KHÔNG GIAN UNITA VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLIDE

TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN 2.1.Hai véc tơ trực giao Hai véctơ a,b thuộc không gian VU hoặc VE được gọi là trực giao với nhau, hay còn gọi là vuông góc với nhau nếu tích vô hướng cuả chún

Chương I KHÔNG GIAN UNITA VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLIDE

§1 ĐỊNH NGHĨA 1.1 Định nghĩa

Cho không gian véctơ V trên trường số phức C

Một ánh xạ: V x V  C

(x , y)  x,y đgl một tích vô hướng trên V, nếu nó

thỏa mãn các tiên đề sau:

U 1: x,y = y,x ,  x,y V

U2: x1x2,y  x1,y  x2,y ,  y,x1 ,x2  V

U 3: x,y k x,y ,  x,y  V,  k  C

U4: x,x 0  x  V, Dấu “ =” xảy ra  x = 0

Không gian véctơ V trên đó đã trang bị một tích vô hướng gọi là

không gian Unita Ký hiệu: VU , hoặc VU

n

Nếu V là không gian véctơ trên trường số thực R thì không gian

Unita được gọi là không gian véctơ Euclide Ký hiệu: VE , hoặc VE

n nếu

dim V = n Khi đó tích vô hướng trong không gian véctơ Euclide thường

ký hiệu là x y . và các tiên đề của tích vô hướng này ký hiệu là : E1 ; E2 ;

E3 ; E4

1.2 Một số tính chất suy ra từ tiên đề

i) x,y1  y2  x,y1  x,y2  x,y1 ,y2  VU

ii) x,l y l x,y  x,y  V U ,  l  C

iii) x, 0 = 0 ,x = 0  x  VU

iv) x1 x2,y  x1,y  x2,y x1,x2,y  VU

v) x,y1 y2  x,y1  x,y2 x,y1,y1  VU

1.3 Ví dụ

i) Cn là một không gian Unita n chiều với tích vô hướng x,y = 



n

i i

i y x

1

Rn là một không gian véctơ Euclide n chiều, với x.y = 



n

i i i

y x

1 ii) Không gian véctơ phức các hàm số liên tục, có giá trị phức, xác định trên [a,b], với ff t g( );g t( )thì tích vô hướng: , ( ) ( )

b

a

f g  f t g t dt là một không gian Unita

Đặc biệt C[a,b] - tập hợp các hàm số thực xác định, liên tục trên [a,b] là một không gian véctơ Euclide, với tích vô hướng thông thường của hai véctơ :

x = x(t), y = y(t) là x.y

= b

a

dt t y t

x( ) ( )

1.4 Modul của véctơ

1.4.1.Định nghĩa

Với mỗi véctơ x thuộc VU ( hoặc VE), giá trị x,x (hoặc x2 ) được gọi là modul của x Ký hiệu: |x|

Nếu |x| = 1 thì x được gọi là véctơ đơn vị

1.4.2.Tính chất

i) |x|  0 Dấu “ = “ xảy  x = 0

ii) |kx| = |k||x|,  k  C

ii) Bất đẳng thức Cauchy –Bunhiacopsky: | x,y |  |x|.|y|

Dấu bằng xảy ra  {x,y} phụ thuộc tuyến tính

iii) Bất đẳng thức tam giác: |x + y|  |x| + |y|  x,y

Dấu bằng xảy ra  x = k y với y 0, k  0

Chứng minh

1.5 Góc giữa hai véctơ trong không gian véctơ Euclide

1.5.1.Định nghĩa

Số đo góc giữa hai véctơ a, b  0 trong không gian véctơ Euclide

là một số thực, ký hiệu (a,b) hoặc (a,b) được xác định bởi:

|

|

|

|

)

,

(

cos

b a

b a b











 với 0 (a,b) 

1.5.2 Tính chất.

i)  (a,b) =  (b,a)

ii ii) 

















0 kl ) b , a ( π

0 kl )

b , a ( ) b , a













iii) (a,b)  0  ak.b với k  0

(a,b)   ak.b với k  0

iv) (a,b) = 2  a b = 0

§2 TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN

2.1.Hai véc tơ trực giao

Hai véctơ a,b thuộc không gian VU ( hoặc VE) được gọi là trực giao với nhau, hay còn gọi là vuông góc với nhau nếu tích vô hướng cuả chúng bằng không và ký hiệu ab

2.2.Hệ véc tơ trực giao, hệ véc tơ trực chuẩn

2.2.1.Định nghĩa

Hệ véctơ  ai 1,m gồm các véctơ ai 0 thuộc không gian VU ( hoặc VE) được gọi là hệ trực giao nếu như chúng từng đôi một trực giao với nhau nghĩa là : a ,i aj 0 với mọi i  j và a ,i ai 0 với i, j = 1 ,m (a i aj 0 với mọi

i  j và a i ai0 với i, j = 1 ,m)

