạo hàm trong không gian các hàm chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng c đã được nhà Toán học MacLane trình bày từ những năm 1950 (xem [12]) Nhưng toán tử đạo hàm và toán tử tích phân trên không gian Banach

có trọng các hàm chỉnh hình mới bắt đầu được nghiên cứu từ năm 2008 và 2009 bởi w Lusky và J Bonet (xem [9,10]) Những nghiên cứu này chủ yếu tập trưng cho một vài lớp

không gian cụ thể Trong thời gian gần đây bằng cách tiếp cận mới, P.T.Tien và A.v

Abanin đã thu được một số kết quả tổng quát cho tính liên tục của toán tử đạo hàm và toán

tử tích phân trên không gian Banach có trọng các hàm chỉnh hình trên c (xem [16])

Các tài liệu tham khảo:

2

[1]- N.B Andersen and M de Jeu, Reaỉ Paley-Wiener theorems and local spectral radius

/ormulas, Trans Amer Math Soc, 362(2010), pp 3613-3640.

[2] H.H Bang, A property o f infmitely differentiable /unctions, Proc Amer Math Soc

[5] H.H Bang, V.N Huy, The Paley-Wiener theorem in the language ofTaylor expansion

coefficients, Doklady Akad Nauk 446 (2012), pp 497 - 500.

[6] J Bonet, p Domanski, and M Lindstrom, Essential norm and weak compactness o f

composỉtion operators on weighted Banach spaces o f analytic/unctions, Canad Math Bull

42(1999), 139- 148

[7] J Bonet, p Domanski, M Lindstrom, and J Taskinen, Composition operators behveen

yveighted Banach spaces o f analyticýunctions, J Austral Math Soc 64(1998), 101 - 118.

[8] J Bonet, M Friz, and E Jorda, Compositỉon operators between weighted inductive

limits o f spaces o f holomorphic/unctions, Publ Math Debrecen 67 (2005), 333 - 348.

[9] J Bonet, Dynamics o f the differentiatỉon operator on weighted spaces o f entire

/unctions, Math z 261 (2009), 649-657.

[10] A Harutyunyan and w Lusky, On the boundedness o f the differentiation operator

between weightedspaces o f holomorphic/unctions Studia Math 184 (2008), 233-247.

[11] L Hormander, The Analysis o f Lỉnear Partial Differential Operators I, Springer-

Verlag, Berlin, (1983)

[12] G R MacLane, Sequences o f derivatives and normal/amiỉies, J Analyse Math 2

(1952/1953), 7 2 - 8 7

[13] E Lifly and s Tikhonov, Weighted Paley-Wiener theorem on the Hỉlbert transform,

Comptes Rendus Mathematique, 348(2010), pp 1253-1258

[14] R Paley, N Wiener, Fourier transform in the complex domain, Amer Math Soc

Coll Publ XIX, New York, (1934)

[15] E.M Stein, Functions o f exponential type, Ann Math, 65(1957), pp 582-592.

[16] P.T Tien and A V Abanin, The differentiation and integration operators on

weìghted Banach spaces o f holomorphỉc j\'unctions (prepriní).

[17] P.T Tien, Composition operators in weighted Banach spaces o f holomorphic

/unctions, Izvestija vussh Uchebn Zaved Severo-Kavk Region Estestv Nauki (in Russia),

6(2012), 34-39.

[18] V.K Tuan, Spectrum o f signals, J Fourier Anal Appl 7 (2001), pp 319-323.

[19] v s Vladimirov, Methods o f the theory of Generalized Functions, Taylor & Francis, London, New York, 2002

2 M ục tiêu:

Mục tiêu của đê tài tiêp tục nghiên cứu, mở rộng các kêt quả của các hướng nghiên cứu tính chất của hàm thông qua phổ của hàm số cho toán tử đạo hàm, đồng thời xây dựng các kết quả tương ứng khi thay toán tử đạo hàm bởi toán tử tích phân Trong đề tài này, tác giả

sẽ mghiên cứu nghiên cứu tính chất của hàm số trực tiếp qua phổ của chính hàm số đó bằng cách nghiên cứu dáng điệu của dãy chuẩn của các đạo hàm và cả nguyên hàm của một hàm

3

số, các tính chất của hàm số qua hình học phổ khi phổ chứa trong tập khônơ lồi nghiên cứu các tính chất chung của cả lóp hàm với phổ nằm trong một tập compact cho trước, đây

là các vấn đề rất hấp dẫn và hứa hẹn cho nhiều kết quả hoàn toàn mới Cụ thể đề tài là nghiên cứu tính chất của hàm số trực tiếp qua phổ của chính hàm số đó bằng cách nghiên cứu dáng điệu của dãy chuẩn Lp(T) của các nguyên hàm của một hàni số của hàm tuần hoàn

với chu kỳ 2 k Đồng thời, mục tiêu của đề tài còn nhằm đưa ra đặc trưng chung của lớp các

hàm với phổ nằm trong một tập compact cho trước

Ngoài ra trong đề tài này, chúng tôi còn nghiên cứu dáng điêu của đao hàm và nguyên hàm của hàm khả vi vô hạn thông qua việc nghiên cứu tính compact của toán tử đạo hàm và tích phân trên không gian Bach có trong các hàm chỉnh hình và tìm hiểu những tính chất của toán tử đạo hàm và tích phân trong một số lóp không gian hàm có trong Cụ thể, chúng tôi sẽ đưa ra một phân tích tổng quan về không gian có trọng các hàm chỉnh hình và các kết quả về tính bị chăn của toán tử đạo hàm, toán tử tích phân trèn lớp không gian này

Từ phân tích tổng quan này, chúng tôi tiếp tục phát triển những kỳ thuât mới để nghiên cứu tính compact cho hai toán tử này trên không gian có trọng trên miền tổng quát sau đó chúng tôi sẽ xét trường hợp trên không gian có trọng các hàm chỉnh hình trên hình cầu đơn vị và trên toàn bộ mặt phẳng phức được cho bởi một hàm trọng cầu Chú ý rằng hai trường hợp này khác hẳn nhau và yêu cầu những kỹ thuật cũng khác nhau

3 Phưong pháp nghiên cứu:

- Sử dụng tính chất của phép biến đổi Fourier, phép biến đổi tích phân

- Sử dụng lý thuyết về hàm suy rộng

- Sử dụng các tính chất của không gian Lp, hay các không gian hàm có trọng

- Sử dụng các tính chất của hàm tuần hoàn với chu kỳ 2ĩt

- Sử dụng các kỹ thuật của giải tích hàm, giải tích phức, giải tích lồi

- Sử dụng các kiến thức cơ bản về lý thuyết không gian hàm có trọrig đăc biêt là các tính chất của hàm trọng liên kết và hàm trọng thiết yếu Ngoài ra các kể; quả về cầu trúc của không gian có trọng các hàm chỉnh hình cũng đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu tính compact của toán tử đạo hàm và toán tử tích phân

4 Tổng kết kết quả nghiên cứu

-Kết quả về dáng điệu của dãy chuẩn của các nguyên hàm của him tuần hoàn{ ||In íllpTỈn thông qua phổ của chính hàm số đó

-Kết quả về dạng thực của Định lý Paley- Wiener cho hàm trong không gian Lp(Rn) đối với tập compact bất kì, tập sinh bởi dãy số, tập sinh bởi đa thức và cho iỊp loi

