Cho tam giác ABC và M, N là hai điểm di động trên đường thẳng BC sao cho MN BCuuuur uuur=.. Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn AK luôn nằm trên một đường thẳng cố định... BE cắt
Trang 1KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC DỰ THI HSGQG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 QUẢNG BÌNH
Vòng I
Câu 1 (4.0 điểm)
Giải phương trình x= 3−x 4− +x 4− x 5− +x 5−x 3−x
Câu 2 (4.0 điểm)
Cho a là số thực dương tùy ý Xét dãy số ( ) x được xác định như sau: n
;
1
+
n n
n
x
x a x
x , (tử số có n dấu căn); ∀ =n 1,2,3
Tính giới hạn của dãy số ( )x n
Câu 3 (4.0 điểm).
Tìm các hàm số f :¡ →¡ thỏa mãn:
2f xy 2f xyz f x f yz 4 x y z .
Câu 4 (4.0 điểm)
Cho tam giác ABC và M, N là hai điểm di động trên đường thẳng BC sao cho MN BCuuuur uuur= Đường thẳng d1 đi qua M và vuông góc với AC, đường thẳng d2 đi qua N và vuông góc với AB Gọi K là giao điểm của d1 và d2 Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn AK luôn nằm trên một đường thẳng cố định
Câu 5 (4.0 điểm).
Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn có ít nhất một số có tổng các
chữ số chia hết cho 11
Vòng II
Bài 6 (5,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
x y
Bài 7(5,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: xyz = 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P
Trang 2Bài 8(5,0 điểm)
Cho hai đường tròn (I) và (J) cắt nhau tại A và B sao cho IA⊥JA Đường thẳng IJ cắt hai đường tròn tại C, E, D, F sao cho các điểm C, I, E, D, J, F nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó
BE cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai K và cắt AC tại M BD cắt đường tròn (J) tại điểm thứ hai
L và AF tại N
a) Chứng minh rằng: MN ⊥ AB
b) Chứng minh rằng: KE LN ID JE KM LD =
Bài 9(5,0 điểm)
Cho các số nguyên dương n, k, p với k ≥2 và k p( + ≤1) n Cho n điểm phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng Tô n điểm đó bằng hai màu xanh, đỏ (mỗi điểm chỉ tô đúng một màu) Tìm số cách tô màu khác nhau, sao cho các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
1) Có đúng k điểm được tô bởi màu xanh.
2) Giữa hai điểm màu xanh liên tiếp (tính từ trái qua phải) có ít nhất p điểm được tô màu
đỏ
3) Ở bên phải điểm tô màu xanh cuối cùng có ít nhất p điểm được tô màu đỏ.
(Hai cách tô màu được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một điểm được tô màu khác nhau trong hai cách đó)