Tài liêu bội dưỡng thường xuyên môn Toán học năm 2018

Để tạo điều kiện thuận lợi cho các sở giáo dục và đào tạo và đội ngũ giáo viên thực hiện nhiệm vụ bồi dưỡng thường xuyên nội dung bồi dưỡng đáp ứng nhu cầu phát triển nghề nghiệp liên tục của giáo viên (nội dung bồi dưỡng 3) theo quy định tại Thông tư số 262012TTBGDĐT ngày 10 tháng 7 năm 2012 của Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành quy chế bồi dưỡng thường xuyên giáo viên mầm non, phổ thông và giáo dục thường xuyên,

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI

TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG THƯỜNG XUYÊN HÈ

MÔN TOÁN HỌC

THỰC TIỄN ĐỜI SỐNG QUA CÁC BÀI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ

Người biên soạn: TS Trịnh Đào Chiến

Gia Lai, tháng 7 năm 2018

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

NỘI DUNG 6

Chủ đề 1 Nên mua máy bơm nào? 6

Chủ đề 2 Chọn phương án đi taxi 7

Chủ đề 3 Phân tích bản thiết kế đường chạy điền kinh 7

Chủ đề 4 Ước lượng chiều cao 10

Chủ đề 5 Cần dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt? 12

Chủ đề 6 Đặt bến xe ở địa điểm nào? 14

Chủ đề 7 Làm sao trồng được nhiều hoa nhất? 16

Chủ đề 8 Khoanh vùng đất như thế nào? 20

Chủ đề 9 Bạn đã chọn số nào? 24

Chủ đề 10 Chơi như thế nào để thắng? 24

MỞ ĐẦU

Bộ Giáo dục và Đào tạo đã công bố dự thảo các chương trình môn học, hoạtđộng giáo dục trong chương trình giáo dục phổ thông mới, trong đó nội dungchương trình môn Toán đã chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đờisống thực tế và các môn học khác

Môn Toán được phân chia theo hai giai đoạn:

- Giai đoạn giáo dục cơ bản giúp học sinh nắm hệ thống các khái niệm,nguyên lý, quy tắc toán học cần thiết nhất, làm nền tảng cho việc học tập ởcác trình độ tiếp theo hoặc có thể sử dụng trong cuộc sống hằng ngày

- Giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp giúp học sinh có cái nhìntương đối tổng quát về Toán học, hiểu được vai trò và ứng dụng của Toán họctrong đời sống thực tế, những ngành nghề có liên quan đến toán học để họcsinh có cơ sở định hướng nghề nghiệp, có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểunhững vấn đề có liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời

Giáo viên cần giúp học sinh phát triển niềm tin về vị trí, vai trò tích cực củaToán học đối với đời sống trong xã hội hiện đại, khuyến khích học sinh pháttriển hứng thú, sự sẵn sàng tự học hỏi, tìm tòi, khám phá để thành công tronghọc môn Toán

Điểm nổi bật nhất trong dự thảo chương trình của môn Toán đó là gắn môntoán với thực tiễn, ứng dụng trong cuộc sống và thực hiện liên môn giữa toánvới các môn khoa học Học sinh sau khi tốt nghiệp trung học phổ thông khiđứng trước các vấn đề của cuộc sống sẽ biết cách xây dựng mô hình bài toáncho thực tế đó

Hứng thú học tập là một trong những yếu tố quyết định kết quả học tập củahọc sinh Học sinh có khả năng nhưng thiếu hứng thú học tập, chắc chắn kếtquả không thể như mong muốn; giáo viên giỏi chuyên môn nhưng không có

kỹ năng tạo hứng thú học tập cho học sinh cũng chưa thể thành công

Các lí thuyết Toán học luôn xuất phát từ nhu cầu thực tiễn Do vậy, chúng

sẽ phản ánh lại thực tiễn, giải thích và phục vụ thực tiễn Nếu giáo viên chỉ rađược điều này, học sinh sẽ thấy rất thú vị, hứng thú học Toán từ đó sẽ tănglên

Với sự phân bố lượng kiến thức như hiện nay, trong giờ học Toán, nếu ápdụng liên hệ thực tế quá nhiều sẽ ảnh hưởng đến phân phối chương trình, đến

kỹ năng rèn luyện năng lực tư duy giải Toán Các hoạt động ngoại khóa cóthể giúp giải quyết điều này