-Kất quả về dáng điệu của dãy chuẩn của các đạo hàm và nguyên him của hàm sổ thông qua giá của biển đổi Laguerre

- Phân tích tổng quan cho hướng nghiên cứu toán tử đạo hàm và toín tử tích phân trên lóp không gian có trọng các hàm chỉnh hình Từ phân tích tổng quan rùy đề tài đưa ra đươc cách tiêp cận mới cho nghiên cứu tính compact của toán tử đạo hàn và toán tử tích phân thông qua tính chất của hàm trọng cầu, hàm trọng liên kết và hàm t:ọng thiết yếu trong lý thuyêt không gian có trọng các hàm chỉnh hình

- Điều kiện cần và đủ cho tính compact của toán tử đạo hàm và toáỉ tử tích phân trên không gian có trọng các hàm chỉnh hình trên miền tổng quát và hàm trọng tổng quat

4

- Tiêu chuẩn cho tính compact của toán tử đạo hàm và toán tử tích phân trên khône gian có trọng các hàm chỉnh hình trên hình cầu đơn vị với hàm trọng cầu.

- Tiêu chuẩn cho tính compact của toán tử đạo hàm và toán tử tích phân trên không gian có trọng các hàm chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng phức với hàm trọng cầu

5 Đánh giá về các kết quả đã đạt được và kết luận:

Đề tài thu được nhiều kết quả đạt được là hay và hấp dẫn về việc nghiên cứu dáng điệu của dãy các đạo hàm và nguyên hàm thông qua phổ của hàm số, hay tính compact cho toán

tử đạo hàm và toán tử tích phân Các kết quả của đề tài đã được đăng trên các tạp chí uy tín trong nước và quốc tế

6 Tóm tắ t kết quả (tiếng Việt và tiếng Anh):

-Đề tài dưa ra công thức phổ cho toán tử tích phân I trên Lp(T), cụ thể là nghiên cứu dáng điệu của dãy chuẩn Lp(T) của các nguyên hàm của một hàm số của hàm tuần hoàn với chu

- Đe tài đưa ra một phân tích tổng quan cho hướng nghiên cứu toán tử đạo hàm và toán tử tích phán trên lớp không gian có trọng các hàm chỉnh hình Từ phân tích tổng quan này đưa

ra được cách tiệp cận mới cho vấn đề thông quan tính chất của hàm trọng cầu, hàm trọng liên kểtvà hàm trọng thiết yếu

- Dề tài trình bày điều kiện cần và đủ cho tính compact của toán tử đạo hàm và toán tử tích phân trén không gian có trọng các hàm chỉnh hình trên miền tổng quát và hàm trọng tổng quát

- Đề tài thiết lập tiêu chuẩn cho tính compact của toán tử đạo hàm và toán tử tích phân trên không gian có trọng các hàm chỉnh hình trên hình cầu đơn vị với hàm trọng cầu

- Đề tài đưa ra tiêu chuẩn cho tính compact của toán tử đạo hàm và toán tử tích phân trên không gian có trọng các hàm chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng phức với hàm trọng cầu

-We gừe the local spectral formula for integral operators on Lp(T)

-We eximine necessary and suffícient conditions on the sequences o f norm of the

derivatrves of íìinctions in Lp(Rn) such that their spectrum (the support of their Fourier transfoTn) is contained in a given compact set in Rn

-We give some operational properties o f the Laguerre transform

- We give a survey about recent results on the boundedness of differentiation and integration operatcrs on weighted Banach spaces o f holomorphic íunctions From this we also develop

a new tpproach to study the compactness o f these operators via the properties of radial weights, associated weights and essential vveights

- Nessecary and suffìcient conditions for the compactness o f differentiation and integration operatcrs on weighted Banach spaces o f general type are given

5

- We prove criteria for the compactness o f differentiation and integration operators on

weighted Banach spaces o f holomorphic functions on the unit disc deíĩned by a given radial vveight

- We obtain criteria for the compactness o f differentiation and integration operators on

weighted Banach spaces o f entire íimctions defined by a given radial weight

PHẦN III SẢN PHẨM, CÔNG BÓ VÀ KÉT QUẢ ĐÀO TẠO CỦA ĐỀ TÀI

3.1 Kết quả nghiên cứu

TT Tên sản phẩm

Yêu cầu khoa học hoặc/và chỉ tiêu kinh tế - kỹ

Đ ăng ký1

-Thiết lập được kết quả về mỗi liên hệ giữa phổ của các nguyên hàm với phổ của hàm sổ ban đầu

-Thiết lập được kết quả về

sự tồn tại giới hạn của dãy chuẩn của các nguyên hàm -Thiết lập được kết quả đặc trưng của lớp hàm với phổ nằm trong (hay ngoài) một tập compact cho trước

-Kết quả về sự tồn tại các nguyên hàm tuần hoàn

-Kết quả về mối liên hệ giữa phổ của các nguyên hàm với phổ của hàm số ban đầu

-Kết quả về sự tồn tại giới hạn của dãy chuẩn của các nguyên hàm -Kết quả đặc trưng của lớp hàm với phổ nằm trong (hay ngoài) một tập compact cho trước

Kết quả được thể hiện trong

2 bài báo thuộc ISI/Scopus củaV.N.Huy (mục 3.2)

-Thiết lập được kết quả về điều kiện cần và đủ theo hàm trọng cho tính compact của toán tử tích phân trong không gian có trọng trên c và D.

-Thiết lập được kết quả về tính chất cơ bản của toán

tử vi phân và toán tử Volterra trong không gian chỉnh hình có trọng

-Kết quả về điều kiện cần và đủ theo hàm trọng cho tính compact của toán tử đạo hàm trong không gian có trọng trên c và D.

-Kết quả về điều kiện cần và đủ theo hàm trọng cho tính compact của toán tử tích phân trong không gian có

trọng trên c và D.

-Kết quả về tính chất cơ bản của toán tử vi phân

và toán tử Volterra trong không gian chỉnh hình

có trọng

Kết quả được thể hiện trong

2 bài báoquốc tế củaP.T.Tiến(mục 3.2)

6

3.2 Hình thức, cấp độ công bố kết quả

Tình trạng

(Đã in/ chấp nhận in/ đã nộp đơn/ đã được chấp nhận đơn hợp lệ/ đã được cấp giấy xác nhận SHTT/

Đánh giá chung

(Đạt, không đạt)

1

Công trình công bô trên tạp chí khoa học quôc tê theo hệ thông ISI/Scopus

1.1 Ha Huy Bang and Vu Nhat

Huy, Paley-Wiener theorem for

1.2 Alexander V Abanin & Pham

Trong Tien, Compactness of

classical operators on weighted

Banach spaces of holomorphic

íunctions, Collect Math DOI

5.1 Ha Huy Bang and Vu Nhat

Huy, Local spectral íbrmula for

the integral operator I on Lp(T),

Vietnam J Math 45(2017),

737-746 (Scopus)

