Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức... Tìm sao cho đạt giá m P trị nhỏ nhất... Cho và là các số nguyên dương khác... Giá trị nhỏ nhất của là A... Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin... Giá trị nhỏ
Trang 1Câu 1. Cho 0< < <a 1 b, ab >1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
log
1 log log
a
b
Lời giải
Do 0< < <a 1 b, ab >1 nên suy ra loga b <0
Mặt khác ta có logb ab >0 Ûlogb a + >1 0 1 log 0
loga a
b b
+
Û > Þloga b + <1 0
Ta có
log
1 log log
a
b
4
1 log
a
b
4
1 log
log 1
1 log
1 log 1 log
a
a a
b
b b
ö÷
- ççç -è + - ÷÷÷ø
4
1 log
1 log
a
a
b
b
+
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : ( 1 log ) 4 4
1 log
a
a
b
-Suy ra P £ -4
Đẳng thức xẩy ra Û +1 loga b = -2 Û loga b = -3 Ûa b3 =1
Câu 2. Cho hàm số ( ) 9 Tính tổng
x x
f x =
+
( )
S = fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+ +fæçççç ö÷÷÷÷+f
4
4
4
S =
Lời giải
1
x
x
x
x +
+
S = éêêfæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷ù éú êú ê+ fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷ùúú +
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT, TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC.
Trang 2( )
2017 2017
é æç ö÷ æç ö÷ù
+ê ççç ÷÷+ ççç ÷÷ú+
1008
1 1 1 f 1
= + + + +
soá
9 1008
9 3
+ =1008+ 34 = 40354
Câu 3. Cho m =loga( )3ab , với a >1,b>1 và P =loga2b +16logb a Tìm sao cho đạt giá m P
trị nhỏ nhất
2
Lời giải
Vì a >1,b>1, ta có: 1 1 log3( )
log 0
a a
b
ìïï = + ïïí
ïï >
ïïî
log
a
a
b
t
= + + 3 .3t2 8 8
t t
³
12
=
Dấu “ ” xảy ra khi = t2 8
t
= Û =t3 8 Û =t 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =12 khi loga b =2 Suy ra m = 1 1 23( )+ =1
Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của ( 2)2 2 với , là các số thực thay đổi thỏa
loga 6 log b
a
b
a
ç
÷
mãn b a> >1 là
Lời giải
loga 6 log b
a
b b
a
ç + çç ÷÷
÷
4 loga 6 log b
a
b
a
ç
÷
4 loga 6 1 log b
a
÷
2
log
a
a
b
b a
ç
÷÷
a
a
b
b
ç
= + ççè + - ÷÷÷ø
2
2
t
Þ = + ççç + - ÷÷
2
2
t t
t
æ - ÷ö
= + ççç - ÷÷
2
2 4 6
2
t t t
æ - ÷ö
³ ççç -è ÷÷ø Cosy
Dấu bằng xảy ra khi:
2 2
min 2 4 6 1
2
t
t
æ - ÷ö
Þ = ççç -è ÷÷ø
Trang 32
t t
t
æ - ÷ö
= ççç - ÷÷
1
2 1
2
t t
t t t
t
é æç - ÷ö
ê çç -è ÷ø ê
Û êêê = - çæççç -- ÷ö÷÷÷
êë
2 ( 2) 6( 1)
-ê
Û êê
-ë
2 2
ê
Û êê
ë
4
4
4
4
t t t t
-ê = êê
ê = ê
Û êê
-= êê
ê = êë
Câu 5. Cho và là các số nguyên dương khác Gọi là tích các nghiệm của phương trình m n 1 P
Khi là một số nguyên, tìm tổng
8 logm x logn x -7 logm x-6logn x -2017 0= P
để nhận giá trị nhỏ nhất?
Lời giải
Đặt t =logm x, lúc đó x m= t
Phương trình trở thành
2 2
7 6logn m 4.2017.8 logn m
nguyên
1 2
7 6log
8 log
m
+ +
Lần lượt thử các đáp án ta chọn được đáp án C.
Câu 6. Cho hai số thực a b, thỏa mãn 1 b a£ < 3 Biểu thức
có giá trị lớn nhất bằng
2
2 1 loga b 4 2loga 3
a
8
Lời giải Chọn A
3
1£ <b a Û log 1 loga £ a b £ Û £1 0 loga b £1
Trang 42
a
Đặt x =loga b
3
2
P = x + -æçç x ö÷÷÷ +
2
2
P = x - xæçç - x ö÷÷÷
( )
2
2
2
0 1
2
x
é = ê
- ççç - ÷÷ = Û ê æç ö÷
÷
ë Lập bảng biến thiên ta có P( )0 =67
Câu 7. Cho hàm số ( ) 16 Tính tổng
16 4
x x
f x =
+
S = fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+ +fæçççç ö÷÷÷÷
5
5
5
S =
Lời giải
Nhận xét: Cho x y+ =1
Ta có ( ) ( ) 16 16 16 4.16 16 4.16 1
S = fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+ +fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷
1008
so hang
+
Câu 8. Cho số dương và thỏa mãn 2 a b log2(a + +1) log2( )b+ ³1 6 Giá trị nhỏ nhất của
là
A minS =12 B minS =14 C minS =8 D minS =16
Lời giải
Ta có log2(a + +1) log2( )b + ³1 6Û log2(a +1)( )b+ ³1 6 Û +(a 1)( )b+ ³1 64
Trang 5Mà 64 ( )( )1 1 2 2
2
a b
a b æç + + ÷ö÷
( )
14 18
a b
é + ³ ê
Û ê + £-êë
Nên minS =14
Câu 9. Cho hàm số ( ) 4 Tính tổng
x x
f x =
+
S = fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+ +fæçççç ö÷÷÷÷
2
2
Lời giải Chọn A
Ta có: ( ) 1 1
1
x
Do đó: 1 2017 1, 2 2016 1, , 1008 1010 1
fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷= fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷= fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷=
1009 2017 1008
2018 2
S
Câu 10 Cho hàm số ( ) 9 2. Tính giá trị của biểu thức
x x
-+
P = fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+ +fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷
Lời giải
1
3
Vậy ta có:
1008 1
P = fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+ +fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷= éêêfæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç - ö÷÷÷÷ùúú+fæçççç ö÷÷÷÷
.