Một hình thức ngoại khóa khác là tổ chức thăm quan, giúp học sinh trực tiếpthấy được mối liên hệ giữa thực tiễn và Toán học Nhà trường cũng có thể racác tập san, báo Toán Đây sẽ là tiếng nói chung của học sinh yêu Toán, giới

thiệu lịch sử Toán học, các ứng dụng của Toán học trong đời sống, kinhnghiệm kỹ năng tính toán, các sai lầm thường gặp khi giải Toán …

Trong các đề kiểm tra, giáo viên nên đưa vào các bài tập gần gũi với đờisống thực tế Qua đó, sẽ đánh giá được sâu sắc hơn sự thông hiểu bài học củahọc sinh; đồng thời góp phần rèn luyện ý thức toán học hóa các tình huốngtrong thực tế và giáo dục văn hóa toán học cho học sinh…

Do đó, liên hệ với thực tiễn đời sống qua các bài toán Trung học cơ sở làvấn đề cần thiết, có ý nghĩa khoa học

Qua các tài liệu tham khảo như sách, các trang mạng internet, chúng tôi sưu tầm và giới thiệu một số vấn đề trong thực tiễn, có thể chuyển chúng thành

các mô hình Toán học (Hình học, Đại số, Số học) mà trong phạm vi chươngtrình môn Toán ở bậc Trung học cơ sở có thể giải quyết được

Từ đó, tùy mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà giáo viên

có những hình thức tổ chức dạy học thích hợp, kết hợp các hoạt động dạy họctrong lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm nhằm vận dụng kiến thứctoán học vào thực tiễn Chẳng hạn:

- Sử dụng các bài toán thực tiễn vào khâu đặt vấn đề và chuyển ý trong tiết dạy

- Sử dụng các bài toán thực tiễn vào khâu củng cố kiến thức

- Sử dụng bài toán thực tiễn trong các giờ luyện tập, ôn tập chương, ôn tập cuốinăm

- Tăng cường các hoạt động thực hành, qua đó rèn luyện kỹ năng thực hànhtoán học gần gũi với thực tiễn

- Khai thác các kiến thức Toán học vào các bộ môn khác gần với thực tế nhưVật lý, Hóa học, Sinh học, …

- Tăng cường liên hệ thực tế qua các tiết học

- Thường xuyên giao bài tập “dự án” cho các nhóm học sinh thực hiện

- Tăng cường các bài toán thực tiễn vào kiểm tra đánh giá

- Tổ chức các hoạt động ngoại khóa về toán học theo chủ đề cho trước

Nội dung của bài viết này chỉ là những gợi ý ban đầu Từ đó, quý thầy cô cóthể tự mình tìm kiếm những vấn đề khác trong thực tiễn đời sống muôn màumuôn vẻ hoặc qua các tài liệu tham khảo như sách, báo và internet, đặc biệt làwebsite với đường link dưới đây mà bài viết này đã tham khảo:

https://vi.kipkis.com/10_vạn_câu_hỏi_vì_sao_về_ toán_học

“Mười vạn câu hỏi vì sao” là bộ sách phổ cập khoa học dành cho lứa tuổithanh, thiếu niên Bộ sách này dùng hình thức trả lời hàng loạt câu hỏi "Thếnào?", "Tại sao?" để trình bày một cách đơn giản, dễ hiểu một khối lượng lớncác khái niệm, các phạm trù khoa học, các sự vật, hiện tượng, quá trình trong

tự nhiên, xã hội và con người Mục đích của cuốn sách giúp cho người đọc

hiểu được các lý lẽ khoa học tiềm ẩn trong các hiện tượng, quá trình quenthuộc trong đời sống thường nhật, tưởng như ai cũng đã biết nhưng khôngphải người nào cũng giải thích được

Các tập sách đều được viết với lời văn dễ hiểu, sinh động, hấp dẫn, hình vẽminh hoạ chuẩn xác, tinh tế, rất phù hợp với độc giả trẻ tuổi và mục đích phổcập khoa học của bộ sách

Bài viết này cũng là những gợi ý cho nội dung cần bồi dưỡng học sinh giỏibậc Trung học cơ sở, theo xu hướng toán học phổ thông gắn với thực tiễn đờisống hiện nay

NỘI DUNG

Chủ đề 1 Nên mua máy bơm nào?

