Trong khoảng thời gian t, con lắc thực hiện 60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong khoảng thời gian t ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần..
Trang 1HỆ THỐNG BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI BÀI TẬP chỉ có tại website: www.Hocmai.vn
I CHU KỲ, TẦN SỐ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC ĐƠN
Tần số góc dao động của con lắc ω g g2
ω
Từ đó, chu kỳ và tần số dao động của con lắc là
2π
1 ω 1 g f
T 2π 2π
Trong cùng một khoảng thời gian Δt mà con lắc thực hiện được N1 dao động, khi tăng hoặc giảm chiều dài con lắc một đoạn Δℓ thì con lắc thực hiện được N2 dao động
Khi đó ta có hệ thức
2 2
1 1
2 1
t N T N T
T
T
Từ đó ta có thể tính được chiều dài con lắc ban đầu và sau khi tăng giảm độ dài
Cũng tương tự như con lắc lò xo, với con lắc đơn ta cũng có hệ thức liên hệ giữa li độ, biên độ, tốc độ và tần số góc như sau: x 2 v 2 2 v 2 2 v 2
trong đó, x α là hệ thức liên hệ giữa độ dài cung và bán kính cung
Ví dụ 1. Tại một nơi trên mặt đất, một con lắc đơn dao động điều hòa Trong khoảng thời gian t, con lắc thực hiện 60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong khoảng thời gian t ấy, nó thực hiện 50
dao động toàn phần Tính chiều dài ban đầu của con lắc? (Đáp số: 100 cm)
………
………
Ví dụ 2. Tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, một con lắc đơn và một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với cùng tần số Biết con lắc đơn có chiều dài 49 cm và lò xo có độ cứng 10 N/m Tính khối lượng vật nhỏ của con lắc
lò xo ? (Đáp số : m = 0,5 kg)
………
………
Ví dụ 3. Con lắc Fu-cô ở tòa thánh I-Xác có chiều dài 9,8 m và g = 9,819 m/s2
a) Tính chu kỳ dao động của con lắc này?
b) Treo con lắc này ở thành phố Hồ Chí Minh có g’ = 9,787 m/s2 thì chu kỳ dao động của nó là bao nhiêu? c) Để con lắc đó ở thành phố Hồ Chí Minh vẫn dao động với chu kỳ như ở I-Xác, thì phải thay đổi chiều dài của con
lắc như thế nào? (Đ/s: giảm 3,22 cm)
………
………
Ví dụ 4. Một con lắc dao động với chu kì 4 s Tính chiều dài dây treo con lắc, nếu tăng chiều dài con lắc thêm 10 cm
thì chu kì con lắc thay đổi như thế nào? (Đ/s: l = 3,97 m; T = 4,05 s)
………
Tài liệu bài giảng (Khóa PEN-C N3)
13 LÝ THUYẾT TỔNG QUAN VỀ CLĐ Thầy Đặng Việt Hùng – Hocmai.vn
Trang 2Ví dụ 5. Con lắc Fu-cô treo ở tòa thánh I-xac có chiều dài 9,8 m Biết gia tốc trọng trường ở đó là 9,819 m/s2
a) Tính chu kì con lắc đó
b) Nếu treo con lắc đó ở thành phố Hồ Chí Minh thì chu kì là bao nhiêu, biết g = 9,787 m/s2 c) Để con lắc ở TP HCM vẫn dao động với chu kì như ở I-xac thì phải thay đổi chiều dài như thế nào?
