a Giải hệ phương trình x+y=7... ABMD nội tiếp.. b Ta có XKC =4BC tứ giác ABNK nội tiếp... „ suy ra BA 1a tia phan Theo tính chất của hai đường phân giác trong và phân giác ngoài suy ra
Trang 1DE THI VAO LOP 10 TRUONG THPT CHUYEN PHAN BOI CHAU NGHỆ AN
NAM HOC 2007-2008
NGÀY THU 1 (Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu L (2 điểm) Cho biểu thức
p-3x+V9x—3_ vx+1 Vx-2
x+ýx-2 _y+2_ vx-1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tinh giá trị của P khi x = 34+ 2V2
Câu 2 (2 điểm) Cho phương trình (rn là tham:
số) 2# - 4mx + 2m -1=0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có
hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm xạ,
x; thoả mãn 2x‡+ 4mx; + 2mm” - 1 > 0
Câu 3 (2 điểm) a) Giải hệ phương trình
x+y=7
b) Cho x, y là các số dương thoa man x+—<1,
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =“+3,
y ox
Câu 4 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại 4
(Ä < 90% có đường cao 8Ø Gọi M, N, 7 lân
lượt là trung điểm của các đoạn 8C, BM và BD Tia NI cắt cạnh AC tại K Chứng minh rằng
a) Các tứ giác ABMD, ABNK nội tiếp
b) BC? == AC.CK
Câu 5 (1,5 điểm) Cho tam giác ABC Gọi M là
trung điểm của AC, N là điểm thuộc đoạn thẳng
MC sao cho MN = : NC Biết ring MBN =CBN
Chiing minh ring ABN = 90°
NGAY THU 2 (Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 6 (3 điểm)
a) Giải phương trình I +x/l+ x = x3
b) Cho đa thức bậc bốn ”(x) với các hệ số
nguyên thoa man P(x) chia hết cho 7 với mợi số
nguyên x Chứng mình các hệ số của P(+) chia
hết cho 7
Câu 7 (2,5 điểm)
I+x3y3—19x3 =0
a) Giải hệ phương trình
b) Cho ba số dương 4, b, c thoả mãn a+b+ec=3
a b coy 3
1+ l+e l+e 2
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 8 (1 điểm) Trong một hình chữ nhật có
diện tích bằng 5 chứa chín hình chữ nhật nhỏ,
mỗi hình chữ nhật nhỏ có diện tích bằng 1
Chứng minh rằng
Chứng minh ràng tồn tại hai hình chữ nhật nhỏ
có diện tích phần chung không nhỏ hơn :
Câu 9 (2,5 điểm), Cho tam giác nhọn ABC nội
tiếp đường tròn () có đường cao AXN và CK
Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cất đường
tròn (0) tai diém M (M # B) Gọi E là trung
điểm của đoạn thẳng AC
a) Chimg minh £X 1a tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN
b) Ching minh EM vuông góc với À{ð
Câu 10 (1 điểm) Biết rằng một tứ giác lồi có
tổng hai cạnh đối và một đường chéo không lớn hơn 2A/2S (S là diện tích tứ giác) Tính độ dài
đường chéo còn lại theo Š
THÁI VIẾT THẢO
(SởGD&ĐT Nghệ An) Sưu tầm và giới thiệu
Trang 2
NGAY THU NHAT
Cau Í a) Điều kiện x > Ö, x # 1 Ta có
_3x+3x-3-(Jx+I\dx-I)~{Vx+2)(Vx-2)
P
(Jx¬IÑJx+2)
“(y-IÁVx+2) (Wx-x+2) Veet
b) Đáp sở P= 1+ A2
Câu 2 a) Á' = (2m) — 2(2m° — l) = 2 >Ù, Vm,
nên PT (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi zm
b) Giả sử x,, x; là hai nghiệm của PT(1) Theo
định lí Viềte có x, + x, = 2m Do x, 1a nghiệm
của PT (1) nên có 2x? -4zmxị +2? -1=0
Lại có Q=(2x‡ -4mxị+2m2 —I)+4m{xị +xa}
= 4m(x, + x)) = 4.2m = 8m’
Ta có Ó > 0 © 8m > 0 © m #0,
Vậy với mè # Q thì PT (1) có hai nghiệm phân
biệt thoả mãn đề bài
Câu 3 a) Dat =vx+l ; v=+v/v (>0, y >0)
Hé da cho tro thanh a”
ue +e uv =4, Suy ra =2: w= 2, từ đó r = 3 và y= 4 Hệ
đã cho có nghiệm duy nhất (+; y) = (3; 4)
b) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số đương ta có
1> x+>2 fx suy ra ¥>q (1)
Ap dung (1) va BDT Cauchy cho hai sé
dương ta có
y 16x lốy- Vy 16x l6 47
15.4 17
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là ma đạt được
khi và chỉ khi x = ; va y = 2
Cau 4 (h 1) Do
tam giác ABC can
tai A nén AM 1 BM
ABMD nội tiếp
Mat khac, N/ la / đường trung bình 8 OM cua tam gidc BMD
Nình ï
nén NI//MD Do 46
KNC = DMC, Hon nitta DMC =KAB (tinh chat ter gidc nội
tiếp ABM) Suy ra KNC = KAB (1)
Vậy tứ giác ABNK nội tiếp
b) Ta có XKC =4BC (tứ giác ABNK nội tiếp)
Từ đây và từ (1) có AABC œ ANKC
BC AC = 4 3
S — =— Mat khac, dé thay NC=— BC,
do dé BC? = = BC.NC = 5 AC.CK
Câu 5 (h 2)
flinh 2
Do BN là tia phân giác trong góc B của tam
BM _NM _Ì
giác BMC nên ——=
BC NC 2
Trang 3
, ANF 1 BA
Lại có ———=—=———— AC 2 BC
giác ngoài của tam giác BMC
„ suy ra BA 1a tia phan Theo tính chất của hai đường phân giác trong
và phân giác ngoài suy ra 8N L BA (đpcm)
NGÀY THỨ HAI Cau 6 a) La có PT đã cho tương đương với
x*-l>0 |x|>]
= l+x=(xˆ?—Ùˆ x(x+l)(x—x—l)=0
14/5
<©=xt=_-lhoặc x=
b) Gợi đa thức đã cho là
P(\) = ax! + bx + cx? + ấx + e (a # Ô)
Từ giả thiết ta có e = P(O): 7;
P(@)— P(1) + P(—2) — P(—L) = 34a: 7, do đó đ: 7;
P(2) — PQ) — P(-2) + P(-1) = 36: 7, do dé 6:7;
c= P(1) + P(-1) — 2e-—a@:7;
đ = P(1) — P(—1}~— b :7, suy ra đpcm
Câu 7 a) Nhân PT thứ nhất của hệ với 6, nhân
PT thứ hai của hệ với 19x rồi cộng lại được
6(xy}` + 19Ccy)} + 19xy + 6=O
© (xy + 1)(2xy + 3)(3xy + 2) = O
® Với vy = —l, thay vào PT thứ nhất của hệ
được x = Ö (không thoả mẫn)
® Với vy -< „tìm được (x;y) = (+ 3 -2)
® VỚI xy = = tìm duoc (x;y) = (-4 : 3) -
b) Dat A là vế trái BĐT cần chứng minh La có
A=a- ab? — bet _ ca?
1+ðˆ I+c? I+a?
( ab? bc? — ca? }
1+42 lee? I+aˆ
Đăng thife xay ra khi va chi khia = b=c = 1
Cau 8 a) Phản chứng Giả sử bất kì hai hình
chữ nhật nào trong chín hình chữ nhật nhỏ #?,
t, H, đều có diện tích phần chung nhỏ
hơn +,
9
Khi d6 dién tich phan //, khéng bi pha boi A,
lớn hơn I= ==; diện tích phần # không bị
phủ bởi #, và ;#; lớn hơn jt 417 ; điện
9 9 9
tích phần #„ không bị phủ bởi ;,, , #⁄¿ lớn
hơn = Nhu vay diện tích của hình chữ nhật
lớn lớn hơn l+Š+-ˆ+ +-L =5 (vô lf
9s an s
Cau 9 a)
Hình 3
Ta có tứ giác 8NJ/K nội tiếp đường tròn đường kính B⁄(3KH = BNH =90°) Gọi ƒ là trung
diém cha BH Cac tam giác KBii và KAC vuông nên ¿K =?⁄K” và EKC=KCE Lai
có JHK =DHC tu doco EKC+HKT = hay
EK 1 Ki
Từ đó ta có điều phải chứng minh
b) Kẻ đường kính 8/° của đường tròn (G) Dê thấy tứ giác 4/2C7Z là hình bình hành nên # là trung điểm của HF Theo tinh chat đường trung bình ta có @Ÿ #/ EH, Mat khac Of 1 BM (đường nổi tâm hai đường tròn vuông góc với đây cung chung) Do đó EJ/ L BÀI Lại có
HM l BM (do B71 là đường kính đường tròn
(/)), suy ra E, 1, 1 thẳng hang va EM 1 BM Cau 10 Gia su B
tứ giác lồi _ ABCD thoa man AD+ BC+ BD A
< 242S (h 4)
Ta thay,
28 < BD(AD + BC) AD+BC+BDY
Vậy AD+BC+B/J Hình 4
>2V2S
Từ đó AD + BC + BD = 2x4/2S
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các J đẳng thức ở (*)
xảy ra, tức là khi
AD 1 BD,
BC LBD va
AD + BC = BD
hanh CADE ta
có A8JDE vuông cân tại Ö
Do dé AC =DE= BDJ2=-2VS8
THAI VIET THAO (Sở GD-ĐT Nghệ An) giới thiệu