Hệ trực giao gồm các vectơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn, tức là

 ai 1,m là hệ trực chuẩn  a ,i aj  ij ( hoặc a i aj  ij) , với mọi i, j

= 1, ,m

2.2.2 Định lý

Mọi hệ trực giao đều là hệ độc lập tuyến tính

Chứng minh

2.3 Cơ sở trực chuẩn

2.3.1.Định nghĩa

Một cơ sở của VU

n (hoặcVnE ) được gọi là cơ sở trực chuẩn nếu như

hệ véctơ đó là hệ trực chuẩn

Vậy hệ  ei 1,n là cơ sở trực chuẩn  e ,i ej   j (hoặc e i ej   j); với mọi i, j = 1, ,n

Như vậy, một hệ n véctơ trực chuẩn của không gian Unita (hoặc không gian véctơ Euclide) n chiều là một cơ sở trực chuẩn

2.3.2 Định lý

Mọi không gian Unita V U

n (hoặc không gian véctơ Euclide V n E ) (n1) luôn tồn tại một cơ sở trực chuẩn.

Chứng minh

2.4 Tọa độ trực chuẩn

2.4.1.Định nghĩa

Tọa độ của vectơ x VU

n (hoặc VnE ) đối với một cơ sở trực chuẩn

được gọi là tọa độ trực chuẩn trong VU

n (hoặc VnE )

2.4.1 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Giả sử : x ( , , ),x1 x n y ( , , )y1 y n đối với cơ sở trực chuẩn  ei 1,n Khi đó:

+Trong VU









n

i i i

y x y

x

1

,



= [x]x[y] ; |x |= 



n

i i

x

1

2

|

|

+Trong VnE : x y x y    x x y

i n

i i





 1

. 







n

i i

x x

1 2



1

os( , )

n

i i i

x y

c x y







 

2.4.3.Ý nghĩa hình học của tọa độ trực chuẩn

 

( , , ) /n i n

x x x e trong VU

n(hoặc VE

n)  x i  x,ei (hoặc x i x.ei); i=1 ,n

§3 SỰ TRỰC GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN CON

3.1 Không gian Unita con, không gian véctơ Euclide con

Giả sử P là không gian véctơ con của V U

n Ta lấy tích vô hướng đã

định nghĩa trong VU

n trang bị cho P, khi đó trên P xác định được một tích vô hướng nên P là một không gian Unita.

Ta gọi P là không gian con của VU

n ( hoặc VnE )

3.2 Định nghĩa

 P và Q trực giao với nhau nếu như mọi véctơ của P trực giao với

mọi véctơ của Q Ký hiệu: P Q.

 P và Q trực giao với nhau và V = P + Q thì P và Q đgl bù trực

giao với nhau Khi đó P được gọi là phần bù trực giao của Q và ngược

lại Ký hiệu: P = Q và Q = P

3.3 Tính chất

i)  0 trực giao với mọi không gian con.

ii) P và Q là các kgc trực giao với nhau thì PQ  0

Do đó, P bù trực giao với Q thì V = P  Q.

iii) Nếu P  Q thì dimP + dim Q  dimV

iv) Nếu P bù trực giao với Q thì dim P + dim Q = dimV.

v) Đk cần và đủ để hai kg P và Q của VU

n trực giao với nhau là

trong P tìm được cstc  ei 1,pvà trong Q tìm được cstc  e'j 1,p sao cho

 i p

q

j

j

i e

e , ' 11,,







là hệ trực chuẩn của VU

n Chứng minh

Hệ quả Đk cần và đủ để hai kg P và Q của VU

n bù trực giao với

nhau là trong P tìm được cstc  ei 1,pvà trong Q tìm được cstc '

1,

{ }ej q sao cho  i p

q j j

i e

e 1,

, 1

'

, 







là cstc của VU

n

vi) Giả sử P, Q, R là các không gian con của VU

n Khi đó nếu P trực giao với Q, và P là phần bù trực giao của R thì Q là không gian con của

R Chứng minh

§4 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP 4.1 Dạng song tuyến tính liên hợp

4.1.1.Định nghĩa

Cho không gian vectơ V trên trường số phức C, khi đó ánh xạ

S : V x V  C

( x y , )  S (x y , )

được gọi là song tuyến tính liên hợp, nếu như

) ( , ) ( , ) ( , ) ) ( , ) ( , ) ( , )

        ,  C; x1, x2 ,y1 ,y2 ,x, yV

4.1.2.Biểu thức tọa độ

Trong Vn cho cơ sở  ei 1,n và S là một dạng song tuyến tính liên hợp Giả sử S(ei,ej) a ij i, j =1 ,n và x ( , , ),x1 x n y ( , , )y1 y n / ei 1,n

( , ) ( n i i, n j j) n i j ( , )i j n i j (1)

