Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – đặng thị oanh

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua tâm O... x y Nhận xét: - Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.. Đường cong

Chương 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

* Định nghĩa hàm số lượng giác:

 Hàm số sin: Quy tắc tương ứng với mỗi số thực x với một số thực sin x

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là ysin x

 Hàm số côsin: Quy tắc tương ứng với mỗi số thực x với một số thực cos x

được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là ycos x

 Hàm số tang: là hàm số được xác định bởi công thức sin cos 0 ,

 có nghĩa khi và chỉ khi g x   0

 y f x  có nghĩa khi và chỉ khi f x   0

y x  x  c) ysin 2x4

d)

2

1cos1

1

x y

k)

sincos

x y

x 



sin 2sin 2

x y

x





Bài 2 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a Định nghĩa: - Hàm số y f x  có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại ít nhất

một số thực T  sao cho với mọi x0 D , ta có:

i) x T D, ii) f x T   f x .

- Số thực T thoả mãn các điều kiện trên được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn

 

y f x

- Nếu hàm số tuần hoàn y f x  có chu kỳ nhỏ nhất T 0 T 0 0 thì T được gọi là chu 0

kỳ cơ sở của hàm số tuần hoàn y f x .

Bài 1 Tìm chu kỳ của các hàm số sau:

y x i) y 1 cos 2 x Bài 2 Tìm chu kỳ của các hàm số sau:

a) ytanxcotx b) y sin 2 cos

2

x x

a Định nghĩa: Cho hàm số y f x  có tập xác định D Tập T   được gọi là tập giá trị nếu T thoả

mãn hai điều kiện:

i) Với mọi xD kéo theo y f x T, ii) Với mỗi y T , tồn tại xD sao cho y f x .

f Chú ý: Nếu hàm số y f x  có tập giá trị T a b;  thì giá trị lớn nhất của hàm số là b max yb

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là a min ya

3.2 Bài tập

Bài 1 Tìm tập giá trị của hàm số:

a)

sincos

x y

y

x



Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y4sin2x4sinx3 b) ycos2x2sinx2 c) ysin4x2 cos2x1

d) ysinxcosx e) 1sin 3cos 3

 2 Hàm số y f x  được gọi là hàm số lẻ nếu:

i) x D  x D ( D là tập đối xứng), ii) f x f x , x D

f Chú ý:  1 Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua tâm O

 2 Nếu D không là tập đối xứng (Tức là x D mà  x D ), thì ta kết luận hàm số

 

y f x không chẵn, không lẻ

 3 Nếu tồn tại xD mà f x f x  và f x f x  thì hàm số y  f x  không chẵn, không lẻ

Bài 1 Xét tính chẵn – lẻ của các hàm số sau:

a) ysin 2x b) y2 cosx 3 c) ysinxcosx

d) ytanxcotx e) ysin4x f) ysin cosx x

g)

3

3

cos 1sin

x y

a Định nghĩa: Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng D và a b;  D

 1 Hàm số y  f x  được gọi là đồng biến trên khoảng a b;  nếu x1, x2a b;  và

y x K    

 

 Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ đã xác định ở trên

 Suy ra phần đồ thị còn lại qua phép tịnh tiến theo véctơ vk T i .0

về bên trái và bên phải song

song với trục hoành Ox (với i

là véctơ đơn vị trên trục Ox )

 Nhận xét: - Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng

- Hàm số đồng biến trên khoảng 0;

x y

 Nhận xét: - Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng

- Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; và đồng biến trên  ; 2

 Đồ thị:

x y

 Nhận xét: - Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng

- Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

 Nhận xét: - Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

6.2 Bài tập

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

a) y sinx b) ycos 2x c) ytanx 1

7.1 Tập xác định của hàm số lượng giác

Câu 1 Tập xác định của hàm số ycos x là:

Bước 1 Điều kiện để hàm số có nghĩa là sin 0

x x

Câu giải của bạn đó đã đúng chưa? Và nếu sai, thì sai bắt đầu từ bước nào?