Đ/s: 6,277 s; 6,287 s; giảm 3,2 cm
………
………
Ví dụ 6. Một con lắc đơn có chiều dài 100 cm, thay đổi chiều dài của nó thì thấy chu kì của nó giảm 10% Hỏi đã tăng
hay giảm chiều dài bao nhiêu %? (Đ/s: giảm 19 cm)
………
………
Ví dụ 7. Một con lắc đơn có chiều dài 80 cm, giảm chiều dài của nó đi 20 cm thì chu kì của nó tăng hay giảm bao
nhiêu %? (Đ/s: giảm 13,4%)
………
………
Ví dụ 8. Hai con lắc có độ dài hơn kém nhau 15 cm Trong cùng một khoảng thời gian con lắc 1 thực hiện 40 dao
động, con lắc 2 thực hiện 20 dao động Tính chiều dài của 2 con lắc? (Đ/s: 5 cm và 20 cm)
………
………
Ví dụ 9. Một con lắc đơn dài l, trong thời gian t nó thực hiện 6 dao động Người ta cắt bớt để chiều dài của nó giảm
16 cm vẫn trong khoảng thời gian trên nó thực hiện 10 dao động Tính chiều dài ban đầu của nó? (Đ/s: 25 cm)
………
………
Ví dụ 10 Hai con lắc đơn chiều dài l1, l2 (l1 > l2) và có chu kì dao động tương ứng là T1; T2, tại nơi có gia tốc trọng trường g = π2 = 10 Biết rằng, cũng tại nơi đó, con lắc có chiều dài l1 + l2 , chu kì dao động 2 s và con lắc đơn có chiều
dài l1 – l2 có chu kì dao động 0, 4 7 (s) Tính T1, T2, l1, l2
………
………
………
Ví dụ 11 Một con lắc đơn thực hiện dao động trong khoảng thời gian t con lắc thực hiện đc 120 dao động toàn phần,
con lắc đơn thứ 2 thực hiện được 100 dao động toàn phần.Tổng chiều dài của 2 con lắc là 122 cm Tìm l1, l2
………
………
Ví dụ 12 Một con lắc đơn dao động điều hòa tại nơi có gia tốc g = 9,86 (m/s2) Trong 1 phút 30 giây con lắc thực hiện được 90 dao động toàn phần
a) Tính tần số dao động của con lắc
b) Tính chiều dài của con lắc đơn
Lời giải:
a) Trong 90 giây, con lắc thực hiện 90 dao động toàn phần T = 90/ 90 = 1 (s)
Tần số dao động của con lắc f = 1/T = 1 (Hz)
b) Chiều dài của con lắc ℓ = 1 m
Ví dụ 13 Một con lắc đơn có độ dài ℓ1 dao động với chu kỳ T1 = 0,8 (s) Một con lắc đơn khác có độ dài ℓ2 dao động với chu kỳ T1 = 0,6 (s)
a) Chu kỳ của con lắc đơn có độ dài ℓ1 + ℓ2 là bao nhiêu?
b) Chu kỳ của con lắc đơn có độ dài ℓ1 – ℓ2 là bao nhiêu?
Lời giải:
Trang 3a) Chu kỳ của con lắc đơn có độ dài ℓ1 + ℓ2:
T 4π 4π 4π 4π T T T T T 0,8 0,6 1(s)
b) Chu kì con lắc đơn có độ dài ℓ1 – ℓ2 :
T 4π 4π 4π 4π T T T T T 0,8 0,6 0,53 (s)
Ví dụ 14 Trong cùng một khoảng thời gian con lắc có chiều dài ℓ1 thực hiện được 8 dao động, con lắc có chiều dài ℓ2
thực hiện được 10 dao động, biết hiệu chiều dài hai con lắc bằng 9 (cm) Tìm chiều dài mỗi con lắc?
Lời giải:
Gọi chu kì con lắc có chiều dài ℓ1 là T1, chu kì con lắc có chiều dài ℓ2 là T2
Ta có t = 8T1 = 10T2 T1/T2 = 5/4 ℓ1/ℓ2 = 25/16 ℓ1 > ℓ2
Từ đó ta có hệ phương trình: 1 2 1
Ví dụ 15 Trong cùng một khoảng thời gian, con lắc đơn dài ℓ1 thực hiện được 5 dao động bé, con lắc đơn dài ℓ2 thực hiện được 9 dao động bé Hiệu chiều dài dây treo của hai con lắc là 112 (cm) Tính độ dài ℓ1 và ℓ2 của hai con lắc?
Lời giải:
Gọi chu kì con lắc có chiều dài ℓ1 là T1, chu kì con lắc có chiều dài ℓ2 là T2
Ta có t = 5T1 = 9T2 T1/T2 = 9/5 ℓ1/ℓ2 = 81/25 ℓ1 > ℓ2
Ta có hệ phương trình 1 2 1
112 50 (cm)
Ví dụ 16 Một con lắc đơn chiều dài 99 (cm) có chu kì dao động 2 (s) tại A
a) Tính gia tốc trọng trường tại A
b) Đem con lắc đến B, ta thấy con lắc thực hiện 100 dao động mất 199 (s) Hỏi gia tốc trọng trường tại B tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với gia tốc trọng trường tại A
c) Muốn con lắc dao động tại B với chu kì 2 (s) thì ta phải làm như thế nào?
Lời giải:
a) Ta có
2
4π 4π 0,99
b) Chu kì con lắc tại B: TB t 199 1,99 (s)
n 100
Từ đó ta được
g g
Vậy gia tốc trọng trường tại B tăng 1% so với gia tốc trọng trường tại A
B A
.g 0,99.9,86
Vậy cần tăng chiều dây thêm đoạn: Δ 1 0,99 0,01(m) 1(cm).
