Xấp xỉ trực giao trong không gian định chuẩn và các ứng dụng_2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGÔ THỊ LÝ XẤP XỈ TRỰC GIAO TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ CÁC ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ LÝ

XẤP XỈ TRỰC GIAO TRONG KHÔNG GIAN

ĐỊNH CHUẨN VÀ CÁC ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

HÀ NỘI, 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ LÝ

XẤP XỈ TRỰC GIAO TRONG KHÔNG GIAN

ĐỊNH CHUẨN VÀ CÁC ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HỮU THỌ

HÀ NỘI, 2018

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Hữu Thọ Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy, người đã địnhhướng chọn đề tài, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhlàm và hoàn thiện luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùngcác bạn học viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trongquá trình học tập và hoàn thiện luận văn này!

Hà Nội, tháng 6 năm 2018Tác giả luận vănNGÔ THỊ LÝ

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Hữu Thọ, luậnvăn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài " Xấp xỉ trực giaotrong không gian định chuẩn và các ứng dụng" do tôi tự thực hiện Cáckết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2018Tác giả luận văn

NGÔ THỊ LÝ

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Không gian Euclid 7

1.2 Không gian định chuẩn 8

1.3 Không gian Hilbert 10

1.4 Tích vô hướng và tính trực giao 10

2 Xấp xỉ trực giao Birkhoff 12 2.1 Trực giao Birkhoff 12

2.1.1 Khái niệm 12

2.1.2 Ví dụ 13

2.2 Xấp xỉ trực giao Birkhoff 14

2.2.1 Khái niệm 14

2.2.2 Một số đặc trưng của xấp xỉ trực giao Birkhoff 16 3 Ứng dụng 22 3.1 Đặc trưng của xấp xỉ trực giao trong L(H) 22

3.2 Đặc trưng của xấp xỉ trực giao trong Co(K) 27 3.3 Đặc trưng của xấp xỉ trực giao trong không gian thương 29

Kết luận 32Tài liệu tham khảo 33

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Xấp xỉ trực giao là lí thuyết quan trọng xuất phát từ quan hệ trựcgiao trong Toán học, nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhaucủa Toán học như Đại số, Giải tích Nhiều tác giả đã quan tâm nghiêncứu quan hệ này theo những khía cạnh khác nhau Như ta đã biết, tínhtrực giao được giảng dạy trong chương trình phổ thông được xây dựngthông qua một tích vô hướng, tuy nhiên trong không gian định chuẩnthì tính trực giao cần được hiểu theo khía cạnh khác tổng quát hơn Đã

có nhiều đặc tính của quan hệ xấp xỉ trực giao được thiết lập, đặc biệttrong Giải tích hiện đại Sau khi được học những kiến thức về Toán giảitích, với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết xấp xỉ trực giao trongkhông gian định chuẩn cũng như các ứng dụng của nó, được sự hướngdẫn của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi chọn đề tài cho luận văn của mìnhvề:

Xấp xỉ trực giao trong không gianđịnh chuẩn và các ứng dụng

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tổng quan về xấp xỉ trực giao trong không gian địnhchuẩn và ứng dụng của nó (trong luận văn này chủ yếu xét tới xấp xỉtrực giao Birkhoff)

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày về xấp xỉ trực giao trong không gian định chuẩn, mô tả một

số ứng dụng của xấp xỉ trực giao trong một số không gian định chuẩn

cụ thể

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Không gian tuyến tính định chuẩn

- Không gian tích vô hướng

- Không gian Hilbert

- Xấp xỉ trực giao Birkhoff

- Một số ứng dụng của xấp xỉ trực giao Birkhoff trong một số khônggian định chuẩn

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp

để nhận được một nghiên cứu về xấp xỉ trực giao trong không gian địnhchuẩn và ứng dụng của nó

6 Đóng góp của đề tài

Trình bày một cách có hệ thống về xấp xỉ trực giao trong không gianđịnh chuẩn liên quan tới tính trực giao Birkhoff và ứng dụng của nó

Định nghĩa 1.1.1 Cho V là một không gian véc tơ trên trường R Mộttích vô hướng trên V là một ánh xạ được xác định như sau: h, i : V ×V →

R, (x, y) → hx, yi thỏa mãn các điều kiện sau:

i hx, xi ≥ 0, với mọi x ∈ V ; hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0

ii hkx, yi = k hx, yi với mọi x, y ∈ V, ∀k ∈ R

Kí hiệu: E = (V, h, i) với tích vô hướng trên nó là h, i.

