GIAO AN PP MOI NGUYEN HAM TICH PHAN VA UNG DUNG

Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây 2.000 năm bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bề mặt và thể tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân. Tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính này, giải tích, đã chính thức được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727). Ý tưởng chủ đạo là tích phân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo của nhau. Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học. J. B. Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác. Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi các hàm lượng giác và ngược lại) và biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa học cơ bản mà cả trong Y học, âm nhạc và ngôn ngữ học. Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855). Ông đã cùng nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào các bài toán của toán học và vật lý. Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức. Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phong đặt nền tảng lôgíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân.

Trang 1

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

- Năng lực hợp tác, giao tiếp, tự học, tự quản lí

- Năng lực tuy duy, sáng tạo, tính toán, giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng CNTT, sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Năng lực mô hình hóa toán học và năng lực giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ tính toán

Năng lực chuyên biệt: Thấy được ứng dụng của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm

say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội

Mô tả cấp độ tư duy

khối tròn xoay được

tạo thành khi quay

hình phẳng quanh Ox

Tính diện tích hình phẳng và thể tích của khối tròn xoay nhờ tích phân trong các trường hợp đơn giản

Xây dựng được mô hình toán học để giải quyết các bài toán thực tế

- Sử dụng các tính chất để giải các bài toán khác

B Chuẩn bị

1 Giáo viên: Chuẩn bị giáo án; sách giáo khoa; sách bài tập; sách tham khảo

2 Học sinh: Đọc trước bài mới; chuẩn bị sách vở; dụng cụ học tập

I HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.

Trang 2

Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng như một Parabol, chiều rộng là 8m, chiềucao là 12, 5 m Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín Biết rằng 1m2 cửa sắt có giá 900.000.Hỏi Nhà trường phải trả bao nhiêu tiền để làm cửa sắt như vậy?

Ông An có một mảnh vườn elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m Ôngmuốn trồng hoa trên dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ).Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trêndải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.

1 TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG VÀ TRỤC HOÀNH.

Trang 3

HĐ1.1 Nêu công thức tính diện tích hình thang

cong giới hạn bởi các đường thẳng x=a, x =b,

trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x)

là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a;b]

HĐ1.2 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

HĐ1.3 Trong HĐ1.2 nếu thay hàm số y = 2x

+ 1 bởi hàm số –y = – (2x + 1) thì diện tích của

nó thay đổi như thế nào?

( )

b a

Trang 4

HĐ3.1 Kí hiệu S là diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục

hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như

hình bên Khẳng định nào sau đây đúng?

HĐ3.4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y mx cosx ; Ox ; x0;x bằng 3

Khi đó giá trị của m là:

A m  3 B m 3 C m  4 D m � 3

2 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG CONG.

Trang 5

HĐ1.1 Diện tích hình phẳng (phần tô màu) ở các

hình dưới đây được tính như thế nào?

Trang 7

Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

3 2

3x

03

Bài toán 1 Cổng trường Đại học Bách khoa

Hà Nội có dạng như một Parabol, chiều rộng

là 8m, chiều cao là 12, 5 m Người ta cần lắp

một cửa sắt khép kín Biết rằng 1m2 cửa sắt

có giá 900.000 Hỏi Nhà trường phải trả bao

nhiêu tiền để làm cửa sắt như vậy?

Trang 8

muốn trồng hoa trên dải dất rộng 8m và nhận trục bé

của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh

phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2 Hỏi ông A cần

bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền

đường (E1); (E2); x 4; x 4 và diện tích của dải

Trang 9

Bài toán 3 Ông An muốn làm cửa rào sắt có

hình dạng và kích thước giống như hình vẽ bên,

biết đường cong phía trên là một Parabol Giá

2

1m của rào sắt là 700.000 đồng Hỏi Ông An

phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như

vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn)

Gợi ý:

+ Diện tích khung cửa bằng tổng diện tích hình

chữ nhật và diện tích của phần parabol phía trên

Trang 10

Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây 2.000 năm bởiArchimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bề mặt và thể tích khối củamột vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón Phương pháp tính của Archimedes rất hiệnđại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân.

Tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính này, giải tích, đã chính thứcđược khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727) Ý tưởng chủ đạo là tíchphân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo của nhau Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hainhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học, vật

lý và thiên văn học

J B Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượnggiác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thànhchuỗi các hàm lượng giác và ngược lại) và biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộngrãi không chỉ trong khoa học cơ bản mà cả trong Y học, âm nhạc và ngôn ngữ học

Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855) Ông đãcùng nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào các bài toán của toán học và vật

lý Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức Riemann (1826–1866)

và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phong đặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho địnhnghĩa của tích phân

Kí hiệu tích phân là do nhà toán học Leibniz đưa ra, tích phân của hàm số f trên đoạn[a;b] được ông định nghĩa là giới hạn của một tổng: (1) Về sauhiệu được kí hiệu lại là (do chữ d là chữ bắt đầu của “diferentia”, nghĩa là “hiệusố”), kí hiệu tổng số cũng như chữ S có nguốc từ chữ La-tinh “summa” (nghĩa là “tổng số”),dấu tích phân là một biến dạng đơn giản của chữ S Thành thử, giới hạn (1) được kí hiệu

Tính độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa hai đường thẳng x=a và x=b

Trang 11

Ta có thể chia nhỏ đường cong này thành vô số đoạn “gần thẳng” rồi lấy tổng của chúnglại với nhau Xét và sao cho Với đủ nhỏ, ta xem độdài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳng và là độ dài của

thẳng này thuộc tiếp tuyến tại của Như vậy độ dài của đoạn thẳng nối 2

bởi tiếp tuyến tại của và trục Ox nên Tóm lại

Lấy tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ lại với nhau, ta được công thức tính độ dài đường cong đồ

thị f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳng và là

NGUYÊN HÀM Thời lượng: 5 tiết

A Mục tiêu

1 Kiến thức:

- Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số;

- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm

2 Kĩ năng:

- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần

Trang 12

- Sử dụng được phương pháp đổ biến số(Khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổ biến số quá một lần) để tính nguyên hàm

3 Tư tưởng; thái độ: Rèn luyện việc tính toán chính xác; cẩn thận Tính chủ động sáng tạo cho

học sinh

4.Năng lực hướng tới:

Năng lực chung

B Nội dung chủ đề

Nội dung 1: Định nghĩa nguyên hàm

Nội dung 2: Tính chất của nguyên hàm

Nội dung 3: Phương pháp tính nguyên hàm: Phương pháp đổi biến số, phương pháp nguyên hàmtừng phần

Mô tả cấp độ tư duy của từng nội dung

1 Định nghĩa tích phân

Phát biểu được định

nghĩa nguyên hàm, ký

hiệu dấu nguyên hàm,

biểu thức dưới dấu

số tương đối đơn giảndựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần

Sử dụng được phương pháp đổ biến số(Khi đã chỉ rõ cáchđổi biến số và không

đổ biến số quá một lần) để tính nguyên hàm

- Sử dụng định nghĩa

để tính được nguyên hàm của một số hàm

Trang 13

3 Bài mới:

Nội dung kiến thức cần đạt Hoạt động của thầy và trò

I Nguyên hàm và các tính chất

1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho K là một khoảng hoặc đoạn

hoặc nửa khoảng Hàm số F (x) được gọi là

một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu

K x x

f

x

F'( ) ( ); 

Ví dụ

1) x là một nguyên hàm của 3 3x trên R2

2) tan là một nguyên hàm của x

x

2

cos

1 trên

Định lí 1: Nếu F (x) là một nguyên hàm của

hàm số f (x) trên K thì với mỗi C  R;

C

x

F( ) cũng là một nguyên hàm của f (x)

trên K

Định lí 2: Nếu F (x) là một nguyên hàm của

hàm số f (x) trên K mỗi nguyên hàm của

)

