Mình ôn thi môn Toán Hóa Sinh có rất nhiều tài liệu liên quan nhưng chuẩn bị đi học tài liệu mềm còn nhiều mình upload lên bạn nào cần thì tải xuống mà dùng, hi vọng giúp các bạn tự học hoặc hoàn cảnh không cho phép đi ôn thi luyện thi có cơ hội và tài liệu tốt hơn như mình ngày xưa.
Trang 1TỔNG HỢP LÝ THUYẾT CÁC DẠNG TOÁN
TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ
VÀ CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
Trang 2I Bài toán về mặt phẳng trong không gian:
1.Bài toán về viết phương trình mặt phẳng
• Dạng 1: Qua A(x0; y0; z0) và có vecto pháp tuyến là ~n = (A; B; C):
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0Lưu ý: Để viết được phương trình một mặt phẳng trong không gian ta cần hai yếu tố,thứ nhất là điểm nằm trên mặt phẳng và thứ hai là vecto pháp tuyến của mặt phẳng
• Dạng 2: Cắt 3 trục tọa độ lần lượt tại 3 điểm có tọa độ (a;0;0), (b;0;0), (0;0;c) thì
- Vậy mp(P) đi qua A và có VTPT là ~n(P ) = [~n(Q), ~n(R)]
• Dạng 5: Qua A và vuông góc với đường thẳng d:
- Từ (d)⇒ ~ud = (A; B; C)
- Vì (P) vuông góc với d ⇒ ~n(P ) = ~ud = (A; B; C)
- Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và có ~n(P ) = (A; B; C)
• Dạng 6: Qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng:
Trang 3• Dạng 12: Chứa đường thẳng d và có khoảng cách từ A đến mp(P) là h:
Gọi VTPT của mp(P) là ~n(P ) = (A; B; C) với điều kiện A2 + B2 + C2 > 0
Trang 4- Vì d(A,(P))=h nên thay vào ta tìm được D
- Viết PT mp(P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
• Dạng 17: Chứa d và tiếp xúc mặt cầu (S):
- Xác định tâm I, bán kinh R của mặt cầu (S)
- Gọi VTPT của mp(P) là ~n(P ) = (A; B; C)(A2 + B2 + C2 > 0)
- Từ d ⇒ ~ud và điểm M ∈ d
- Vì d nằm trong (P) nên ~ud.~n(P ) = 0 (1)
Trang 5- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))=R (2)
- Giải hệ (1),(2) tìm được A,B theo C từ đó viết được PT mp(P)
• Dạng 18: Mp(P) song song với mp(Q) và tiếp xúc mặt cầu (S):
- Xác định tâm I, bán kinh R của mặt cầu (S)
- Xác định ~n(Q) = (A; B; C) Do (Q)//(P) nên (P) : Ax+By+Cz+D=0
- Mà (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d(I,(P))=R ⇒ D
• Dạng 19: Chứa d và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bk là r:
- Xác định tâm I, bán kinh R của mặt cầu (S)
- Từ d ⇒ ~ud và điểm M ∈ d
- Vì d nằm trong (P) nên ~ud.~n(P ) = 0 (1)
- Gọi VTPT của mp(P) là ~n(P ) = (A; B; C)(A2 + B2 + C2 > 0)
- PT mp(P) đi qua M (x0; y0; z0) có dạng A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0
- Vì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) nên d(I, (P )) = √
R2 − r2 (2)
- Giải hệ (1), (2) tìm được A,B theo C từ đó viết được PT mp(P)
• Dạng 20: Song song với mặt phẳng (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đườngtròn (C) có bán kính là r:
- Xác định tâm I, bán kinh R của mặt cầu (S)
- Xác định ~n(Q) = (A; B; C) Do (Q)//(P) nên (P) : Ax+By+Cz+D=0