Một người nông dân có ý định mua một cái máy bơm để phục vụ cho việctưới tiêu vào mùa hạ Khi đến cửa hàng thì được ông chủ giới thiệu về hai loạimáy bơm có lưu lượng nước trong một giờ và chất lượng máy là như nhau Máy thứ nhất giá 1.500.000đ và trong một giờ tiêu thụ hết 1,2 kw

Máy thứ hai giá 2.000.000đ và trong một giờ tiêu thụ hết 1 kw

Theo bạn, người nông dân nên chọn mua loại máy nào để đạt hiệu quả kinh

tế cao?

- Phương án giải quyết:

Chọn máy bơm trong hai loại để mua sao cho hiệu quả kinh tế là cao nhất.Như vậy ngoài giá cả ta phải quan tâm đến hao phí khi sử dụng máy nghĩa làchi phí cần chi trả khi sử dụng máy trong một khoảng thời gian nào đó

Giả sử rằng giá tiền điện hiện tại là 1.000 đ/1kw

Vậy trong x giờ số tiền phải trả khi sử dụng máy thứ nhất là:

4  ngày, tức là không quá 2 năm Vậy:

Trường hợp 1 Nếu thời gian sử dụng máy ít hơn 2 năm thì mua máy thứ

nhất sẽ tiết kiệm hơn

Trường hợp 2 Nếu thời gian sử dụng nhiều hơn hoặc bằng hai năm thì nên

mua máy thứ hai

Nhưng trong thực tế một máy bơm có thể sử dụng được thời gian khá dài

Do vậy trong trường hợp này người nông dân nên mua máy thứ hai

Chủ đề 2 Chọn phương án đi taxi.

Một hãng taxi định giá tiền thuê xe đi cho hành khách theo một trong haicách sau:

- Cách 1: 6000đ/km cho 10km đầu tiên và 2500đ/km cho các km tiếp theo

- Cách 2: 4000đ/km trên cả quãng đường

Ta hãy tư vấn giúp người thân khi thuê xe của hãng taxi này

- Phương án giải quyết:

Gọi S là quãng đường hành khách cần đi

1 Nếu S 10km: Rõ ràng nên chọn cách 2

2 Nếu S 10km: Đặt S 10 x, x 0 Khi đó

Tiền thuê taxi theo cách 1 là: T1  6000.10 2500  x 60000 2500  x

Tiền thuê taxi theo cách 2 là: T2  4000 10 x  40000 4000  x

Vậy, ta tư vấn cho người thân như sau:

2.1 Nếu S  10  x 10 13,333 23,333   km, thì chọn cách nào cũng được 2.2 Nếu S  10  x 10 13,333 23,333   km, thì chọn cách 1

2.3 Nếu S  10  x 10 13,333 23,333   km, thì chọn cách 2

Chủ đề 3 Phân tích bản thiết kế đường chạy điền kinh.

Theo “Tiêu chuẩn Việt Nam”, đường chạy điền kinh (cự ly 200m, 400m,800m, ) được thiết kế như sau:

Đường chạy điền kinh là một đường cong khép kín có kích thước các đoạnthẳng là b 85,96m và bán kính của hai nửa đường tròn ở trong cùng là tròn

là R 36m Vạch ngoài cách vạch liền kề bên trong là 1,25m

- Phân tích các số liệu:

+ Phân tích số liệu thiết kế đường chạy.

Các số liệu nêu trên là các số liệu khá tốt để các cự ly ngắn (100m, 200m,400m) và các cự ly trung bình (800m, 1500m) đều có thể tổ chức được

Thật vậy, giả sử R là bán kính nửa đường tròn thứ nhất, ở trong cùng Thếthì, độ dài nửa đường tròn ở trong cùng là

1 2 2

+ Phân tích sự phân bố các vạch xuất phát:

Giả sử h là khoảng cách giữa hai nửa đường tròn liền kề

Qua khảo sát người ta thấy rằng, trung bình vận động viên thường chạycách mép nửa đường tròn bên trong khoảng 0, 2 - 0,3 mét, giả sử là 0,3 mét Gọi l1 là bán kính nửa đường tròn, là quỹ đạo chạy của vận động viên thứnhất Ta có

Tương tự như vậy cho vận động viên thứ tư, vận động viên thứ năm, Với h 1, 25 mét, thì  h 3,14159 1, 25 3,93   mét.