(x

f trên K đều có dạng F(x)C

Tóm lại: Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm

số f (x) trên K thì họ các nguyên hàm của f (x)

trên K là F(x)C;CR Và được kí hiệu là

f(x)dx Như vậy ta có:

R C C x F dx x

x

C x dx x

tancos

1)2

3)1

2

3 2

- Yêu cầu học sinh đề xuất khái niệm mới

- Nhận xét khái niệm mà học sinh đề xuất; chính xác hoá khái niệm

- Vấn đáp:

+) Ngoài hàm số x ; hãy chỉ ra một 3

nguyên hàm khác của 3x2

+) Hàm số x 3 C với C là hằng số có phải là nguyên hàm của hàm số 3x hay 2

Trang 14

- Giới thiệu các tính chất của nguyên hàm

- Yêu cầu học sinh chứng minh nhanh các tính chất của nguyên hàm

Học sinh:

- Ghi nhớ các tính chất của nguyên hàm

- Vận dụng các tính chất của đạo hàm và định nghĩa nguyên hàm để chứng minh nhanh các tính chất của nguyên hàm

3 Điều kiện tồn tại nguyên hàm:

Định lí 3: Mọi hàm số f (x) xác định trên K đều

có nguyên hàm trên K

Sử dụng phương pháp thuyết trình

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

cơ bản

Từ bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản và

khái niệm nguyên hàm ta có bảng sau:

Giáo viên:

- Gọi học sinh thay nhau trả lời

- Nhận xét; chỉnh sửa; chính xác hoá kiến

Trang 15

C x

x

dx x dx x dx x x

12

(

)

1

C x

dx xdx

dx x

B

x x

3sin33

ln

33

1

sin

3

33

1cos

3)3cos

x x

x C

dx x

B

dx x x A

1sin

6

1(

)3

)3cos3()2

)

12

()1

- Khái niệm nguyên hàm của hàm số; bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

- Các tính chất của nguyên hàm; và điều kiện tồn tại nguyên hàm

5 Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm bài tập 2 SGK và đọc trước các phương pháp tính

- Khái niệm nguyên hàm của hàm số trên K

- Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x)trên K thì họ

nguyên hàm của f (x)trên K là:

R C C x F dx x

- Sự tồn tại nguyên hàm: Nếu f (x) là hàm số liên tục

trên K thì có nguyên hàm trên K

Giáo viên: Tổ chức cho học sinh chủ

đề xuất cách giải toán

Trang 16

Bài 1 Kiểm tra xem hàm số nào là một nguyên hàm

của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:

)1ln(

(

x x

g





x e

x

f

b) ( ) sinxcos Và g(x)esinx

x x

f

c) ( )sin2 1 Và

x x x

g( ) 12 sin2

22

1)

x x

Học sinh:

- Chủ động ôn tập kiến thức cũ theo hướng dẫn của thầy cô?

- Định hướng cách giải toán

- Đề xuất cách giải của mình

- Nhận xét bài làm của học sinh

Bài 2 Chứng minh rằng mỗi hàm số F (x) và G (x)

đều là nguyên hàm của cùng một hàm số:

32

16)

x

F

32

10)

x x

F

c) ( )52sin2 Và G(x)1 cos2x

Giáo viên:

- Gọi 3 học sinh lên bảng làm bài tập

- Kiểm tra bài cũ đối với các học sinhkhác

- Đôn đốc học sinh chủ động giải

Trang 17

dx x

x

a)( 2  2 1)

dx x

sin

11(

- Gọi 4 học sinh lên bảng làm bài tập

- Kiểm tra bài cũ; vở bài tập của học sinh

- Nhận xét bài

4 Củng cố bài học:

- Khái niệm nguyên hàm của hàm số; bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

- Các tính chất của nguyên hàm; và điều kiện tồn tại nguyên hàm

5 Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm bài tập 2 SGK và đọc trước các phương pháp tính

II Các phương pháp tính nguyên hàm

1 Phương pháp đổi biến

Ví dụ: Tìm Asin(2x1)dx

Để áp dụng bảng nguyên hàm của các hàm số sơ

cấp cơ bản ta là như sau:

sin cos để suy ra

C x

dx hay du?