(DP 6= DQ)
- d(I, (P )) = √
R2 − r2
- Giải tìm được D suy ra PT mp(P)
• Dạng 21: Chứa d và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính
r min:
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Bán kinh r = pR2 − d2I(, (P )) Để r min thì d(I,(P)) max
Trang 6- Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên d K là hình chiếu vuông góc của I lên(P)
- Ta có d(I, (P )) = IK 6= IH Do đó d(I,(P)) max khi AH=AK hay H ≡ K
- PT mp(P) đi qua H nhận −→
IH làm VTPT
• Dạng 22: Là mặt phẳng trung trực của AB:
- Tính trung điểm I của AB và −→
Trang 73 Vị trí tương đối của điểm và mặt phẳng:
- Cho mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 với hai điểm M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) Đặt
k = (Ax1 + By1 + Cz1 + D)(Ax2 + By2 + Cz2 + D)
+ Nếu k>0 thì M1, M2 cùng phía so với (P)
+ Nếu k<0 thì M1, M2 khác phía so với (P)
+ Nếu k=0 thì M1 hoặc M2 thuộc (P)
Có phương trình: m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0
5 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu:
- Cho mặt cầu (S) : (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2 trong đó tâm I(x0; y0; z0)
Trang 8B1: Dựa vào điều kiện K để thiết lập mp(P)
B2: Để (P) là tiếp diện của mặt cầu (S) thì d(I,(P))=R
B3: Từ đây tìm được (P) rồi kết luận
Chú ý: Ngoài các điều kiện K bình thường (tiếp diện (P) song song với mp(Q) haychưa đường thẳng d chẳng hạn) thì ta có trường hợp đặc biệt sau:
"Điểm M (x0; y0; z0) là tiếp điểm của mặt cầu (S) và tiếp diện (P) và I(a;b;c) là tâmcủa mặt cầu (S)"
- M là tiếp điểm nên suy ra −→
IM là VTPT của mp(P)
- (P) qua M và có VTPT là −→
IM = (x0 − a; y0 − b; z0 − c) suy ra (P) có phươngtrình là (x0 − a)(x − x0) + (y0 − b)(y − y0) + (z0 − c)(z − z0) = 0
Cách 2:
B1: Giả sử điểm M (x0; y0; z0) là tiếp điểm của (P) và mặt cầu (S)
B2: Suy ra phương trình tiếp diện có dạng
Trang 9(x0 − a)(x − x0) + (y0 − b)(y − y0) + (z0 − c)(z − z0) = 0 (1)
B3: M ∈ (S) ⇒ (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2 (2)
B4: Từ điều kiện K ta có phương trình f (x0; y0; z0) = 0 (3)
B5: Giải hệ (1),(2),(3) suy ra tọa độ tiếp điểm rồi suy ra phương trình của mặt phẳngtiếp diện
• b) Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu (S) và tiếp diện (P) :
B1: Ta tìm mặt phẳng tiếp diện trước
B2: Gọi d là đường thẳng qua I vuông góc với mặt phẳng tiếp diện
B3: Viết phương trình đường thẳng d
B4: Gọi M là tiếp điểm suy ra M có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình gồm pt củađường thẳng d và pt tiếp diện của (P) M = (P ) ∩ d
B5: Suy ra tọa độ điểm M là tiếp điểm cần tìm
II Bài toán về đường thẳng trong không gian:
1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’:
- Xét hệ phương trình hai ẩn t và t’ sau:
Trang 10- TH2: Nếu hệ có vô số nghiệm thì d trùng d’
- TH3: Nếu hệ vô nghiệm thì xảy ra hai khả năng