5.2 M M Rodrigues , V N Huy ,

and N M Tuan, Some

operational properties o f the

Laguerre transíbrm: AIP

Conference Proceedings: Vol

PHẦN IV TỎNG HỢP KÉT QUẢ CÁC SẢN PHẨM KH&CN VÀ ĐÀO TẠO CỦA

Sô lượng

đã hoàn thành

1 Bà: báo công bô trên tạp chí khoa học quôc tê theo hệ

4 Bài báo quôc tê không thuộc hệ thông ISI/Scopus 00 01

5 Sô lượng bài báo trên các tạp chí khoa học của 01 02

8

ĐHQGHN, tạp chí khoa học chuyên ngành quơc gia

hoặc báo cáo khoa học đăng trong kỷ yếu hội nghị quốc

tế

6 Báo cáo khoa học kiên nghị, tư vân chính sách theo đặt

hàng của đơn vị sử dụng

7 Ket quả dự kiến được ứng dụng tại các cơ quan hoạch

định chính sách hoặc cơ sở ứng dụng KH&CN

(triệu đồng)

Kinh phí thực hiện

(triệu đồng)

Ghi chú

2 Nguyên, nhiên vật liệu, cây con 00

PHẦN VI PH Ụ LỤC (minh chứng các sản phẩm nêu ở Phần III)

1 Ha Huy Bang and Vu Nhat Huy, Paley-Wiener theorem for functions

in Lp(Rn) Integral Transforms Spec Funct 27 (2016), no 9, 715-730 (ISI)

2 Ha Huy Bang and Vu Nhat Huy, Local spectral formula for the integral operator I

Lp(T), Vietnam l Math 45(2017), 737-746 (Scopus)

3 Alexander V Abanin & Pham Trong Tien, Compactness of classical operators on weighted Banach spaces of holomorphic íìinctions, Collect Math 2017, DOI 10.1007/s 13348-016-0185-z (ISI)

4 A B AõaHHH, í> H TneH, KJiaccHHecKHe onepaTopti B BecoBbix ốaHaxoBbix

npocTpaHCTBax ronoMopỘHbix ộyHKiỊHỈĩ, HTorH HayKH H xexHHKH CơBpeMeHHaa MaTeMaTHKa H e e npHJio>KeHHíĩ TeMaTHHecKHe 0Õ30pbi Tom 142 KoMnjieKCHtrà

aH3JiH3 BHHHTH, M 2017, Cĩp 3-13 (Scopus)

5 M M Rodrieues, V N Huy, and N M Tuan, Some operational properties of the Laguerre transíbrm: AIP Conference Proceedings: 2017, Vol 1798, 020130-1- 020130-10; DOI: 10.1063/1.4972722

6 Nguyễn Phi Minh, Toán tử đạo hàm trên không gian Banach có trọng các hàm chỉnh hình, luận văn thạc sĩ, 2017

7 Nguyễn Hương Liên, Một số kết quả về tích phân dao động với hàm pha là đa thức, luận văn thạc sĩ, 2017

Đon vị chủ trì đề tài lOg

(Thủ trưởng đơn vị ký tên, đóng dấu)

■%_

10

PHỤ LỤC

I Báo cáo sản phẩm khoa bọc

TT Tên sản phẩm (dự kiến) Yêu cầu khoa học hoặc/và chỉ tiêu kinh tế

1 -Dáng điệu của dãy chuẩn

của các nguyên hàm của

hàm tuần hoàn thông qua

phổ của chính hàm số đó

-Tính chất chung của cả

lớp hàm với phổ nằm

trong (hay ngoài) một tập

compact cho trước

-Thiết lập được kết quả về sự tồn tại các nguyên hàm tuần hoàn

-Thiết lập được kết quả về mối liên hệ giữa phổ của các nguyên hàm với phổ của hàm số ban đầu

-Thiết lập được kết quả về sự tồn tại giới hạn của dãy chuẩn của các nguyên hàm-Thiết lập được kết quả đặc trưng của lớp hàm với phổ nằm trong (hay ngoài) một tập compact cho trước

Ket quả được thể hiện trong

2 bài báo thuộc ISI/Scopus củaV.N.Huy

2 -Tính compact của toán

-Thiết lập được kết quả về điều kiện cần

và đủ theo hàm trọng cho tính compact của toán từ đạo hàm trong không gian có trọng trên c và D

-Thiết lập được kết quả về điều kiện cần

và đủ theo hàm trọng cho tính compact

của toán tử tích phân trong không gian có trọng trên c và D

-Thiết lập được kết quả về tính chất cơ bàn của toán tử vi phân và toán tử Volterra trong không gian chỉnh hình có trọng

Ket quả được thể hiện trong

2 bài báoquốc tế củaP.T.Tiến

II Báo cáo hình thức và cấp độ công bổ kết quả nghiên cứu

1 Số lượng bài báo công bố trên tạp chí khoa học quốc tế theo hệ thống ISI/Scopus:02, trong

đó có 02 bài thuộc ISI

2 Số lượng sách chuyên khảo được xuất bản hoặc ký hợp đồng xuất bản:00

3 Đăng ký sở hữu trí tuệ:00

4 Số lượng bài báo quốc tế không thuộc hệ thống ISI/Scopus: 01

5 Số lượng bài báo trên các tạp chí khoa học của ĐHQGHN, tạp chí khoa học chuyên ngành quốc gia hoặc báo cáo khoa học đăng trong kỷ yếu hội nghị quốc tế (có phản biện):02

6 Báo cáo khoa học kiến nghị, tư vấn chính sách theo đặt hàng của đơn vị sử dụng:00

7 Kết quả dự kiến được ứng dụng tại các cơ quan hoạch định chính sách hoặc cơ sở ứng dụng KH&CN: oỏ

8 Kết quả khác: 00

III Báo cáo sản phẩm đào tạo

-Đào tạo được 02 thạc sĩ

IV Minh chứng kết quả công bố:

1 Ha Huy Bang and Vu Nhat Huy, Paley-Wiener theorem for functions

in Lp(Rn) Integral Transỷorms Spec Funct 2J_ (^Olổ), no 9 715-730 (ISI)

2 Ha Huy Bang and Vu Nhat Huy, Local spectral íbrmula for the integral operator I on

Lp(T), VietnamJ Math 45(2017), 737-746 (Scopus)

3 Alexander V Abanin & Pham Trong Tien, Compactness of classical operators on weighted Banach spaces of holomorphic íunctions, Collect Math 2017, DOI

10.1007/sl 3348-016-0185-z (ISI)

4 A B AốaHHH, <D TneH, KnaccHHecKHe onepaTopbi B BecoBMX õaHaxoBbix

np0CTpaHCTBax ronoMopỘHLix ộyHKiíHỈí, HTora HayKH H TexHHKH CoBpeMeHHaa

MaTeMaTHKa H ee npnnoaceHHH TeMaTHHecKHe 0ổ30pbi Tom 142 KoMnneKCHbiH

aHaj!H3 BHHHTH, M 2017, Grp 3-13 (Scopus)

5 M M Rodrigues, V N Huy, and N M Tuan, Some operational properties of the Laguerre transforai: AIP Conference Proceedings: 2017, Vol 1798, 020130-1- 020130-10; DOI: 10.1063/1.4972722

V Minh chứng kết quả đào tạo:

1 Nguyễn Phi Minh, Toán tử đạo hàm trên không gian Banach có trọng các hàm chỉnh hình, luận văn thạc sĩ, 2017, (Giảng viên hướng dẫn: TS Phạm Trọng Tiến)

2 Nguyễn Hương Liên, Một số kết quả về tích phân dao động với hàm pha là đa thức, luận văn thạc sĩ, 2017, (Giảng viên hướng dẫn: TS Vũ Nhật Huy)

Integra! Transíorm s and Specia! Functions

ISSN: 1065-2469 (Print) 1476-8291 (Onlineì ỉournal homepạge: httũ://www.tandfonline.com/loi/gitr20

Paley-Wiener theorem for functions in Lp(Rn)

Ha Huy Bang & Vu N hat Huy

To cite th is article: Ha Huy Bang & Vu Nhat Huy (2016) Paley-W iener theorem for

functions in Lp(#n), Integral Transíorm s and Special Functions, 27:9, 715-730, DOI:

10.1080/10652469.2016 1190964

To link to this article: http://dx.d0i.0rg/10.1080/10652469.2016.1190964

Published Online: 06Jun 2016.