- Hướng dẫn chi tiết học sinh tính

Trang 18

Đặt

22

1

C x

A

C u udu

dx x

2

1

cos2

1sin

2

1)12

Giáo viên:

- Gọi học sinh đứng tại chỗ trình bầy

- Nhận xét bài làm; rút kinh nghiệm; nhận xét việc tập chung nghe giảng của học sinh

- Phát biểu và chứng minh chi tiết định lí



 f u x u x dx

A ( ( )) '( )

Học sinh:

- Làm việc theo hướng dẫn của thầy cô

- Xung phong trình bầy phương án của mình

Giáo viên:

- Gọi học sinh đứng tại chỗ trình bầy

- Nhận xét phương pháp của học sinh

- Đưa ra phương pháp dự kiến

- Lưu ý học sinh: Thông thường u ' x( )trong biểu thức Af(u(x)).u'(x)dx bị

Trang 19

ẩn đi Cần phải luyện tập cách nhìn tinh

tế để phát hiện ra nó; và dùng phép đổi biến cho có hiệu quả

x

x C

) 1 ( )

Giải:

a Đặt t x 1 dxdt Ta có

C x

C t dt t dx x

A(  1 )  11  ( 111) 

11 11

10 10

x dt x

t ln  1 Ta có

C

x C

t tdt dx x

x

Bln  2  ln2 

2 2

c Đặt t x1 xt1 dxdt Ta có:

S t t

dt t t

dx t

t dx

1 )

1 1 (

1 )

1

(

x x

1 )

1 (

- Nghiên cứu đề bài; tìm hiểu nhiệm vụ

- Tìm phương án hoàn thành nhiệm vụ

- Xung phong trình bầy bài

Giáo viên:

- Gọi 3 học sinh lên bảng làm bài

- Giúp đỡ các học sinh khác giải toán

- Gọi học sinh nhận xét bài

- Chính xác hoá lời giải; Phân tích; góp ý cho các lời giải đề xuất khác

- Đưa ra lời giải dự kiến

- Hướng dẫn học sinh làm các khác đối với nguyên hàm  dx

x

B ln như sau:Đặt xe t  dxe t dt Ta có:

C

x C

t tdt dt e e

4 Củng cố: Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm

5 Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm bài tập 3 SGK và đọc trước phương pháp nguyên hàm từng phần

D Rút kinh nghiệm

Tiết 4

C Tiến trình lên lớp

1 Ổn định lớp; kiểm tra sĩ số

Trang 20

2 Kiểm tra bài cũ: thực hiện trong quá trình lên lớp

3 Bài mới:

Bài 1 Tính các nguyên hàm sau bằng phương

pháp đổi biến theo hướng dẫn trong bài:

dx

x

a)(1 )9 (Đặt t 1 x)

xdx x

b) cos3 sin

 (Đặt t cosx)

dx x

Giáo viên: Tổ chức cho học sinh tự ôn tập

kiến thức cũ, hướng dẫn học sinh khai thác

đề bài; tìm lời giải:

- Bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp

cơ bản?

- Đã có thể áp dụng luôn bảng đó chưa? Trở ngại gì mà ta đã gặp phải?

- Phương pháp đổi biến dùng để tính nguyên hàm dạng nào: Phương pháp đổi biến tính nguyên hàm?

Học sinh:

- Chủ động ôn tập kiến thức cũ

- Nghiên cứu đề bài; chủ động giải bài tập

- Xung phong lên bảng trình bầy bài

Giáo viên:

- Kiểm tra bài cũ; vở bài tập và giúp đỡ các học sinh khác giải toán

- Rút kinh nghiệm cách giải bài tập

Bài 2 Tìm các nguyên hàm sau:

Gọi 4 học sinh lên bảng làm bài

Bài 3 Tìm các nguyên hàm sau:

Trang 21

 xdx

x

e x b

x





 2

3 1

31

.)