Ví dụ 17 Hai con lắc đơn dao động trên cùng mặt phẳng có hiệu chiều dài là 14 (cm) Trong cùng một khoảng thời
gian: khi con lắc 1 thực hiện được 15 dao động thì con lắc 2 thực hiện được 20 dao động
a) Tính chiều dài và chu kì của hai con lắc Lấy g = 9,86 m/s2
b) Giả sử tại thời điểm t hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều thì sau đó bao lâu cả hai con lắc cùng qua
vị trí cân bằng theo cùng chiều như trên
Lời giải:
16
t 15T 20T 3.2π 4.2π 9 16
Mặt khác ta có: 1
1 2
2
32 (cm) 14
18 (cm)
T 2π 2π 1,13 (s); T 2π 2π 0,85 (s)
b) Gọi thời gian cả hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều (còn gọi là khoảng thời gian giữa hai lần trùng
phùng liên tiếp), ta có t N T1 1N T2 2 (với N1 và N2 số dao động con lắc 1 và 2 thực hiện trong thời gian Δt)
Trang 4Mà T1 4T2 N2 4N1
, tức là khi con lắc 1 thực hiện được 4 dao động thì con lắc 2 thực hiện được 3 dao động
1
t 4T 4.1,13 4,52 (s)
II PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC ĐƠN
Gọi phương trình dao động của con lắc đơn là x = Acos(ωt + φ)
Ta cần xác định các đại lượng trong phương trình:
- Tần số góc ω:
2 2
g ω 2π
T v ω
A x
- Biên độ dao động A:
max
2 2 2
o
v A ω v
A x
ω
A α
- Pha ban đầu φ: Tại t = 0, o
o
x A cos φ
v ωAsin φ
Chú ý: Cách viết trên là áp dụng cho li độ dài, sử dụng mỗi liên hệ giữa li độ dài và li độ góc ta có thể đưa phương trình dao động về theo li độ góc: 0
0
A α
α α cos( ωt φ ) rad.
x α
Ví dụ 1 Một con lắc đơn dao động điều hoà ở nơi có gia tốc trọng trường là g = 10 (m/s2), cho π2 = 10, dây treo con lắc dài ℓ = 80 (cm), biên độ dao động là 8 (cm) Chọn gốc toạ độ là vị trí cân bằng, gốc thời gian là lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều dương Viết phương trình dao động của con lắc
Lời giải:
Gọi phương trình dao động tổng quát là x = Acos(ωt + φ) cm
Tần số góc ω g 10 π 5(rad/s)
0,8 2
Chọn gốc thời gian (t = 0) là lúc con lắc đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương nên ta có
o
o
φ (rad)
v 0 ωAsin φ 0 sin φ 0 2
Vậy phương trình dao động của con lắc là 8cos π 5 π
Ví dụ 2 Một con lắc đơn dao động điều hòa có chiều dài ℓ = 20 (cm) Tại t = 0, từ vị trí cân bằng truyền cho con lắc
một vận tốc ban đầu 14 (cm/s) theo chiều dương của trục tọa độ Lấy g = 9,8 (m/s2), viết phương trình dao động của con lắc
Lời giải:
Tần số góc ω g 9,8 7 rad/s
0, 2
Áp dụng hệ thức độc lập ta có
2 2
2 2
2 2
v 14
ω 7
Do t = 0 vật qua VTCB theo chiều dương nên ta có o
o
φ (rad)
v 0 ωAsin φ 0 sin φ 0 2
Vậy phương trình dao động của con lắc là x = 2cos(7t – π/2) cm
Ví dụ 3. Một con lắc đơn treo một vật nặng có khối lượng 100 g, chiều dài dây treo là 1 m, treo tại nơi có g = 9,86 m/s2 Bỏ qua mọi ma sát Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc α0 rồi thả không vận tốc đầu Biết con lắc dao động điều hòa với năng lượng E = 8.104 J
a) Lập phương trình dao động điều hòa của con lắc, chọn gốc thời gian lúc vật nặng có li độ cực đại dương Lấy π2 =
10
………
………
………
Trang 5b) Tính lực căng dây khi vật nặng qua vị trí cân bằng
………
Ví dụ 4. Một con lắc đơn dao động điều hòa có chu kỳ dao động T = 2 s Lấy g = 10 m/s2, π2 = 10 Viết phương trình dao động của con lắc biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05 rad và vận tốc v = –15,7 cm/s ………
………
………
………
Ví dụ 5. Con lắc đơn có chu kì T = 2 s Trong quá trình dao động, góc lệch cực đại của dây treo là α0 = 0,04 rad Cho rằng quỹ đạo chuyển động là thẳng, chọn gốc thời gian là lúc vật có li độ α = 0,02 rad và đang đi về phía vị trí cân bằng Viết phương trình dao động của vật? ………
………
………
………