Submityourarticle to this journal

IM Article views: 22

View related articles c

\ * J View Crossmark data c

Ful! Terms & Conditions of access and use can be found at

http://'wv'A/.tandfonline.com /action/]ournallnform ation?journalCode=gitr20

INTEGRAL TRANSFORMS AND SPECIAL FUNCTIONS, 2016

VOL 27, NO 9,715-730

http://dx.doi.Org/10.1080/10652469.2016.1190964

P aley-W iener theorem for íu n ctio n s in L p ( Rn)

Ha Huy Bang3 and Vu Nhat Huyb

aVietnamese Academy of Science and Technology, Hanoi, Vietnam; bDepartment of Mathematics, College of Science, Vietnam National University, Hanoi, Vietnam

In th is p a p e r w e exam in e n e c e ssa ry a n d su fficien t c o n d itio n s o n th e Received 6 January2016

se q u e n c e s of n o r m o fth e d e r iv a tiv e s o ff u n c tio n s in L p ( R n) su c h th a t Accepted 13 May 2016

their spectrum (the support of their Fourier transíorm) is contained K c y iy o D r.c

1 Introduction

Let 1 < p < o o ,f € Lp(R),cr > 0 and supp/ c Ị - ơ ơ ] , w here/is the Fourier transíorm

of/ Then we have the following Bernstein inequality:

Note that Bernstein inequality was proved in [1] for p = co and in [2] for 1 < p < oo

The Bernstein inequality allơvvs us to estimate the norm of ứie derivatives of the íunction / based on its spectrum (ứie support of its Foụrier transíorm) It was proved in [3] the fol]owing result complementing the Bernstein inequality:

Theorem A: Let 1 < p < oo a n d f e Lp(W), m — 0 ,1 ,2 , Then there alwaỵs exists

thefolỉowing limit:

Lp- spaces; Fourier transíorm

AMS SUBJECT CLASSIFICATION 46F12

Um \ự M \ịỵ m

and

m-± 00 í—V r-ĩCi lim \\f{m)\\ị/m = ơ f = r J sup{|^| : ệ e supp/}.

For the n-dimensional case, we have in [4]:

CONTACT Ha Huy Bang © hhbang@math.ac.vn

TheoremB: Let 1 < p < c o ,/ e andsupp/ /5boundeả Then

Tkeorem A, which describes behaviour of the sequences of norm ofthe derivatives offunc- tions based on their spectrum, has been studied anả deveỉopeả ìn various directions such ŨS extenảing it to other/unction spaces, to more general differential operators, to n-dimensionaỉ case, as well ŨS replacing Fourier transýorm by other integral operators (see [5-30]) In par- ticular,it follows from Theorems A and B that i f f e Lp( R") and ơj > 0, j — l , , n then

supp/ c [Ệ e M” : \Ệj\ < ơj, j — 1, , n} i/aìid onỉy if

In this paper, we exainine the following problem: For 1 < p < 00 and a íìxed compact

set K c R”, we find the necessary and suíĩìcient conditions on the sequences of norm of the derivatives of functions in Lp(R.n) such that their spectrum is contained in K It should be

noticed that various relations betvveen the norms of the derivatives of íunctions and their spectrum were studied in [3,4,14-16,21,31 ], but the necessaiy and suổìcient conditions on the norms of the derivatives of functions such that their spectrum is contained in a given compact are íìrst obtained in this paper The layout of this paper is as follows: In Section 2

we find the necessary and suổìcient conditions for any compact case For tliis general case,

we have to take the sụpremum of ứie absolute value of polynomials on neighbourhoods in

c» of K In Sections 3-5 we give some special kinds of compacts K so that in the neces-

sary and suíBcient conditions we have to take the supremum only on neighbourhoods in

R" of K Moreover, the obtained conditions in these cases are much simpler than ones in

Section 2 Note that real Paley-Wiener theorem in recent years is intensively developed by manyauthors [3-18,22-29]

2 Paley-Wiener th eo r em for arbitrary com pact K

Let/ e I i( R n) a n d / — Ff be its Fourier transíorm

The Fourier transform of a tempeređ generalized function/ is defined via the íormula

Let p(x) be a pclynomial of degree q: p(x) — Ỵ2ịa'<qaaxJỵ ’x e = Yl)z=\ap :^ —

n i i xj J■ The difíerential operator P(D) is deủned by

f(ệ ) = (2jĩ) rt/2 Ị e bc^f(x)dx.

(Ff,<p) = ự t Fip), <peS(Rn).

P(D)f = y ] aaDaf ,

kl <q where D = ( D U , Dn),Da = D“l Dữ nn,Dj = -id /d x p j = 1 ,2 , , n n > V ị —

Let K be a com pact set in R n and ế > 0 D en ote by Kự) [Ệ e c n : 3x € K : \x —

£ I < e} the € -neighbourhood in c n o f K, and Ke the é-neighbourhood in M” o f K, z + = {0, 1, 2, }

We State our theorem:

Theorem 2.1: LetK be an arbitrary compactset in R '\ 1 < p < oo a n ả f € Lp(R ”) Then

su p p / c X i f a n d only i f f o r any s > 0 í/ỉere exisís í3 constant Cs K < 00 independent o f

f,P (x),p such that

/or all polỵnomials with real coefficỉents P(x).

Proof: Necessity. We choose a fanction /z(ệ) € Cq°(M”) such that h(Ệ) = ì i ỉ Ệ € K s /4

and h(%) = 0 if Ệ ặ Ks/ 2 - Since P(D)f = P(Ệ)f and supp/ c K> it follows that P(D)f =

Because the đerivatives of the anaỉytic runction P(x) can be estimaỉed in Kg /1 by the max- irautn o f the modulus in ÍC(5), there exists a constant A$ K independent ũ f f , P (x ),p such

Let 0 < k < n and (í'i, i2, , !„) be a permutation o f ( 1 , 2 , , n) We deíìne A ( i [ , , in,

k) = ịx = (x i, yXn) € K” : |x/j I, , \xjkI > 1, \xik,! , \xin I < 1} Then it follows

where Cs,K is independent o f / , P(x),p From (2.2) and (2.6) we obtain (2.1).