S x y S x e y e x y S e e x y a

Ký hiệu: A = [ aij ] = S(ei,ej)

Và ( 1 )  S(x,y)  x x A  y ( 2 )

4.2 Sự liên hệ giữa dạng song tuyến tính liên hợp và phép biến đổi tuyến tính trong không gian Unita

4.2.1.Cho phép biến đổi tuyến tính:  : VU

n  V U

n

Xét ánh xạ S: V U

n x V U

n  C

x,y  <(x ,) y>

Dễ dàng nhận thấy S là một dạng song tuyến tính liên hợp





n k

k ki

e

1

)

Ta có b ij S e e( , )i j ( ),e e i j 

ki , ki , ji

Nên B = AX với A = [aki], B = [bij]

Như vậy, với một phép biến đổi tuyến tính  của VU

n thì xác định duy nhất một dạng song tuyến tính liên hợp S( x y , )=  ( ),x y có ma trận là ma trận chuyển vị của  đối với một cơ sở trực chuẩn đã

Định lý: Công thức Sx, y = < (x ,) y> (1) thiết lập trong V U

n một

sự tương ứng 1- 1 giữa các dạng song tuyến tính liên hợp và các phép biến đổi tuyến tính

4.2.2.Mặt khác, ta có thể xác định sự liên hệ giữa dạng song tuyến tính

liên hợp với phép biến đổi tuyến tính trong VU

n như sau:

Cho dạng song tuyến tính liên hợp Sx, y, ta xác định phép biến đổi

tuyến tính  * bởi điều kiện: Sx,y = < x,  * (y)> (2)

Đặt *

ij 1

( )i n j

i







mà các số cji là các số cần xác định

Ta có:

*

1

( , )i j i, ( )j i, n k

k



Nên c ij = bij = aji

Nên ma trận của * là A x

Như vậy, nếu  * là phép biến đổi tuyến tính của V U

n thõa mãn điều kiện (2) thì ma trận của * là ma trận liên hợp của Sx,y đối với cơ sở

trực chuẩn đã chọn (là ma trận liên hợp chuyển vị của  đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn)

Kết luận: Cho một phép biến đổi tuyến tính  : V U

n V U

n thì tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính  *: V U

n V U

n thõa mãn:









  (x), y x,  * (y) và ngược lại

Nếu A là ma trận của phép biến đổi tuyến tính thì ma trận của dạng song tuyến tính liên hợp với phép biến đổi tuyến tính liên hợp là gì?

4.3 Định nghĩa

Cho phép biến đổi tuyến tính : V U

n V U

n khi đó phép biến đổi tuyến tính *: V U

n V U

n thõa mãn:   (x), y   x,  * (y)  được gọi là

phép biến đổi tuyến tính liên hợp của 

4.4 Tính chất.

i) (*)* =  ii).(id)* = id

iii).(    ) *   *   * iv) ( o ) *   *o *

v) (k ) * k *  k  C

§5 PHÉP BIẾN ĐỔI UNITA -PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO

5.1 Đẳng cấu Unita, đẳng cấu trực giao

5.1.1 Định nghĩa

Đẳng cấu tuyến tính  : V U

 V’U được gọi là một đẳng cấu Unita

nếu với mọi x, y thuộc V U ta có:   ( ), ( )x  y  x y , 

Đẳng cấu trực giao ?

Khi đó ta nói rằng V u đẳng cấu với V’u Ký hiệu: V UV’U

5.1.2 Tính chất

i)Quan hệ đẳng cấu giữa các không gian Unita là quan hệ tương đương

ii)Hai không gian Unita đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng

số chiều

5.2 Định nghĩa

Đẳng cấu Unita : V U V U được gọi là phép biến đổi Unita

Vậy phép biến đổi Unita ?

Và

phép biển đổi trực giao?

Nhận xét:

Cho  : V U

 V U là phép biến đổi Unita Khi đó ta có:







x,y  (x),  (y) x,  * [  (y)] Suy  *   = idV

Tương tự thì *  idV

Vì vậy: *   *= idV, nên *  1

 



Ngược lại, nếu *  1

 









 x,y x,(1 )y x,( *)(y) (x),(y) Nên  bảo tồn tích vô hướng, tức là  phép biến đổi Unita

Vậy phép biến đổi tuyến tính là phép biến đổi Unita khi và chỉ khi *  1

 

5.3 Ma trận Unita, ma trận trực giao

5.3.1.Định nghĩa.