A Câu giải đúng B Sai từ bước 1 C Sai từ bước 2 D Sai từ bước 3

Câu 10 Tập xác định của hàm số tan

sin 1

x y

x y

x





 Câu 16 Tìm các giá trị của x   ;  để hàm số 3

cos

2

y x có nghĩa

2 3cos

x y

7.2 Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Câu 1 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A ycos2x B yxcosx C ycosx2 D y x cosx

Câu 2 Chu kỳ của hàm số ysin 2 x1 là:

A T  B 2

3

 C T2  D T 3  Câu 9 Hàm số ycos cos3x x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ:

m   là hàm tuần hoàn với chu kỳ 6  Tổng các phần tử của S bằng

m   là hàm tuần hoàn với chu kỳ 6  Tổng các phần tử của S bằng

7.3 Tập giá trị của hàm số lượng giác

Câu 1 Tìm tập giá trị T của hàm số ysin 2x

Câu 5 Hàm số nào sau đây có tập xác định và tập giá trị đều là  ?

A ysin x B ytan 2 x C y x.cos 1

x

 D y x sin x Câu 6 Xét bốn mệnh đề sau:

(1): Trên  hàm số , ysinx có tập giá trị là 1;1 

Câu 8 Giá trị lớn nhất của hàm số y 3 2 cosx 3 là:

A maxy  5 3 B maxy  3 3 C maxy 3 D maxy  1 3

Câu 9 Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3sin 2

Câu 11 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y2sin2x3 trên đoạn ;

2 Câu 12 Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

A miny 0 B miny 1 C miny 2 D Không xác định

Câu 13 Giá trị nhỏ nhất của hàm số

A miny 0 B miny 1 C miny 2 D Không xác định

Câu 14 Tập giá trị của hàm số ysinxcosx là:

A T   2 ; 2 

  B T   2; 2  C T   D T   1;1  Câu 15 Tập giá trị của hàm số ytanxcotx là:

Câu 23 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ytan2x2 tanx3

A miny 2 B miny 3 C miny 5 D Không xác định được Câu 24 Cho hàm số y2sin2xcos 2x Khi đó tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 26 Với giá trị nào sau đây của m thì hàm số ym sin 2x và hàm số ycosx có cùng tập giá 1

81

16 Câu 35 Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2018 được cho bởi

một hàm số 4sin  60 10

178

y   t 

với t   và t0 Vào ngày nào trong năm thì thành phố

A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

A 28 tháng 5 B 29 tháng 5 C 30 tháng 5 D 31 tháng 5

Câu 36 Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thuỷ triều Độ sâu h (mét) của mực nước

trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức 3cos 12

t

h   

Mực nước của kênh cao nhất khi:

A t 13 (giờ) B t 14 (giờ) C t 15 (giờ) D t 16 (giờ)

Câu 37 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 cos2x 3 sin 2x2m1 nghiệm

A A4m216m25 B A4 m

C A4m28m9. D A4m1

7.4 Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Câu 1 Khẳng định nào sau đây sai?

A ytanx là hàm số lẻ B ycotx là hàm số lẻ

C ysinx là hàm số lẻ D ycosx là hàm số lẻ

Câu 2 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y sin 2 x B ycos 3 x C ytan 4 x D y cot 5 x

Câu 3 Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A ysin 3 x B y x.cosx C ycos tan 2 x x D tan

sin

x y

x

 Câu 4 Cho các hàm số ycot 2 ,x ycosx, y 1 sin ,x ytan2018x Số hàm số chẵn là:

Câu 6 Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A ysin2x B ysin cos x x C ysin tan x x D ysin cot x x

Câu 7 Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A y2xcos x B ycos 3 x C yx2.sinx3  D

3

3

cos

x y

 B ytanxcot x C ysin 2xcos 2 x D y 2 sin 3  2 x

Câu 9 Có bao nhiêu hàm số lẻ trong các hàm số sau: yx.sin ,x y cosx,

x y

Câu 14 Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số  2 

sin 3 2 cos , khi 0

Câu 1 Cho hàm số ysin x Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ; ,

Câu 2 Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ; 0 ?

