Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải một số lớp phương trình đạo hàm riêng_2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2——————–o0o——————– TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC S

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————–o0o——————–

TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————–o0o——————–

TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8 46 01 02LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội - 2018

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh Trong quá trìnhnghiên cứu và thực hiện luận văn thầy đã tận tình chỉ bảo tác giả hoànthiện rất nhiều về mặt kiến thức cũng như phương pháp nghiên cứu khoahọc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, sự kính trọng sâu sắc nhất đối vớithầy

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đạihọc, các thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tácgiả trong quá trình học tập tại trường

Nhân dịp này tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè

đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoànthành khóa học Thạc sĩ và luận văn tốt nghiệp

Xin trân trọng cảm ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giả

Trần Đặng Quỳnh Anh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS TS.Khuất Văn Ninh, luận văn chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Ứngdụng phương pháp nhiễu đồng luân giải một số lớp phươngtrình đạo hàm riêng” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểucủa bản thân tác giả

Trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kếthừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giả

Trần Đặng Quỳnh Anh

Mục lục

Mở đầu 1

Nội dung chính 3

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Một số khái niệm phương trình đạo hàm riêng 4

1.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp m 5

1.2.1 Phương trình đạo hàm riêng cấp hai 5

1.2.2 Một số phương trình thường gặp 6

1.2.3 Các phương trình vật lý toán cơ bản 6

1.2.4 Các loại bài toán biên đối với phương trình Laplace - Poisson 7

1.2.5 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm 8 1.3 Khái niệm cơ bản về phương pháp nhiễu đồng luân 10

1.3.1 Định nghĩa đồng luân 10

1.3.2 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình toán tử 11

2.1 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trìnhkiểu Parabolic 142.1.1 Phương pháp giải 152.1.2 Một số ví dụ 162.2 Ứng dụng phương pháp đồng luân giải phương trình kiểu

Hyperbolic 232.2.1 Phương pháp giải 232.2.2 Một số ví dụ 25

Danh sách bảng

2.1 So sánh nghiệm tìm được theo HPM và nghiệm tìm đượctheo phương pháp khác Trong ví dụ trên nghiệm tìm đượctheo HPM cũng là nghiệm chính xác 322.2 So sánh nghiệm tìm được theo HPM và nghiệm tìm được

theo phương pháp khác Trong ví dụ trên nghiệm tìm đượctheo HPM cũng là nghiệm chính xác 342.3 So sánh nghiệm tìm được theo HPM và nghiệm tìm được

theo phương pháp khác Trong ví dụ trên nghiệm tìm đượctheo HPM cũng là nghiệm chính xác 36

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương pháp nhiễu đồng luân (Homotopy pertubation method) viếttắt là HPM là phương pháp được phát triển mạnh vào những năm cuốithế kỉ 20 Đó là một trong những phương pháp mạnh để giải xấp xỉphương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàmriêng, tuyến tính và phi tuyến Phương pháp nhiễu đồng luân là sự kếthợp của phương pháp nhiễu truyền thống và kĩ thuật đồng luân trongtô-pô Theo phương pháp nhiễu đồng luân, giải một phương trình phituyến ban đầu được đưa về giải một dãy các phương trình tuyến tính.Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp nhiễu đồng luân

và các ứng dụng của phương pháp này, dưới sự hướng dẫn của PGS TSKhuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề tài: “Ứng dụng phương pháp nhiễuđồng luân giải một số lớp phương trình đạo hàm riêng” để thựchiện luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vàogiải phương trình đạo hàm riêng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vàogiải phương trình đạo hàm riêng và giải một số ví dụ cụ thể

4 Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu

Phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vào giải phương trình đạohàm riêng

5 Phương pháp nghiên cứu

• Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích

6 Dự kiến đóng góp mới của đề tài

Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan về phương phápnhiễu đồng luân và ứng dụng vào giải phương trình đạo hàm riêng

Nội dung chính

Luận văn gồm hai chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị1.1 Một số khái niệm phương trình đạo hàm riêng1.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp m

1.3 Khái niệm cơ bản về phương pháp nhiễu đồng luân

• Chương 2: Phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng vào giảimột số bài toán biên

2.1 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình kiểuParabolic

2.2 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình kiểuHyperbolic

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này tác giả trình bày một số khái niệm cơ bản về chuỗilũy thừa, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và phươngtrình đạo hàm riêng cấp m Nội dung của chương này được tham khảotrong các tài liệu [1] - [4]

1.1 Một số khái niệm phương trình đạo hàm riêng

Định nghĩa 1.1.1 Phương trình liên hệ giữa các ẩn hàm u1, u2, , un,các biến số độc lập x1, x2, , xn và các đạo hàm riêng của các ẩn hàmđược gọi là phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng códạng:

Trong đó F là một hàm số của nhiều biến số

Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm cómặt trong phương trình

Ví dụ 1.1.1 ut + cux = 0 là phương trình đạo hàm riêng cấp một

Ví dụ 1.1.2 ∂

2u

∂x∂y = 3x − y là phương trình đạo hàm riêng cấp hai.