Sựfficiency Assume (2.1) is true, we need to prove supp/ c K Lndeeđ, assume the

co ntrary that there exists ơ e supp/ and ơ ị K We construct a polynomial G{x) = t —

\x — ơ | 2, w h e r e í = supxe^ \x — ơ ị 2 Then applying (2.1)for P(x) = Gm(x), we g etfo r ali

Since |G(ơ)| = t > 0, for suíRciently small 6 > 0, we have G(ệ) ^ 0 VỆ £ B[ơ, e] Since

ơ G supp/, there exists <p e C^°(E'Í), supp ụ>c jB(ơ,ế) such that {/, Ạ3) 7^ 0 We deíìne

xe® '1 UệeB(£7,€)

I VGw( ệ ) /

/ p (j) ' VGm(ệ)

From (2.9) and ( 2 10), we have

1 his is a contradictìon So, s u p p / c K The proof is compỉete.

From the proof o f Theorem 2.1 we have

The follow ing resuỉt was proved in [19]: Let 1 < p < o o , / e Lp(M.n) and the spectrum

o f / be com pact Then

By Theorem 2.1, we have the stronger result that for any 8 > 0 there exists a constant Q <

00 independent o f p,m such that

xesupp/(Ẵ)

We give now a result for directional derivatives To do this we recall the following result

in [ 2 1 ]:

Theorem C: Let 1 < p < q < oo, ơj > 0, j = 1, , n, f e Lp(R.n) and supp/ c n j= i

Prooỷ We intrcduce the transíormation

X — ( x j , , xn) > ( ệ l > • • • > Ệri) Ệ >

w here Ệ i , ệ n are the coordinates o f X in the new rectangular system o í coordinates,

w h ich is chosen in such a way that the increase o f ệi for íìxed Ệ 2 , , ện will lead to a

m otion o f the point X in the đirection a The coordinate transformation

The following corollary foliows from Theorem 2.2

C orollary 2.3: X e ự € Lp(M), l < p < q < o o ơ > 0 and s u p p / c [—ơ,ơ] Thenýor aỉl

Ằ -< 1 /p — 1 /q, we have

lim m x [hK ( a ) ] - m\\D^f\\q = 0

Note that by using the Bernstein inequality for directional derivatives in [31], w e get

that the sequence {[% (íĩ)]_m \\Dmf \\q } n = i isb ou nd ed w hiỉe by Corollary 2.3, we have the fo!low ing stronger result: lim „A co m X[hK(à)]~m\\D™f\\q = OíbranyO < Ằ < ì / p — ì / q

3 Paley-W iener theorem for sets generated by number sequences

We recall som e notations and results in [17,18]: Let 0 < Ằa < oo,Gí e D en ote by

G{Ằa } the set o f points Ệ 6 M” such that

\Ệa \ < Ằ a V a e Z n +,

i.e.,

a ẽ Z ị

Then G{Àữ} is called the set generated by the num ber sequence {Ằ.Q,}.

Clearly, G{ẰƠ} is close, ( r ỵ ệ i , r „ ệ „ ) € G{Ằa } i f ệ e G{Ằa } and Inl < l , j = 1

and

G{ Xa } — G

SUP

ệsG{Àữ}

The set G{Ằa } is compact if, for instance, Ảa < oo, Va e Z ị.

N o te that GỊXq,} can be non convex: Let n = 2 and Ằ(Ụ) = 6 z + T hen

Gp-tt} = {(x,ỵ) € M2 : \xy\ < 1, |x| < 2, \y\ < 2},

w hich is called the hyperbolic cross.

Let K be a set in R ” Put

s u p i n

g(K) = G

Then K c g(K) We call^CK) the g-hull of K and say that K has g-property if K = g(K).

• Every set generated by a number sequence G{Ằff} has g- property and, obviously, the

inverse side hoỉds.

• Let I be a íamily o f indexes and K j = g ( K j ) , j € I. Then P) -€J K j also has £-property.

• Every symmetric compact convex set has £-property

Let us State our tneorem:

Theorem3.1: Assume K is a compact in R ” and has g-propertỵ, 1 < p < oo and f £

Lp(Kn) Then supp/ c K if and only iffor any 8 > 0 there exists a coĩistant Q K < c°

(independent o f f , p , a ) such that

\\Daf\\p < Cs>K\ự\\p sụp \ f \ (3.1)

x e k s

f o r alỉct e Z ị.

Proof: Necessity Since su p p / c K aiid Theoreir 2 1 , fcr any 8 > 0 there exists 2 constant

from m I + (5/(2«)), \Ệ2\ + (8/(2 n ) ) , \ ặ „ \ + ( 8 / ( 2»))) - (ĩlil, 1*21, • • ■ > \Ệ«\)\ = s /

V i n < 8 tliat V = (\Ệl \ + (8/(2n)),\Ệ 2\ + ( 8 / ( 2 n ) ) , , \ Ệ n \ + ( 8 / ( 2 n ) ) ) e K s There- fore, using (3.3), we obtain for all a 6 Z'ị

Sufficiencỵ Assurae the contrary that there exists ơ € supp/ and ơ g K Because ơ ị K

and JC has g-property, there is y £ such that

|ơ ỵị > sup \xY\.

INTEGRAL TR ANSFO R M S A N D SPECIAL FU N C TIO N S 0 7 2 5

C om bining (3.5) and (3.6), we get

sup \xY \ > \ơ v \.

x e K

This is a contradiction So, s u p p / c K

R em ark 3.1: I n Theorem 3.1 \ve can replace X e K$ by X e K(S).

U sing Theorem 3.1, we get the follow ing corollary:

C o ro lla ry 3.2: L e tK b e a symmetric convex compact s e t i n W ' , 1 < p < oo a n ã j 6 Lp(MLn)

Then s u p p / c K if and only iffor any 8 > 0 there exists a constant c$ K < oo such that

fo r a ỉ ỉ a e Z ị

R em a rk 3 2 : ForcomparisonwithTheorem2.1,tohavesupp/ c j'C(wherei'Cisacompact

having g-property) w e n e e d to ch eck th e estimates: IIP(D)f\\p < Q jcl|/l[p suPa:-ằ' ị l^(*)l only for P (x ) = / , a e Z Ị

From Theorem 3.1, we have the follow ing corollary:

C o ro lla ry 3.3: Assume K is a compact in M” an d has g-property, 1 < p < oo and f € Lp(R ”) Then s u p p / c K if and only if

\\Daf \ \ p < sup l*a |

xeKỉ •

4 Paley-W iener theorem for the sets generated by polynomials

Let P (x) be a polynom ial with real coefficients and r > 0 We put

p% (.X) := p™ (x) form € z +, a € Z" ,

Q(P)r-.= { x e R n :\P(.x)\<r}.

Q(P)r is called the set generateđ by P(x).

7i6 @ H H BANG AND V N HUY

Clearly, Q(P)r can be non-convex and non-com pect Mote thai Q(P)r can be com -

pact (for instance, i f P(x) = \x\2 — 4, r — ì , then Q (p )i = {x e R ” : a / 3 < |x| < -s /5 } ) Cỉearly, all torus and balls are special cases o f the sets generated by pclynom ials Indeed,

let 0 < r < R, a 6 R" and

T a :-~ X e R ” : r2 < y IXj — a.j\2 < -R2

j=i

Then Ta = {* € R" : |(EjLi ki - Ạ/l2) - (r2 + K2) / 2| < (i?2 - j-2) / 2}.