.
( )
1008 1
Câu 11 Cho , là các số thực thỏa mãn x y log4(x y+ +) log4(x y- ³) 1 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin
Trang 6A P =min 4 B P = -min 4 C P =min 2 3 D min 10 3.
3
P =
Lời giải Đáp án C.
Điều kiện: 0
0
x y
x y
ìï - >
ïí
ï + >
ïî
Từ điều kiện ta có: 2x > Û >0 x 0
log x y+ +log x y- ³ Û1 log x -y ³ Û - ³1 x y 4
2
2
5 4
y
y
+ Bảng biến thiên
'
y
2 3
Từ bảng biến thiên ta có: P =min 2 3
Câu 12 Cho là số nguyên dương, tìm sao chon n
3
log 2019 2 log 2019 3 log 2019 a + a + a + +n log 2019 1008 2017 log 2019n a = ´ a
A 2017 B 2019 C 2016 D 2018
Lời giải
(*)
3
log 2019 2 log 2019 3 log 2019 a + a + a + +n log 2019 1008 2017 log 2019n a = ´ a
Ta có n2log 2019n a =n n2 .log 2019a =n3log 2019a Suy ra
VT (*) (13 23 3).log 2019 ( 1)2.log 2019
2
VP (*)=1008 2017 log 20192´ 2 a Khi đó (*) được:
2( 1)2 2 1008 20172 2 2 2016 20172 2 2016
Câu 13 Cho hàm số ( ) 25
25 5
x x
f x =
+ Tính tổng S = fæçç 1 ö÷÷+fæçç 2 ö÷÷+fæçç 3 ö÷÷+fæçç 4 ö÷÷+ + fæçç2017ö÷÷.
Trang 7A 6053 B C D
6
6
6
S =
Lời giải
Sử dụng máy tính cầm tay để tính tổng ta tính được kết quả: S =1008
Câu 14 Cho f x =( ) 20162016x x2016 Tính giá trị biểu thức
+
S = fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+¼+fæçççç ö÷÷÷÷
A S = 2016 B S = 2017 C S = 1008 D S = 2016
Lời giải
2016x 2016
+
S = fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+¼+fæçççç ö÷÷÷÷= fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷
.
fæç ö÷÷ fæç ö÷÷ fæç ö÷÷
+ ççç ÷÷+ + ççç ÷÷+ ççç ÷÷=
Câu 15 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =(20x2 +20x -1283)e40x trên tập hợp các số tự nhiên là
A -1283 B -163.e280 C 157.e320 D -8.e300
Lời giải
(40 20) 40x (20 2 20 1283 40) 40x (800 2 840 51300) 40x
.
342 300
y¢ = Þ = -x x =
Bảng xét dấu đạo hàm
40
( )7 163 ; 8280 ( ) 157 320
Vậy miny = -163 .e280
Câu 16 Cho hàm số ( ) 9
x x
f x =
+
Trang 8Tính tổng 1 2 3 (1)?
S = fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+ +f
A S =2016 B S =1008 C S = 40154 D 4035
4
S =
Lời giải
1 1
9
fæç ö÷÷ fæç ö÷÷ fæç ö÷÷ fæç ö÷÷ fæç ö÷÷ fæç ö÷÷
Þ ççç ÷÷+ ççç ÷÷= ççç ÷÷+ ççç ÷÷= ççç ÷÷+ ççç ÷÷=
Vậy
S = fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+ +f = + + + + = + =
+
Câu 17 Cho , là các số dương thỏa mãn x y xy £4y-1 Giá trị nhỏ nhất của
là Giá trị của tích là
ln
P
Lời giải:
Chọn B
- Ta có:
2
2 chia 2 ve
cho y
4 1
ï >
ï ¾¾¾¾® < - + = -çç - + + = - -÷÷ çç ÷÷ + £ Þ £
ïî
- Đặt t x 0 t 4 D (0;4
- Biến đổi biểu thức P về dạng:
3 21
é
Lập bảng biến thiên, từ đó ta thấy rằng, trong khoảng (0;4ùúû thì hàm P(t) nghịch biến
Trang 9nên min ( ) ( )4 27 ln 6 272 81 Đáp án B.
b
ìïï = ïï
Câu 18 Chof x =( ) 20162016x x2016 Tính giá trị biểu thức
+
S = fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+ +fæçççç ö÷÷÷÷
A S = 2016 B S = 2017 C S = 1008 D S = 2016
Lời giải
Ta có ( ) 1
2
1 2016 x
-+ Với a b+ = Þ1 f a( ) ( )+f b =1
S = fæçççç ö÷÷÷÷+fæçççç ö÷÷÷÷+ +fæçççç ö÷÷÷÷= =
Vậy S =1008
Câu 19 Xét các số thực a b, thỏa mãn a b> >1 Tìm giá trị lớn nhất P Maxcủa biểu thức
2
4
b
b P
a a
æ ö
= + ç ÷ç ÷çè ø+
A P = Max 2 B P = Max 1 C P = Max 0 D P = Max 3
Lời giải
2 2
2
b
b
a a
= + ççç ÷÷+ = - + + = -ççç - ÷÷ + £
1
Max
P