5.3.2.Tính chất

i) A là ma trận Unita A x A = AA x = E

A là ma trận trực giao  Ax A = A Ax = E

ii) Công thức đổi tọa độ trực chuẩn trong V U

n (hoặc V E

n) là [x’] = B[x], trong đó B là ma trận Unita (hoặc ma trận trực giao) cấp n

5.4 Các tính chất của phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao)

i) Phép đồng nhất id V của V U ( hoặc V E) là phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao)

ii) Tích của hai phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao)

là một phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao)

iii) Nghịch đảo của phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực

giao) là phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao)

iv) Các giá trị riêng của phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi

trực giao) đều có modul bằng 1

Chứng minh

v) Cho  là phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao), P

là một không gian con bất biến đối với  , Q bù trực giao với P thì Q bất

biến đối với 

n có x là véctơ riêng

ứng với giá trị riêng , khi đó tập hợp tất cả các véctơ của V U

n trực giao với x là một không gian con bất biến của  , và có số chiều bằng n - 1

n thì V E

n là tổng trực tiếp của các không gian con một chiều, hoặc hai chiều bất biến đối với  và đôi một trực giao với nhau

vi) Cho  là phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao) thì

các không gian con bất biến của  ứng với những giá trị riêng phân biệt trực giao với nhau

vii) Ánh xạ tuyến tính  : VU VU (hoặc : VE VE) là một phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao)   bảo tồn module của véctơ

Chứng minh

 VU (hoặc : VE

 VE) là một phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao)   bảo tồn tích vô hướng

viii) Nếu  là phép biến đổi Unita của V U

n thì tồn tại một cơ sở trực chuẩn mà đối với cơ sở đó ma trận của  có dạng chéo và các phần tử trên đường chéo đó có modul bằng 1

Hệ quả 4 Cho A là ma trận Unita cấp n, tồn tại ma trận Unita U cấp

n sao cho UAU-1 là ma trận chéo với các phần tử chéo đều có modul bằng

1

ix) Cho  là phép biến đổi trực giao của V E

n , khi đó ta tìm được một cơ sở trực chuẩn sao cho đối với cơ sở đó ma trận của  có dạng:

















































1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

2 1

k

A

A A









i i

i i









cos sin

sin cos

§6 PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ LIÊN HỢP

6.1.Định nghĩa

Phép biến đổi tuyến tính  của không gian Unita (hay không gian véctơ Euclide) được gọi là phép biến đổi tự liên hợp, nếu  *   Như

vậy, phép biến đổi tuyến tính  là phép biến đổi tự liên hợp, nếu

( ),x y x, ( )y

     

Phép biến đổi tự liên hợp của V U còn gọi là phép biến đổi Ecmit,

phép biến đổi tự liên hợp V E còn gọi là phép biến đổi đối xứng

6.2.Định lý.

Nếu  ei 1,n là một cơ sở tùy ý của VU

n (hay VE

n) thì phép biến đổi tuyến tính  là tự liên hợp khi và chỉ khi: <(ei),ej> = <ei, (ej)>, với i =

n

,

1

6.3 Ma trận của phép biến đổi tự liên hợp.

Nếu trong V U

n (hoặc V E

n) cho một cơ sở trực chuẩn  ei 1,n và  là một phép biến đổi tự liên hợp Gọi A là ma trận của  đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn

Do:  *   , nên đối với phép biến đổi Ecmit ta có A = A x và ma trận này còn được gọi là ma trận Ecmit

Do:  *  , nên đối với các phép biến đổi đối xứng ta có A = Ax, và

ma trận này được gọi là ma trận đối xứng

Phép biến đổi tuyến tính  của V U

n (hoặc của V E

n) là phép biến đổi

tự liên hợp khi và chỉ khi ma trận A của  đối với cơ sở trực chuẩn là ma

trận Ecmit (hoặc ma trận đối xứng)

6.4.Tính chất của phép biến đổi tự liên hợp.

i) Cho phép biến đổi tự liên hợp của V U

n (hoặc V E

n) và W là một

không gian con bất biến đối với  thì |W : W  W cũng tự liên hợp và phần bù trực giao của W cũng bất biến đối với 

ii) Mọi phép biến đổi tự liên hợp  của VU

n (hoặc V E

n) đều có véctơ riêng

iii) Cho  là phép biến đổi tự liên hợp thì các véctơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau luôn trực giao với nhau:

iv) Nếu  là phép biến đổi tự liên hợp của V U

n (hoặc V E

n) thì trong chúng tồn tại cơ sở trực chuẩn gồm những véctơ riêng của 

v)Mọi giá trị riêng của phép biến đổi Ecmit đều là số thực

Định lý: Phép biến đổi tuyến tính : V U

n  V U

n là phép biến đổi

Ecmit khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở trực chuẩn của V U

n mà ma trận của

 là ma trận thực, chéo

vi)Nếu A là ma trận Ecmit cấp n thì có một ma trận Unita U cấp n

để UAU-1 có dạng thực, chéo

Nếu A là ma trận đối xứng cấp n thì có một ma trận trực giao C cấp

n để CAC-1 có dạng chéo