phương trình đường thẳng VD cao 11 câu có lời giải chi tiết

Mặt phẳng ABCD đi qua gốc tọa độ O.. Khi đó đường thẳng d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có phương trình A.. Biết điểm M thuộc  sao cho biểu thức T MA MB đạt giá trị

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – VẬN DỤNG CAO

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 2 1 2

 và mặt phẳng

 P : 2x y 2z 1 0 Đường thẳng  đi qua E2; 1; 2 , song song với  P đồng thời tạo

với d góc bé nhất Biết rằng  có một véctơ chỉ phương um n; ; 1  Tính T m2n2

A. T  5 B. T 4 C. T 3 D. T 4

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD biết A1;0;1, B1;0; 3  và điểm

D có hoành độ âm Mặt phẳng ABCD đi qua gốc tọa độ O Khi đó đường thẳng d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có phương trình

A

1 :

1

x

z

 



 



  



1 :

1

x

z





 



  



1 :

1

x

z

 



 



 



x t

z t





 



 



Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1

x y z

   và hai điểm A1;2; 5  , B 1;0;2 Biết điểm M thuộc  sao cho biểu thức T MA MB đạt giá trị lớn nhất là Tmax Khi đó, Tmax

bằng bao nhiêu?

A Tmax  3 B Tmax 2 6  3 C Tmax  57 D Tmax  3 6

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz,cho điểmA (2;3;0), B(0; 2;0), 6; 2; 2

5

đường thẳng : 0

2

x t

d y





 



  



Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABClà nhỏ nhấ thì độ dàiCMbằng

5

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua điểm , A1; 1; 2 , song song với

 P : 2x   y z 3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1 1

 một góc lớn nhất

Phương trình đường thẳng d là

C 1 1 2

x  y  z

x  y  z

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua A1;0; 1 , cắt 1: 1 2 2

 ,

sao cho góc giữa d và 2: 3 2 3

 là nhỏ nhất Phương trình đường thẳng d là

A 1 1

x  y z

 B

x  y z

 C

x  y  z

  D

x  y z

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1: 1 2

 và

2

:

 Gọi  là đường thẳng song song với  P :x   y z 7 0 và cắt

1, 2

d d lần lượt tại hai điểm , A B sao cho AB ngắn nhất Phương trình của đường thẳng  là

A

12 5 9

y



 



   



6 5 2 9 2

y



  



 





   



6 5 2 9 2

x



 



  





   



6 2 5 2 9 2



  



  





   



Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho điểm A3;3; 3  thuộc mặt phẳng   :2 – 2x y z 150và mặt

: (x 2) (y 3) (z 5) 100

S       Đường thẳng  qua A, nằm trên mặt phẳng   cắt ( )S tại A, B Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng  là

x  y  z 

x  y  z 



C

3 5 3

3 8

y

  



 



   



Câu 9: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ,  P :x   y z 2 0 và hai đường

thẳng

1 :

2 2

d y t

 



 



  



;

3 ' : 1

1 2



 



   



   



Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song

với  P ; cắt , d d và tạo với d góc O

30 Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó

A 1

1

2

1

2

Câu 10: Trong không gian cho đường thẳng : 3 1

Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua  và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất

A 19x17y20z770 B 19x17y20z340

C 31x8y5z91 0 D 31x8y5z980

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x y 4z0, đường thẳng

:

d     

 và điểm A1; 3; 1 thuộc mặt phẳng  P Gọi  là đường thẳng đi qua

A, nằm trong mặt phẳng  P và cách đường thẳng d một khoảng cách lớn nhất Gọi

 ; ; 1

u a b là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng  Tính a2b

A a2b 3 B a2b0 C a2b4 D a2b7

M a i N g u y e n

( http://tailieugiangday.com – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết)

Quý thầy cô liên hệ đặt mua word: 03338.222.55

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: D

Mặt phẳng  P có vec tơ pháp tuyến n2; 1; 2  và đường thẳng d có vec tơ chỉ phương

4; 4;3

v 

Vì  song song với mặt phẳng  P nên u n 2m n    2 0 n 2m2

Mặt khác ta có cos ;  .

u v d

u v

 2



m





4 5

Vì 0   ;d 90 nên ; d bé nhất khi và chỉ khi cos; d lớn nhất

Xét hàm số   22

16 40 25

f t



2 2 2

72 90

f t



Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có max f t  f  0 5 suy ra ; d bé nhất khi m  0 n 2

Do đó 2 2

4

Tm n   Làm theo cách này thì không cần đến dữ kiện: đường thẳng  đi qua E2; 1; 2 

Câu 2: A

Ta có AB0;0; 4   4 0;0;1  Hay AB có véc-tơ chỉ phương k 0;0;1

Mặt phẳng ABCD có một véc-tơ pháp tuyến:  OA OB;   0; 4;0 4 0;1;0, hay

0;1;0

j là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ABCD 

Vì

AD AB

AD ABCD











 Đường thẳng AD có véc-tơ chỉ phương là

; 1;0;0

j k

  

Phương trình đường thẳng AD là:

1 0 1

y z

 



 



 



Do đó D1t;0;1

0 1 1 4

4

t

t





Vì điểm D có hoành độ âm nên D3;0;1

Vì tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm BD , nên I   1;0; 1 

Đường thẳng d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có véc-tơ pháp tuyến là

0;1;0

j , nên phương trình đường thẳng d là:

1 :

1

x

z

 



 



  



Câu 3: C

 2; 2;7

Phương trình đường thẳng AB là:

1 2 2

2 7



  



   



   



Xét vị trí tương đối của  và AB ta thấy  cắt AB tại điểm 1 2; ; 1

3 3 3

C  

4 4 14

; ;