2

dx x

x

c)sin(1133 ) ) 2  5 6

x x

dx d

Đặt t cosx dt sinxdx Do đó:

C x xdx

C t t

dt dx

x

x xdx

lncos

sintan

x

A x

- Quan sát; động viên; giúp đỡ các học sinh khác giải toán

- Rút kinh nghiệm các giải toán

- Phân tích; góp ý cho các lời giải đề xuất

- Đưa ra lời giải dự kiến

4 Củng cố: Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm

5 Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm các bài tập trong sách bài tập

Hoạt động 1 Tiếp cận kiến thức:

Giáo viên: Yêu cầu một học sinh đứng tại

chỗ giải bài toán:

1) Tính đạo hàm của hàm số

Trang 22

Ta có:

x x

x x x x x x x

x.cos )' cos sin sin ( cos )' cos

Do đó ta có:

C x x x dx x x

x xdx

  sin [( cos )' cos ] cos sin

Hay xsinxdx xcosxsinxC

dx x x

x dx x

(cos )' .cos  cos

Hay:

dx x x

x x

 (cos ).cos  cos

Ta có thể viết kết quả này như sau:

Định lí 2: Nếu hai hàm số u(x);v(x) có đạo hàm

f( ) cos2) áp dụng các tính chất của nguyên hàm

- Chính xác hoá lời giải

- Viết lại kết quả của bài toán dưới dạng

dx x x

x dx x

(cos )' .cos  cos

- Phân tích cách viết; phát biểu định lí tổng quát

dx du xdx

x

xdx x

x vdu uv

udv xdx

cos

Giáo viên:

- Chép đề

- Chữa chi tiết ý a

- Giao nhiệm vụ cho học sinh làm ý b; c

Học sinh:

- Nghiên cứu đề bài

- Theo dõi chi tiết lời giải của thầy cô

- Chủ động tìm phương án hoàn thành nhiệm vụ mà thầy cô đã giao cho

Trang 23

dx x

du dx

x

dx x x vdu uv

- Xung phong trình bầy bài

Giáo viên:

- Gọi học sinh lên bảng làm bài

- Quan sát; động viên; giúp đỡ các học sinh khác làm bài tập

- Chính xác hoá lời giải

Cách đặt dv u; trong một số dạng nguyên hàm

thường gặp

Củng cố: Gọi P (x) là đa thức của x Từ

ví dụ trên hãy hoàn thành bảng sau:

4 Củng cố bài học:

- Phương pháp tính nguyên hàm từng phần; Cách đặt dv u; trong các trường hợp thường gặp

5 Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm bài tập 4 SGK

D Rút kinh nghiệm

Trang 24

TÍCH PHÂN Thời lượng: 5 tiết

A Mục tiêu

1 Kiến thức

- Biết khái niệm về diện tích hình thang cong Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằngcông thức Newton- Leibnitz

- Biết các tính chất của tích phân

- Biết được các phương pháp tính tích phân (Phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tíchphân từng phần)

2.Kĩ năng:Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa, dựa vào

tính chất, bằng phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần

3.Thái độ: Chủ động, tích cực, tự giác trong học tập.

4.Năng lực hướng tới:

Năng lực chung

B Nội dung chủ đề

Nội dung 1: Định nghĩa tích phân:

Nội dung 2: Tính chất của tích phân

Nội dung 3: Phương pháp tính tích phân: Phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từngphần

Nội dung 4 Ứng dụng của tích phân trong hình học

Mô tả cấp độ tư duy của từng nội dung

1 Định nghĩa tích phân

Định dạng
Số trang	49
Dung lượng	1,35 MB
File đính kèm	GIAO AN PP MOI NGUYEN HAM TICH PHAN VA UNG DUNG.rar (534 KB)