+ Nếu ~a, ~a0 cùng phương thì d song song d’
+ Nếu ~a, ~a0 không cùng phương thì d chéo d’
2 Vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P):
- Xét hệ phương trình bốn ẩn x,y,z,t sau:
- TH1: Nếu hệ có đúng một nghiệm thì d căt (P)
- TH2: Nếu hệ có vô số nghiệm thi d năm trong (P)
- TH3: Nếu hệ vô nghiệm thì d song song (P)
Trang 11Cosϕ = |cos(~u, ~v)| = |~u.~v|
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Cho đường thẳng d đi qua A có VTPT ~u
Khoảng cách từ điểm M (xM; yM; zM) đến đường thẳng d là:
Trang 12*Lưu ý: Đây là dạng cơ bản Vậy muốn tìm được phương trình của một đường thẳngtrong không gian ta cần biết hai yếu tố, thứ nhất là đi qua một điểm cho trước và thứhai là vtcp của đường thẳng
• Dạng 2: Qua hai điểm A và B:
- Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A và có vtcp là ~ud
• Dạng 4: Qua A và cắt hai đường thẳng d1, d2
- Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
- Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2
- Đường thẳng cần tìm là d = (α) ∩ (β)
• Dạng 5: Song song với d1 và cắt d2; d3
- Viết phương trình mặt phẳng (α) song song d1 và chứa d2
Trang 13- Viết phương trình mặt phẳng (β) song song d1 và chứa d3
- PT đường thẳng cần tìm là d = (α) ∩ (β)
• Dạng 6: Qua A và vuông góc với d1 tại điểm B
- Viết ptmp(α) qua A và vuông góc với d1
- Tìm giao điểm B = (α) ∩ d1
- Đường thẳng cần tìm đi qua A và B
• Dạng 7: Qua A vuông góc với d1 và cắt d2
- Giả sử d cắt d2 tại điểm B thì B thuộc d2 :
- Giải pt trên tìm được t ⇒ B ⇒pt đường thẳng d
• Dạng 8: Qua A và vuông góc với cả hai đường thẳng d1; d2
- Từ (d1), (d2) ⇒ vtcp của d1; d2 là ~ud1, ~ud2 ⇒ tính [~ud1, ~ud2]
- Vì d vuông góc với cả d1; d2 nên ~ud = [~ud1, ~ud2]
• Dạng 9: Qua A vuông góc với d1 và tạo với d2 một góc α 6= 900
- Gọi VTCP của d là ~u = (a; b; c) (a2 + b2 + c2 > 0)
- Vì d⊥d1 ⇒ ~u.~ud1 = 0 (1)
- Vì cosα = |~u.~ud2|
|~u|.|~ud2| (2)
- Từ (1),(2) suy ra a,b theo c ⇒ ptđt
• Dạng 10: Qua A vuông góc với d1 và tạo với mặt phẳng (P) một góc α ∈ (00; 900)
- Gọi VTCP của d là ~u = (a; b; c) (a2 + b2 + c2 > 0)
Trang 14- Vì sinα = |~u.~nP|
|~u|.|~nP| (2)
- Từ (1),(2) suy ra a,b theo c ⇒ ptđt
• Dạng 11: Qua A vuông góc với d1 và d(M,d)=h
- Gọi VTCP của d là ~u = (a; b; c) (a2 + b2 + c2 > 0)
- Vì d⊥d1 ⇒ ~u.~ud1 = 0 (1)
- Vì d(M,d)=h⇒ |[~u,−−→
AM ]|
|~u| = h (2)
- Từ (1),(2) suy ra a,b theo c ⇒ ptđt
• Dạng 12: Qua A và vuông góc với mặt phẳng (P):
- Tìm vtpt của mp(P) là ~n(P )
- Ptđt d đi qua A và có vtcp là ~u = ~n(P )
• Dạng 13: Qua A, cắt đường thẳng d’ và song song với mặt phẳng (P)
- Viết ptmp(α) qua A và song songs với mp(P)
- Gọi B = (α) ∩ d
- Đường thẳng cần tìm đi qua A và B
• Dạng 14: Qua A tạo với d1 một góc α ∈ (00; 900) và nằm trong ( hay song song) vớimặt phẳng (P)
- Gọi VTCP của d là ~u = (a; b; c) (a2 + b2 + c2 > 0)
- Vì d//(P ) ⇒ ~u.~n(P ) = 0 (1)
- Vì cos(d; d1) = |~u.~u1|