3 3 3

AC   

3

2 AC AB nên B nằm giữa A và C

T MA MB AB Dấu bằng xảy ra khi M trùng C Vậy Tmax AB  57

Câu 4: C

Do ABcó độ dài không đổi nên chu vi tam giácABCnhỏ nhất khiACCBnhỏ nhất

Đặtu 2t2 2;3 , v  2t 2;2ápdụngbấtđẳngthứcu   v u v

khi

t

t

Câu 5: A

 có vectơ chỉ phương a 1; 2; 2 

d có vectơ chỉ phương a d a b c; ; 

 P có vectơ pháp tuyến n P 2; 1; 1  

Vì d/ / P nên a n a n  0 2a b c    0 c 2a b

  2 2 2 2 2

cos ,

3 5 4 2

d

Đặt t a

b

 , ta có:   1 25 42

cos ,

3 5 4 2

t d

t t



  Xét hàm số   2 2

5 4

5 4 2

t

f t

t t





  , ta suy ra được:   1 5 3

max

f t  f  

max cos ,

a

b

Chọn a   1 b 5,c7

Vậy phương trình đường thẳng d là 1 1 2

Câu 6: A

Gọi M   d 1 M1 2 ; 2 t   t; 2 t

d có vectơ chỉ phương a d AM 2t2;t  2; 1 t

2

 có vectơ chỉ phương a2   1; 2; 2

2 cos ;

3 6 14 9

t d

 

Xét hàm số   2 2

t

f t



  , ta suy ra được min f t  f  0   0 t 0

Do đó min cos ,d   0 t 0 AM 2; 2 1 

Vậy phương trình đường thẳng d là 1 1

x  y z



Câu 7: B

1 2

1 2 ; ; 2

1 ; 2 3 ; 2 2

 có vectơ chỉ phương ABb2 ;3a b a    2; 2b a 4

 P có vectơ pháp tuyến n P1;1;1

Vì / / P  nên ABn P AB n P    0 b a 1.Khi đó AB   a 1; 2a5;6a

  2  2 2 2

2

6 30 62

Dấu " " xảy ra khi 5 6; ;5 9 , 7;0;7

a A   AB  

Đường thẳng  đi qua điểm 6; ;5 9

2 2

A  

  và vec tơ chỉ phương u d   1;0;1

Vậy phương trình của là

6 5 2 9 2

y



  



 





   



Câu 8: A

Mặt cầu  S có tâm I2;3;5, bán kính R10 Do d(I, ( )) R nên  luôn cắt  S tại A ,

B

(I, )

AB R  d  Do đó, ABlớn nhất thì d I ,   nhỏ nhất nên  qua H, với

H là hình chiếu vuông góc của I lên   Phương trình

x 2 2t

y 3 5

 



  



  



( ) 2 2 2 2 3 – 2 5 15 0

H    t  t   t     t 2 H2; 7; 3

Do vậyAH(1; 4;6) là véc tơ chỉ phương của  Phương trình của 3 3 3

x  y  z 

Câu 9: D

Gọi  là đường thẳng cần tìm, n P là VTPT của mặt phẳng  P

Gọi M1t t; ; 2 2 t là giao điểm của  và d ; M3t;1t;1 2 t là giao điểm của  và

d

Ta có: MM2 t t; 1   t t; 1 2t2t

 

//

P

 



 

 

   t 2 MM4  t; 1 t; 3 2 t

Ta có cos 30 cosMM u, d

2

2 36 108 156

t

 

4 1

t t





   

 Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là 1

5

10

x







  



; 2: 1

x t y

z t









   

  

 Khi đó  1 2

1 cos ,

2

  

Câu 10: D

Đường thẳng d có VTCP là u13;1; 2

Đường thẳng  đi qua điểm M3;0; 1  và có VTCP là u1; 2;3

Do   P nên M P Giả sử VTPT của  P là    2 2 2 

n A B C A B C  Phương trình  P có dạng A x  3 By C z   1 0

Do   P nên u n  0 A 2B3C   0 A 2B3C

Gọi  là góc giữa d và  P Ta có

 

1

1

sin

14

14 5 12 10

TH1: Với C0 thì 5 70

14 14

TH2: Với C0 đặt t B

C

2

5 7 1

14

t sin

Xét hàm số   25 72

5 12 10

t

f t





  trên

Ta có  

2

2 2

50 10 112

f t

0

    

 





5 7

5 12 10

t

f t



Bảng biến thiên

Từ đó ta có   75

14

B t

C

14

sin f    

So sánh TH1 và Th2 ta có sin lớn nhất là 75

14

sin khi 8

5

B

C  Chọn B      8 C 5 A 31

Phương trình  P là 31x 3 8y5z  1 0 31x8y5z980

Câu 11: A

d

(Q)

I

A

Đường thẳng d đi qua M1; 1; 3  và có véc tơ chỉ phương u1 2; 1; 1 

Nhận xét rằng, Ad và d  P  I 7; 3; 1 

Gọi  Q là mặt phẳng chứa d và song song với  Khi đó d,dd, Q d A Q ,   Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên  Q và d Ta có AH AK

Do đó, d,d lớn nhất  d A Q ,   lớn nhất AHmax HK Suy ra AH chính là đoạn vuông góc chung của d và 

Mặt phẳng  R chứa A và d có véc tơ pháp tuyến là n R  AM u, 1   2; 4; 8

Mặt phẳng  Q chứa d và vuông góc với  R nên có véc tơ pháp tuyến là

 Q  R, 1

n  n u 12; 18;6

Đường thẳng  chứa trong mặt phẳng  P và song song với mặt phẳng  Q nên có véc tơ chỉ phương là u n P ,n R  66;42; 6 6 11; 7; 1

Suy ra, a11;b 7 Vậy a2b 3