A ycos x B ysin x C ytan x D ycot x

Câu 3 Với 31 ;33 ,

x   

  mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số ysinx đồng biến B Hàm số ycosx nghịch biến

C Hàm số ytanx nghịch biến D Hàm số ycotx nghịch biến

Câu 4 Cho hai hàm số f x  sin 2 ,x g x   1 cos 2 x Với 0; ,

4

x   

  mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Cả hai hàm số y f x  và y g x  đều nghịch biến

B Cả hai hàm số y f x  và yg x  đều đồng biến

Câu 8 Hàm số ysinx đồng biến trên khoảng?

  hai hàm số nào sau đây cùng đồng biến?

A ysinx và ycos x B ysinx và ytan x

C ysinx và ycot x D ycosx và ycot x

Câu 11 Trên đoạn 0; 2 hàm số  ysinx đồng biến trên những khoảng nào?

  mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số ysinx tăng B Hàm số ycotx giảm

C Hàm số ytanx tăng D Hàm số ycosx tăng

7.6 Đồ thị của hàm số lượng giác

Câu 1 Đồ thị hàm số cos

2

y x 

  được suy ra từ đồ thị  C của hàm số ycosx bằng cách:

A Tịnh tiến  C qua trái một đoạn có độ dài là

2



B Tịnh tiến  C qua phải một đoạn có độ dài là

A Tịnh tiến  C qua trái một đoạn có độ dài là

2



B Tịnh tiến  C qua phải một đoạn có độ dài là

A Tịnh tiến  C qua trái một đoạn có độ dài là

2



và lên trên 1 đơn vị

B Tịnh tiến  C qua phải một đoạn có độ dài là

2



và lên trên 1 đơn vị

C Tịnh tiến  C qua trái một đoạn có độ dài là

2



và xuống dưới 1 đơn vị

D Tịnh tiến  C qua phải một đoạn có độ dài là

2



và xuống dưới 1 đơn vị

Câu 4 Đồ thị của hàm số ytanx là:

Câu 5 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D

x y



Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y 1 sin 2 x B ycos x C y sin x D y cos x

Câu 6 Điểm nào sau đây nằm trên đồ thị của hàm số 2 sin 3

Câu 9 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D

x y

x y



Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A ycos x B y cosx C y cos x D ycos 2 x

Câu 13 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D

x y



Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A ysin x B y sinx C ysin x D y sin x

Câu 14 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D

x y



Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y 1 sin x B y 1 sin x C y 1 sinx D y 1 cos x

Câu 15 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D

x y

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1 Phương trình sinxsina

c sinu sinvsinusin v

d sin cos sin

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) sin 2x2m b) sinx  1 3m 7 c) sin

1

m x m

c cosu cosv cosucos v.

d cos sin cos cos

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) cos 2xm b) cosx  1 2m 7 c) cos 2

1

m x

c tanu tanvtanutan v

d tan cot tan tan

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) tan 2 x 450tan 300 b) tan tan 3

c cotu cotvcotucot v

d cot tan cot cot

Bài 1 Giải các phương trình sau:

Câu 4 Phương trình nào sau đây có cùng tập nghiệm với phương trình cosx  ? 0

A sinx 1 B sinx   1 C tanx 0 D cotx 0

Câu 5 Phương trình cot 2x  3 có các nghiệm là:

Câu 8 Cho phương trình  2 

2m 5m2 cos 2x2m1. Tìm tập hợp M các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm

A M 2;3  B M   ;1  3;.C 1

2

M    

  D M   ;1  3; Câu 9 Trên 0;, phương trình sin 2 1

01sin2

x x

A sin 2x 1 B sin2 x 1. C tanx 1 D tan2x 1

Câu 15 Số nghiệm của phương trình cos 0

Câu 26 Số vị trí điểm biểu diễn của phương trình sin 2 1

x    Câu 29 Trên đoạn 2017; 2017, phương trình sinx 1 sin  x 2 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

14

x  có bao nhiêu nghiệm?

Câu 33 Tổng các nghiệm của phương trình  0

tan 2x 15 1 trên khoảng  0 0

A T 6 B T 3 C T   2 D T   6.