Tóm lại, để cho công bằng, khi xuất phát ở đường chạy vạch thẳng songsong, vận động viên thứ i 1 phải xếp trên vận động viên thứ i (i 1, 2,3, ) là3,93 mét

Chủ đề 4 Ước lượng chiều cao

Khi du lịch đến thành phố Lui (Hoa Kỳ) ta sẽ thấy một cái cổng lớn dạngParabol bề lõm quay xuống dưới Đó là cổng Acxơ Làm thế nào để tính chiềucao của cổng, khoảng cách từ điểm cao nhất của cổng?

Tính chiều cao của cổng khi ta không thể dùng dụng cụ đo đạc để đo trựctiếp

- Phương án giải quyết:

Cổng dạng Parabol có thể xem là đồ thị của hàm số bậc hai, chiều cao củacổng tương ứng với đỉnh của Parabol Do đó vấn đề được giải quyết nếu tabiết hàm số bậc hai nhận cổng làm đồ thị

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Ta biết hàm số bậc hai có dạng 2

y ax , a 0 Giả sử chiều cao của cổngAcxơ là h 0 Ta phải tiến hành đo đạc để nắm số liệu cần thiết Từ mặt đất,

ta chỉ có thể đo đạc một vài số liệu thực tế, chẳng hạn:

- Số liệu thứ nhất: AB = 162 m Suy ra tọa độ điểm A81; h , điều kiện

43

- Số liệu thứ hai: Với điều kiện có thể (thước dây, cây sào, ), ta đo đạc vàxác định được tọa độ một điểm trên parabol, chẳng hạn là M71;  h 43 , Thay tọa độ điểm A vào phương trình y ax 2, ta có phương trình ẩn a và h

Vậy, theo đo dạc và tính toán của ta, cổng cao 185,61 m, với một sai số nhất

định Trên thực tế cổng Acxơ cao 186m

Chủ đề 5 Cần dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt?

Trong một xưởng cơ khí có những thanh sắt dài 7,4m Người chủ muốn cácthợ của mình cắt mỗi thanh sắt thành các đoạn dài 0,7m và 0,5m để tiện sửdụng Bây giờ người chủ muốn có 1000 đoạn 0,7m và 2000 đoạn 0,5m Bạnhãy ước lượng xem cần dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt 7,4m để làm?

- Phương án giải quyết:

Để tiện cho việc tính toán, ta đổi đơn vị:

7,4 m = 74 dm; 0,7 m = 7 dm; 0,5 m = 5 dm

Từ đây về sau ta dùng đơn vị là dm

Cắt đủ số đoạn theo yêu cầu và phải dùng số thanh sắt 7,4m sao cho ít nhất

Do vậy ta cần tìm cách cắt theo yêu cầu và chọn cách cắt tiết kiệm nhất

Vậy b 2 cần phải chia hết cho 7, với 0  b 14, b , hay b 12 hoặc b 5

Do đó, phương trình 7a 5b 74 có các nghiệm nguyên dương là

2 12

a b

Vậy, với mỗi thanh sắt dài 74 dm, ta có hai cách cắt:

- Kiểu thứ nhất: Cắt thành 2 đoạn 7 dm và 12 đoạn 5 dm

- Kiểu thứ hai: Cắt thành 7 đoạn 7 dm và 5 đoạn 5 dm.

- Bây giờ ta chọn cách tiết kiệm nhất trong hai cách trên.