|~u|.|~u1| = cosα
- Từ (1),(2) suy ra a,b theo c ⇒ ptđt
• Dạng 15: Qua A vuông góc với d1 và nằm trong (hay song song) với mặt phẳng (P)
- Vtcp vuông góc với hai vecto ~ud1 và ~n(P ) ⇒ ~u = [ ~ud1, ~n(P )]
- Đường thẳng đi qua A có vtcp là ~u
• Dạng 16: Năm trong (P) và cắt d1, d2
- Tìm giao điểm A = d1 ∩ (P ), B = d2 ∩ (P )
Trang 15- PT đường thẳng d đi qua hai điểm A và B
• Dạng 17: Nằm trong (P) và vuông góc với d’ tại giao điểm I của (P) và d’
- Tìm giao điểm I = d ∩ (P )
- Tìm vtcp ~u của d’ và vtpt ~n của (P) vả tính ~v = [~u, ~n]
- Phương trình đường thẳng d đi qua I qua có vtcp là ~v
• Dạng 18: Vuông góc với (P) và cắt d1; d2
- Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mặt phẳng (P)
- Viết ptmp(Q) chứa d2 và vuông góc với mặt phẳng (P)
- Đường thẳng d = (Q) ∩ (R)
• Dạng 19: Đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau:
Cách 1: Gọi M (x0 + at, y0 + bt; z0 + ct) ∈ d1 và N (x00 + a0t0; y00 + b0t0; z00 + c0t0) ∈ d2 làcác chân đường vuông góc chung
- Viết phương trình mp(P) chứa d1 và vuông góc với d2
- Viết phương trình mp(P) chứa d2 và vuông góc với d1
- Đường vuông góc chung chính là giao tuyến của hai mặt phẳng
* Chú ý: Ở cách 1 ta có thể tính được luôn độ dài đường vuông góc chung Ngoài ra
ta có áp dụng công thức ở phần lý thuyết, nếu không nhớ công thức ta có cách làmnhư sau:
- Viết ptmp(P) chứa d1 và song song với d2
- Tính khoảng cách từ một điểm trên d2 đến (P) Đó chính là khoảng cách cầntìm
Trang 166 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Trang 17Cách 1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
- Đặt h=d(I,d)
- Ta có ba trường hợp sau:
+ Nếu h > R ⇒ d ∩ (S) = Ø
+ Nếu h = R ⇒ d tiếp xúc với mặt cầu (S)
+ Nếu h < R ⇒ d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt
Cách 2:
- Ta sử dụng phương trình tham số của đường thẳng
- Thế x,y,z của phương trình tham số vào phương trình mặt cầu, ta được phươngtrình bậc hai theo t
- Ta có ba trường hợp:
+ Nếu pt vô nghiệm ⇒ d ∩ (S) = Ø
+ Nếu pt có một nghiệm ⇒ d tiếp xúc với mặt cầu (S)
+ Nếu pt bậc hai có hai nghiệm phân biệt ⇒ d cắt mặt cầu (S) tại hai điểmphân biệt
9 Các đường trong tam giác:
- Cho tam giác ABC, biết tọa độ ba điểm A,B,C
• a) Đường trung tuyến AM:
- M là trung điểm AB suy ra tọa độ M
- AM qua A và M
• b) Đường cao AH:
- AH nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với BC nên có vtcp là ~a = [~n(ABC),−→
BC]
- AH qua H và có vtcp là ~a
• c) Đường trung trực d của cạnh BC (AB, AC)
Trang 18- Ta có d năm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với BC nên có vtcp
là ~a = [~n(ABC),−→
BC]
- d đi qua trung điểm BC và có vtcp là ~a
• d) Đường phân giác của góc (AB,AC)
- Gọi D là chân đường phân giác góc A nằm trên cạnh BC
- Áp dụng tính chất tỉ lệ phân giác ta có: AB
AC =
DBDC+ Nếu AD là phân giác trong thì ta có −−→
DB = −AB
AC.