We w ill assume that Q(P)r Ỷ 0 We have the follow ing result:

Theorem 4.1: Let 1 < p < cc, r > 0, f £ Lp(R ”) and Q(p)r ứ compact set Then

supp/ c Q(-P)r := iC í / and1 only if fo r any 8 > 0 iTiere exisís ứ constant C s k < oo

(independent o ff, m,p) such that

\\Pm(D)f\\p < C s,K \ư \\p (r + 8 y n (4.1)

fo r aỉỉ m e z_|_.

Proof: Necessity The necessity is clear from Theorem 2.1.

Sufficiencỵ Assume the contrary that there exists ơ e supp/ and ơ ệ K Com bining

ơ ệ K and K = {x € K ” : \P(x) I < r}, we have |P (ơ )| > r

From Theorem s 3.1 and 4.1, we have the follow ing

T h eorem 4.2: Suppose that r > 0, Pi ( x ) , , P q ( x ) are poỉynomials with real coeỹcients,

Q(Pi )r, • • • J Q(pq)r ữre compcictsets, a co m p a ctset H h a sg -p ro p erty a n ả f € Lp(R ”) Put

K H n Q ( P i ) r n ■ • • n Q ( p q ) r

-Then s u p p / c K ifa n ẩ only iffor any 8 > 0 there exists ũ constant Cs K < oo such thai

\\(P[n]( x ) P ^ ( x ) x a)(D)f\\p < C s j c \ ự \ \ p ( r + 8 ) mi+- +mi sup |x“ |

X £Ằ 'â

/or CIĨỈ ( m i, , mq) € zị, c € Z"

Remark 4.1: In the Theorem 4.2, X G ÍC5 can be replaced by X €

R em ark 4.2: Theorem 4.2 still holds if the consideređ P(x) are polynom ials with co m p lex

coeíHcients

Remark4.3: If K is a íìnite intersection o f com pact sets having £-property and c o m -

pact sets generated by polynomials, we can have various Paley-Wiener theorera for

such K For examples, let a, b € R", Ki = {x € R" : ỵ2j=i(xj ~ af)2 — -^2 = ix €

: r < yy = ị(Xj — b ị) 2 < N }, where N is chosen suíìĩciently large such that (x Ể R " :

5 Ị jL i(xj — aj ) 2 < R} c {x e M '1 : Ỵ2j=ì(xj ~ bj)2 < N } Then Ki,Kọ are sets generated

by polynomials and \ve can apply Théorem 4.2 for the asymmetric torus

K := X € R" : 7 > ; — ữj)2 < i?, y~^(x/ — bj)2 > r

= iCi n k2

More generally, let bo,b\, ,b]( £ R ” and ro, 7-1, , rjk > 0 such that fo rj =

B(bo,rò)\B(bj,rj) ^ 0 Then B[&0, ro]\uỷ=i r;) ^ intersection of compact sets

generated by polynom ials Indeed, we choose a large number R such that B(bo,ro) c

B(bj, R) for all j = 1, 2, , k then B[bo, ro]\ uỷ=i B(bj> rj) is the intersection of B[bo, ro] and the torus -R]\B(bj,rị), j — 1 , 2 Furthermore, if H has ^-property and

•B(bo> ro) is replaced by H, then H \ u ỷ = i r;) Is the intersection o f H and the com pact

sets generated by polynomials

From Theorem 4.1, we have the following corollary:

Corollary 4.3: Let 1 < p < 00, r > 0, / e L^(En) íWĩi Q(P)r a compact set Then

supp/ c Q(P)r //and on/y ỉf

lim \\Pm(D)f\\l/m < r

5 Paley-W iener theorem for convex compact sets

We have the following theorem:

Theorera 5.1: Let K be an arbitrary convex compact in R ”, 1 < p < oo a n d f e LpíR ri')

Then su p p / c K if and only iffor every s > 0 there exists a constant Cs X < oo independent off, P(x), m,p such that

\\pmm w P < Csjcự\\p sup I P ( x ) f (5.1)

x e K s

for all poỉynomials with real coeffi.cients P(x) having degree 1 andýor alỉ m e z+.

Proof: Necessity Since s u p p / c K and Theorem 2 1 , fc-r any ổ > 0 there exists a constant

Q K < oo such that

^28 ( 0 H H BANG AMD V N HUY

Hi3'” (£)/llj> < C s M p sup |P (x )ịm.

X&Kạ/in)

for all polynom ials P(jc) having degree 1 and for alỉ 77 i € z+.

For each 6 K (s/ 2 n) there exists Ệ £ K such that

Put ĩì = (ệj + (sig n (P (|)« i)(5 /(2 n ))> + (sign(P(ậ)a2) ( £ / ( 2 « ) ) > + (sign(P(£)tfn)

( 8/ (2n))) Then it follows from (5.3), |?7 — ệ | = s / y / ĩ n < 8 and |P(?7)I = |P (ệ )| +

Sufịìciency A ssum e the contrary that there exists ơ e supp/ and ơ ặ K Because ơ ặ K

and K is a com pact convex set, there is a polynoinial G{x) 01 deạree 1 such thai |G (ơ) I >

SuPxsí: |G (*)| T hen applying (5.1) for P(x) — G(x), we get for all m e z +

Letting s -> 0, we obtain

| G( ơ) | < sup |G (x)|

x e K This is a contradiction So, s u p p / c K.

From Theorem s 3.1 and 5.1, we have

T heorem 5.2: L e t 1 < p < o o , f G í-j,(R n), Kỵ be a convex compact set and a c o m p a ct K->

has g- property P u t K := Kỵ n Ằ2- Then s u p p / c K ifand only iffor any 8 > 0 there exists

a constant Csjc < oo su ch that

\\(Pnì(x)xữ)(D )f\\p < CSiK\ự\\p sup |Pm(x )| sup |xff|

for alỉpolynomiaỉ with reaỉ coefficients P(x) h a v i n ơ degree 1 andfor all m e Z +J a € .

R em ark 5.1: In Theorems 5.1 and 5.2, X € Ks can be replaced by X € K ạ ).

From Theorem 5.1, we have the follow ing corollary:

CoroUary 5.3: L e t K be an arbitrary convex compact in 1 < p < oo a n d f G Lp(ìR”)

D isdosure statem ent

No potential conílict of interest was reported by the authors.

Funding

The research ofV.N Huy is funded by the Vietnam National University, Hanoi (VNU) [grant number

QG 16.08].

Reíerences

[1] Bernstein SN Collected works Vol 1 Moscow: Akad Nauk SSSR; 1952 (Russian).

[ 2 ] Nikorskii SM Approximation of functions of several variables and imbedding theorems Berlin: Springer; 1975.

[3] pang HH A property of iníìnitely differentiable íunctions Proc Amer Math Soc 1990;108:73-76.

[4] Banơ HH Punctions with bounded spectrum Trans Amer Math Soc 1995;347:1067-1080 [5] Abreu LD Real Paley-Wiener theorems for the Koornwinder-Swarttouw q-Hankel transform

J Math Anal Appl 2007;334:223-231.

[ 6] Albrecht E, Ricker WJ Functional calculi and đecomposabiliry of unbounded multiplier

operators in ư (R N) Proc Edinburgh Math Soc 1995;38:151-166.