Ví dụ 1.1.3 Cho V = Rn, (Rn = {x = (x1, x2, , xn) |xi ∈ R}) Với x =(x1, x2, , xn) , y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn ta định nghĩa hx, yi =

n

P

i=1

xiyi.Đây là một tích vô hướng trên Rn và E = (Rn, h, i) là một không gianvéc tơ Euclid

Định lí 1.1.4 Cho E là không gian Euclid Khi đó với ∀x, y ∈ E ta luôncó

|hx, yi| ≤ kxk kyk Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính

Định lí 1.1.5 Giả sử E là không gian véc tơ Euclid Khi đó:

∀x, y ∈ E : kxk − kyk ≤ kx − yk ≤ kxk + kyk

(Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét không gian định chuẩn thực)

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian véc tơ trên trường số R và ánh

xạ k.k : X → R Ta nói k.k là chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn 4 tínhchất sau:

1 kxk ≥ 0, với mọi x ∈ X

2 kxk = 0 ⇔ x = 0

3 kkxk = |k| kxk , với mọi x ∈ X, k ∈ R

4 kx + yk ≤ kxk + kyk , với mọi x, y ∈ X

Nếu k.k là chuẩn trên X, ta nói (X, k.k) là không gian véc tơ định chuẩn(còn đọc tắt là không gian định chuẩn)

Nếu h., i là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ x → phx, xi là mộtchuẩn trên X, gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.

Ví dụ 1.2.2 Không gian R2 với các metric:

d1(x, y) = |x1 − y1| + |x2 − y2|

d2(x, y) =

h(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2

i12

kx − yk∞ = max {|x1 − y1| , |x2 − y2|} Mệnh đề 1.2.3 Cho không gian định chuẩn (X, k.k) trên trường số R

và các dãy {xn} , {yn} ⊂ X, {λn} ⊂ R sao cho lim

Mệnh đề 1.2.5 1 Trên một không gian hữu hạn chiều, hai chuẩn bất

kì luôn tương đương nhau

2 Trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều, một tập là compact khi

và chỉ khi đóng và bị chặn

3 Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều luôn là không gian đầy

đủ Do đó, một không gian véc tơ con hữu hạn chiều của một khônggian định chuẩn là tập đóng trong không gian đó

Định lí 1.2.6 Nếu hình cầu đơn vị đóng

¯

B (0, 1) := {x ∈ X : kxk ≤ 1}

của một không gian định chuẩn X là tập compact thì X là không gianhữu hạn chiều

Một không gian tuyến tính thực X được trang bị một tích vô hướngđược gọi là không gian tiền Hilbert

Một không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là một không gian Hilbert

1.4 Tích vô hướng và tính trực giao

Trong không gian Hilbert, thông qua tích vô hướng ta có thể định nghĩakhái niệm trực giao giống như trong không gian Rn thông thường

Ta nói hai véctơ x, y của một không gian Hilbert X trực giao vớinhau, và kí hiệu x ⊥ y, nếu hx, yi = 0

Từ định nghĩa ta có thể suy ra ngay các tính chất đơn giản sau:

1 Nếu x ⊥ y thì y ⊥ x Ta có x ⊥ x khi và chỉ khi x = 0 Véctơ 0trực giao với mọi véctơ x

2 Nếu x ⊥ y1, y2, , yn thì x ⊥ (α1y1 + α2y2 + + αnyn)

3 Nếu x ⊥ yn và yn −→ y (khi n 7−→ ∞) thì x ⊥ y

4 Nếu tập M trù mật trong X thì MT gồm một phần tử duy nhất là

0, nghĩa là: x ⊥ M =⇒ x = 0

5 Nếu x ⊥ y thì kx + yk2 = kxk2 + kyk2 (Định lý Pythagore)

6 Nếu {xn} là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ xn trực giao vớinhau từng đôi một) thì chuỗi P∞

i=1xn hội tụ khi và chỉ khi chuỗi số

P∞ i=1kxk2 < ∞

BX và SX theo thứ tự là hình cầu đơn vị đóng và mặt cầu đơn vị trong

X, còn ExtA là tập hợp các điểm cực trị của A

2.1 Trực giao Birkhoff

2.1.1 Khái niệm

Định nghĩa 2.1.1 Cho (X, k · k) là không gian định chuẩn, x, y là haiphần tử trong X, ta nói x trực giao Birkhoff với y, kí hiệu là x⊥By nếu