−−→
DC+ Nếu AD là phân giác ngoài thì ta có −−→
DB = AB
AC.
−−→
DC
- Tìm được D từ đó viết được phương trình đường thẳng AD là phân giác của AB, AC
III Bài toán về mặt cầu trong không gian:
Dạng toán về mặt cầu:
• Dạng 1: Tìm mặt cầu tâm I đi qua A:
- Ta có phương trính mặt cầu có dạng (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 trong đóI(a;b;c)
- Thế tọa độ điểm A vào x;y;z tìm được R suy ra phương trình mặt cầu
• Dạng 2: Tìm mặt cầu đường kính AB:
• Dạng 3: Tìm mặt cầu I tiếp xúc với mặt phẳng (P):
- Ta có R=d(I,(P)) nên từ đó suy ra phương trình mặt cầu
• Dạng 4: Tìm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện:
- Gọi I(a;b;c) là tâm của mặt cầu
Trang 19- Ta viết được phương trình mặt cầu có tâm là I và có bán kính R=IA
IV Bài Toán Tìm Điểm Đối Xứng:
• Bài toán 1: Xác định điểm M’đối xứng với M qua mặt phẳng (P) (hay đườngthẳng d)
- Tìm điểm H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P) (hay đường thẳng d)
-Gọi M’ là điểm đối xứng của M thì MM’ nhận H là trung điểm Từ đó suy ra tọa độM’
• Bài toán 2: Xác định đường thẳng d’ đối xứng đường thẳng d qua mặt phẳng(P) (hay đường thẳng d)
TH1: Khi đường thẳng d cắt (P) tại A
- Lấy điểm M có tọa độ xác định thuộc d, tìm điểm M’ đối xứng của M qua (P)
- Khi đó đường thẳng d’ chính là đường thẳng AM’
TH2: Khi d song song mp(P)
- Lấy điểm M có tọa độ xác định thuộc d, tìm điểm đối xứng M’ của M qua (P)
- Khi đó đường thẳng d’ qua M’ và song song với đường thẳng d
V Các Bài Toán Cực Trị:
• Bài toán 1: Cho mp(P) và hai điểm A,B không thuộc (P) Tìm điểm M trên(P) sao cho (M A + M B)min:
Trang 20TH1: A và B khác phía so với (P)
- Với mọi M trên (P) ta luôn có M A + M B ≥ AB
- Dấu "=" xảy ra khi M là giao điểm của AB và mp(P)
- Với mọi M nằm trên (P) ta có |M A − M B| ≤ AB
- Dấu "=" xảy ra khi M là giao điểm của AB và mp(P)
M C|min ⇔−M I→min ⇔ M là hình chiếu của I trên (P)
• Dạng 4: Cho d và hai điểm A,B ko thuộc d Tìm M trên d sao cho (M A+M B)minTH1: A và B bất kì
- Tìm A’ và B’ là hình chiếu của A và B lên d Gọi N là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ
Trang 21- Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d, suy ra M B = M B0
- Với mọi điểm M trên d ta có M A + M B = M A + M B0 ≥ AB0
- Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của AB’ và d
TH3: AB⊥d
- Viết ptmp(P) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với d
- Tìm H là giao điểm của d và mp(P)
- Ta có M A + M B ≥ HA + HB
- Dấu "=" xảy ra khi H ≡ M
TH4: AB và d chéo nhau
- Ta có tọa độ điểm M theo phương trình tham số của đường thẳng d
- Tính MA+MB theo t, tạm gọi là f(t)
- Sử dụng khảo sát hàm số hoặc bất đẳng thức để tìm min của f(t)
• Dạng 5: Cho đường thẳng d và 2 điểm A,B Tìm M trên d để (mM A2+nM B2)min
- Ta có tọa độ điểm M theo phương trình tham số của đường thẳng d
- Ta tính (mM A2 + nM B2) theo t tạm gọi là f(t)
- Sử dụng khảo sát hàm số hoặc bất đẳng thức để tìm min của f(t)