[7] Albrecht E, Ricker WJ Local spectral properties of certain matrix diíĩerentia] operators in

[11] Andersen NB Real Paiey-Wiener theorems Bull London Math Soc 2004;36:504-508.

[12] Andersen NB, de Jeu M Elementaryprooís ofPaley-Wiener tlieorems for the Dunkl transíorm

on the real line Int Math Res Notices 2005;30:1817-1831.

[13] Andersen NB Real Paley-Wiener theorems for the Hankel transíorm ] Fourier Anal Appl 2006;12:17-25.

[14] Andersen NB, de Jeu M Real Paley-Wiener theorems and local spectral radius íormulas Traiis Amer Math Soc 2010;362:3613-3640.

[1 5] Bang HH A property of entire functions of exponential type Analysis 1995;15:17-23.

[16] Bang HH The existence of a point spectral radius of pseudodiíĩerential operators Doklady Math 1996;53:420-422.

[17] Bang HH Theorems of the Paley-Wiener-Schwartz type Trudy Mat Inst Steklov.

[2(5] Tuan VK On the supports of íunctions Numer Funct Anal optim 1999;20:387-394.

[27] Tuan VK Paley-Wiener-type theorems Fract Calc Appl Anal 1999;2:135-144.

[23] Tuan VK, AI Zayeđ Paley-Wiener-t}^pe theorems for a class cfintegral transíorms J Math Ana! Appl 2002;266:200-226.

[29] Tuan VK Spectrum of signals J Fourier Anal Appl 2001;7:319-323.

[30] Vkdimirov v s Methods of the ứieory of generalized íuiictions Lonùcn: Taylor Sf Francis;

2002.

[31] Bang HH, Morimoto M On the Bernsíein-Nikolsky inequality Tokyo Ị Math 1991;14: 231-238.

Locaỉ spectraỉ Formulafor Integral

Operators o n L p ( T ) $L_{p}({\mathbb T})$

Ha Huy Bang & Vu Nhat Huy

Vietnam Jo urnal of Mathematics

Your article is protected by Copyright and

all rights are held exclusively by Vietnam Academy of Science and Technology (VAST) and Sprỉnger Science+Business Media

Singapore This e-offprint is for personal use only and shall not be self-archived

in electronic repositories If you wish to self-archive your article, piease use the

accepted manuscript version for posting on your own website You may íurther deposit the accepted manuscript version in any t , repository, provided it is only made publiclý available 12 months after official publỉcation

or later and provided acknovvledgement is given to the original source of publỉcation and a link is inserted to the published article

on Springer's website The link must be accompanied by the following text: "The final publỉcation is avaiiable at link.springer.com”

Vietuam j Math (2017) 45:737-746

DOI 10.1 CO 7/s 10013-0 í7-0242-2

CrossMark

Locaỉ Spectral Formula for Integral Operators on L p (T)

Ha Huy B ang 1 • Vu Nhat Huy2

Received: 3 June 2016 / Accepted: 12 December 2016 / Published Online: 29 March 2017

© Vìetnam Academy of Science and Technology (VAST) and sprineer Science+Business Media Sinsapore 2017

Abstract Let 1 < p < co, / 6 Lp( T) and 0 ị su p p / Then, in this paper, we obtain the followừig local spectral formula for the inteơral operator / on Lp ( T ), the soace

o f 27ĩ-periodic íunctions belonging to L p ( —71, Ji): lim ^ o o Ụ nf \ Ỷ Ị j = ơ ~ ỉ , where

ơ — min{|fc| : k e s u p p / } , I f ( x ) — / g / ( t ) dt — Cf , X e M an d the constant Cf is ch o se n

such thai [ q * I f ( x ) d x = 0 The local spectral íormula for polynomial integral operators

on Lp(T) is also given.

Keyvvords Lp - spaces ■ Fourier transíorm • Generalized íunctions

Mathêmatics Subject Classiíĩcation (2010) Primary 26D10 * Secondary 46E30

1 IntroductÌGn

It is welỉ knovvn the follovving spectral radius íormula in the Theory o f Banach algebras: Let

A be a unital Banach algebra and X € A Then, the limit limm_>.00 ||jcm II 1/m always exists

2 Departnent o f Mathematics, College o f Science, Vietnam National University, 334 Nguyen Trai

Street, Ihanh Xuan, Hanoi, Vĩetnam

_lim_ ||jcm||1/m = rA(Jc),

Spri

738 H H Bang, V N Huy

where r ^ ( x ) = sup{|Ằ | : 1 £ ơ a (jc)Ị is the sp ecư a l radius o f X, ƠA0 0 is the spectrum o f X

which is the set of all Ằ e c such that X — Ằl is not invertible in A and 1is the unit in A

(see [ 1 2 ]).

It was proved in [ 6] the follow ing result:

Theorem A Let 1 < p < oo and Dn f e Lp(R), n — 0, 1, 2, Then, there always exisls

the following limỉt

where f is the Fourỉer transfonn of f

N ote that in the traditional terminology, s u p p / is called the spectram o f / Theorem A

shows that differential operator D on L p ( R ) has the local spectral radius íormula, and ơ f

is called tìhe local spectral radius of differentíal operator D at / Theorem A, which also

describes behavior o f the sequences o f norms o f the derivatives o f íunctions based on theừ spectrum, has been studied and developed in various dữections such as extending it to other

íunction spaces, to more general diííerential operators, to n-đimensional case, as well as

replacing Fourier transíorm by other ũategral operators (see e.g., [1-11, 13-16]) In [16],

V.K Tuan íirst gave ứie local spectral formula for the ùitegral operator X on L2(R): Let

f e L2(R) and 8f = inf{|ệ| : Ệ e supp/} > 0 Then, X”/ exists and belongs to (R)

the improper indeýinite Riemann integral, a n d X” = ( X) n.

This Tuan’s result was extended to L p (R ), 1 < p < oo ữi [9] We propose in this paper to fínd ứie local spectral fonnula for ũitegral operators on L p ( T ) Section 2 provides the local spectxal formula for the integral operator I on Lp (T ), where I f ( x ) = J q f ( t ) d t —Cf, X e R

and the constant Cf is chosen such that / 02jr / / (x ) d x — 0, and Section 3 deals with the íbrmula for polynoniial mtegral operators on Lp ( T)

2 Local spectral Formula for Integral Operator on Lp ( T)

Recall fírst some notatíons and results needed in the sequel D enote by »S(R), the Schwartz space o f rapidly decreasing íuncũons and by íS^lR) ứie dual space o f <S(R), the space o f tempered distributions on R , it is the set o f all íĩinctions / : <s (R) - » c that are linear and

continuous One usually denotes by ( / , ự>) ứie value in c that the distribution / e <S'(R)

assigns to ự) 6 <S(R) Let / e Li ( M) and / = J- f be its Fourier ưansíorm

L o c a l S p e iC tra l P o r m u la 739

Lee T = [—n, 7ĩ] , 1 < p < co, K be an arbicrary set in M and € > 0 Denote by K e :=

{5 € K : Ebe e ẪT : |jr — ỆI < ế} and L p ( T ) the set o f all 27T-periodic íunctions / on R

such tha.it the norm

II fịị ị ư o n \ f { x ) \ P d x Ý ' P if p < 00,

p ' ' Ị ess supx eT |/ ( j : ) | if p = 00

is íinite Then, L p(T ) c «S'(R) Thereíore, for each íunction / e L p { T) then / , / are the

tempeređ distiibuíions which are deíĩned as follow s

/ : tp € < S ( R ) ( / , <£»)= [ f ( x) ạ>( x) dx,

J R

f : ụ > e s m - + ự , < p ) = ( f , ệ ) = í f ( x ) ộ { x ) d x

J KMơreover,

s u p p / = {£ G R : Vế > 0, 3«? e <S(]R) : supp 0 c (ệ - e, ệ + ế)), ( / , 0}.