Ví dụ 6. Một con lắc đơn có chiều dài dây treo l = 20 cm treo tại một điểm cố định Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc bằng 0,1 rad về phía bên phải, rồi truyền cho nó vận tốc bằng 14 cm/s theo phương vuông góc với sợi dây về phía vị trí cân bằng thì con lắc sẽ dao động điều hòa Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng từ vị trí cân bằng sang phía bên phải, gốc thời gian là lúc con lắc đi qua vị trí cân bằng lần thứ nhất Lấy g = 9,8 m/s2 Viết phương trình dao động của con lắc đơn? ………
………
………
………
………
………
III TỐC ĐỘ, LỰC CĂNG DÂY, GIA TỐC CỦA CON LẮC ĐƠN Tốc độ của con lắc đơn được cho bởi công thức max o 0 o min o v 2g 1 cosα ; khi α 0 v 2g cosα cosα v 0; khi α α Lực căng dây được cho bởi công thức max o 0 o min o o τ mg 3 2cosα ; khi α 0 τ mg 3cosα 2cosα τ mg.cosα ; khi α α Từ đó suy ra max o o min o o o mg 3 2cosα τ 3 2cosα 3 2 τ mg.cosα cosα cosα Chú ý: Khi con lắc đơn dao động điều hòa (góc lệch nhỏ) thì ta có 2 2 2 o 2 2 o v g α α τ mg 1 1,5α α Gia tốc của vật nặng: tt 2 2 2 2 2 tt n 0 n 0 a g sin α a a a g sin α 4 cosα cosα v a 2g cos α cosα Ví dụ 1. Một con lắc đơn có l = 100 cm; treo tại nơi có g = 10 m/s2 Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng một góc αo = 600 rồi buông ra để con lắc chuyển động với vận tốc ban đầu bằng không a) Tính tốc độ của con lắc tại tại vị trí biên và vị trí cân bằng
b) Tính tốc độ của con lắc tại vị trí có góc lệch α = 450 so với phương thẳng đứng
c) Tại vị trí mà v 1vmax 3 thì phương dây treo con lắc hợp với phương ngang một góc bằng bao nhiêu? ………
Trang 6Ví dụ 2. Một con lắc đơn có l = 100 cm; treo tại nơi có g = 9,8 m/s2 Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng một góc 600 rồi buông ra để con lắc dao động Khi vật nặng con lắc có tốc độ 2 m/s thì góc lệch của dây treo con lắc với phương thẳng đứng bằng bao nhiêu? (Đ/s: 45 0) ………
………
Ví dụ 3. Một con lắc đơn có m = 100 g; l = 90 cm; treo tại nơi có g = 10 m/s2 Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng một góc 600 rồi buông ra để con lắc dao động a) Tính tốc độ, lực căng dây khi α = 300
b) Tính tỉ số max min τ τ
c) Khi lực căng dây có giá trị 1,86 N thì góc lệch của dây treo con lắc với phương thẳng đứng là? ………
………
Ví dụ 4. Một con lắc đơn có m = 200 g; l = 1 m; treo tại nơi có g = 9,8 m/s2 Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng một góc 600 rồi buông ra để con lắc dao động a) Tính tốc độ, lực căng dây khi α = 500
b) Tính lực căng dây lớn nhất và nhỏ nhất
c) Khi lực căng dây τ = 0,5P thì góc lệch của dây treo con lắc với phương thẳng đứng là? (Đ/s: 60 0) ………
………
Ví dụ 5 (ĐH khối A 2009) Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ góc αo, tại nơi có gia tốc trọng trường g, Biết lực căng dây cực đại bằng 1,02 lần lực căng dây cực tiểu, Tìm α0? (Đ/s: 6,6 0) ………
………
Ví dụ 6 (ĐH khối A 2012) Một con lắc đơn dao động với biên độ góc αo = 600, tại nơi có giá tốc g = 10 m/s2 Biết chiều dài con lắc là 1 m Tại vị trí con lắc có α = 300 thì độ lớn gia tốc của vật nặng bằng bao nhiêu? (Đ/s: 887 cm/s 2) ………
………
………
IV NĂNG LƯỢNG DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC ĐƠN Ví dụ 1. Con lắc đơn có m = 50 g; l = 80 cm treo tại nơi có g = 9,8 m/s2 Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng một góc 600 rồi buông ra để con lắc dao động a) Tính cơ năng của con lắc
b) Khi dây treo con lắc hợp với phương thẳng đứng góc 450 thì động năng của nó bằng bao nhiêu? c) Khi lực căng dây treo có độ lớn 2 N thì tốc độ của con lắc bằng bao nhiêu? d) Khi con lắc có Eđ = 3Et thì lực căng dây của con lắc bằng bao nhiêu? ………
………
………
………
Ví dụ 2. Con lắc đơn có m = 100 g; l = 120 cm treo tại nơi có g = 10 m/s2 Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng một góc 600 rồi buông ra để con lắc dao động a) Tính động năng của con lắc khi α = 300
b) Khi con lắc có tốc độ 2 m/s thì thế năng của con lắc bằng bao nhiêu?
