Một số vấn đề giải tích chọn lọc trong kỳ thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc... Sự cần thiết của đề tài: Kỳ thi Olympic toán học sinh viên toàn quốc là hoạt động thường niên của Hộ
Trang 1Danh sách những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài và đơn vị phối hợp chính
Danh sách những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài và đơn vị phối hợp chính
I Danh sách những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài.
1 Nguyễn Việt Trung, ĐHSP K18B Toán, Trưởng nhóm.
2 Bùi Thị Thùy Linh, ĐHSP K18B Toán, Thành viên tham gia đề tài.
3 Nguyễn Thị Trang, ĐHSP K19 Toán, Thành viên tham gia đề tài.
4 Hoàng Thị Nhung , ĐHSP K19 Toán, Thành viên tham gia đề tài.
5 Lê Anh Đào, ĐHSP K19 Toán, Thành viên tham gia đề tài.
II Đơn vị phối hợp chính: Khoa Khoa học Tự nhiên
Trang 2Mục lục
1.1 Tìm giới hạn theo định nghĩa 3
1.2 Các phép toán thay giới hạn tương đương 6
1.3 Dãy đơn điệu 7
1.4 Tiêu chuẩn Cauchy 11
1.5 Tìm biểu thức của số hạng tổng quát 12
1.6 Phương pháp tổng tích phân 21
1.7 Trường hợp ánh xạ co 23
2 Hàm số liên tục 25 2.1 Sử dụng định lý giá trị trung gian 25
2.2 Sử dụng định lý Weiersstrass 28
2.3 Sử dụng định nghĩa hàm liên tục thứ nhất để giải bài toán 29
2.4 Sử dụng định nghĩa thứ 2 về sự liên tục của hàm số tại một điểm 30
2.5 Liên tục của hàm đơn điệu 33
3 Đạo hàm 35 3.1 Cơ sở lý thuyết 35
3.2 Tính đạo hàm của hàm số - Đạo hàm tại một điểm 35
3.3 Sự khả vi 36
3.4 Tính đạo hàm cấp cao 38
3.5 Ứng dụng đạo hàm 40
3.5.1 Tính đơn điệu của hàm số 40
3.5.2 Cực trị 41
3.5.3 Bất đẳng thức-Hàm số lồi 42
3.6 Định lý về giá trị trung bình 43
3.6.1 Định lý Rolle 43
3.6.2 Định lý Lagrange 46
3.6.3 Định lý Cauchy 48
3.7 Khai triển Taylor 49
3.7.1 Phần dư 50
3.7.2 Chọn điểm khai triển- điểm áp dụng 51
Trang 33.7.3 Cấp khai triển 52
3.7.4 Khai triển thành chuỗi Taylor 52
3.8 Phương trình hàm có sử dụng đạo hàm 53
4 Tích phân 56 4.1 Cơ sở lý thuyết 56
4.1.1 Định nghĩa 56
4.2 Một số phương pháp giải tích phân 57
4.2.1 Phương pháp 1: Đạo hàm theo cận trên 57
4.2.2 Phương pháp 2:Đổi biến số 60
4.2.3 Phương pháp 3: Tích phân từng phần 63
4.2.4 Phương pháp 4: Giá trị trung bình tích phân 65
4.2.5 Phương pháp 5: Bất đẳng thức tích phân 67
4.2.6 Phương pháp 6: Số gia hàm số qua tích phân-khảo sát nguyên hàm 72
5 Một số bài toán tổng hợp 75 5.1 Những bài toán đầu tiên 75
Trang 4Một số vấn đề giải tích chọn lọc trong kỳ thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc
Trang 5Mở đầu
1 Sự cần thiết của đề tài: Kỳ thi Olympic toán học sinh viên toàn quốc là
hoạt động thường niên của Hội Toán học Việt Nam nhằm tạo ra sân chơi trithức cho sinh viên các trường đại học trên toàn quốc và là nơi để khẳng địnhthương hiệu của các trường đại học Theo đề cương ôn tập của Hội Toán họcViệt Nam, nội dung phần thi giải tích bao gồm rất nhiều các phần và các tàiliệu trích dẫn tham khảo đều là các tài liệu được viết tổng quan nên tạo rấtnhiều khó khăn cho sinh viên trong một thời gian ngắn có thể ôn tập và nắmvững các phần nội dung kiến thức để áp dụng giải quyết các bài toán trong bàithi Ngoài ra, nội dung thi là phần kiến thức nâng cao và rất hữu ích cho giáoviên ngành sư phạm toán áp dụng trong giảng dạy và ôn luyện đội tuyển họcsinh giỏi ở các trường trung học phổ thông.Tuy nhiên, hiện tại rất ít tài liệutrình bày hệ thống phân dạng các dạng toán và phương pháp giải các vấn đềnày, nếu có thì các tài liệu này chỉ trình bày một phần nhỏ dưới dạng chuyênđề.Vì vậy chúng tôi chon đề tài này làm đề tài nghiên cứu khoa học cho nhómmình
2 Mục tiêu của đề tài: Xây dựng hệ thống các nội dung cốt lõi về Giải tích
trong các nội dung được lựa chọn cho bài thi Giải tích của kỳ thi Olympictoán học sinh viên toàn quốc nhằm tạo ra được tài liệu tốt phục vụ cho sinhviên và giảng viên
3.Ý nghĩa khoa học của đề tài,đóng góp mới của đề tài: Đây là một tài liệu
tốt cho sinh viên và giảng viên Khoa ôn luyện kỳ thi Olympic toán học và làtài liệu tốt cho các em học sinh và giáo viên các trường phổ thong ôn luyệnhọc sinh giỏi
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các bài toán liên quan đến
kỳ thi Olympic toán học sinh viên toàn quốc
5 Nội dung nghiên cứu:Nghiên cứu các vấn đề được lựa chọn cho bài thi
Giải tích của kỳ thi Olympic toán học sinh viên toàn quốc dựa trên đề cương
ôn tập môn Giải tích của Hội Toán học Việt Nam
Trang 6Chương 1
Giới hạn dãy số
Dãy Un được gọi là hội tụ đến l (hay có giới hạn l) nếu với mọi số ε > 0 tồntại N ∈ N sao cho |un− l| < ε, ∀n > N
Khi đó ta viết limn→∞un→ l hay (un → ∞)
1.1 Tìm giới hạn theo định nghĩa.
CHÚ Ý
+Điều quan trọng là ta phải làm trội |un− l| bởi g(n) nào đó sao cho dễ dàng
có được g(n) < ε , hoặc dễ chỉ ra nó nghiệm đúng với n > N nào đó
+Có thể làm trội |un− l| bởi tổng h(n) + k(n) rồi giải riêng
h(n) < ε
2 với n > N1, k(n) < ε
2 với n > N2Khi đó với N = max(N1, N2) thì |un− l| < ε
u1+ u2+ + un
=
... olympic nên ta khơng đề cập
ở
a, nghiệm khác 1: deg g = deg f
b, nghiệm 1: g (n) = n.h (n) Với deg h = deg f
c, nghiệm 1: g (n) = n2.h (n) Với deg h = deg... 2
Hàm số liên tục
Trong chương này, chúng tơi xin trình bày số tiếp cận thường gặp khikhai thác giả thi? ??t hàm số liên tục mà khơng kèm theo tính khả vi hàmsố... (x0)
Đây tiếp cận thường gặp tốn olympic giải tích Đặcbiệt chứng minh hàm số không liên tục điểm phương trìnhhàm có tính liên tục Trong phần này, ta phải xây dựng dãy xn)