We have the follow ing Young inequality for periodic íunctions: Let 1 < p < 00, / e

L p { T ), £ e L \ (R) Then, / * g € L;>(T) and

II/ * gllp.T < II / II p , T II ễ llLi (R) where th e convolution f * g is defined as

ơ * g)(.x) = Ị f ( y ) g ( x - y ) d y

The following notion o f priiíiitives o f a tempered generalized íunction was given in [9]:

Let / e <S'(R) The terapered generalized íunction I f is termeđ aprimitive of / if D Ợ f) =

It is known the followm g result in [17]:

L em rna 1 Let 1 < p < 00 / e L p (T ) 77ỉ<2n, the Fourier series o f f converges to f

inS'(St):

(The íunctional series z f k ( x ) is called convergent to / in <S'(R) if the Íuncíional

sequence sa(x) = H |t |< n f k ( x ) converges to / in S '(R )).

Let / e Lp { T ) It follows from Lemma 1 that s u p p / c z and s u p p / = {£ € z :

/ q 71 f (n)e~iktd t Ỷ 0}- Hence, /q2^ = 0 if and only if 0 ệ su p p /.

Lem m ía 2 Lể/ 1 < p < co / e L p(T ) Then, there exists in L p { T) ỡ primitive o f f if

and onlỉy i f / 02jr f ( t ) d t = 0.

<£)

SpringS 740 H H Bang, V N Huy

P r o o f Suffĩciency We defme a primitive o f / as follows

(2)

Then, I f is w ell deíĩned on R and D ( I f ) = /

Further, using / <E Lp(T) and / q * ỉ f ( x ) d x = 0, w e have for all X e R

So, I f e L p ( T) Thereíore, it follow s from Lemma 1 that supp/ / c z and the Fourier series o f / / converges to / / in «S'(R):

and then 0 ^ supp/ /

Necessity Assume that there exists a primitive G 6 Lp(T) o f / Using (1), we obtain

I f = G + c, where / / is deíined in (2) Thereíore, 7 / € Lp(T) Hence,

‘o = / / (2n) - 7 / ( 0 ) = [

For illìistration, / (sin * ) = — C0SJC, I ( c o s x ) — sin x , I ( e ikx) = £ € z \{ 0 }

Lerama 3 Let f € Lp(TT) There exists at mosí one primitive G o f f satisỷying 0 ệ suppô.

P ro o f Assume that G \ , G i axe primitives o f / satisíying 0 ị suppG j, j = 1,2 Then, it

follows from (1) that G i = Ơ 2 + c, where c is a constant Hence, G ị — G i = cyfĩrcĩ>Q,

where <5o ìs Dừac íunction at 0 Then, it follows from 0 ị G\ — Ơ2 and suppỗo = {0} that

Formula (2) gives an operator denoted by I on L*p(T) := { / 6 Lp(T) : 0 ị supp/}

Combining Lemmas 2, 3, we have

Theorem 1 Let 1 < p < oo and f € L *(T ) 77z<?n, ( / " / ) “ 0 c Lp(T), D m( Im+nf ) =

I n f and 0 s u p p ln f f o r alỉ m, n € z + , where I ữf := /

Remark 1 Let 1 < p < oo and / e L p(T ) B y Lemma 2, the differential equation D/ĩ = /

has a solution h in L p { T) if and only if /q27ĩ f ( t ) d t = 0 Moreover, if / q 71 f { t ) d t = 0 then

keZ,k^0

Springer

Local Spectral Forrnula 741

h = I f + c , c e c are alỉ solutions o f Dh = f Clearly, L* (T) is a closed subspace of

L p ( T), and the linear integral operator 1 acts invariantly and continuously on L*p (T) For

each / G L* (T), there exists exactly one solution o f Dh = f , which is / / The continuữy

o f the operator I is obtained frorn the foĩlowing inequality \\If\\p T < § 11/11 p T> which is implied from the Bohr inequality llgllp T < 2 \\Dg IIp T (see [ 8]) by substituting g / / and using £ > (//) = /

Now, vve give the local spectral íormula for the integral operator I on L p (T).

Theorem 2 Let 1 < p < oo íĩTĩd / e L* (T) 77í<?n, /líĩVổ the following lỉmit

lim | | / B/ l l l / ĩ = ơ " 1, ’ (3)

n - >0o v^/ỉể/r ơ = min{|Ả'| : Ấ: e su pp /}.

Proof Without loss o f generality, we may assume that

{ ess supxe[2wj,2;tơ +i)]Iỗ(*)I if p = 00.

By virtue o f (4) and Hốlder inequality, one has

X ! / I n f ( x ) ( p n ( x ) d x < \ \ ỉ n f \ \ p j \ \ (Pn\\q.j, (5 )

where l / p + l / q = 1 Since / " / is periodic, it follows that \\Inf \ \ p j = \\Inf \ \ p T , V j €

Then using (5), we get

II<Pn II00,7 < + 4 x 2j 2r ' (ơ + O ”- 2

This helps us to obtain

Indeed, since Dnl n f = f , f — (ix)nJnf Therefore,

supp/ c suppI nf c supp/u {0}.

Springer

I.ocul Spectral Formula 743

Then, it folỉows from 0 ị su p p l n f that

su p p ỉ nf = s u p p / For any € G (0, ơ /2 ), w e choose a íunction h e c 00® satisíying the following conditions

h(Ệ) = 1 for Ệ E (—co, —(ơ — ế)] u [ơ — 6, + c o ) , a n d h(Ệ) — 0 for £ 6 (—(ơ —

2 e ) , ơ — 2e) Then, h( Ệ) / ( i ặ) n is vvell deíĩned and it follows írom / = (i ặ ) nỉ nf that

H ề ) f = Ơ I)" /" ? Hence, f h( Ệ) / ( i Ệ) n = F f So, for n > 3 :

Then, íor n > 3, we get

sup|(l +x2)gn(x)\ < s u p - L ( í eixS(h(Ệ)/ỆnỴ'di; +1 í eix^h(Ệ)/Ệndặ\)

Let 1 < p < oo, / e L* (T) and m e N Denote by Tm the set o f all trĩgonometric

polynomials of degree < m, and

Em( f ) = inf \ \ f - P \ \ p j

ứie error of approximatíon of / by elements from Tm.

Saringer

744 H H B ang, V N Huy

T h eorem 3 Let 1 < p < oo, / € L*p ( T) and m e N Then,

lim IIEm( l nf ) \ \ l / J = max{|l/Ả:| : k e su p p /, |Ấ:| > m}.

7Z—>00

Proof Let ơ e supp/, |cr I > m Then, for each € e (0,1) there exists a function ip e

C^°(R), supp^ỡ c (ơ — e, ơ + e) such that ( / , ọ 0 Put