Gọi x thanh cắt theo kiểu thứ nhất và y thanh cắt theo kiểu thứ hai

Như vậy số đoạn 7 dm là 2x + 7y và số đoạn 5 d m là 12x + 5y

Để có 1000 đoạn 7 dm và 2000 đoạn 5 dm thì x, y phải là nghiệm của hệphương trình

- 242 756 998   đoạn 7 dm (thiếu 2 đoạn 7 dm),

- 1452 540 1992   đoạn 5 dm (thiếu 8 đoạn 5 dm)

Để bù cho số đoạn còn thiếu này, ta cần dùng thêm một số thanh 74 dm,trong đó:

- Nếu dùng 1 thanh để cắt theo kiểu thứ nhất, thì được 2 đoạn 7 dm và 12đoạn 5 dm (thừa 4 đoạn 5 dm)

- Nếu dùng 1 thanh để cắt theo kiểu thứ hai, thì được 7 đoạn 7 dm (thừa 5đoạn 7 dm) và 5 đoạn 5 dm (thiếu 3 đoạn 5 dm), không ổn

- Nếu dùng 2 thanh để cắt theo kiểu thứ hai, thì được 14 đoạn 7 dm (thừa 12đoạn 7 dm) và 10 đoạn 5 dm (thừa 2 đoạn 5 dm), không ổn

Vậy, tốt nhất, ta nên dùng thêm 1 thanh 74 dm để cắt theo kiểu thứ nhất,mặc dù thừa 4 đoạn 5 dm.

Chủ đề 6 Đặt bến xe ở địa điểm nào?

Khi chúng ta đi học, đi làm việc, đi mua hàng, ta thường phải đi xe côngcộng Có người ở gần bến xe, có người ở xa Vậy nên đặt bến xe ở địa điểmnào là tốt nhất? Việc bố trí các bến xe phải dựa trên nguyên tắc nào?

- Phương án giải quyết:

Việc bố trí bến xe tại địa điểm nào dĩ nhiên không thể thuận tiện cho tất cảmọi người Việc chọn địa điểm của bến xe phải dựa trên nguyên tắc là thuậntiện cho số đông người đi xe

Ta thử xem xét một ví dụ đơn giản nhất

Đặt một bến xe trên đường giữa hai đầu một đoạn đường A, B ở mỗi điểmđầu có một xưởng máy Hàng ngày có 20 công nhân ở A và 30 công nhân ở B

đi làm việc bằng xe tương ứng cho mỗi nhà máy

Cần bố trí một bến xe giữa hai nhà máy Vậy cần bố trí bến xe ở địa điểmnào để cho người đi xe cảm thấy thuận tiện và mỗi người đi xe khi đi làm việcbằng xe công cộng (từ bến xe đến nhà máy) là ngắn nhất?

Giả sử bến xe đặt ở điểm C cách A là x mét (0 x a  ) và cách B là a x

mét, a là khoảng cách giữa hai điểm A và B

Nếu gọi S là tổng đoạn đường đi của toàn bộ công nhân ở hai nhà máy thì

Scàng bé nếu x càng lớn, tức là C phải cách điểm A lớn nhất, khi ấy điểm

C trùng với B, nghĩa là bến xe đặt ở ngang cổng nhà máy B là tốt nhất

Từ kết luận trên có thể thấy nguyên tắc chung là bến xe nên bố trí ở nơi nào

có người đi xe nhiều nhất

Nếu đường đi không phải ở gần chỉ hai nhà máy (hoặc trường học) mà cóthể nhiều hơn thì nguyên tắc giải quyết cũng tương tự

Chúng ta thử xét một ví dụ phức tạp hơn

Giả sử con đường nối năm nhà máy A, B, C, D, E Mỗi ngày ở mỗi nhà máytương ứng có 25, 30, 20, 17, 20 công nhân cần đi xe đến chỗ làm việc

Vậy bến xe phải đặt tại điểm F nào đó là tốt nhất?

Phương pháp tính toán như sau:

Trước hết, gọi P là tổng số người cần đi xe Suy ra nửa số người đó là

B, C, D, E

Mặt khác tổng số người cần đi xe ở hai nhà máy A và B nhỏ hơn một nửa sốngười cần đi xe, nên bến xe nên bố trí ở gần hơn về phía nhà máy C, D, E; màtổng số người đi xe ở ba nhà máy A, B, C lớn hơn một nửa số người cần đi xenên bến xe nên đặt ở gần hơn về phía ba nhà máy A, B, C

Theo các trật tự ưu tiên nêu trên thì bến xe vừa phải gần về phía nhà máy A,

B, C lại vừa phải gần ba nhà máy C, D, E

Vì vậy địa điểm bến xe tốt nhất là tại điểm C, nghĩa là tại cổng nhà máy C