kx + λyk ≥ kxk với mọi λ ∈ R

Có nhiều đặc trưng của mối quan hệ này hướng tới các tính chất hìnhhọc khác nhau liên quan tới tính trực giao Với x ∈ X, tập J (x) (khác

x⊥By khi và chỉ khi ∃ϕ, ψ ∈ Ext(BX∗) ∩ J (x) và ∃α ∈ [0, 1] sao cho

αϕ(y) + (1 − α)ψ(y) = 0

(2.2)2.1.2 Ví dụ

Cho (X, h·, ·i) là không gian tích vô hướng thực, khi đó với hai phần tử

x, y ∈ X ta nói x⊥y nếu hx, yi = 0, và khi đó tính trực giao này tươngđương với tính trực giao Birkhoff

Thật vậy, nếu hx, yi 6= 0, khi đó với

do đó, x không trực giao Birkhoff với y.

Mặt khác, nếu hx, yi = 0, thì với mọi λ ∈ R ta có:

kx + λyk2 = hx + λy, x + λyi

z = y với x = 0 Ngược lại, giả sử x⊥z và kz − yk 6 εkyk, ta nhận được

|hx, yi| = |hx, y − zi| 6 kxkky − zk 6 εkxkkyk, và tức là x⊥εy

Định nghĩa 2.2.1 Cho X là không gian định chuẩn, x, y ∈ X Với

ε ∈ [0, 1), ta nói x xấp xỉ trực giao Birkhoff với y (hay là x là ε - trựcgiao Birkhoff với y), ký hiệu x⊥εBy, nếu

kx + λyk2 ≥ kxk2 − 2εkxkkλyk với mọi λ ∈ R

Dễ thấy rằng, với ε = 0, khi đó ⊥εB = ⊥B Đặc biệt, trong các khônggian tích vô hướng ta có kết quả sau

Định lí 2.2.2 Nếu X là không gian tích vô hướng, khi đó với ε ∈ [0, 1)

1 [λx + µy|z] = λ[x|z] + µ[y|z], với x, y, z ∈ X, λ, µ ∈ R;

2 [x|λy] = λ[x|y], với x, y ∈ X, λ ∈ R;

3 |[x|y]| ≤ kxkkyk, với x, y ∈ X;

4 [x|x] = kxk2 , x ∈ X

Ánh xạ [·|·] thỏa mãn 4 tính chất như trên được gọi là một nửa tích vôhướng trong không gian định chuẩn X

Nói chung, trừ khi chuẩn là trơn, khi đó có thể có nhiều nửa tích

vô hướng khác nhau được thiết lập từ một chuẩn đã cho trong X Nếuchuẩn trong X được xây dựng từ một tích vô hướng thì tích vô hướng

đó chính là nửa tích vô hướng duy nhất Với một nửa tích vô hướng [·|·]

cố định và x, y ∈ X, ta định nghĩa tính bán trực giao như sau:

⊥εs ⊂ ⊥εB, ⊥ερ

+ ⊂ ⊥εB và ⊥ερ

− ⊂ ⊥εB.Hơn nữa, trong một không gian trơn, tất cả các quan hệ này trùng nhau(xem [11]), nghĩa là: ⊥εs = ⊥ερ+ = ⊥ερ− = ⊥εB

Ký hiệu SIPX là tập tất cả các nửa tích vô hướng trong X Đối vớikhông gian định chuẩn thực X ta có

ρ0+(x, y) = sup{[y|x] : [·|·] ∈ SIPX}, (2.3)và

ρ0−(x, y) = inf{[y|x] : [·|·] ∈ SIPX} (2.4)

Ta cũng sẽ sử dụng đặc trưng dưới đây của ε - trực giao Birkhoff

x⊥εBy ⇔ ρ0−(x, y) − εkxkkyk ≤ 0 ≤ ρ0+(x, y) + εkxkkyk (2.5)2.2.2 Một số đặc trưng của xấp xỉ trực giao Birkhoff

Trước hết chúng ta xét một kết quả phụ trợ sau

Mệnh đề 2.2.3 Cho X là một không gian định chuẩn thực và x, y ∈ X

cố định thỏa mãn x⊥εBy (với ε ∈ [0, 1)) Khi đó với mỗi n ∈ N tồn tạimột nửa tích vô hướng [·|·]n trong X thỏa mãn:

|[y|x]n| ≤ ε + 1

n

kxkkyk (2.6)

