Bài giảng toán cao cấp và tổ hợp phép đếm

Lý thuyết tổ hợpCombinatorics là một ngành toán học nghiên cứu sự liệt kê , tổ hợp , và hoán vị của tập những phần tử những mối quan hệ toán học.. Những quy tắc đếm cơ bảnRất nhiều bài t

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Lý thuyết tổ hợp

Combinatorics là một ngành toán học nghiên cứu

sự liệt kê , tổ hợp , và hoán vị của tập những phần

tử những mối quan hệ toán học.

(Concise Encyclopedia of Mathematics)

Combinatorics bao gồm đếm

• Đếm các đối tượng thỏa điều kiện (enumerative

combina-torics)

• Quyết định khi nào điều kiện thỏa, xây dựng và phân tích

các đối tượng thỏa điều kiện (combinatorial designs and

matroid theory)

• Tìm lớn nhất, nhỏ nhất, tối ưu (combinatorial

optimiza-tion)

Ứng dụng của lý thuyết tổ hợp

➳ Lý thuyết độ phức tạp của thuật toán

➳ Lý thuyết tối ưu rời rạc

➳ Lý thuyết xác suất

➳ Vật lý thống kê

➳ Hình học

Những quy tắc đếm cơ bản

Rất nhiều bài toán đếm có thể thực hiện chỉ dùng

2 quy tắc cơ bản: cộng (sum) và nhân (product).

Có những quy tắc đếm nâng cao khác

➠ Liệt kê các khả năng thối một lượng tiền với một tập các loại tiềnxác định

➠ Đếm bao nhiêu mật khẩu (password) có thể có với một chiều dài chotrước

➠ Đếm có bao nhiêu địa chỉ Internet

Bao nhiêu cách chọn ?

Hấp dẫn Đảm đang

Chọn ai đây?!?! Mà chỉ được 1 mà thôi :-(

Giả thiết công việc 1 có thể làm bằng n1 cách, công

việc 2 có thể làm bằng n2 cách Nếu 2 công việc

không thể làm đồng thời thì có n1 + n2 cách làm

một trong 2 công việc.

Tổng quát hóa quy tắc cộng

Tổng quát lên m công việc không thể làm đồng thời

10, 15, 14, 16, 11 Có bao nhiêu cách chọn ?

Lời giải: 10+15+14+16+11 = 66 cách

Chọn nhà nào đây ?

Mục tiêu

Chọn nhà nào đây ?!?! Mà chỉ 1 nhà thôi :-(

Giả sử một nhiệm vụ được tách làm 2 việc: việc 1

làm bằng n1 cách, việc 2 làm n2 cách khi việc 1 đã

được làm Khi đó sẽ có n1×n2 cách thực hiện nhiệm

vụ này.

Tổng quát quy tắc nhân

Giả thiết một nhiệm vụ có m công việc phải thực

hiện T1, , Tm Nếu việc Ti có ni cách thực hiện.

Khi đó ta có n1 × × nm cách thực hiện nhiệm

vụ.

Ví dụ: Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 7 ?

Lời giải: Mỗi bit có thể chọn 1 trong 2 cách: 0 và 1 Quy tắc nhâncho số lượng xâu là 27

= 128

Ví dụ: Có bao nhiêu hàm đơn ánh xác định trên tập hữu hạn A có mphần tử và nhận giá trị trên tập B có n phần tử ?

Phối hợp 2 quy tắc

Ví dụ: Mật khẩu máy tính dài từ 6 → 8 ký tự Mỗi ký tự có thể là

số hoặc chữ hoa Mỗi mật khẩu phải có ít nhất một chữ số Có baonhiêu mật khẩu ?

Lời giải: Gọi P1, P2, P 3 là tổng số mật khẩu có chiều dài tương ứng là

Số lượng chuỗi bit thỏa đề bài là 128 + 64 − 32 = 160.

Ví dụ: Có bao nhiêu chuỗi bit có độ dài 8 bit hoặc được bắt đầu bằng

01 hoặc được bắt đầu bằng 10 ?

0 1

Bit 1 Bit 2 Bit 3

Nguyên lý lồng chim bồ câu

(Pigeonhole principle)

Nếu có k + 1 hoặc nhiều hơn đồ vật được đặt vào

trong k hộp thì có ít nhất một hộp chứa 2 hoặc

Nguyên lý Dirichlet tổng quát

Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp, sẽ tồn

tại một hộp chứa ít nhất dN/ke vật.

Ví dụ: Trong 100 người có ít nhất d100/12e = 9 người cùng thángsinh

Ví dụ: Xét 1 tháng 30 ngày Một đội bóng chơi ít nhất 1 ngày 1 trận,nhưng cả tháng không quá 45 trận Hãy chỉ ra rằng có những ngàyliên tiếp đội bóng chơi tất cả 14 trận

Hoán vị và chỉnh hợp

Ví dụ: Bao nhiêu cách chọn 22 cầu thủ để tham dự đội tuyển bóng

đá Việt Nam từ danh sách 30 cầu thủ đề cử ? Bao nhiêu cách chọn

ra một danh sách có thứ tự 11 cầu thủ để thi đấu ?

Ví dụ hoán vị và chỉnh hợp

Ví dụ: Bao nhiêu cách chọn 22 cầu thủ để tham dự đội tuyển bóng

đá Việt Nam từ danh sách 30 cầu thủ đề cử ? Bao nhiêu cách chọn

ra một danh sách có thứ tự 11 cầu thủ để thi đấu ?

Lời giải: Có P (22, 11) cách chọn danh sách có thứ tự 11 cầu thủ từ

22 cầu thủ trong đội

Ví dụ: Một thương nhân đi qua 6 tỉnh để buôn bán và chỉ qua mộttỉnh một và chỉ một lần duy nhất mà thôi Sau đó thương nhân quay

về tỉnh xuất phát Hỏi có bao nhiêu lộ trình ?

Một số định lý Hằng đẳng thức Pascal

C(n + 1, k) = C(n, k − 1) + C(n, k)

Hằng đẳng thức Vandermonde

C(m + n, r) =

rXk=0

C(m, r − l)C(n, k)

Định lý nhị thức

(x + y)n =

nX

C(n, j)xn−jyj

Có sự tương tự như chỉnh hợp (có thứ tự), nhưng

cho phép sự lặp lại của các chữ cái.

Số các chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử bằng

nr

Hoán vị có phần tử giống nhau

Ví dụ: Có bao nhiêu chuỗi khác nhau bằng cách sắp xếp lại các chữcái SUCCESS ?

Lời giải: Không thể là hoán vị của 7 chữ cái vì có sự lặp lại

➳ 3 chữ S, 2 chữ C, 1 chữ U, 1 chữ E

➳ Có C(7, 3) cách chọn chỗ cho 3 chữ cái S Có C(4, 2) cách chọnchỗ cho 2 chữ cái C Có C(2, 1) cách chọn chỗ cho 1 chữ U CóC(1, 1) cách chọn chỗ cho 1 chữ E

Theo quy tắc nhân ta có số chuỗi là:

Hoán vị có phần tử giống nhau

Tổng quát hóa n phần tử có n1 thuộc loại 1, , nk

phần tử thuộc loại k Số hoán vị là

n!

n1! nk!