c) Khi lực căng dây treo có độ lớn 3,2 N thì thế năng của con lắc bằng bao nhiêu? ………
Trang 7d) Khi con lắc qua vị trí có τ 2P thì thế năng của con lắc bằng bao nhiêu?
………
………
………
Ví dụ 3. Con lắc đơn có m = 200 g; l = 80 cm treo tại nơi có g = 10 m/s2 Biết cơ năng của con lắc bằng 0,8 J
a) Tại vị trí mà động năng gấp hai lần thế năng thì con lắc có tốc độ bằng bao nhiêu?
………
b) Khi thế năng gấp ba lần động năng thì lực căng dây của con lắc có độ lớn bằng bao nhiêu?
………
………
c) Tính tỉ số giữa lực căng dây cực đại và cực tiểu?
………
Ví dụ 4. Tính năng lượng dao động của con lắc đơn trong các trường hợp sau:
a) khối lượng vật nặng là m = 300 g, chiều dài dây treo ℓ = 0,9 m Khi con lắc dao động nó vạch ra cung dài coi như
đoạn thẳng dài 4 cm, lấy g = 10 m/s2
………
b) khối lượng vật nặng là m = 500 g, chiều dài dây treo ℓ = 1 m Góc lệch cực đại của con lắc so với phương thẳng
đứng là αo = 80
………
c) khối lượng vật nặng là m = 200 g, chiều dài dây treo ℓ = 80 cm Góc lệch cực đại của con lắc so với phương thẳng
đứng là αo = 0,15 rad
………
Ví dụ 5. Khối lượng vật nặng là m = 200 (g), chiều dài dây treo ℓ = 0,8 m Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng góc α0 so với phương thẳng đứng thì nó dao động điều hòa với năng lượng E = 3,2.10–4 J Tính biên độ dao động dài của con lắc, lấy g = 10 m/s2
………
………
Ví dụ 6. Một con lắc đơn gồm vật có khối lượng 200 (g) treo tại nơi có g9,86(m / s )2 π (m / s )2 2 Bỏ qua mọi ma sát Con lắc dao động điều hòa theo phương trình α 0,05cos 2πt π (rad)
3
a) Tính chiều dài dây treo và năng lượng dao động của con lắc
b) Tại thời điểm t = 0 vật có vận tốc và li độ bằng bao nhiêu
c) Tính vận tốc và gia tốc vật khi dây treo có góc lệch α0
α (rad) 3
d) Tìm thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí mà tại đó động năng cực đại đến vị trí mà tại đó động năng bằng 3 thế
năng
Lời giải:
a) Từ phương trìnhα 0,05cos 2πt π (rad) α0 0,05(rad)
3
và ω2π(rad / s) Chu kì dao động T 2π 2π 2π 1 2(m)
Năng lượng dao động điều hòa của con lắc đơn
2
3 0
mg α
mω A 0,2.4π 0,035
b) Phương trình dao động của con lắc π
x 3,5cos 2πt (cm)
3
Trang 8Tại
π
x 3,5cos 1,75(cm)
3
t 0
π
v 3,5.2π.sin 19(cm / s)
3
c) Khi α0 A
α (rad) x
Từ
2
2
A x v ω A x v ωA 10,36(cm / s)
3 ω
a ω x ω (2π) 79.78(cm / s )
d) Thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí Wđ max đến vị trí Wđ 3W t
+) Khi Wđ maxthì vật ở vị trí cân bằng x 0
+) Khi
2 2 2 2
Thời gian ngắn nhất để vật đi rừ vị trí cân bằng đến vị trí có x A
2
hoặc x A
2
là như nhau
Chọn t 0 khi cos φ 0 π
sin φ 0 2
Phương trình dao động là
π
x A cos πt
2
T
0 t 4
) tmin 1(s)
6