Chứng minh: Áp dụng (2.5) và (2.3) - (2.4), với mỗi số nguyên n mà1

n ∈ (1, 1 − ε) ta có thể chọn các nửa tích vô hướng [·|·]0

n và [·|·]00n sao cho:[y|x]0n <



ε + 1n

kxkkyk và −ε + 1

n

kxkkyk < [y|x]00n (2.7)

Do đó, với λn ∈ [0, 1] ta có:

−ε + 1

n

kxkkyk ≤ λn[y|x]0n + (1 − λn)[y|x]00n ≤ε + 1

n

kxkkyk

(Ở đây chúng ta đã sử dụng một lập luận đơn giản là nếu a < δ và

−δ < b với a, b ∈ R và δ > 0, thì −δ ≤ λa + (1 − λ)b ≤ δ với λ ∈ [0, 1].)Bây giờ, ta xét một nửa tích vô hướng [·|·]n := λn[·|·]0n+ (1 − λn)[·|·]00n và

từ các bất đẳng thức trên suy ra:

−(ε + 1

n)kxkkyk ≤ [y|x]n ≤ (−ε + 1

n)kxkkyk. Sau đây là một trong những kết quả quan trọng

Định lí 2.2.4 Cho X là một không gian định chuẩn thực Với x, y ∈ X

và ε ∈ [0, 1), khi đó

x⊥εBy ⇔ ∃z ∈ Lin{x, y} : x⊥Bz, kz − yk ≤ εkyk (2.8)Khẳng định theo chiều ” ⇐ ” cũng đúng trong không gian định chuẩnphức

Chứng minh Trước hết, giả sử rằng x⊥εBy Ta giả thiết x 6= 0(trường hợp còn lại cho kết quả tầm thường) Theo Mệnh đề 2.2.3, với ntùy ý ∈ N, luôn tồn tại một nửa tích vô hướng [·|·]n trong X thỏa mãn(2.6) Ký hiệu ⊥s,n là quan hệ trực giao liên quan tới nửa tích vô hướngnày Ta định nghĩa

zn := −[y|x]n

kxk2 x + y ∈ Lin{x, y}

và dễ thấy rằng x⊥s,nzn Vì ⊥s,n ⊂ ⊥B nên x⊥Bzn Áp dụng (2.6) tađánh giá kz − yk và nhận được :

kzn − yk ≤ ε + 1

n

kyk (2.9)Chú ý rằng kznk ≤ 2kyk, nghĩa là các phần tử của dãy (zn)n=1,2, nằmtrong một hình tròn đóng trong không gian hai chiều Lin{x, y} Vì vậy,tồn tại z ∈ Lin{x, y} và một dãy con (znk) hội tụ đến z Cuối cùng, (2.9)

và tính liên tục của chuẩn sẽ suy ra

x⊥Bz và kz − yk ≤ εy

Theo (2.1), luôn tồn tại ϕ ∈ J (x) thỏa mãn ϕ(z) = 0 Do đó,

|ϕ(y)| = |ϕ(z) − ϕ(y)| ≤ kz − yk ≤ εkyk,như điều ta mong muốn

Trái lại, giả sử

ϕ ∈ J (x) và |ϕ(y)| ≤ εkyk

Cố định λ tùy ý ∈ R Khi đó ta có |ϕ(λy)| ≤ εkλyk và suy ra

kx + λyk2 ≥ |ϕ(x + λy)|2 ≥ ||ϕ(x)| − |ϕ(λy)||2

= |ϕ(x)|2 − 2|ϕ(x)||ϕ(λy)| + |ϕ(λy)|2

≥ kx||2 − 2εkxkkλyk,nghĩa là: x⊥εBy 

Định lí 2.2.6 Cho X là không gian định chuẩn thực, với x, y ∈ X và

ε ∈ [0, 1), khi đó:

x⊥εBy ⇔ ∃ϕ, ψ ∈ Ext(BX∗)∩J (x), ∃α ∈ [0, 1] : |αϕ(y)+(1−α)ψ(y)| ≤ εkyk

(2.11)Kết quả theo chiều ” ⇐ ” cũng đúng trong không gian định chuẩn phức.Chứng minh: Giả sử x⊥εBy Theo (2.8), sẽ tồn tại z ∈ X thỏa mãn