Một số phương trình đạo hàm riêng quan trọng

a) Phương trình Laplace: ∆u = 0

b) Phương trình Poisson: ∆u = f

c) Phương trình truyền sóng: utt = ∆u

d) Phương trình truyền nhiệt: ut = ∆u

1.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp m

u1, u2, , un là các hàm phải tìm

Nếu phương trình (1.1) chứa ít nhất một đạo hàm cấp m và khôngchứa đạo hàm cấp thấp hơn m thì phương trình (1.1) được gọi là phươngtrình đạo hàm riêng cấp m

1.2.1 Phương trình đạo hàm riêng cấp hai

Định nghĩa 1.2.2 Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêngtuyến tính cấp hai đối với hàm hai biến u (x, y) là:

• Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng cấp hai lànghiệm có chứa số hàm tùy ý độc lập bằng hai và chính là số cấpcủa phương trình

• Nghiệm riêng là một nghiệm có thể nhận được từ một nghiệm tổngquát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý.

• Nghiệm đặc biệt là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổngquát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý

• Điều kiện biên: hệ thức liên hệ giữa các giá trị của tham biến đãbiết và các đạo hàm của chúng trên biên của miền được gọi là cácđiều kiện biên

• Bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

là bài toán tìm kiếm các nghiệm của phương trình đạo hàm riêngtuyến tính cấp hai trong miền xác định nào đấy thỏa mãn điều kiệnbiên

1.2.3 Các phương trình vật lý toán cơ bản

Phương trình đạo hàm riêng gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đốivới hàm chưa biết và các đạo hàm riêng của nó

Nếu g (x, y) ≡ 0, phương trình (1.2) gọi là thuần nhất, trong trườnghợp còn lại gọi là không thuần nhất

Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là mọi hàm mà khi nó thayvào phương trình ta được đồng nhất

Người ta thường gọi các phương trình sau đây là phương trình vật lý

1 Bài toán biên thứ nhất (Dirichlet): là bài toán tìm nghiệm u ∈

C2(Ω) ∩ C1 Ω
của phương trình Laplace – Poisson trong Ω thỏamãn điều kiện biên u |∂Ω = ψ,

ở đó ψ là hàm liên tục đã cho trên ∂Ω

2 Bài toán biên thứ hai (Neumann): là bài toán tìm nghiệm u ∈

C2(Ω) ∩ C1 Ω
của phương trình Laplace – Poisson trong Ω thỏamãn điều kiện biên ∂u

∂v

∂Ω

= ψ,

ở đó ψ là hàm liên tục đã cho trên ∂Ω

3 Bài toán biên thứ ba (hỗn hợp): là bài toán tìm nghiệm u ∈ C2(Ω)∩

C1 Ω
của phương trình Laplace – Poisson trong Ω thỏa mãn điềukiện biên

∂u

∂v + au



∂Ω

= ψ,

ở đó ψ là hàm liên tục đã cho trên ∂Ω

Sau đây, ta sẽ chỉ ra một số điều kiện đảm bảo cho tính đặt chỉnh theonghĩa Hadamard của ba bài toán này

1.2.5 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệmĐịnh lý 1.2.1 Giả sử u ∈ C2(Ω) ∩ C Ω
là nghiệm của bài toán biênthứ nhất với phương trình Poisson trong Ω.

Do đó, bài toán biên thứ nhất (1.3) không có quá một nghiệm trong

C Ω
và nghiệm phụ thuộc liên tục vào vế phải f và dữ kiện ψ

Định lý 1.2.2 Giả sử u ∈ C2(Ω) ∩ C Ω
là nghiệm của bài toán biênthứ nhất với phương trình Laplace trong Ω

Do đó, bài toán biên thứ hai (1.5) không có quá một nghiệm trong

C Ω
và nghiệm phụ thuộc liên tục dữ kiện biên ψ

Định lý 1.2.3 Giả sử ∂Ω trơn và tồn tại hằng số a0 > 0 sao cho

a (x) > a0 trên ∂Ω, u ∈ C2(Ω) ∩ C1 Ω
là nghiệm của bài toán biên thứ

ba đối với phương trình Laplace:

Do đó, bài toán biên thứ hai (1.7) không có quá một nghiệm trong

C Ω
và nghiệm phụ thuộc liên tục dữ kiện biên ψ

Định nghĩa 1.2.4 Dãy tổng riêng

Đặt S (n) = u1(x) + u2(x) + + un(x) được gọi là tổng riêng thứ ncủa chuỗi số

Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa có dạng (−R, R), trong đó R là bánkính hội tụ của chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.2.6 Chuỗi Taylor