• Dạng 6: Cho mp(P) và hai điểm A,B Viết phương trình đường thẳng d qua A,song song mp(P) và cách B một khoảng lớn nhất (nhỏ nhất)
- d qua A song song (P), nên d nằm trong mp(Q) qua A song song (P)
Trang 22- Tìm H là hình chiếu của B trên (Q)
- Vẽ HK vuông góc với d, suy ra BK vuông góc với d, hay d(B,d)=BK
- Tam giác BHK vuông tại H nên BK ≥ BH
+ Dấu "=" xảy ra khi d đi qua H
- Tam giác BAK vuông tại K nên BK ≤ BA
+ Dấu "=" xảy ra khi d vuông góc với AB Khi đó d qua A và có ~ud = [~n(Q),−→
AB]
• Dạng 7: Cho hai điểm A và B Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuônggóc với d1 và cách B một khoảng lớn nhất ( nhỏ nhất)
- d qua A vuông góc với d1 nên d nằm trong mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d1
- Tìm H là hình chiếu của B trên (Q)
- Vẽ HK vuông góc với d, suy ra BK vuông góc với d, hay d(B,d)=BK
- Tam giác BHK vuông tại H nên BK ≥ BH
+ Dấu "=" xảy ra khi d đi qua H
- Tam giác BAK vuông tại K nên BK ≤ BA
+ Dấu "=" xảy ra khi d vuông góc với AB Khi đó d qua A và có ~ud = [~n(Q),−→
AB]
• Dạng 8: Cho mặt cầu (S), điểm A thuộc mp(P) và nằm ở trong mặt cầu (S).Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) qua A và cắt mặt cầu (S) tại M,Nsao cho MN lơn nhất (nhỏ nhất)
- Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) tâm I bán kính R theo đường tròn (C) tâm I bánkính r
- Ta có M,N thuộc (C), gọi H là trung điểm MN, suy ra JH vuông góc MN và MN=2MH
- Tam giác JAH vuông tại H nên J H ≤ J A
+ Vậy MN min khi JH max, lúc này JH=JA, nói cách khác d vuông góc với JA+ Từ đây suy ra d có vtcp là ~ud = [~n(P ),−→
J A]
- MN max khi MN=2r, suy ra d qua hai điểm J và A
Trang 23• Dạng 9: Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua A nằm trong mặt cầu (S), cắt(S) theo một đường tròn (C) có bán kính r nhỏ nhất
- Gọi J là hình chiếu của I trên (P), suy ra d(I,(P))=IJ
- Tam giác IJA vuông tại I nên IJ ≤ IA
- Vậy r min khi IJ max hay nói cách khác là J trùng A, suy ra IA vuông góc với (P)
- Từ đấy suy ra (P) qua A có vtpt là −→
IA
• Dạng 10: Cho hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau Viết phương trình mặt cầu (S)tiếp xúc với d1, d2 và có bán kính R nhỏ nhất
- Gọi M,N là hai tiếp điểm
- Ta có M N ≤ 2R, mặt khác M N ≥ HK với HK là đoạn vuông góc chung của d1, d2
- Từ đây suy ra 2R ≥ HK
- Dấu "=" xảy ra khi HK là đường kình của mặt cầu
- Tìm H,K suy ra phương trình mặt cầu (S)
• Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cách B một đoạn lớn nhất
- Gọi H là hình chiếu của B trên (P)
- Tam giác ABH vuông tại H nên BH ≤ BA
- Dấu "=" xảy ra khi H trùng A Do đó −→
AB là vtpt của (P)
• Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cách B một đoạn lớn nhất
- Gọi A,H lần lượt là hình chiếu của B trên d và (P)
- Tam giác ABH vuông tại H nên BH ≤ BA
- Dấu "=" xảy ra khi H trùng A Do đó −→
AB là vtpt của (P)
− − − − − − − − − − − − − − HẾT − − − − − − − − − − − − − −