Đối với chiều ngược lại, ta cố định λ tùy ý ∈ R Hàm αϕ + (1 − α)ψcũng thuộc J (x) Khi đó

|(αϕ + (1 − α)ψ)(λy)| ≤ εkλyk,và

kx + λyk2 ≥ |(αϕ + (1 − α)ψ)(x + λy)|2

≥ ||(αϕ + (1 − α)ψ)(x)| − |(αϕ + (1 − α)ψ)(λy)||2

≥ kx||2 − 2εkxkkλyk,nghĩa là: x⊥εB 

Chú ý 2.2.7 Vì quan hệ (xấp xỉ) trực giao trong một không gian vôhướng đối xứng nên ta có thể đổi vai trò của x và y và nhận được mộtđặc trưng tương đương như sau:

x⊥εy ⇔ ∃z ∈ X : z⊥y, kz − xk ≤ εkxk (2.12)Một câu hỏi đặt ra là: Liệu đặc trưng này có còn đúng trong không gianđịnh chuẩn với tính trực giao Birkhoff nữa không Câu trả lời là không

và thực sự không có bất kì phép kéo theo nào trong (2.12) còn đúngtrong không gian định chuẩn nói chung

Ví dụ 2.2.8 Xét không gian R2 với chuẩn max

k(x1, x2)k∞ := max{|x1|, |x2|}

Xét x = (1, 1), y = (ε, 1) với ε ∈ (0, 1) Vì ρ0+(x, y) = 1 và ρ0−(x, y) = εnên từ điều kiện (2.5) ta có x⊥εBy Lấy z thỏa mãn z⊥By Nếu kzk∞ = 1thì z = (1, −1) hoặc z = (−1, 1) Do đó

z⊥By ⇔ z = α(−1, 1)

Vì vậy, với mỗi z thỏa mãn z⊥By, ta có bất đẳng thức sau đây

kz − xk∞ = max{|1 + α|, |1 − α|} ≥ 1 > εkxk∞.Bây giờ, lấy x = (1, 1 − ε), y = (1, 0), z = (1 − ε, 1) với ε ∈ (0, 1) Khi đó

ta có

z⊥By và kz − xk∞ ≤ εkxk∞.Mặt khác, ρ0−(x, y) = 1 nên

ρ0−(x, y) − εkxk∞kyk∞ > 0,

vì vậy chưa thể khẳng định được x⊥εBy

3.1 Đặc trưng của xấp xỉ trực giao trong L(H)

Cho L(H) là không gian gồm tất cả các toán tử tuyến tính và bị chặntrên không gian Hilbert H Đặt K(H) là một không gian con của L(H)bao gồm tất cả các toán tử compact Với mỗi T ∈ L(H), ta kí hiệu

MT := {x ∈ SH : kT xk = kT k}

là tập hợp tất cả các điểm trên hình cầu đơn vị mà ở đó T đạt chuẩncủa nó Nói chung, MT có thể rỗng, tuy nhiên, tính compact của T suy

ra rằng MT 6= ∅ và đây là trường hợp đặc biệt nếu dim H < ∞

Định lí 3.1.1 Cho không gian Hilbert H và T, S ∈ L(H) Khi đó cácđiều kiện dưới đây là tương đương:

(i) T ⊥BS(ii) ∃(xn)∞n=1 ⊂ SH:

và chỉ khi X là không gian Hilbert Đã có nhiều sự mở rộng Định lý3.1.1, tuy nhiên, tất cả các mở rộng đó đều nói về tính trực giao của cáctoán tử Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một số kết quả bằng cáchxét đặc trưng của xấp xỉ trực giao trong L(H) Hơn nữa, trong các kếtquả chúng được đưa ra, chúng ta sẽ thay thế giả thiết tính vô hạn chiềucủa H bởi tính compact của toán tử đầu tiên

Định lí 3.1.2 Cho H là không gian Hilbert, xét T, S ∈ L(H) và ε ∈[0, 1) Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

(4) ∃xo ∈ MT : T xo⊥εSxo.Chứng minh: (1) ⇒ (2): Giả sử T ⊥εBS Theo (2.8), với U ∈ L(H) tacó

n → ∞, ta nhận được bất đẳng thức mong muốn

(2) ⇒ (1) Giả sử ta có (2) Với vô hướng tùy ý λ và với mỗi n ∈ N

Cuối cùng nếu MT ⊂ MS, khi đó với xo ∈ MT ta có

kT (xo)k = kT k và kS(xo)k = kSk