Cho tập mở U ⊂ R Giả sử hàm f : U → R khả vi mọi cấp trong mộtlân cận nào đó của x0 ∈ U chuỗi lũy thừa có dạng

∞

X

n=0

f(n)(x0)n! (x − x0)

n

=f (x0)+f

0

(x0)1! (x−x0)+ .+

f(n)(x0)n! (x − x0)

n

+ .được gọi là chuỗi Taylor của hàm f

Nếu chuỗi Taylor của hàm f có tổng bằng f (x) trong khoảng hội tụ(−R, R) thì ta nói hàm f phân tích được thành chuỗi Taylor trên khoảng

(−R, R) Khi đó ta có

f (x) = f (x0)+f

0

(x0)1! (x−x0)+ .+

f(n)(x0)n! (x − x0)

n+ , x ∈ (−R, R)Nếu x0 = 0 thì chuỗi

f (x) = f (0) + f

0

(0)1! x + +

f(n)(0)n! x

n

+ được gọi là chuỗi Mac – Laurin của hàm f (x)

Khai triển Mac – Laurin một số hàm sơ cấp cơ bản

1) ex = 1 + x + x

2

2! +

x33! +

x44! + =

∞

X

n=0

xnn!;2) e−x = 1 − x + x

2

2! +

x44! + =

∞

X

n=0

(−1)n2n! x

2n;4) sin x =x − x

3

3! +

x55! + =

∞

X

n=0

(−1)n(2n + 1)!x

H (x, 0) = f (x) , H (x, 1) = g (x) , ∀x ∈ X

1.3.2 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình toán tửPhương pháp nhiễu đồng luân là một trong những phương pháp quantrọng để tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán phi tuyến của phương trình viphân.

Để minh họa, ta xét phương trình vi phân:

A (u) − f (r) = 0; r ∈ Ω, (1.10)với điều kiện biên có dạng:

ở đó A là một toán tử vi phân tổng quát, B là một toán tử biên; f (r)

là một hàm đã biết và Γ là biên của miền xác định Ω Nói chung, toán

tử A có thể được chia làm hai phần L và N ; ở đó L là tuyến tính và N

là phi tuyến Phương trình (1.10) do đó được viết lại như sau:

L (u) + N (u) − f (r) = 0 (1.12)Bằng phương pháp đồng luân, ta dựng một đồng luân:

H (v, p) : Ω × [0; 1] → Rthỏa mãn:

H (v, p) = (1 − p) [L (v) − L (u0)] + p [A (v) − f (r)] = 0, (1.13)

H (v, p) = L (v) − L (u0) + pL (u0) + p [N (v) − f (r)] = 0, (1.14)trong đó:

v (r, p) : Ω × [0; 1] → R,

ở đó p ∈ [0; 1] là một tham số nhúng; u0 là một xấp xỉ ban đầu củaphương trình (1.10) thỏa mãn điều kiện biên (1.11) Rõ ràng từ phươngtrình (1.13), (1.14) ta có:

H (v, 0) = L (v) − L (u0) = 0, (1.15)

H (v, 1) = A (v) − f (r) = 0 (1.16)Theo phương pháp nhiễu đồng luân, đầu tiên ta sử dụng tham số nhúng

p như một tham số nhỏ, và giả định rằng nghiệm của các phương trình(1.13) và (1.14) có thể được viết như là một chuỗi lũy thừa của p nhưsau:

v = v0 + pv1 + p2v2 + (1.17)Khi p = 1 ta có v là nghiệm gần đúng của phương trình (1.12)

Để minh họa cho thuật toán của phương pháp nhiễu đồng luân, xétphương trình đạo hàm riêng phi tuyến với đạo hàm của một bậc bất kỳ:

Dtnu (x, t) = L (u, ux, uxx) + N (u, ux, uxx) + f (x, t) , t > 0, (1.18)trong đó L là toán tử tuyến tính, N là toán tử phi tuyến và f là mộthàm đã biết thỏa mãn điều kiện ban đầu:

∂m

∂tmu (x, 0) = hm(x) , m = 0; 1; 2; ; n − 1 (1.19)Trong kỹ thuật đồng luân này, ta xây dựng một đồng luân như sau:

ở đó p ∈ [0; 1] Tham số đồng luân p luôn biến đổi từ 0 tới 1 Khi p = 0phương trình (1.20) trở thành phương trình tuyến tính

u = u0 + pu1 + p2u2 + (1.24)Cuối cùng, ta tìm nghiệm gần đúng u(x, t) bởi:

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN ỨNG DỤNG VÀO GIẢI

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN

Trong chương này tác giả trình bày ứng dụng của phương pháp nhiễuđồng luân để giải xấp xỉ một số lớp phương trình đạo hàm riêng kiểuParabolic và kiểu Hyperbolic Và trình bày một số ví dụ minh họa Nộidung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [5] - [10]

2.1 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải

phương trình kiểu Parabolic

Xét phương trình kiểu Parabolic (Parabolic –like equation) trongkhông gian ba chiều cho ở dạng:

ut + f1(x, y, z) uxx+ f2(x, y, z) uyy + f3(x, y, z) uzz = 0, (2.1)với điều kiện ban đầu:

u (x, y, z, 0) = f4(x, y, z) (2.2)

Giả sử rằng nghiệm của phương trình (2.3) cho ở dạng:

u = u0 + pu1 + p2u2 + (2.4)Thay (2.4) vào (2.3) rồi so sánh các hệ số đồng bậc của p, ta có:

hội tụ tới nghiệm chính xác nếu tồn tại nghiệm.

Nghiệm xấp xỉ của phương trình có dạng:

u ≈ (u0 + u1 + u2 + + un) 2.1.2 Một số ví dụ

Ví dụ 2.1.1 Xét phương trình Parabolic (Parabolic – like equation)một chiều với hệ số hàm số cho ở dạng:

ut(x, t) − x

2

2 uxx(x, t) = 0, (2.6)với điều kiện ban đầu: u (x, 0) = x2

với xấp xỉ ban đầu y0 = u (x, 0) = x2

Giả sử rằng nghiệm của (2.6) được cho ở dạng:

u = u0 + pu1 + p2u2 + (2.8)Thay (2.8) vào (2.7) ta có:

un(x, t) = t

n

n!x

2.Khi đó nghiệm chính xác của (2.6) được viết dưới dạng:



x2 = etx2

Ví dụ 2.1.2 Xét phương trình Parabolic (Parabolic – like equation)hai chiều với hệ số hàm số cho ở dạng:

với xấp xỉ ban đầu y0 = u (x, y, 0) = y2

Giả sử rằng nghiệm của (2.12) được cho ở dạng:

u = u0 + pu1 + p2u2 + (2.14)Thay (2.14) vào (2.13) ta có:

với xấp xỉ ban đầu y0 = u (x, y, z, 0) = 0.

Giả sử rằng nghiệm của (2.16) được cho ở dạng:

u = u0 + pu1 + p2u2 + (2.18)Thay (2.18) vào (2.17) rồi cân bằng các hệ số của các lũy thừa đồng bậccủa p ta được:

u1(x, y, z, 0) = 0,

p2 : u2t(x, y, z, t) − 1

36 x

2u1xx(x, y, z, t) + y2u1yy(x, y, z, t)+z2u1zz(x, y, z, t)
= 0,

u2(x, y, z, 0) = 0,

pn : unt(x, y, z, t) − 1

36 x

2un−1xx(x, y, z, t) + y2un−1yy (x, y, z, t)+z2un−1zz(x, y, z, t)
= 0,

Khi đó nghiệm chính xác của (2.16) được viết dưới dạng:



x4y4z4 = x4y4z4 et − 1

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH KIỂU PARABOLIC

CÓ THỂ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN

Ví dụ 2.1.4 Xét phương trình Parabolic (Parabolic – like equation)một chiều với hệ số hàm số cho ở dạng:

ut(x, t) − x

3

5 uxx(x, t) = 0với điều kiện ban đầu: u (x, 0) = x3

Ví dụ 2.1.5 Xét phương trình Parabolic (Parabolic – like equation)hai chiều với hệ số hàm số cho ở dạng:

Ví dụ 2.1.6 Xét phương trình Parabolic (Parabolic – like equation) bachiều với hệ số hàm số cho ở dạng:

ut − (xyz)3 − 1

24uyy x

2uxx+ y2uyy + z2uzz
= 0,với điều kiện ban đầu: u (x, y, z, 0) = 0

2.2 Ứng dụng phương pháp đồng luân giải phương

v = v0 + pv1 + p2v2 + (2.24)

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN ỨNG DỤNG VÀO GIẢI

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN

Trong chương tác giả trình bày ứng dụng phương pháp nhiễu? ?ồng luân để giải xấp xỉ số lớp phương. .. data-page="18">

1.3.2 Phương pháp nhiễu đồng ln giải phương trình tốn t? ?Phương pháp nhiễu đồng luân phương pháp quantrọng để tìm nghiệm xấp xỉ cho tốn phi tuyến phương trình viphân.

Để minh họa, ta xét phương. .. data-page="29">

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH KIỂU PARABOLIC

CĨ THỂ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LN

Ví dụ 2.1.4 Xét phương trình Parabolic (Parabolic – like equation )một chiều với hệ số hàm số