Câu 38 Cho phương trình  1 x  1 xcosx  0 Kết luận nào sau đây về phương trình là đúng?

A Có 1 nghiệm B Có 2 nghiệm C Vô nghiệm D Có vô số nghiệm

Câu 39 Phương trình cos sin x  1 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng 2 ; 2 ?



220.9



24.9



22.9



§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

1.1 Lý thuyết

a Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at bt c  trong đó a b c là các hằng số , , a 0 và t là một hàm số lượng giác

b Mở rộng: at3bt2ct d  (Với 0 t là một hàm số lượng giác)

d Phương pháp giải: (Đặt ẩn biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có))

 tsin ,x tcos :x điều kiện 1  t 1

 t sinx t,  cosx : điều kiện 0 t 1

 tsin2x t, cos2x: điều kiện 0 t 1

 ttan ,x tcot :x không có điều kiện đối với biến t

1.2 Bài tập

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) 2sin2xsinx  3 0 b) 4sin2x4cosx  1 0

4 sin x 2 3  1 sinx 3  0 e) 4cos5x.sinx4sin5x.cosxsin 42 x f) 4cos3x3 2 sin 2x8cosx

g) tan2xcot2x 2 h) cot 22 x4cot 2x  3 0

Bài 2 Giải các phương trình sau:

13cot 5cos x x

i) cos 2 3 cos 4 cos2

b Mở rộng: sin a u b cosu (Với c uu x )

c Điều kiện có nghiệm: a2b2c2

d Phương pháp giải: (Sử dụng công thức cộng để biến đổi phương trình về dạng cơ bản)

B1 Chia hai vế của phương trình cho a2b2 , ta được:

Bài 1 Giải các phương trình sau:

2

x x c) 3 cos 3xsin 3x 2 d) sinxcosx 2 sin5x

2

x   x

  f)  3  1 sin x 3  1 cos x 3   1 0 Bài 2 Giải các phương trình sau:

a) 3sin2x 3 sin 2x3 b) sin 8xcos 6x 3 sin 6 xcos 8x

a) 3sinx2cosx 2 b) 3 cosx4sinx 3 0

c) cosx4sinx  1 d) 2sinx5cosx 5

Bài 4 Tìm m để phương trình m2 sin xmcosx2 có nghiệm

Bài 5 Tìm m để phương trình 2m1 sin xm1 cos xm3 vô nghiệm

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) 2 sin 2x1  3 sin cos x x1  3 cos 2 x  1

b) 3 sin 2x 8 sin cosx x8 3  9 cos 2x  0

c) 4 sin2x3 3 sin cosx x2 cos2x4

d) sin2 sin 2 2 cos2 1

2

e) 2 sin 2 x3  3 sin cos x x 3  1 cos 2 x   1

f) 5sin2x2 3 sin cosx x3cos2x2

g) 3sin2x8sin cosx x4cos2x 0

h)  2  1 sin 2 x sin 2x 2  1 cos 2 x 2

3  1 sin x 2 3 sin cosx x 3  1 cos x 0

j) 3cos4x4sin2xcos2xsin4x 0

k) cos2x3sin2x2 3 sin cosx x 1 0

l) 2cos2x3sin cosx xsin2x 0

m) 2cos2x3sin cosx xsin2x 0

Bài 2 Giảỉ các phương trình sau:

a) sin3x2sin cosx 2x3cos3  0

b) 3 sin cos sin2 2 1

2

x x x  c) sin3x5sin2x.cosx3sin cosx 2x3cos3x 0

Bài 3 Tìm m để phương trình m1 sin 2xsin 2x2 cos2x1 có nghiệm

3m2 sin x 5m2 sin 2x3 2m1 cos x0 vô nghiệm

4 Phương trình đối xứng

4.1 Lý thuyết

a Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là phương trình có dạng :

sin cos  sin cos 0 1 

 Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t

 Giải phương trình này tìm t thoả mãn t  2 Suy ra x.

d Chú ý:

 Với phương trình asinxcosx bsin cosx x c 0